2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷第一章 平行线（进阶版）
一、单选题
1．（2021七下·浦东期中）下列语句正确的个数是（ ）
⑴经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑵经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；
⑶在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
⑷在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2020七下·河池期中）三条直线相交，交点最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，给出下列说法：①∠B和∠1是同位角；②∠1和∠3是对顶角；③∠2和∠4是内错角；④∠A和∠BCD是同旁内角．其中说法正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2019七下·孝义期中）下列说法正确的有（ ）
①对顶角相等；②同位角相等；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不相等，则这两个角一定不是同位角.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含
角的三角尺ADE固定不动，将含
角的三角尺ABC绕顶点
顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当
时，
，则
)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A． 和
B． 和
C． 和
D．以上都有可能
6．（2022七下·邵东期末）如图.在下列条件中，不能推出的是（ ）
A．∠3＝∠4
B．∠1＝∠2
C．∠4＋∠BCD＝180°，且∠D＝∠4
D．∠3＋∠5＝180°
7．（2019七下·新乐期中）如图，长方形ABCD中，AB＝8，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移6个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移6个单位，得到长方形A2B2C2D2，……第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1的方向平移6个单位，得到长方形AnBn nDn（n＞2），若ABn的长度为2018，则n的值为（ ）
A．334 B．335 C．336 D．337
8．（2022七下·宜宾期末）如图：有、、三户家用电路接入电表，相邻电路的接点距离相等，相邻电表的距离相等，且相邻电路的接点距离等于相邻电表接入点的距离，电线对应平行排列，则三户所用电线（ ）
A．户最长 B．户最长 C．户最长 D．三户一样长
9．（2020七下·马山期末）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：
①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④ 图4
10．（2019七下·嵊州期末）已知：如图，点D是射线AB上一动点，连接CD，过点D作DE∥BC交直线AC于点E，若∠ABC=84°，∠CDE=20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．104° B．76° C．104°或64° D．104°或76°
二、填空题
11．（2019七上·云安期末）平面内两两相交的三条直线，如果它们最多有a个交点，最少有b个交点，则a+b＝ ．
12．n条水平直线与倾斜直线a相交可得 条线段， 对同位角， 对内错角， 对同旁内角．
13．（2019七下·兴化期末）一副直角三角尺如图①叠放，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，要求两块三角尺的一组边互相平行.如图②，当∠BAD=15°时，有一组边BC∥DE，请再写出两个符合要求的∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）的度数 .
14．（2019七下·鼓楼月考）在间一平面内，有2019条互不重合的直线，l1，l2，l3，…，l2019，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，以此类推，则l1和l2019的位置关系是 .
15．（2022七下·平原期末）如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是 ．
16．（2021七下·安庆期末）如图，直线AB//CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为直线AB与CD之间的一点，连接ME、NE，且∠MEN=80°，∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为 ．
三、作图题
17．（2021七下·河东期中）如图，已知锐角∠AOB，M，N分别是∠AOB两边OA，OB上的点，用直尺或三角板按下列要求画图：
（ 1 ）过点M作OB的垂线段MC，C为垂足；
（ 2 ）过点N作OA的平行线ND；
（ 3 ）平移△OMC，使点M移动到点N处，画出平移后的△ENF，其中E，F分别为点O，C的对应点．
四、解答题
18．如图，BCD是一条直线，∠1=∠B，∠2=∠A，指出∠1的同位角，∠2的内错角，并求出∠A+∠B+∠ACB的度数．
19．（2021七下·凌海期中）如图，在折线中，已知，延长、交于点，猜想与的关系，并说明理由．
五、综合题
20．（2020七上·重庆月考）如图为一梯级平面图，一只老鼠沿长方形的两边 的路线逃跑，一只猫同时沿梯级 折线 的路线追，结果在距离C点 的D点处，猫捉住了老鼠，已知老鼠的速度是猫的 ，求梯级 折线 的长度，
（1）请将下表中每一句话“译成”数学语言 在表格中写出对应的代数式 ：
设梯级 折线 的长度为 xm
的长度为
的长度为
的长度为
设猫捉住老鼠所用时间为 ts
猫的速度是
老鼠的速度是
（2）根据表格中代数式列出一个你认为正确的方程 不要求解 ： .
21．（2020七下·遵义期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）.
（1）①平移 ABC，使点A移动到点A1，请在网格纸上画出平移后的 A1B1C1；
②作 ABC的高CE；
（2）在（1）的条件下，求平移过程中，线段AB扫过的面积.
22．（2022七下·东阳期末）如图，AB、CD被AC所截，AB∥CD，∠CAB＝108°，点P为直线AB上一动点（不与点A重合），连CP，作∠ACP和∠DCP的平分线分别交直线AB于点E、F.
（1）当点P在点A的右侧时；
①若∠ACP＝36°，则此时CP是否平分∠ECF，请说明理由.
②求∠ECF的度数.
（2）在点P运动过程中，直接写出∠APC与∠AFC之间的数量关系.
23．（2022七下·义乌期中）如图
（1）如图1，点E在BC上，∠A＝∠D，∠ACB =∠CED．请说明 AB∥CD 的理由.
（2）如图2，AB∥CD，BG 平分∠ABE，与∠EDF 的平分线交于 H 点，若∠DEB比∠DHB 大60°，求∠DEB 的度数．
（3）保持（2）中所求的∠DEB 的度数不变，如图3，AB∥CD，BM 平分∠EBK，DN 平分∠CDE，作 BP∥DN，则∠PBM 的度数是否改变？若不变，请直接写出∠PBM 的度数；若改变，请说明理由．
24．（2022七下·温州期中）已知：四边形AOBC中，BC∥OA，OB⊥OA，D为射线OB上一动点，连接AD，DM∥ AC交直线BC于点M，作∠OAD的角平分线AN与 ∠BMD的角平分线MN所在直线交于点N．
（1）如图1，当D在线段OB上时，小芳将∠CAD和∠ANM的部分对应角度记录如下表：
∠CAD 80° 90° 100° 110°
∠ANM 50° 45° 40° 25°
①请将上表补全；
②猜想∠CAD和∠ANM的数量关系，并说明理由．
（2）当D点在OB延长线上运动时，在图2和图3中补全图形；并在各图下方横线上分别写出∠CAD和∠ANM的数量关系．
25．（2020七下·上城期末）光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用.例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理.
（1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数；
（2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b.平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝ ，求 .
（3）如图③，若 ＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝ （90°＜ ＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出 的度数.（可用含x的代数式表示）.
26．（2021七下·上虞期末）我区防汛指挥部在一河道的危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A光射线自AM顺时针旋转至AN便立即逆时针旋转至AM，如此循环.灯B光射线自BP顺时针旋转至BQ便立即逆时针旋转至BP，如此循环.两灯交叉照射且不间断巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a，b满足(a﹣4b)2+(a+b﹣5)2＝0．若这一带江水两岸河堤相互平行，即PQ∥MN，且∠BAN＝60°．根据相关信息，解答下列问题.
（1）a= ，b= .
（2）若灯B的光射线先转动24秒，灯A的光射线才开始转动，在灯B的光射线到达BQ之前，灯A转动几秒，两灯的光射线互相平行？
（3）如图2，若两灯同时开始转动照射，在灯A的光射线到达AN之前，若两灯射出的光射线交于点C，过点C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动的过程中，∠BAC与∠BCD间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出这两角间的数量关系；若改变，请求出各角的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（1）符合题意；
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（2）不符合题意；
平面内，平行具有传递性，故（3）符合题意；
同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，则同位角（内错角）相等，这两条直线互相平行，故（4）符合题意，
∴正确的有（1）、（3）、（4），
故答案为：C．
【分析】根据平行公理及平行线的判定定理即可判断。
2．【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：三条直线相交时，位置关系如图所示：
判断可知：最多有3个交点，
故答案为：C.
