换元法解分式方程
一、解答题（共5小题）
1、解方程：．
2、解方程．
3、解方程．
4、用换元法解方程
5、解方程：
二、选择题（共20小题）
6、用换元法解分式方程﹣+1=0时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（ ）
A、y2+y﹣3=0 B、y2﹣3y+1=0
C、3y2﹣y+1=0 D、3y2﹣y﹣1=0
7、附加题：用换元法解方程，若设y=x+，则原方程可化为（ ）
A、y2﹣y+1=0 B、y2+y+1=0
C、y2+y﹣1=0 D、y2﹣y﹣1=0
8、解分式方程+3=0时，设=y，则原方程变形为（ ）
A、y2+3y+1=0 B、y2+3y﹣1=0
C、y2﹣3y+1=0 D、y2﹣3y﹣1=0
9、用换元法解方程+2=0，如果设y=，那么原方程可化为（ ）
A、y2﹣y+2=0 B、y2+y﹣2=0
C、y2﹣2y+1=0 D、y2+2y﹣1=021世纪教育网版权所有
10、已知方程，若设=a，则原方程变形并整理为（ ）
A、a2﹣2a+1=0 B、a2+a﹣2=0
C、a2﹣2a﹣1=0 D、a2+2a﹣1=0
11、用换元法解分式方程+=7时，如果设=y，那么原方程可化为（ ）
A、y+=7 B、y+=7
C、10y+=7 D、y+10y2=721世纪教育网版权所有
12、解方程：x2+﹣1=0时，若设x+=y，则原方程可化为（ ）
A、y2﹣2y﹣1=0 B、y2﹣2y﹣3=0
C、y2﹣2y+1=0 D、y2+2y﹣3=0
13、用换元法解方程时，设，则原方程可变形为（ ）
A、y2﹣3y+2=0 B、2y2﹣3y+1=0
C、y2+3y﹣2=0 D、2y2+3y﹣1=021世纪教育网版权所有
14、用换元法解分式方程=7时，如果设y=，那么将原方程化为关于y的一元二次方程的一般形式是（ ）
A、2y2﹣7y+6=0 B、2y2+7y+6=0
C、y2﹣7y+6=0 D、y2+7y+6=0
15、用换元法解分式方程时，设，则原方程可化为整式方程（ ）
A、y2+3y+2=0 B、y2+2y+3=0
C、y2+2y﹣3=0 D、y2﹣3y+2=0
16、用换元法解分式方程，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是（ ）
A、y2﹣3y﹣2=0 B、3y2﹣2y﹣1=0
C、3y2﹣y+2=0 D、y2﹣2y﹣3=021世纪教育网版权所有
17、对于方程x2+2x+3=，设x2+2x=y，则关于y的方程的根是（ ）
A、y=﹣1或y=﹣2 B、y=﹣1
C、y=﹣2 D、y=1或y=2
18、用换元法解分式方程时，设，原方程可变形为（ ）
A、y2+2y﹣3=0 B、y2﹣3y+2=0
C、3y2﹣y+2=0 D、y2﹣2y+3=021世纪教育网版权所有
19、用换元法解方程x2+x+=8，若设x2+x=y，则原方程化为关于y的整式方程是（ ）
A、y2﹣8y+7=0 B、y2﹣8y﹣7=0
C、y2+8y+7=0 D、y2+8y﹣7=0
20、用换元法把方程化为关于y的方程2y+=7，那么下列换元正确的是（ ）
A、=y B、=y
C、=y D、=y21世纪教育网版权所有
21、用换元法解分式方程3x2+3x=+1，若设x2+x=y，则原方程可化为关于y的整式方程（ ）
A、3y2﹣y﹣2=0 B、3y2+y+2=0
C、3y2+y﹣2=0 D、3y=+1
22、用换元法解方程x2﹣2x+=8，若设x2﹣2x=y，则原方程化为关于y的整式方程是（ ）
A、y2+8y﹣7=0 B、y2﹣8y﹣7=0
C、y2+8y+7=0 D、y2﹣8y+7=021世纪教育网版权所有
23、解分式方程时，设，则原方程可化为（ ）
A、 B、
C、 D、
24、解方程﹣3=0，如果设=y，那么原方程可化为（ ）
A、y2+3y+2=0 B、y2﹣3y+2=0
C、y2+3y﹣2=0 D、y2﹣3y﹣2=0
25、用换元法解方程﹣=1，如果设=y，那么原方程可转化为（ ）
A、2y2﹣y﹣1=0 B、2y2+y﹣1=0
C、y2+y﹣2=0 D、y2﹣y+2=0
三、填空题（共5小题）21世纪教育网版权所有
26、解方程时，若设，则方程可化为 _________ ．
27、下列方程的解分别是：
（1） _________ ．
（2） _________ ．21世纪教育网版权所有
（3） _________ ．
（4） _________ ．
（5） _________ ．
