2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷2.5三元一次方程组及其解法
一、单选题
1．（2022七下·义乌月考）用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设●、■、▲分别为x、y、z，
，由①②可得：，，
∴.
故答案为：A.
【分析】设●、■、▲分别为x、y、z，由前两架天平可知2x=y+z，x+y=z，表示出x、z，根据第三架天平可得 “？”处应放“■”的个数为x+z，据此解答.
2．6月18日最开始是京东的周年庆，相当于淘宝的双十一活动，在2013年之前，京东就将每年的6月18日定为年庆.2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了.在618当日，小李在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各一件时应该付款（ ）
A． 580元 B．500元 C．420元 D．200元
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元，
由题意得：
（1）+（2）得：5x+5y+5z=1000；
化简得：x+y+z=200；
即购买甲、乙、丙各一件时应该付款200元.
故答案为：D
【分析】设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元，根据两个相等关系“ 3件甲商品+2件乙商品+1件丙商品=420元；2件甲商品+3件乙商品+4件丙商品=580元 ”可得两个关于x、y、z的方程组，将两个方程相加即可求解.
3．（2021七下·东阳期末）已知买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需（ ）元
A．16 B．60 C．30 D．66
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设铅笔单价为x元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，
由题意得：，
由①×2-②得：x+y+z=6，
∴10x+10y+10z=10×6=60，
即购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需60元.
故答案为：B.
【分析】设铅笔单价为x元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，根据买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元可得20x+3y+2z=32；根据买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元可得39x+5y+3z=58，利用第一个方程的2倍减去第二个方程可得x+y+z的值，据此解答.
4．（2021七下·遂宁期末）若 ， ，则x＋y＋z的值等于（ ）
A．0 B．2 C．1 D．无法求出
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：两式相加得：5x+5y+5z=5
两边同除以5，得x+y+z=1
故答案为：C.
【分析】将两个式子相加，然后除以5即可得到x+y+z的值.
5．（2021七下·澄海期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲2件、乙4件、丙3件，共需220元钱，购甲3件、乙1件、丙2件共需235元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．85元 B．89元 C．90元 D．91元
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲单件x元、乙单件y元、丙单件z元，根据题意，
得： ，
两方程相加，得： ，即 ，
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需91元，
故答案为：D．
【分析】根据题意列出三元一次方程，化简得到三件商品的总和。
6．（2021七下·长寿期末）若实数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．不能确定值
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】
①×3得： ③，
②×2得： ④，
③-④得： =-3，
故答案为：A.
【分析】观察两个方程系数的特点，利用①×3-②×2，可求出x+y+6z的值.
7．（2021七下·防城月考）方程组 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】 解：
②－③得：x+y=0 ④
④×2+①得：x=1
将x=1代入④得：y=-1
原方程组的解为
故答案为：B
【分析】根据三元一次方程组的解法直接求解即可得出答案。
8．（2021七下·乳山期中）如图，已知两个天平都处于平衡状态，那么四个小球的重量等同于小正方体的个数为（ ）
A．15个 B．14个 C．13个 D．12个
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设一个小球的重量为x，一个小正方体的重量为y，一个小圆柱的的重量为z，
则根据题意得：
，
整理得：
，
∴，
即4个小球的重量等于15个小正方体的重量，
故答案为：A．
【分析】设一个小球的重量为x，一个小正方体的重量为y，一个小圆柱的的重量为z，根据图象可得
，再利用加减消元法可得
，因此
，从而得解。
9．（2021七下·桂平期中）小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法.（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设分别购买学习用品x、y、z，根据题意可得：
（①－②）×2得：③
①÷2得：④
④－③得：
方案一：
方案二：
方案三：
故答案为：D.
【分析】设分别购买学习用品x、y、z，根据题中的两个相等关系“x件2元的价格+y件4元的价格+z件6元的价格=56，单价均下调后x件1.5元的价格+y件3.5元的价格+z件5.5元的价格=50”可列关于x、y、z的两个方程组，用加减法消未知数x，可得y、z的方程，根据二元一次方程的正整数解可求解.
10．（2021七下·杭州期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密）（解密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，-a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（ ）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得a=6，b=7，c=2，
故答案为：C.
【分析】依据题意列出三元一次方程即可求解.