【分析】分别画出三条直线相交的情况，然后找出交点个数即可.
3．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：①∠B和∠1是同旁内角；②∠1和∠3不是对顶角；③∠2和∠4是内错角；④∠A和∠BCD不是同旁内角；
正确的只有③.
故答案为：B.
【分析】两条直线被第三条直线所截时，都在两条直线的同一方向，且在截线的同侧的两个角互为同位角；若夹在两条直线的内部，且在截线两侧的两个角互为内错角；若夹在两条直线的内部，且在截线同侧的两个角互为同旁内角，再观察图形，可得正确结论的个数.
4．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角
【解析】【解答】解：①对顶角相等，故①符合题意；
②两直线平行，同位角相等，故②不符合题意；
③因为对顶角相等，所以若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，故③符合题意；
④因为两直线平行，同位角一定相等，两直线不平行时，同位角就不相等，所以若两个角不相等，则这两个角也可是同位角，故④不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据对顶角，同位角的含义及性质分别进行判断即可得到答案。
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图1，
①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
如图2，
②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；
如图3，
③当BC//AE时，
∵∠EAB-∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
如图4，
④当AB//DE时，
∵∠E=∠EAB=90°
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.
故答案为：B.
【分析】根据题意可分四种情况，并画出图形进行讨论：①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；③当BC//AE时，∠EAB-∠B=60°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；④当AB//DE时，∠E=∠EAB=90°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°，据此判断即可.
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠3=∠4，
∴AD∥BC，
故A不符合题意；
∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，不能得出AD∥BC，
故B符合题意；
∵∠4+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
∴∠D+∠BAD=180°，
∵∠D=∠4，
∴∠4+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
故C不符合题意；
∵∠3+∠5=180°，∠4+∠5=180°，
∴∠3=∠4，
∴AD∥BC，
故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】直接根据平行线的判定定理进行判断即可.
7．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】∵AB=8，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移6个单位，得到矩形A1B1C1D1，
第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移6个单位，得到矩形A2B2C2D2…，
∴AA1=6，A1A2=6，A2B1=A1B1﹣A1A2=8﹣6=2，
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=6+6+2=14，
∴AB2的长为：6+6+8=20；
∵AB1=2×6+2=14，AB2=3×6+2=20，
∴ABn=（n+1）×6+2=2018，
解得：n=335．
故答案为：B．
【分析】根据平移的性质得出AA1=6，A1A2=6，A2B1=A1B1﹣A1A2=8﹣6=2，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出ABn=（n+1）×6+2求出n即可．
8．【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，
∴将a向右、向上平移即可得到b、c，
∵图形的平移是全等的，即不改变图形大小和形状，
∴三户一样长．
故答案为：D.
【分析】由题意可得：将a向右、向上平移即可得到b、c，然后根据平移的性质进行解答.
9．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图，当E点在直线AB，CD之间并且在AC右边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF 、∠DCE=∠FEC
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=α+β
故①正确
如下图，当E点在直线AB上面并且在AC右边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF 、∠DCE=∠FEC
∴∠AEC=∠FEC-∠AEF=β-α
故③正确
如下图，当E点在直线CD下面并且在AC右边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF 、∠DCE=∠FEC
∴∠AEC=∠AEF-∠FEC=α-β
故②正确
如下图，当E点在直线AB，CD之间并且在AC左边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE+∠AEF=180° 、∠DCE+∠FEC=180°
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=180° -α+180°-β=360°﹣α﹣β
故④正确
∴①②③④正确
故答案为：D
【分析】本题考查了平行线间的动点问题，直线AB，CD，AC将平面分成了6个部分，E点可以在任意部分，再根据平行线的性质以及角度的加减即可得到答案.
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）1)如图，当D在AB内部时，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=84°，
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=84°+20°=104°；
2)如图，当D在AB外部时，
∠ADC=∠ADE-∠CDE=84°-20°=64°。
故答案为：C.
【分析】D在AB上移动时，有两种情况，当D在AB内部时，∠ADC=∠ADE+∠CDE，求得的角度是104°；
当D在AB外部时，∠ADC=∠ADE-∠CDE，求得的角度是64°。
11．【答案】4
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：平面内两两相交的三条直线，它们最多有3个交点，最少有1个交点，
∴a+b＝4
故答案为：4
【分析】根据题意可知，平面内两两相交的三条直线，最多有3个交点，最少有1个交点，即可得出a和b的值，求出a+b的值即可。
12．【答案】；2n（n﹣1）；n（n﹣1）；n（n﹣1）
【知识点】同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：n条水平直线与倾斜直线a相交可得 条线段，2n（n﹣1）对同位角，n（n﹣1）对内错角，n（n﹣1）对同旁内角。
【分析】同位角是由两条直线被第三条直线所截形成的两个角，它们在前两条直线的同旁，在第三条直线的同旁；内错角是由两条直线被第三条直线所截形成的两个角，它们在前两条直线的两旁，在第三条直线的内部；同旁内角是由两条直线被第三条直线所截形成的两个角，它们在前两条直线的同旁，在第三条直线的内部，
13．【答案】45°，60，105°，135°
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】（1）当∠BAD=45°时，如图，
∵∠BAD=45°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠D=∠CAF=45°，
∴DE∥AC；
（ 2 ）当∠BAD=60°时，如图分类讨论：
当∠BAD=60°时，
∴∠B=∠BAD=60°，
∴BC∥AD；
（ 3 ）当∠BAD=105°时，如图，
即∠BAD=∠BAE+∠EAD=105°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=105°-45°=60°，
∴∠BAE=∠B=60°，
∴BC∥AE；
（ 4 ）当∠BAD=135°时，如图，
则∠EAB=∠BAD-∠EAD=135°-45°=90°.
∴∠EAB=∠E=90°，
∴AB∥DE.综上所述，当∠BAD为： 45°，60，105°，135° 时， 两块三角尺的一组边互相平行 。
故答案为： 45°，60，105°，135°
【分析】（1）当∠BAD=45°时，如图，根据学具的性质得出∠BAD=45°，∠BAC=90°，根据平角的定义得出∠CAF=45°，故∠D=∠CAF=45°，根据同位角相等，二直线平行得出DE∥AC；（2）当∠BAD=60°时，如图，根据学具的性质得出∠B=60°，故∠B=∠BAD=60°，根据内错角相等，二直线平行得出BC∥AD；（ 3 ）当∠BAD=105°时，如图，根据学具的性质及角的和差得出∠BAE=∠BAD-∠EAD=105°-45°=60°，故∠BAE=∠B=60°，根据内错角相等，二直线平行得出BC∥AD；（ 4 ）当∠BAD=135°时，如图，根据学具的性质及角的和差得出∠EAB=∠BAD-∠EAD=135°-45°=90°，故∠EAB=∠E=90°，根据内错角相等，二直线平行得出AB∥DE.
14．【答案】l1⊥l2019
【知识点】垂线；平行线的判定
【解析】【解答】l1与l2019的位置关系为：l1∥l2008.
理由：∵l1⊥l2，l2∥l3，
∴l1⊥l3，
∵l3⊥l4，
∴l1∥l4，
∵l4∥l5，
∴l1∥l5，
∵l5⊥l6，
∴l1⊥l6，
∵l6∥l7，
∴l1⊥l7，
∴可得规律为：l1⊥l2，l1⊥l3，l1∥l4，l1∥l5，
l1⊥l6，l1⊥l7，l1∥l8，l1∥l9，
…，
则 l1∥l4，l1∥l5，l1∥l8，l1∥l9，l1∥l12，l1∥l13，l1∥l16，l1∥l17…
l1⊥l2，l1⊥l3，l1⊥l6，l1⊥l7，l1⊥l10，l1⊥l11，l1⊥l14，l1⊥l15，…
∵2019÷4＝504…3
∴l1⊥l2019.