（6） _________ ．
（7） _________ ．
28、用换元法解分式方程2x2﹣x=﹣3，若设2x2﹣x=y，则原方程可化为关于y的整式方程是 _________ ．21世纪教育网版权所有
29、（按非课改要求命制）用换元法解方程，设，则原方程可变形为 _________ ．
30、用换元法解方程，如果设，那么原方程化为关于y的整式方程是 _________ ．21世纪教育网版权所有
答案与评分标准
一、解答题（共5小题）
1、解方程：．21世纪教育网版权所有
考点：换元法解分式方程。
专题：计算题。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．可根据方程特点设y=，则原方程可化为y2﹣y﹣6=0．解一元二次方程求y，再求x．
解答：解：设y=，21世纪教育网版权所有
则原方程化为y2﹣y﹣6=0，
解得y1=﹣2，y2=3，
当y1=﹣2时，x1=，
当y2=3时，解得x2=3，
经检验x1=，x2=3都是原方程的根．21世纪教育网版权所有
点评：用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
2、解方程．
考点：换元法解分式方程。
专题：计算题。
分析：可根据方程特点设y=，则原方程可化为y2﹣5y+6=0．解一元二次方程求y，再求x．
解答：解：设=y，则原方程化为y2﹣5y+6=0．21世纪教育网版权所有
解得y1=2，y2=3．
当y1=2时，=2，解得x1=2
当y2=3时，=3．解得x=
经检验x1=2，x2=都是原方程的根21世纪教育网版权所有
∴原方程的根是x1=2，x2=．
点评：本题考查用换元法解分式方程的能力．用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．21世纪教育网版权所有
3、解方程．
4、用换元法解方程
考点：换元法解分式方程。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：先设，则原方程可化得y2﹣5y+6=0，求得y的值，代入求出x的值即可．
解答：解：设，则原方程可化得y2﹣5y+6=0，
解这个方程得y1=2，y2=3．
当y=2时，，去分母得x=2x+4，∴x1=﹣421世纪教育网版权所有
当y=3时，，去分母得x=3x+6，∴x2=﹣3
经检验，x1=﹣4，x2=﹣3都是原方程的解．
∴原方程的解是x1=﹣4，x2=﹣3．
点评：本题考查了用换元法解方程，解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母y代替解方程．
5、解方程：
考点：换元法解分式方程。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：设=y，则原方程化为y=+2y，解方程求得y的值，再代入=y求值即可．结果需检验．
解答：解：设=y，则原方程化为y=+2y，21世纪教育网版权所有
解之得，y=﹣．
当y=﹣时，有=﹣，解得x=﹣．
经检验x=﹣是原方程的根．
∴原方程的根是x=﹣．21世纪教育网版权所有
点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
二、选择题（共20小题）
6、用换元法解分式方程﹣+1=0时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（ ）
A、y2+y﹣3=0 B、y2﹣3y+1=0
C、3y2﹣y+1=0 D、3y2﹣y﹣1=0
7、附加题：用换元法解方程，若设y=x+，则原方程可化为（ ）
A、y2﹣y+1=0 B、y2+y+1=0
C、y2+y﹣1=0 D、y2﹣y﹣1=0
考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。
分析：设y=x+，即可把原方程化为整式方程．
解答：解：设y=x+，21世纪教育网版权所有
∴=y2，
∴原方程可化为y2﹣y=1，21世纪教育网版权所有
进一步化简得：y2﹣y﹣1=0．
故选D．
点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．
8、解分式方程+3=0时，设=y，则原方程变形为（ ）
A、y2+3y+1=0 B、y2+3y﹣1=0
C、y2﹣3y+1=0 D、y2﹣3y﹣1=0