二、填空题
11．（2022七下·重庆期中）中午放学后，有a个同学在学校一食堂门口等候进食堂就餐，由于二食堂面积较大，所以配餐前二食堂等待就餐的学生人数是一食堂的2倍，开始配餐后，仍有学生继续前来排队等候就餐，设一食堂排队的学生人数按固定的速度增加，且二食堂学生人数增加的速度是一食堂的2倍，两个食堂每个窗口阿姨配餐的速度是一样的，一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放20个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；若需要在15分钟时刚好配餐完毕，则两个食堂需要同时一共开放 个配餐窗口.
【答案】29
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，
依题意得： ，
∴ ，
设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，
依题意得：15my=a+2a+15×（x+2x），
解得：m=29，
故答案为：29.
【分析】设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，根据题中的两个相等关系“一食堂开放12个配餐窗口10分钟的就餐人数=a+10分钟来一食堂的就餐人数、二食堂开放20个配餐窗口14分钟的就餐人数=2a+12分钟来二食堂的就餐人数”列关于x、y的方程组，解之可将x、a用含y的代数式表示出来，再根据相等关系“两个食堂同时一共开放m个配餐窗口15分钟的就餐人数=两个窗口等候的人数+15分钟内来两个窗口的就餐人数”列方程，整理即可求解.
12．实数x，y，z满足2x+y-3z=5，x+2y+z=-4，请用含x的代数式表示z，即 .
【答案】z=
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：2x+y-3z=5，①
x+2y+z=-4，②
①×2-②得，3x-7z=14，
整理得z= 。
故答案为：z= .
【分析】给等式2x+y-3z=5的两边同时乘以2可得4x+2y-6z=10，然后减去x+2y+z=-4可得3x-7z=14，将不含z的式子移至右边，最后将z的系数化为1即可.
13．（2021七上·绵阳月考）有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的，如果放牧16头牛，则 天可以吃完牧草.
【答案】18
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设每头牛每天吃草x千克，牧场的草每天生长y千克，如果放牧16头牛，则m天可以吃完牧草，
依题意，得：，
由①可得出：y＝12x③，
将③代入②中，得：16mx﹣12mx＝24×6x﹣6×12x，
解得：m＝18.
故答案为：18.
【分析】设每头牛每天吃草x千克，牧场的草每天生长y千克，如果放牧16头牛，则m天可以吃完牧草，根据24头牛6天吃的牧草-6天生长的草=21头牛8天吃的牧草-8天生长的草可得方程：24×6x-6y=21×8x-8y；根据16头牛m天吃的牧草-m天生长的草=24头牛6天吃的牧草-6天生长的草可得方程：16mx-my=24×6x-6y，联立可得m的值.
14．（2021七下·苏州期末）“洞庭碧螺春，品香醉天下.”洞庭碧螺春产于苏州市太湖洞庭山，以形美、色艳、香浓、味醇“四绝”驰名中外.如图，若将一壶碧螺春茶倒满2个小杯，则还剩 壶；若倒满1个小杯后再全部倒入1个大杯中，则只能倒满这个大杯的 .1个小杯与1个大杯的容积之比为 .
【答案】3：10
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设壶的容积为V，小杯容积为a，大杯容积为b，
由题意可得： ，
把②代入①中，得 ，
化简可得： ，
故答案为：3：10.
【分析】设壶的容积为V，小杯容积为a，大杯容积为b， 根据“若将一壶碧螺春茶倒满2个小杯，则还剩 壶；若倒满1个小杯后再全部倒入1个大杯中，则只能倒满这个大杯的 ”，列出方程组，求解即可.
15．（2021七下·沙坪坝期末）端午节有吃粽子的习惯，某商店购进肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量之比为 .为促进销售，将全部粽子包装成A、B、C三种礼盒.礼盒A有2个肉粽、4个蛋黄粽；礼盒B有1个肉粽、3个蛋黄粽、1个豆沙粽；礼盒C有4个肉粽、2个豆沙粽.则礼盒A、礼盒B、礼盒C的盒数之比为 .
【答案】6：2：1
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设某商店购进蛋肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量分别为9x个，15x个，2x个，则包装成A、B、C三种礼盒的数量分别为a盒，b盒，c盒，
根据题意得， ，
解得： ，
则 .
故答案为：6：2：1.