故答案为l1⊥l2019.
【分析】首先根据题意判断l1与l2，l3，l4，l5，l6，l7的关系，即可得到规律：⊥，⊥，∥，∥，四个一循环，再求2019与4的商，即可求得l1与l2019的位置关系.
15．【答案】12cm
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABE向右平移1cm得到△DCF，
∴DF=AE，
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+DF+AD+EF，
=AB+BE+AE+AD+EF，
=△ABE的周长+AD+EF，
∵平移距离为1cm，
∴AD=EF=1cm，
∵△ABE的周长是10cm，
∴四边形ABFD的周长=10+1+1=12cm．
故答案为12cm．
【分析】利用平移的性质可得DF=AE，再利用周长公式和等量代换可得四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF，求出AD=EF=1cm，再结合△ABE的周长是10cm，即可得到四边形ABFD的周长。
16．【答案】40°或140°
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，
∴EG∥FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥FH∥AB∥CD，
如图，
∵EG∥AB∥CD，
∴∠AME=∠MEG，∠CNE=∠NEG，
∴∠AME+∠CNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，
∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，
∴∠AMF= ∠AME，∠CNF=∠CNE，
∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=40°，
∵FH∥AB∥CD，
∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，
∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°，
如图，
∵EG∥AB∥CD，
∴∠BME=∠MEG，∠DNE=∠NEG，
∴∠BME+∠DNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，
∴∠AME+∠CNE=360°-（∠BME+∠DNE）=280°
∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，
∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE，
∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=140°，
∵FH∥AB∥CD，
∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，
∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．
综上所述：∠MFN的度数为40°或140°．
故答案为：40°或140°．
【分析】分类讨论，利用平行线的性质计算求解即可。
17．【答案】解：⑴如图所示，垂线段MC即为所求；
⑵如图所示，直线ND即为所求；
⑶如图所示，△ENF即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）根据平移的性质作出图形即可。
18．【答案】∠1的同位角是∠B，∠2的内错角∠A，180°
【知识点】同位角；内错角
【解析】【解答】根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．内错角就是：两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间位置的角；根据等量代换，角的和差，可得答案．由同位角的定义，内错角的定义，得∠1的同位角是∠B，∠2的内错角∠A，
由角的和差，得∠A+∠B+∠ACB=∠ACB+∠1+∠2=180°．
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
19．【答案】解：．理由如下：
延长交于点，
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以．
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的判定由
可得
，再利用平行线的性质可得
，再结合
可得
，所以
，再利用等量代换可得
。
20．【答案】（1）解：根据图示可以获得下表，如表格所示
设梯级 折线 的长度为 xm
的长度为 x
的长度为
的长度为
设猫捉住老鼠所用时间为 t s
猫的速度是
老鼠的速度是
（2）
【知识点】生活中的平移现象；根据数量关系列方程
【解析】【分析】（1）根据平移的性质可得AB+BC的长度与梯级的长度相等，然后根据CD=0.6m以及路程、速度与时间的关系进行解答；
（2）利用猫的速度×表示出老鼠的速度，据此可列出方程.
21．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1、CE为所作；
（2）解：线段AB扫过的面积＝4×4＝16
【知识点】作图﹣平移；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据点A、A1的位置可得平移方法为：先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，据此找出点B1、C1的位置，然后顺次连接即可；根据高线的作法作图即可；
（2）AB扫过的面积为边长为4的正方形的面积，据此计算.
22．【答案】（1）解：① CP平分∠ECF.
理由：∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠CAB=180°，
∴∠DCA=180°-108°=72°，
∵∠ACP=36°，
∴∠DCP=∠DCA-∠ACP=72°-36°=36°，
∵∠ACP和∠DCP的平分线分别交直线AB于点E、F，
∴∠PCE=∠ACP=18°，∠PCF=∠DCP=18°，
∴∠PCE=∠PCF，
∴CP平分∠ECF；
②∵CP平分∠ECF，∠PCE=18°，
∴∠ECF=2∠PCE=2×28°=36°.
（2）解：当点P在点A的右侧时，∠ACP＝2∠AFC
如图
∵∠APC=∠AFC+∠PCF，CF平分∠DCP，
∴∠DCF=∠PCF，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠AFC=∠PCF，
∴∠APC=2∠AFC；
当点P，E在点A的左侧，点F在点A的右侧时，2∠AFC+∠APC=180°；
理由：∵AB∥CD，
∴∠AFC=∠DCF，∠DCP+∠APC=180°，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCP=2∠DCF=2∠AFC，
∴2∠AFC+∠APC=180°；
当点P、E、F在点A的左侧时，2∠AFC-∠APC=180°
理由：∵AB∥CD，
∴∠APC+∠DCP=180°，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCP=2∠PCF，
∴∠APC+2∠PCF=180°，
∵∠AFC=∠APC+∠PCF
∴∠PCF=∠AFC-∠APC
∴∠APC+2（∠AFC-∠APC）=180°，
∴2∠AFC-∠APC=180°.
∴ ∠APC与∠AFC之间的数量关系为∠APC=2∠AFC，2∠AFC-∠APC=180°，2∠AFC+∠APC=180°.
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①利用平行线的性质可证得∠DCA+∠CAB=180°，即可求出∠DCA，∠DCP的度数；再利用角平分线的定义求出∠PCE，∠PCF的度数，可证得∠PCE=∠PCF，利用角平分线的定义可证得结论；②利用角平分线的定义可求出∠ECF的度数.
（2）分情况讨论：当点P在点A的右侧时，利用角平分线的定义及三角形外角的性质可证得∠APC=∠AFC+∠PCF，∠DCF=∠PCF；再利用角平分线的定义可推出∠DCF=∠AFC=∠PCF；由此可得到∠APC与∠AFC之间的数量关系；当点P，E在点A的左侧，点F在点A的右侧时，利用平行线的性质可证得∠AFC=∠DCF，∠DCP+∠APC=180°；利用角平分线的定义可证得∠DCP=2∠DCF=2∠AFC，代入可得到∠APC与∠AFC之间的数量关系；当点P、E、F在点A的左侧时，利用平行线的性质和角平分线的定义可得到∠APC+∠DCP=180°，∠DCP=2∠PCF，由此可推出∠APC+2∠PCF=180°；再利用三角形外角的性质可得到∠PCF=∠AFC-∠APC；然后代入可证得∠APC与∠AFC之间的数量关系；综上所述可得到∠APC与∠AFC之间的所有数量关系.
23．【答案】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，
∵∠ACB＝∠CED，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠A＝∠D，
∴∠DFB＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）解：如图2，作EM∥CD，HN∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥HN∥CD，
∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG＝∠ABE，
∵AB∥HN，
∴∠2＝∠ABG，
∵CF∥HN，
∴∠2+∠β＝∠3，
∴∠ABE+∠β＝∠3，
∵DH平分∠EDF，
∴∠3＝∠EDF，
∴∠ABE+∠β＝∠EDF，
∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，
设∠DEB＝∠α，
∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，
∵∠DEB比∠DHB大60°，
∴∠α﹣60°＝∠β，
∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°），
解得：∠α＝100°，
∴∠DEB的度数为100°；
（3）解：∠PBM的度数不变，理由如下：
如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠EBM＝∠MBK＝∠EBK，∠CDN＝∠EDN＝∠CDE，
∵ES∥CD，AB∥CD，
∴ES∥AB∥CD，
∴∠DES＝∠CDE，∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，∠G＝∠PBK，
由（2）可知：∠DEB＝100°，
∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，
∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，
∵BP∥DN，
∴∠CDN＝∠G，
∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝∠CDE，
∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK＝∠EBK﹣∠CDE＝（∠EBK﹣∠CDE）＝× 80°＝40°.