考点：换元法解分式方程。21世纪教育网版权所有
专题：换元法。
分析：若设=y，则=，那么，原方程可化为：y﹣+3=0，然后化为整式方程．
解答：解：设=y，则=，
∴原方程可化为：y﹣+3=0，
方程两边都乘最简公分母y得y2﹣1+3y=0，21世纪教育网版权所有
整理得y2+3y﹣1=0．
故选B．
点评：本题考查用换元法化简分式方程．换元后需再乘最简公分母化为整式方程．
9、用换元法解方程+2=0，如果设y=，那么原方程可化为（ ）
A、y2﹣y+2=0 B、y2+y﹣2=0
C、y2﹣2y+1=0 D、y2+2y﹣1=0
考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。21世纪教育网版权所有
分析：若设y=，则=，则原方程可化为y﹣+2=0，方程两边都乘最简公分母y可化为整式方程．
解答：解：设y=，
则方程+2=0变为=0，21世纪教育网版权所有
整理得y2+2y﹣1=0，
故选D．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查用换元法解分式方程，再让分式方程两边都乘最简公分母转化为整式方程．
10、已知方程，若设=a，则原方程变形并整理为（ ）
A、a2﹣2a+1=0 B、a2+a﹣2=0
C、a2﹣2a﹣1=0 D、a2+2a﹣1=0
11、用换元法解分式方程+=7时，如果设=y，那么原方程可化为（ ）
A、y+=7 B、y+=7
C、10y+=7 D、y+10y2=721世纪教育网版权所有
考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，根据题意得=y，则=，代入原方程即可．所以原方程可化为：y+=7
解答：解：设得=y，则=，
所以原方程可化为：y+=7．21世纪教育网版权所有
故选A．
点评：用换元法解分式方程是常用的方法之一，换元时要注意所设分式的形式及式中不同的变形．
12、解方程：x2+﹣1=0时，若设x+=y，则原方程可化为（ ）
A、y2﹣2y﹣1=0 B、y2﹣2y﹣3=0
C、y2﹣2y+1=0 D、y2+2y﹣3=0
考点：换元法解分式方程。21世纪教育网版权所有
专题：换元法。
分析：本题考查用换元法整理分式方程的能力，由x+=y可得（x+）2=y2，所以可得x2++2=y2，所以原方程可整理为整式方程．
解答：解：设x+=y，
∴可得x2++2=y2，21世纪教育网版权所有
∴y2﹣2﹣2y﹣1=0，
原方程可化为：y2﹣2y﹣3=0．
故选B．
点评：解分式方程的关键是把分式方程通过去分母或换元等方式转化为整式方程，应注意分式之间的变形关系．
13、用换元法解方程时，设，则原方程可变形为（ ）
A、y2﹣3y+2=0 B、2y2﹣3y+1=0
C、y2+3y﹣2=0 D、2y2+3y﹣1=021世纪教育网版权所有
考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。
分析：若=y，那么=，把它们代入转化为关于y的分式方程，再乘以最简公分母y化为整式方程即可．
解答：解：原方程可化为y+=3，21世纪教育网版权所有
方程两边都乘最简公分母y，得
y2+2=3y，整理得y2﹣3y+2=0．故选A．
点评：本题考查用换元法解决问题．换元后然后再乘以最简公分母y化为整式方程．
14、用换元法解分式方程=7时，如果设y=，那么将原方程化为关于y的一元二次方程的一般形式是（ ）
A、2y2﹣7y+6=0 B、2y2+7y+6=0
C、y2﹣7y+6=0 D、y2+7y+6=021世纪教育网版权所有
15、用换元法解分式方程时，设，则原方程可化为整式方程（ ）
A、y2+3y+2=0 B、y2+2y+3=0
C、y2+2y﹣3=0 D、y2﹣3y+2=0
考点：换元法解分式方程。21世纪教育网版权所有
专题：换元法。
分析：本题考查用换元法化分式方程为整式方程的能力，注意观察方程中分式与y的关系，代入换元．
解答：解：设=y，则=，
代入原方程得y+=3，即：y2﹣3y+2=0．故选D．
点评：用换元法解分式方程是常用方法之一，在换元过程中要注意符号的变化．
16、用换元法解分式方程，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是（ ）
A、y2﹣3y﹣2=0 B、3y2﹣2y﹣1=0
C、3y2﹣y+2=0 D、y2﹣2y﹣3=021世纪教育网版权所有