【分析】利用已知条件设某商店购进蛋肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量分别为9x个，15x个，2x个，则包装成A、B、C三种礼盒的数量分别为a盒，b盒，c盒，根据题意可列出关于a，b，c，x的方程组，解方程求出a，b，c的值，然后求出a：b：c的值.
16．（2021七下·阳江期末）如图，每条边上的三个数之和都等于16，么a，b，c这三个数按顺序分别为 ．
【答案】5，6，4
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，
，
①﹣②得，
a﹣c＝1④，
④+③得，
a＝5，
解得 ，
a，b，c这三个数按顺序分别为5，6，4．
故答案为：5，6，4．
【分析】根据题意列出三元一次方程组求解即可。
三、计算题
17．（2022七下·东莞期末）解三元一次方程组：
【答案】解：
①－③得－x＋2y＝1④，
④＋②得y＝2，
将y＝2代入②得x＝3，
将x＝3，y＝2代入①得z＝1，
所以原方程组的解为．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】利用三元一次方程组的解法求解即可。
四、解答题
18．（2020七下·温州期中）利用两块完全相同的长方形木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图一方式放置，再交换两木块的位置，按图二方式放置，测量数据如图，求桌子的高度.
【答案】解：设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 ，
根据题意，可列方程组
两式相加得：
答：桌子高度 .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】 设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 a,b，由图一可得桌子的高+长方形木块的长-长方形木块的宽=80cm，由图二可得桌子的高+长方形木块的宽-长方形木块的长=70cm，从而即可列出方程组，求解即可.
19．（2020七下·乌鲁木齐期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝3；当x＝0时，y＝1，当x＝1时，y＝1，求这个等式中a、b、c的值.
【答案】解：由题意得， ，
解得，a＝1，b＝﹣1，c＝1.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可.
20．有三个数，第一个数的3倍比第二个数的5倍小90，而第一个数的4倍与第二个数的6倍之差等于第三个数的20倍的相反数，同时，第三个数比4大1．求这三个数．
【答案】解：设第一个数为x，第二个数为y，第三个数为z，由题意得：
解得
答：这三个数依次是20，30，5．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设第一个数为x，第二个数为y，第三个数为z，根据题意，即可得到三元一次方程组，求出三个数即可。
五、综合题
21．（2021七下·乳山期中）【信息阅读】
有些问题，所要求的结果往往不是某一个量的值，而是某些式子或问题的整体值.
如下面的问题：
问题：已知实数x，y同时满足3x- y =5①，和2x+3y =7②．求代数式7x+5y的值.
思路1：将①和②联立组成方程组，先求得x、y的值后，再代入7x +5y求值.
思路2：为降低运算量，由①+②×2，可直接得出7x+5y = 19．这样的解题思路即为整体思想.
【问题解决】
（1）已知方程组，则x- y = ；
（2）若购买13支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需33元；若购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，求购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需多少元
【答案】（1）4
（2）解：设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意得
①×2②得，．
答：购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需11元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
①-②得：
，
故答案为：4
【分析】（1）利用加减消元法求解即可得到答案；
（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意列出方程组，再求解即可。
22．（2021七下·北仑期中）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，如何安排车辆运送使总运费最省？
【答案】（1）解：设需甲车型辆，乙车型辆，得：
，
解得.
答：需甲车型8辆，乙车型10辆；
（2）解：设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，得：
，
消去得，，
因，是正整数，且不大于14，得，10，
由是正整数，解得，，
当，，时，总运费为：元；
当，，时，总运费为：元元；
运送方案：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆.
【知识点】三元一次方程组解法及应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据120吨水果可得5x+8y=120，根据需运费8200元可得400x+500y=8200，联立求解即可；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据总辆数为16辆可得x+y+z=16，根据120吨水果可得5x+8y+10z=120，根据x、y、z为正整数可得x、y、z的值，然后求出总运费，进行比较即可.
23．（2019七下·广丰期末）有一场足球比赛，共有九支球队参加，采取单循环赛，其记分和奖励方案如下表：
标准 胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖励（元／人） 2000 800 0
甲队参加完了全部8场比赛，共得积分16分．
（1）求甲队胜负的所有可能情况；
（2）若每一场比赛，每一个参赛队员均可得出场费500元，求甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入（奖金加上出场费）．
【答案】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，以题意得方程组
解得 ，得整数解 或
即甲队胜负的所有可能情况有：“4胜4平”或者“5胜1平2负”.