∴∠PBM的度数不改变.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据∠ACB＝∠CED，AC∥DF，可得∠A＝∠DFB，又∠A＝∠D，进而可得结论；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EM∥HN∥CD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度数；
（3）如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数．
24．【答案】（1）解：①补充上表如下，
∠CAD 80° 90° 100° 110° 130°
∠ANM 50° 45° 40° 35° 25°
②∠CAD+2∠ANM＝180°
理由：过点N作NF∥AO
∵DM∥AC，
∴∠BMD＝∠C，
∵BC∥AO，∴∠C+∠CAO=180°，
∴∠BMD+∠DAO＝180－∠CAD，
又∵∠BMD的角平分线MN与∠DAO的平分线AN交于N，
∴∠BMN= ∠BMD，∠OAN= ∠DAO，
∴∠ANM＝∠BMN+∠OAN= （∠DAO+∠BMD）= ，
∴∠CAD+2∠ANM＝180°
（2）解：如图，作NE∥BC，取∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠6，
∵BC∥OA，
∴BC∥OA∥NE，
∴∠4=∠5，∠6=∠1，
∵AN平分∠DAO，MN平分∠DMC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠2=∠6，∠3=∠4=∠5，
∴∠ANM=∠5+∠6=(∠CMD+∠OAD)，
即∠CMD+∠OAD=2∠ANM，
∵DM∥AC，
∴∠C=∠CMD，
∵CM∥AO，
∴∠C+∠CAO=180°，即∠C+∠CAD+∠DAO=180°，
∴∠CAD+∠CMD+∠DAO=180°，
∴∠CAD+2∠AMN=180°；
如图，作NE∥BC，取∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠6，
∵BC∥OA，
∴BC∥OA∥NE，
∴∠5=∠2，∠6=∠3，
∵AN平分∠DAO，MN平分∠DMC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠2=∠5，∠3=∠4=∠6，
∴∠ANM=180°-(∠5+∠6)=180°-(∠CMD+∠OAD)，
即∠CMD+∠OAD=360°-2∠ANM，
∵DM∥AC，
∴∠C=∠CMD，
∵CM∥AO，
∴∠C+∠CAO=180°，即∠C+∠CAD+∠DAO=180°，
∴∠CAD+360°-2∠ANM=180°，
∴2∠AMN-∠CAD=180°.
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】(1) ① 观察表格得出 ∠CAD +2 ∠ANM=180°，依此列式分别求出空格部分的数据即可；
②过点N作NF∥AO ，由平行线的性质得出∠BMD＝∠C，∠C+∠CAO=180°，通过角的和差关系求出∠BMD+∠DAO＝180－∠CAD， 然后根据角平分线的定义和平行线的性质，以及角的和差即可推出结论： ∠CAD+2∠ANM＝180° ；
(2) 在图2中，作NE∥BC，取∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠6，根据角平分线的定义和平行线的性质推出∠CMD+∠OAD=2∠ANM，再由平行线的性质推出∠C+∠CAO=180°，即∠C+∠CAD+∠DAO=180°，等量代换，即可∠CAD+2∠AMN=180°； 在图3中作NE∥BC，取∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠6，根据角平分线的定义和平行线的性质推出∠CMD+∠OAD=360°-2∠ANM，再由平行线的性质推出∠C+∠CAO=180°，即∠C+∠CAD+∠DAO=180°，等量代换，即可2∠AMN-∠CAD=180°.
25．【答案】（1）解：∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴∠APC=∠BPD，
∵∠CPD=90°，
∴∠APC+∠BPD=90°，
∴∠APC=45°；
（2）解：如图②：过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于点G，
∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴∠EPG=∠QPG，∠PQG=∠FQG，
∵a∥b，
∴∠EPQ+∠PQF=180°，
∴2（∠GPQ+∠PQG）=180°，
∴∠GPQ+∠PQG=90°，
∵∠GPQ+∠PQG+∠PGQ=180°，
∴∠PGQ=90°，
∵PG⊥AB，QG⊥BC，
∴∠PBQ+∠BQG+∠QGP+∠GPB=360°，
∴∠PBQ=360°-90°-90°-90°=90°，
即α=90°.
（3）解：若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC交于点E，
由（2）知，∠E=90°，
∵α=108°，
∴∠BCE=α-∠E=108°-90°=18°，
∴β=180°-∠BCE=180°-18°=162°；
若经过三次反射标记各反射点，如图③-2所示，作FM∥a∥b，
∵∠BHF=∠AHP=x，
∴∠BFH=∠CFG=180°-α-x=180°-108°-x=72°-x，
∴∠PHF=180°-2x，∠HFG=180°-2∠BFH=180°-2（72°-x）=36°+2x，
∵a∥b，
∴∠PHF+∠HFG+∠FGQ=360°，
∴∠FGb=360°-（36°+2x）-（180°-2x）=144°，
则∠CGF=180°-∠FGQ=36°，
由∠CGF+∠CFG+β=180°，
得β=180°-∠CFG-∠CGF=180°-（72°-x）-36°=72°+x，
综上，β角的度数为162°或72°+x.
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平面镜成像原理入射角等于反射角，可得到∠APC=∠BPD，结合已知条件可得到∠APC+∠BPD=90°，即可求出∠APC的度数.
（2）过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于点G，利用平面镜成像原理入射角等于反射角，可证得∠EPG=∠QPG，∠PQG=∠FQG，利用平行线的性质可推出∠EPQ+∠PQF=180°，从而可求出∠GPQ+∠PQG=90°，即可求出∠PGQ的度数；再利用垂直的定义及四边形的内角和定理可得到∠PBQ+∠BQG+∠QGP+∠GPB=360°；然后求出∠ABC的度数.
（3）若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC交于点E，由（2）可知∠E=90°，再根据∠BCE=α-∠E，可求出∠BCE的度数；然后根据β=180°-∠BCE，可求出β的值；若经过三次反射标记各反射点，如图③-2所示，作FM∥a∥b，利用平行线的性质可证得∠BHF=∠AHP=x，可表示出∠BFH，∠PHF，∠HFG，再证明∠PHF+∠HFG+∠FGQ=360°，由此可求出∠FGB的度数，∠CGF的度数，然后根据∠CGF+∠CFG+β=180°，可得到β角的度数.
26．【答案】（1）4；1
（2）解：设A灯光射线转动x秒时，两灯的光射线互相平行.
①当灯A光射线转第1轮时，
有4x=x+24，则x=8.
②当灯A光射线转第⒉轮时，有4x-180+x+24=180 ，则x=67.2.
③当灯A光射线转第3轮时，有4x-360=x+24，则x=128.
综上：x=8或67.2或128秒时，两灯的光射线互相平行.
（3）解：设A灯转动x秒，∠BAC=60°-(180°-4x)=4x-120°，
∵CD⊥AC，∴∠BCD=90°-∠BCA.∠BCA=∠PBC+∠CAN=x+180°-4x=180°-3x，
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-(180°-3x)=3x-90°，
∴∠BAC：∠BCD=(4x-120)：(3x-90)=4：3.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】(1)直接根据 (a﹣4b)2+(a+b﹣5)2＝0，由非负性得到a-4b=0，a+b-5=0，解出a、b即可.
(2)设A灯光射线转动x秒时，两灯的光射线互相平行. 分类讨论 当灯A光射线转第1轮时 、2转时、3转时，根据题意列出方程即可求出.
(3) 设A灯转动x秒 ，先求出∠BAC的度数接着由直角三角形两锐角互余进而求出∠BCD，即可求出答案.