考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。
分析：本题考查用换元法整理分式方程的能力，关键是分析方程中两个方式与y的关系，再换元、整理方程．
解答：解：∵，
∴=，
∴原方程可化为：y﹣=2，21世纪教育网版权所有
去分母整理得：y2﹣2y﹣3=0．故选D．
点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
17、对于方程x2+2x+3=，设x2+2x=y，则关于y的方程的根是（ ）
A、y=﹣1或y=﹣2 B、y=﹣1
C、y=﹣2 D、y=1或y=221世纪教育网版权所有
考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。
分析：换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是x2+2x，设x2+2x=y，换元后整理方程，求解即可．
解答：解：由题意得：x2+2x=y，
所以原方程可整理为：y+3=﹣，21世纪教育网版权所有
整理得：y2+3y+2=0，
解得：y1=﹣1，y2=﹣2
故选A．
点评：解分式方程时要注意根据方程特点选择合适的方法．
18、用换元法解分式方程时，设，原方程可变形为（ ）
A、y2+2y﹣3=0 B、y2﹣3y+2=0
C、3y2﹣y+2=0 D、y2﹣2y+3=0
19、用换元法解方程x2+x+=8，若设x2+x=y，则原方程化为关于y的整式方程是（ ）
A、y2﹣8y+7=0 B、y2﹣8y﹣7=0
C、y2+8y+7=0 D、y2+8y﹣7=021世纪教育网版权所有
考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。
分析：此题考查了数学中的换元思想，把x2+x看做一个整体进行换元．
解答：解：若设x2+x=y．
得：y+=8．
去分母的：y2+7=8y．21世纪教育网版权所有
整理得y2﹣8y+7=0．
故选A
点评：此题要掌握数学中的换元思想，比较简单．
20、用换元法把方程化为关于y的方程2y+=7，那么下列换元正确的是（ ）
A、=y B、=y21世纪教育网版权所有
C、=y D、=y
考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。21世纪教育网版权所有
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，根据题干条件可以做出判断．
解答：解：观察由方程到关于y的方程2y+=7，其中的系数2和6都没有发生变化，所以只能是设=y，所以正确的=y．故选D
点评：用换元法解分式方程能够将方程化繁为简，化难为易，是解分式方程的一种常用的方法，要注意总结能用换元法解的分式方程的特点．
21、用换元法解分式方程3x2+3x=+1，若设x2+x=y，则原方程可化为关于y的整式方程（ ）
A、3y2﹣y﹣2=0 B、3y2+y+2=021世纪教育网版权所有
C、3y2+y﹣2=0 D、3y=+1
22、用换元法解方程x2﹣2x+=8，若设x2﹣2x=y，则原方程化为关于y的整式方程是（ ）21世纪教育网版权所有
A、y2+8y﹣7=0 B、y2﹣8y﹣7=0
C、y2+8y+7=0 D、y2﹣8y+7=0
考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。
分析：由于方程中含有x2﹣2x，故设x2﹣2x=y，代入方程后，把原方程化为整式方程．
解答：解：设x2﹣2x=y．
∴y+=8．
∴y2+7=8y．
∴y2﹣8y+7=0．21世纪教育网版权所有
故选D
点评：此题要掌握数学中的换元思想，比较简单．
23、解分式方程时，设，则原方程可化为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。21世纪教育网版权所有
分析：本题考查用换元法列分式方程的能力，关键是要分析本题中两个分式与y的关系，再用y来代替．
解答：解：设，则=3y，=2×=．
∴原方程可化为3y﹣=．故选A．21世纪教育网版权所有
点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．本题需注意设的互为倒数的元，以及元的系数问题．
24、解方程﹣3=0，如果设=y，那么原方程可化为（ ）
A、y2+3y+2=0 B、y2﹣3y+2=0