（2）若是4胜4平，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为：
2000×4+800×4+500×8=15200（元）
若是5胜1平2负，甲队参加了所有8场比赛的队员的总收入为：
2000×5+800+500×8=14800（元）．
答：若是4胜4平，总收入为15200元；若是5胜1平2负，总收入为14800元.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，依题意得方程组 ，讨论求出整数解即可；（2）由（1）可得由两种情况，根据奖励规则可分别求出总收入.
24．（2019七下·监利期末）阅读材料：善于思考的小明在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②8x+20y+2y=10，变形为 2（4x+10y）+2y=10③，把方程①代入③得，2×6+2y=10，则 y=﹣1；把 y=﹣1 代入①得，x=4，所以方程组的解为： 请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组
（2）已知
x、y、z，满足 试求 z 的值.
【答案】（1）解：将②变形得 3（2x﹣3y）+4y=11④ 将①代入④得
3×7+4y=11
y=-
把 y=- 代入①得x=- ，
∴方程组的解为
（2）解：
由①得，3（x+4y）﹣2z=47③
由②得，2（x+4y）+z=36④
③×2﹣④×3 得 z=2
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由方程②变形后代入方程①即可求解；
（2）同理将原方程变形后用加减消元法即可求解。
1 / 12023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷2.5三元一次方程组及其解法
一、单选题
1．（2022七下·义乌月考）用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．6月18日最开始是京东的周年庆，相当于淘宝的双十一活动，在2013年之前，京东就将每年的6月18日定为年庆.2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了.在618当日，小李在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各一件时应该付款（ ）
A． 580元 B．500元 C．420元 D．200元
3．（2021七下·东阳期末）已知买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需（ ）元
A．16 B．60 C．30 D．66
4．（2021七下·遂宁期末）若 ， ，则x＋y＋z的值等于（ ）
A．0 B．2 C．1 D．无法求出
5．（2021七下·澄海期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲2件、乙4件、丙3件，共需220元钱，购甲3件、乙1件、丙2件共需235元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．85元 B．89元 C．90元 D．91元
6．（2021七下·长寿期末）若实数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．不能确定值
7．（2021七下·防城月考）方程组 的解是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021七下·乳山期中）如图，已知两个天平都处于平衡状态，那么四个小球的重量等同于小正方体的个数为（ ）
A．15个 B．14个 C．13个 D．12个
9．（2021七下·桂平期中）小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法.（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（2021七下·杭州期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密）（解密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，-a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（ ）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
二、填空题
11．（2022七下·重庆期中）中午放学后，有a个同学在学校一食堂门口等候进食堂就餐，由于二食堂面积较大，所以配餐前二食堂等待就餐的学生人数是一食堂的2倍，开始配餐后，仍有学生继续前来排队等候就餐，设一食堂排队的学生人数按固定的速度增加，且二食堂学生人数增加的速度是一食堂的2倍，两个食堂每个窗口阿姨配餐的速度是一样的，一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放20个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；若需要在15分钟时刚好配餐完毕，则两个食堂需要同时一共开放 个配餐窗口.
12．实数x，y，z满足2x+y-3z=5，x+2y+z=-4，请用含x的代数式表示z，即 .
13．（2021七上·绵阳月考）有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的，如果放牧16头牛，则 天可以吃完牧草.
14．（2021七下·苏州期末）“洞庭碧螺春，品香醉天下.”洞庭碧螺春产于苏州市太湖洞庭山，以形美、色艳、香浓、味醇“四绝”驰名中外.如图，若将一壶碧螺春茶倒满2个小杯，则还剩 壶；若倒满1个小杯后再全部倒入1个大杯中，则只能倒满这个大杯的 .1个小杯与1个大杯的容积之比为 .
15．（2021七下·沙坪坝期末）端午节有吃粽子的习惯，某商店购进肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量之比为 .为促进销售，将全部粽子包装成A、B、C三种礼盒.礼盒A有2个肉粽、4个蛋黄粽；礼盒B有1个肉粽、3个蛋黄粽、1个豆沙粽；礼盒C有4个肉粽、2个豆沙粽.则礼盒A、礼盒B、礼盒C的盒数之比为 .