1 / 12023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷第一章 平行线（进阶版）
一、单选题
1．（2021七下·浦东期中）下列语句正确的个数是（ ）
⑴经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑵经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；
⑶在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
⑷在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（1）符合题意；
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（2）不符合题意；
平面内，平行具有传递性，故（3）符合题意；
同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，则同位角（内错角）相等，这两条直线互相平行，故（4）符合题意，
∴正确的有（1）、（3）、（4），
故答案为：C．
【分析】根据平行公理及平行线的判定定理即可判断。
2．（2020七下·河池期中）三条直线相交，交点最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：三条直线相交时，位置关系如图所示：
判断可知：最多有3个交点，
故答案为：C.
【分析】分别画出三条直线相交的情况，然后找出交点个数即可.
3．如图，给出下列说法：①∠B和∠1是同位角；②∠1和∠3是对顶角；③∠2和∠4是内错角；④∠A和∠BCD是同旁内角．其中说法正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：①∠B和∠1是同旁内角；②∠1和∠3不是对顶角；③∠2和∠4是内错角；④∠A和∠BCD不是同旁内角；
正确的只有③.
故答案为：B.
【分析】两条直线被第三条直线所截时，都在两条直线的同一方向，且在截线的同侧的两个角互为同位角；若夹在两条直线的内部，且在截线两侧的两个角互为内错角；若夹在两条直线的内部，且在截线同侧的两个角互为同旁内角，再观察图形，可得正确结论的个数.
4．（2019七下·孝义期中）下列说法正确的有（ ）
①对顶角相等；②同位角相等；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不相等，则这两个角一定不是同位角.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角
【解析】【解答】解：①对顶角相等，故①符合题意；
②两直线平行，同位角相等，故②不符合题意；
③因为对顶角相等，所以若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，故③符合题意；
④因为两直线平行，同位角一定相等，两直线不平行时，同位角就不相等，所以若两个角不相等，则这两个角也可是同位角，故④不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据对顶角，同位角的含义及性质分别进行判断即可得到答案。
5．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含
角的三角尺ADE固定不动，将含
角的三角尺ABC绕顶点
顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当
时，
，则
)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A． 和
B． 和
C． 和
D．以上都有可能
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图1，
①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
如图2，
②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；
如图3，
③当BC//AE时，
∵∠EAB-∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
如图4，
④当AB//DE时，
∵∠E=∠EAB=90°
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.
故答案为：B.
【分析】根据题意可分四种情况，并画出图形进行讨论：①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；③当BC//AE时，∠EAB-∠B=60°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；④当AB//DE时，∠E=∠EAB=90°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°，据此判断即可.
6．（2022七下·邵东期末）如图.在下列条件中，不能推出的是（ ）
A．∠3＝∠4
B．∠1＝∠2
C．∠4＋∠BCD＝180°，且∠D＝∠4
D．∠3＋∠5＝180°
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠3=∠4，
∴AD∥BC，
故A不符合题意；
∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，不能得出AD∥BC，
故B符合题意；
∵∠4+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
∴∠D+∠BAD=180°，
∵∠D=∠4，
∴∠4+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
故C不符合题意；
∵∠3+∠5=180°，∠4+∠5=180°，
∴∠3=∠4，
∴AD∥BC，
故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】直接根据平行线的判定定理进行判断即可.
7．（2019七下·新乐期中）如图，长方形ABCD中，AB＝8，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移6个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移6个单位，得到长方形A2B2C2D2，……第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1的方向平移6个单位，得到长方形AnBn nDn（n＞2），若ABn的长度为2018，则n的值为（ ）
A．334 B．335 C．336 D．337
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】∵AB=8，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移6个单位，得到矩形A1B1C1D1，
第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移6个单位，得到矩形A2B2C2D2…，
∴AA1=6，A1A2=6，A2B1=A1B1﹣A1A2=8﹣6=2，
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=6+6+2=14，
∴AB2的长为：6+6+8=20；
∵AB1=2×6+2=14，AB2=3×6+2=20，
∴ABn=（n+1）×6+2=2018，
解得：n=335．
故答案为：B．
【分析】根据平移的性质得出AA1=6，A1A2=6，A2B1=A1B1﹣A1A2=8﹣6=2，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出ABn=（n+1）×6+2求出n即可．
8．（2022七下·宜宾期末）如图：有、、三户家用电路接入电表，相邻电路的接点距离相等，相邻电表的距离相等，且相邻电路的接点距离等于相邻电表接入点的距离，电线对应平行排列，则三户所用电线（ ）
A．户最长 B．户最长 C．户最长 D．三户一样长
【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，
∴将a向右、向上平移即可得到b、c，
∵图形的平移是全等的，即不改变图形大小和形状，
∴三户一样长．
故答案为：D.
【分析】由题意可得：将a向右、向上平移即可得到b、c，然后根据平移的性质进行解答.
9．（2020七下·马山期末）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：
①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④ 图4
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图，当E点在直线AB，CD之间并且在AC右边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF 、∠DCE=∠FEC
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=α+β
故①正确
如下图，当E点在直线AB上面并且在AC右边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF 、∠DCE=∠FEC
∴∠AEC=∠FEC-∠AEF=β-α
故③正确
如下图，当E点在直线CD下面并且在AC右边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF 、∠DCE=∠FEC
∴∠AEC=∠AEF-∠FEC=α-β
故②正确
如下图，当E点在直线AB，CD之间并且在AC左边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE+∠AEF=180° 、∠DCE+∠FEC=180°
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=180° -α+180°-β=360°﹣α﹣β
故④正确
∴①②③④正确
故答案为：D
【分析】本题考查了平行线间的动点问题，直线AB，CD，AC将平面分成了6个部分，E点可以在任意部分，再根据平行线的性质以及角度的加减即可得到答案.
10．（2019七下·嵊州期末）已知：如图，点D是射线AB上一动点，连接CD，过点D作DE∥BC交直线AC于点E，若∠ABC=84°，∠CDE=20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．104° B．76° C．104°或64° D．104°或76°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）1)如图，当D在AB内部时，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=84°，
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=84°+20°=104°；
2)如图，当D在AB外部时，
∠ADC=∠ADE-∠CDE=84°-20°=64°。
故答案为：C.
【分析】D在AB上移动时，有两种情况，当D在AB内部时，∠ADC=∠ADE+∠CDE，求得的角度是104°；
当D在AB外部时，∠ADC=∠ADE-∠CDE，求得的角度是64°。
二、填空题
11．（2019七上·云安期末）平面内两两相交的三条直线，如果它们最多有a个交点，最少有b个交点，则a+b＝ ．
【答案】4
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：平面内两两相交的三条直线，它们最多有3个交点，最少有1个交点，
∴a+b＝4
故答案为：4
【分析】根据题意可知，平面内两两相交的三条直线，最多有3个交点，最少有1个交点，即可得出a和b的值，求出a+b的值即可。
12．n条水平直线与倾斜直线a相交可得 条线段， 对同位角， 对内错角， 对同旁内角．
【答案】；2n（n﹣1）；n（n﹣1）；n（n﹣1）
【知识点】同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：n条水平直线与倾斜直线a相交可得 条线段，2n（n﹣1）对同位角，n（n﹣1）对内错角，n（n﹣1）对同旁内角。
【分析】同位角是由两条直线被第三条直线所截形成的两个角，它们在前两条直线的同旁，在第三条直线的同旁；内错角是由两条直线被第三条直线所截形成的两个角，它们在前两条直线的两旁，在第三条直线的内部；同旁内角是由两条直线被第三条直线所截形成的两个角，它们在前两条直线的同旁，在第三条直线的内部，
13．（2019七下·兴化期末）一副直角三角尺如图①叠放，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，要求两块三角尺的一组边互相平行.如图②，当∠BAD=15°时，有一组边BC∥DE，请再写出两个符合要求的∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）的度数 .