C、y2+3y﹣2=0 D、y2﹣3y﹣2=0
考点：换元法解分式方程。21世纪教育网版权所有
专题：换元法。
分析：本题用换元法考查对分式方程的变形能力，注意方程中分式的倒数关系．
解答：解：设=y，则=，
所以原方程可化为y+﹣3=0，整理得：y2﹣3y+2=0．
故选B．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查对一个分式方程进行变形整理得能力，根据所设所设字母对一个分式方程进行变形，要注意分式直接的联系．
25、用换元法解方程﹣=1，如果设=y，那么原方程可转化为（ ）
A、2y2﹣y﹣1=0 B、2y2+y﹣1=0
C、y2+y﹣2=0 D、y2﹣y+2=0
考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。21世纪教育网版权所有
分析：若=y，则=那么原方程就变为2×﹣y=1，方程两边都乘最简公分母y，就可以化为整式方程．
解答：解：原方程可化为：﹣y=1，
方程两边都乘最简公分母y，
得2﹣y2=y，
把左边的各项移到右边整理得y2+y﹣2=0．21世纪教育网版权所有
故选C．
点评：本题考查用换元法解决分式方程的化简问题，换元后需再乘最简公分母化为整式方程，本题需注意整式方程最终的结果，未知数的最高次项的系数一般不为0．
三、填空题（共5小题）
26、解方程时，若设，则方程可化为 2y﹣=2 ．
27、下列方程的解分别是：21世纪教育网版权所有
（1） ．
（2） ．
（3） ．21世纪教育网版权所有
（4） x3=0，x4=﹣2 ．
（5） ．
（6） x=4 ．
（7） x=8 ．21世纪教育网版权所有
考点：解分式方程；换元法解分式方程。
专题：计算题；换元法。
分析：这几道题应注意换元法的运用；解决此类题如，关键是使其分母先相等或分子先相等，再使其分子或分母相等．
解答：解：（1）∵，
∴；21世纪教育网版权所有
2）∵，
∴（x+3）（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）=（x+1）（x﹣1），
∴
（3）令，则原方程化为2y2﹣3y﹣5=0，
∴无解，或，
∴；21世纪教育网版权所有
（4）令x2+2x﹣1=y，则原方程化为，∴y2﹣2y﹣3=0，∴y1=3，y2=﹣1，∴x2﹣2x﹣1=3，即
或x2+2x﹣1=﹣1，∴x3=0，x4=﹣2．
（5）设x2﹣2x﹣1=y，则原方程化为
∴（y﹣1）（y﹣2）+2y（y﹣2）﹣3y（y﹣1）=0，∴，
∴21世纪教育网版权所有
（6）∵，
∴
∴10x=40，∴x=4．
（7）
∴原方程化为
∴21世纪教育网版权所有
∴
点评：本题主要考查用换元法解分式方程，难度较大．注意：换元法应先将方程中多次出现的一个式子设为一个字母，然后得到一个新的方程，然后解出，反代入原式即可求解．
28、用换元法解分式方程2x2﹣x=﹣3，若设2x2﹣x=y，则原方程可化为关于y的整式方程是 y2+3y﹣4=0 ．
考点：换元法解分式方程。21世纪教育网版权所有
专题：换元法。
分析：设2x2﹣x=y，则，故原方程可化为整式方程．
解答：解：设2x2﹣x=y，
则原方程可化为y=﹣3，
两边都乘最简公分母得：y2=4﹣3y，
整理得：y2+3y﹣4=0．21世纪教育网版权所有
故本题答案为：y2+3y﹣4=0．
点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化，但应注意换元后互为倒数的元的系数．
29、（按非课改要求命制）用换元法解方程，设，则原方程可变形为 4y2+5y+1=0 ．
考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。
分析：换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设，换元后整理即可求得．21世纪教育网版权所有
解答：解：设y=，
则原方程可变为（2y）2+5y+1=0，
整理得4y2+5y+1=0，
故本题答案为：4y2+5y+1=0．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查了用换元法解方程，解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母y代替解方程．
30、用换元法解方程，如果设，那么原方程化为关于y的整式方程是 2y2﹣5y+2=0 ．