16．（2021七下·阳江期末）如图，每条边上的三个数之和都等于16，么a，b，c这三个数按顺序分别为 ．
三、计算题
17．（2022七下·东莞期末）解三元一次方程组：
四、解答题
18．（2020七下·温州期中）利用两块完全相同的长方形木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图一方式放置，再交换两木块的位置，按图二方式放置，测量数据如图，求桌子的高度.
19．（2020七下·乌鲁木齐期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝3；当x＝0时，y＝1，当x＝1时，y＝1，求这个等式中a、b、c的值.
20．有三个数，第一个数的3倍比第二个数的5倍小90，而第一个数的4倍与第二个数的6倍之差等于第三个数的20倍的相反数，同时，第三个数比4大1．求这三个数．
五、综合题
21．（2021七下·乳山期中）【信息阅读】
有些问题，所要求的结果往往不是某一个量的值，而是某些式子或问题的整体值.
如下面的问题：
问题：已知实数x，y同时满足3x- y =5①，和2x+3y =7②．求代数式7x+5y的值.
思路1：将①和②联立组成方程组，先求得x、y的值后，再代入7x +5y求值.
思路2：为降低运算量，由①+②×2，可直接得出7x+5y = 19．这样的解题思路即为整体思想.
【问题解决】
（1）已知方程组，则x- y = ；
（2）若购买13支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需33元；若购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，求购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需多少元
22．（2021七下·北仑期中）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，如何安排车辆运送使总运费最省？
23．（2019七下·广丰期末）有一场足球比赛，共有九支球队参加，采取单循环赛，其记分和奖励方案如下表：
标准 胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖励（元／人） 2000 800 0
甲队参加完了全部8场比赛，共得积分16分．
（1）求甲队胜负的所有可能情况；
（2）若每一场比赛，每一个参赛队员均可得出场费500元，求甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入（奖金加上出场费）．
24．（2019七下·监利期末）阅读材料：善于思考的小明在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②8x+20y+2y=10，变形为 2（4x+10y）+2y=10③，把方程①代入③得，2×6+2y=10，则 y=﹣1；把 y=﹣1 代入①得，x=4，所以方程组的解为： 请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组
（2）已知
x、y、z，满足 试求 z 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设●、■、▲分别为x、y、z，
，由①②可得：，，
∴.
故答案为：A.
【分析】设●、■、▲分别为x、y、z，由前两架天平可知2x=y+z，x+y=z，表示出x、z，根据第三架天平可得 “？”处应放“■”的个数为x+z，据此解答.
2．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元，
由题意得：
（1）+（2）得：5x+5y+5z=1000；
化简得：x+y+z=200；
即购买甲、乙、丙各一件时应该付款200元.
故答案为：D
【分析】设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元，根据两个相等关系“ 3件甲商品+2件乙商品+1件丙商品=420元；2件甲商品+3件乙商品+4件丙商品=580元 ”可得两个关于x、y、z的方程组，将两个方程相加即可求解.
3．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设铅笔单价为x元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，
由题意得：，
由①×2-②得：x+y+z=6，
∴10x+10y+10z=10×6=60，
即购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需60元.
故答案为：B.
【分析】设铅笔单价为x元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，根据买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元可得20x+3y+2z=32；根据买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元可得39x+5y+3z=58，利用第一个方程的2倍减去第二个方程可得x+y+z的值，据此解答.
4．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：两式相加得：5x+5y+5z=5
两边同除以5，得x+y+z=1
故答案为：C.
【分析】将两个式子相加，然后除以5即可得到x+y+z的值.
5．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲单件x元、乙单件y元、丙单件z元，根据题意，
得： ，
两方程相加，得： ，即 ，
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需91元，
故答案为：D．
【分析】根据题意列出三元一次方程，化简得到三件商品的总和。
6．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】
①×3得： ③，
②×2得： ④，
③-④得： =-3，
故答案为：A.
【分析】观察两个方程系数的特点，利用①×3-②×2，可求出x+y+6z的值.