【答案】45°，60，105°，135°
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】（1）当∠BAD=45°时，如图，
∵∠BAD=45°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠D=∠CAF=45°，
∴DE∥AC；
（ 2 ）当∠BAD=60°时，如图分类讨论：
当∠BAD=60°时，
∴∠B=∠BAD=60°，
∴BC∥AD；
（ 3 ）当∠BAD=105°时，如图，
即∠BAD=∠BAE+∠EAD=105°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=105°-45°=60°，
∴∠BAE=∠B=60°，
∴BC∥AE；
（ 4 ）当∠BAD=135°时，如图，
则∠EAB=∠BAD-∠EAD=135°-45°=90°.
∴∠EAB=∠E=90°，
∴AB∥DE.综上所述，当∠BAD为： 45°，60，105°，135° 时， 两块三角尺的一组边互相平行 。
故答案为： 45°，60，105°，135°
【分析】（1）当∠BAD=45°时，如图，根据学具的性质得出∠BAD=45°，∠BAC=90°，根据平角的定义得出∠CAF=45°，故∠D=∠CAF=45°，根据同位角相等，二直线平行得出DE∥AC；（2）当∠BAD=60°时，如图，根据学具的性质得出∠B=60°，故∠B=∠BAD=60°，根据内错角相等，二直线平行得出BC∥AD；（ 3 ）当∠BAD=105°时，如图，根据学具的性质及角的和差得出∠BAE=∠BAD-∠EAD=105°-45°=60°，故∠BAE=∠B=60°，根据内错角相等，二直线平行得出BC∥AD；（ 4 ）当∠BAD=135°时，如图，根据学具的性质及角的和差得出∠EAB=∠BAD-∠EAD=135°-45°=90°，故∠EAB=∠E=90°，根据内错角相等，二直线平行得出AB∥DE.
14．（2019七下·鼓楼月考）在间一平面内，有2019条互不重合的直线，l1，l2，l3，…，l2019，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，以此类推，则l1和l2019的位置关系是 .
【答案】l1⊥l2019
【知识点】垂线；平行线的判定
【解析】【解答】l1与l2019的位置关系为：l1∥l2008.
理由：∵l1⊥l2，l2∥l3，
∴l1⊥l3，
∵l3⊥l4，
∴l1∥l4，
∵l4∥l5，
∴l1∥l5，
∵l5⊥l6，
∴l1⊥l6，
∵l6∥l7，
∴l1⊥l7，
∴可得规律为：l1⊥l2，l1⊥l3，l1∥l4，l1∥l5，
l1⊥l6，l1⊥l7，l1∥l8，l1∥l9，
…，
则 l1∥l4，l1∥l5，l1∥l8，l1∥l9，l1∥l12，l1∥l13，l1∥l16，l1∥l17…
l1⊥l2，l1⊥l3，l1⊥l6，l1⊥l7，l1⊥l10，l1⊥l11，l1⊥l14，l1⊥l15，…
∵2019÷4＝504…3
∴l1⊥l2019.
故答案为l1⊥l2019.
【分析】首先根据题意判断l1与l2，l3，l4，l5，l6，l7的关系，即可得到规律：⊥，⊥，∥，∥，四个一循环，再求2019与4的商，即可求得l1与l2019的位置关系.
15．（2022七下·平原期末）如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是 ．
【答案】12cm
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABE向右平移1cm得到△DCF，
∴DF=AE，
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+DF+AD+EF，
=AB+BE+AE+AD+EF，
=△ABE的周长+AD+EF，
∵平移距离为1cm，
∴AD=EF=1cm，
∵△ABE的周长是10cm，
∴四边形ABFD的周长=10+1+1=12cm．
故答案为12cm．
【分析】利用平移的性质可得DF=AE，再利用周长公式和等量代换可得四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF，求出AD=EF=1cm，再结合△ABE的周长是10cm，即可得到四边形ABFD的周长。
16．（2021七下·安庆期末）如图，直线AB//CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为直线AB与CD之间的一点，连接ME、NE，且∠MEN=80°，∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为 ．
【答案】40°或140°
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，
∴EG∥FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥FH∥AB∥CD，
如图，
∵EG∥AB∥CD，
∴∠AME=∠MEG，∠CNE=∠NEG，
∴∠AME+∠CNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，
∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，
∴∠AMF= ∠AME，∠CNF=∠CNE，
∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=40°，
∵FH∥AB∥CD，
∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，
∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°，
如图，
∵EG∥AB∥CD，
∴∠BME=∠MEG，∠DNE=∠NEG，
∴∠BME+∠DNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，
∴∠AME+∠CNE=360°-（∠BME+∠DNE）=280°
∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，
∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE，
∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=140°，
∵FH∥AB∥CD，
∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，
∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．
综上所述：∠MFN的度数为40°或140°．
故答案为：40°或140°．
【分析】分类讨论，利用平行线的性质计算求解即可。
三、作图题
17．（2021七下·河东期中）如图，已知锐角∠AOB，M，N分别是∠AOB两边OA，OB上的点，用直尺或三角板按下列要求画图：
（ 1 ）过点M作OB的垂线段MC，C为垂足；
（ 2 ）过点N作OA的平行线ND；
（ 3 ）平移△OMC，使点M移动到点N处，画出平移后的△ENF，其中E，F分别为点O，C的对应点．
【答案】解：⑴如图所示，垂线段MC即为所求；
⑵如图所示，直线ND即为所求；
⑶如图所示，△ENF即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）根据平移的性质作出图形即可。
四、解答题
18．如图，BCD是一条直线，∠1=∠B，∠2=∠A，指出∠1的同位角，∠2的内错角，并求出∠A+∠B+∠ACB的度数．
【答案】∠1的同位角是∠B，∠2的内错角∠A，180°
【知识点】同位角；内错角
【解析】【解答】根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．内错角就是：两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间位置的角；根据等量代换，角的和差，可得答案．由同位角的定义，内错角的定义，得∠1的同位角是∠B，∠2的内错角∠A，
由角的和差，得∠A+∠B+∠ACB=∠ACB+∠1+∠2=180°．
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
19．（2021七下·凌海期中）如图，在折线中，已知，延长、交于点，猜想与的关系，并说明理由．
【答案】解：．理由如下：
延长交于点，
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以．
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的判定由
可得
，再利用平行线的性质可得
，再结合
可得
，所以
，再利用等量代换可得
。
五、综合题
20．（2020七上·重庆月考）如图为一梯级平面图，一只老鼠沿长方形的两边 的路线逃跑，一只猫同时沿梯级 折线 的路线追，结果在距离C点 的D点处，猫捉住了老鼠，已知老鼠的速度是猫的 ，求梯级 折线 的长度，
（1）请将下表中每一句话“译成”数学语言 在表格中写出对应的代数式 ：
设梯级 折线 的长度为 xm
的长度为
的长度为
的长度为
设猫捉住老鼠所用时间为 ts
猫的速度是
老鼠的速度是
（2）根据表格中代数式列出一个你认为正确的方程 不要求解 ： .
【答案】（1）解：根据图示可以获得下表，如表格所示
设梯级 折线 的长度为 xm
的长度为 x
的长度为
的长度为
设猫捉住老鼠所用时间为 t s
猫的速度是
老鼠的速度是
（2）
【知识点】生活中的平移现象；根据数量关系列方程
【解析】【分析】（1）根据平移的性质可得AB+BC的长度与梯级的长度相等，然后根据CD=0.6m以及路程、速度与时间的关系进行解答；
（2）利用猫的速度×表示出老鼠的速度，据此可列出方程.
21．（2020七下·遵义期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）.
（1）①平移 ABC，使点A移动到点A1，请在网格纸上画出平移后的 A1B1C1；
②作 ABC的高CE；
（2）在（1）的条件下，求平移过程中，线段AB扫过的面积.
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1、CE为所作；
（2）解：线段AB扫过的面积＝4×4＝16
【知识点】作图﹣平移；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据点A、A1的位置可得平移方法为：先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，据此找出点B1、C1的位置，然后顺次连接即可；根据高线的作法作图即可；
（2）AB扫过的面积为边长为4的正方形的面积，据此计算.
22．（2022七下·东阳期末）如图，AB、CD被AC所截，AB∥CD，∠CAB＝108°，点P为直线AB上一动点（不与点A重合），连CP，作∠ACP和∠DCP的平分线分别交直线AB于点E、F.
（1）当点P在点A的右侧时；
①若∠ACP＝36°，则此时CP是否平分∠ECF，请说明理由.
②求∠ECF的度数.
（2）在点P运动过程中，直接写出∠APC与∠AFC之间的数量关系.
【答案】（1）解：① CP平分∠ECF.
理由：∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠CAB=180°，
∴∠DCA=180°-108°=72°，
∵∠ACP=36°，
∴∠DCP=∠DCA-∠ACP=72°-36°=36°，
∵∠ACP和∠DCP的平分线分别交直线AB于点E、F，
∴∠PCE=∠ACP=18°，∠PCF=∠DCP=18°，
∴∠PCE=∠PCF，
∴CP平分∠ECF；
②∵CP平分∠ECF，∠PCE=18°，
∴∠ECF=2∠PCE=2×28°=36°.
（2）解：当点P在点A的右侧时，∠ACP＝2∠AFC
如图
∵∠APC=∠AFC+∠PCF，CF平分∠DCP，
∴∠DCF=∠PCF，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠AFC=∠PCF，
∴∠APC=2∠AFC；
当点P，E在点A的左侧，点F在点A的右侧时，2∠AFC+∠APC=180°；
理由：∵AB∥CD，
∴∠AFC=∠DCF，∠DCP+∠APC=180°，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCP=2∠DCF=2∠AFC，
∴2∠AFC+∠APC=180°；
当点P、E、F在点A的左侧时，2∠AFC-∠APC=180°
理由：∵AB∥CD，
∴∠APC+∠DCP=180°，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCP=2∠PCF，
∴∠APC+2∠PCF=180°，
∵∠AFC=∠APC+∠PCF
∴∠PCF=∠AFC-∠APC
∴∠APC+2（∠AFC-∠APC）=180°，
∴2∠AFC-∠APC=180°.
∴ ∠APC与∠AFC之间的数量关系为∠APC=2∠AFC，2∠AFC-∠APC=180°，2∠AFC+∠APC=180°.
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①利用平行线的性质可证得∠DCA+∠CAB=180°，即可求出∠DCA，∠DCP的度数；再利用角平分线的定义求出∠PCE，∠PCF的度数，可证得∠PCE=∠PCF，利用角平分线的定义可证得结论；②利用角平分线的定义可求出∠ECF的度数.
（2）分情况讨论：当点P在点A的右侧时，利用角平分线的定义及三角形外角的性质可证得∠APC=∠AFC+∠PCF，∠DCF=∠PCF；再利用角平分线的定义可推出∠DCF=∠AFC=∠PCF；由此可得到∠APC与∠AFC之间的数量关系；当点P，E在点A的左侧，点F在点A的右侧时，利用平行线的性质可证得∠AFC=∠DCF，∠DCP+∠APC=180°；利用角平分线的定义可证得∠DCP=2∠DCF=2∠AFC，代入可得到∠APC与∠AFC之间的数量关系；当点P、E、F在点A的左侧时，利用平行线的性质和角平分线的定义可得到∠APC+∠DCP=180°，∠DCP=2∠PCF，由此可推出∠APC+2∠PCF=180°；再利用三角形外角的性质可得到∠PCF=∠AFC-∠APC；然后代入可证得∠APC与∠AFC之间的数量关系；综上所述可得到∠APC与∠AFC之间的所有数量关系.
23．（2022七下·义乌期中）如图
（1）如图1，点E在BC上，∠A＝∠D，∠ACB =∠CED．请说明 AB∥CD 的理由.
（2）如图2，AB∥CD，BG 平分∠ABE，与∠EDF 的平分线交于 H 点，若∠DEB比∠DHB 大60°，求∠DEB 的度数．
（3）保持（2）中所求的∠DEB 的度数不变，如图3，AB∥CD，BM 平分∠EBK，DN 平分∠CDE，作 BP∥DN，则∠PBM 的度数是否改变？若不变，请直接写出∠PBM 的度数；若改变，请说明理由．
【答案】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，
∵∠ACB＝∠CED，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠A＝∠D，
∴∠DFB＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）解：如图2，作EM∥CD，HN∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥HN∥CD，
∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG＝∠ABE，
∵AB∥HN，
∴∠2＝∠ABG，
∵CF∥HN，
∴∠2+∠β＝∠3，
∴∠ABE+∠β＝∠3，
∵DH平分∠EDF，
∴∠3＝∠EDF，
∴∠ABE+∠β＝∠EDF，
∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，
设∠DEB＝∠α，
∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，
∵∠DEB比∠DHB大60°，
∴∠α﹣60°＝∠β，
∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°），
解得：∠α＝100°，
∴∠DEB的度数为100°；
（3）解：∠PBM的度数不变，理由如下：
如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠EBM＝∠MBK＝∠EBK，∠CDN＝∠EDN＝∠CDE，
∵ES∥CD，AB∥CD，
∴ES∥AB∥CD，
∴∠DES＝∠CDE，∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，∠G＝∠PBK，
由（2）可知：∠DEB＝100°，
∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，
∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，
∵BP∥DN，
∴∠CDN＝∠G，
∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝∠CDE，
∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK＝∠EBK﹣∠CDE＝（∠EBK﹣∠CDE）＝× 80°＝40°.
∴∠PBM的度数不改变.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据∠ACB＝∠CED，AC∥DF，可得∠A＝∠DFB，又∠A＝∠D，进而可得结论；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EM∥HN∥CD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度数；
（3）如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数．
24．（2022七下·温州期中）已知：四边形AOBC中，BC∥OA，OB⊥OA，D为射线OB上一动点，连接AD，DM∥ AC交直线BC于点M，作∠OAD的角平分线AN与 ∠BMD的角平分线MN所在直线交于点N．
（1）如图1，当D在线段OB上时，小芳将∠CAD和∠ANM的部分对应角度记录如下表：
∠CAD 80° 90° 100° 110°
∠ANM 50° 45° 40° 25°
①请将上表补全；
②猜想∠CAD和∠ANM的数量关系，并说明理由．
（2）当D点在OB延长线上运动时，在图2和图3中补全图形；并在各图下方横线上分别写出∠CAD和∠ANM的数量关系．
【答案】（1）解：①补充上表如下，
∠CAD 80° 90° 100° 110° 130°
∠ANM 50° 45° 40° 35° 25°
②∠CAD+2∠ANM＝180°
理由：过点N作NF∥AO
∵DM∥AC，
∴∠BMD＝∠C，
∵BC∥AO，∴∠C+∠CAO=180°，
∴∠BMD+∠DAO＝180－∠CAD，
又∵∠BMD的角平分线MN与∠DAO的平分线AN交于N，
∴∠BMN= ∠BMD，∠OAN= ∠DAO，
∴∠ANM＝∠BMN+∠OAN= （∠DAO+∠BMD）= ，
∴∠CAD+2∠ANM＝180°
（2）解：如图，作NE∥BC，取∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠6，
∵BC∥OA，
∴BC∥OA∥NE，
∴∠4=∠5，∠6=∠1，
∵AN平分∠DAO，MN平分∠DMC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠2=∠6，∠3=∠4=∠5，
∴∠ANM=∠5+∠6=(∠CMD+∠OAD)，
即∠CMD+∠OAD=2∠ANM，
∵DM∥AC，
∴∠C=∠CMD，
∵CM∥AO，
∴∠C+∠CAO=180°，即∠C+∠CAD+∠DAO=180°，
∴∠CAD+∠CMD+∠DAO=180°，
∴∠CAD+2∠AMN=180°；
如图，作NE∥BC，取∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠6，
∵BC∥OA，
∴BC∥OA∥NE，
∴∠5=∠2，∠6=∠3，
∵AN平分∠DAO，MN平分∠DMC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠2=∠5，∠3=∠4=∠6，
∴∠ANM=180°-(∠5+∠6)=180°-(∠CMD+∠OAD)，
即∠CMD+∠OAD=360°-2∠ANM，
∵DM∥AC，
∴∠C=∠CMD，
∵CM∥AO，
∴∠C+∠CAO=180°，即∠C+∠CAD+∠DAO=180°，
∴∠CAD+360°-2∠ANM=180°，
∴2∠AMN-∠CAD=180°.
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】(1) ① 观察表格得出 ∠CAD +2 ∠ANM=180°，依此列式分别求出空格部分的数据即可；
②过点N作NF∥AO ，由平行线的性质得出∠BMD＝∠C，∠C+∠CAO=180°，通过角的和差关系求出∠BMD+∠DAO＝180－∠CAD， 然后根据角平分线的定义和平行线的性质，以及角的和差即可推出结论： ∠CAD+2∠ANM＝180° ；
(2) 在图2中，作NE∥BC，取∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠6，根据角平分线的定义和平行线的性质推出∠CMD+∠OAD=2∠ANM，再由平行线的性质推出∠C+∠CAO=180°，即∠C+∠CAD+∠DAO=180°，等量代换，即可∠CAD+2∠AMN=180°； 在图3中作NE∥BC，取∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠6，根据角平分线的定义和平行线的性质推出∠CMD+∠OAD=360°-2∠ANM，再由平行线的性质推出∠C+∠CAO=180°，即∠C+∠CAD+∠DAO=180°，等量代换，即可2∠AMN-∠CAD=180°.
25．（2020七下·上城期末）光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用.例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理.
（1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数；
（2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b.平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝ ，求 .
（3）如图③，若 ＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝ （90°＜ ＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出 的度数.（可用含x的代数式表示）.
【答案】（1）解：∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴∠APC=∠BPD，
∵∠CPD=90°，
∴∠APC+∠BPD=90°，
∴∠APC=45°；
（2）解：如图②：过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于点G，
∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴∠EPG=∠QPG，∠PQG=∠FQG，
∵a∥b，
∴∠EPQ+∠PQF=180°，
∴2（∠GPQ+∠PQG）=180°，
∴∠GPQ+∠PQG=90°，
∵∠GPQ+∠PQG+∠PGQ=180°，
∴∠PGQ=90°，
∵PG⊥AB，QG⊥BC，
∴∠PBQ+∠BQG+∠QGP+∠GPB=360°，
∴∠PBQ=360°-90°-90°-90°=90°，
即α=90°.
（3）解：若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC交于点E，
由（2）知，∠E=90°，
∵α=108°，
∴∠BCE=α-∠E=108°-90°=18°，
∴β=180°-∠BCE=180°-18°=162°；
若经过三次反射标记各反射点，如图③-2所示，作FM∥a∥b，
∵∠BHF=∠AHP=x，
∴∠BFH=∠CFG=180°-α-x=180°-108°-x=72°-x，
∴∠PHF=180°-2x，∠HFG=180°-2∠BFH=180°-2（72°-x）=36°+2x，
∵a∥b，
∴∠PHF+∠HFG+∠FGQ=360°，
∴∠FGb=360°-（36°+2x）-（180°-2x）=144°，
则∠CGF=180°-∠FGQ=36°，
由∠CGF+∠CFG+β=180°，
得β=180°-∠CFG-∠CGF=180°-（72°-x）-36°=72°+x，
综上，β角的度数为162°或72°+x.
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平面镜成像原理入射角等于反射角，可得到∠APC=∠BPD，结合已知条件可得到∠APC+∠BPD=90°，即可求出∠APC的度数.
（2）过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于点G，利用平面镜成像原理入射角等于反射角，可证得∠EPG=∠QPG，∠PQG=∠FQG，利用平行线的性质可推出∠EPQ+∠PQF=180°，从而可求出∠GPQ+∠PQG=90°，即可求出∠PGQ的度数；再利用垂直的定义及四边形的内角和定理可得到∠PBQ+∠BQG+∠QGP+∠GPB=360°；然后求出∠ABC的度数.
（3）若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC交于点E，由（2）可知∠E=90°，再根据∠BCE=α-∠E，可求出∠BCE的度数；然后根据β=180°-∠BCE，可求出β的值；若经过三次反射标记各反射点，如图③-2所示，作FM∥a∥b，利用平行线的性质可证得∠BHF=∠AHP=x，可表示出∠BFH，∠PHF，∠HFG，再证明∠PHF+∠HFG+∠FGQ=360°，由此可求出∠FGB的度数，∠CGF的度数，然后根据∠CGF+∠CFG+β=180°，可得到β角的度数.
26．（2021七下·上虞期末）我区防汛指挥部在一河道的危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A光射线自AM顺时针旋转至AN便立即逆时针旋转至AM，如此循环.灯B光射线自BP顺时针旋转至BQ便立即逆时针旋转至BP，如此循环.两灯交叉照射且不间断巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a，b满足(a﹣4b)2+(a+b﹣5)2＝0．若这一带江水两岸河堤相互平行，即PQ∥MN，且∠BAN＝60°．根据相关信息，解答下列问题.
（1）a= ，b= .
（2）若灯B的光射线先转动24秒，灯A的光射线才开始转动，在灯B的光射线到达BQ之前，灯A转动几秒，两灯的光射线互相平行？
（3）如图2，若两灯同时开始转动照射，在灯A的光射线到达AN之前，若两灯射出的光射线交于点C，过点C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动的过程中，∠BAC与∠BCD间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出这两角间的数量关系；若改变，请求出各角的取值范围．
【答案】（1）4；1
（2）解：设A灯光射线转动x秒时，两灯的光射线互相平行.
①当灯A光射线转第1轮时，
有4x=x+24，则x=8.
②当灯A光射线转第⒉轮时，有4x-180+x+24=180 ，则x=67.2.
③当灯A光射线转第3轮时，有4x-360=x+24，则x=128.
综上：x=8或67.2或128秒时，两灯的光射线互相平行.
（3）解：设A灯转动x秒，∠BAC=60°-(180°-4x)=4x-120°，
∵CD⊥AC，∴∠BCD=90°-∠BCA.∠BCA=∠PBC+∠CAN=x+180°-4x=180°-3x，
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-(180°-3x)=3x-90°，
∴∠BAC：∠BCD=(4x-120)：(3x-90)=4：3.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】(1)直接根据 (a﹣4b)2+(a+b﹣5)2＝0，由非负性得到a-4b=0，a+b-5=0，解出a、b即可.
(2)设A灯光射线转动x秒时，两灯的光射线互相平行. 分类讨论 当灯A光射线转第1轮时 、2转时、3转时，根据题意列出方程即可求出.
(3) 设A灯转动x秒 ，先求出∠BAC的度数接着由直角三角形两锐角互余进而求出∠BCD，即可求出答案.
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