7．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】 解：
②－③得：x+y=0 ④
④×2+①得：x=1
将x=1代入④得：y=-1
原方程组的解为
故答案为：B
【分析】根据三元一次方程组的解法直接求解即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设一个小球的重量为x，一个小正方体的重量为y，一个小圆柱的的重量为z，
则根据题意得：
，
整理得：
，
∴，
即4个小球的重量等于15个小正方体的重量，
故答案为：A．
【分析】设一个小球的重量为x，一个小正方体的重量为y，一个小圆柱的的重量为z，根据图象可得
，再利用加减消元法可得
，因此
，从而得解。
9．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设分别购买学习用品x、y、z，根据题意可得：
（①－②）×2得：③
①÷2得：④
④－③得：
方案一：
方案二：
方案三：
故答案为：D.
【分析】设分别购买学习用品x、y、z，根据题中的两个相等关系“x件2元的价格+y件4元的价格+z件6元的价格=56，单价均下调后x件1.5元的价格+y件3.5元的价格+z件5.5元的价格=50”可列关于x、y、z的两个方程组，用加减法消未知数x，可得y、z的方程，根据二元一次方程的正整数解可求解.
10．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得a=6，b=7，c=2，
故答案为：C.
【分析】依据题意列出三元一次方程即可求解.
11．【答案】29
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，
依题意得： ，
∴ ，
设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，
依题意得：15my=a+2a+15×（x+2x），
解得：m=29，
故答案为：29.
【分析】设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，根据题中的两个相等关系“一食堂开放12个配餐窗口10分钟的就餐人数=a+10分钟来一食堂的就餐人数、二食堂开放20个配餐窗口14分钟的就餐人数=2a+12分钟来二食堂的就餐人数”列关于x、y的方程组，解之可将x、a用含y的代数式表示出来，再根据相等关系“两个食堂同时一共开放m个配餐窗口15分钟的就餐人数=两个窗口等候的人数+15分钟内来两个窗口的就餐人数”列方程，整理即可求解.
12．【答案】z=
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：2x+y-3z=5，①
x+2y+z=-4，②
①×2-②得，3x-7z=14，
整理得z= 。
故答案为：z= .
【分析】给等式2x+y-3z=5的两边同时乘以2可得4x+2y-6z=10，然后减去x+2y+z=-4可得3x-7z=14，将不含z的式子移至右边，最后将z的系数化为1即可.
13．【答案】18
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设每头牛每天吃草x千克，牧场的草每天生长y千克，如果放牧16头牛，则m天可以吃完牧草，
依题意，得：，
由①可得出：y＝12x③，
将③代入②中，得：16mx﹣12mx＝24×6x﹣6×12x，
解得：m＝18.
故答案为：18.
【分析】设每头牛每天吃草x千克，牧场的草每天生长y千克，如果放牧16头牛，则m天可以吃完牧草，根据24头牛6天吃的牧草-6天生长的草=21头牛8天吃的牧草-8天生长的草可得方程：24×6x-6y=21×8x-8y；根据16头牛m天吃的牧草-m天生长的草=24头牛6天吃的牧草-6天生长的草可得方程：16mx-my=24×6x-6y，联立可得m的值.
14．【答案】3：10
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设壶的容积为V，小杯容积为a，大杯容积为b，
由题意可得： ，
把②代入①中，得 ，
化简可得： ，
故答案为：3：10.
【分析】设壶的容积为V，小杯容积为a，大杯容积为b， 根据“若将一壶碧螺春茶倒满2个小杯，则还剩 壶；若倒满1个小杯后再全部倒入1个大杯中，则只能倒满这个大杯的 ”，列出方程组，求解即可.
15．【答案】6：2：1
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设某商店购进蛋肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量分别为9x个，15x个，2x个，则包装成A、B、C三种礼盒的数量分别为a盒，b盒，c盒，
根据题意得， ，
解得： ，
则 .
故答案为：6：2：1.
【分析】利用已知条件设某商店购进蛋肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量分别为9x个，15x个，2x个，则包装成A、B、C三种礼盒的数量分别为a盒，b盒，c盒，根据题意可列出关于a，b，c，x的方程组，解方程求出a，b，c的值，然后求出a：b：c的值.
16．【答案】5，6，4
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，
，
①﹣②得，
a﹣c＝1④，
④+③得，
a＝5，
解得 ，
a，b，c这三个数按顺序分别为5，6，4．
故答案为：5，6，4．
【分析】根据题意列出三元一次方程组求解即可。
17．【答案】解：
①－③得－x＋2y＝1④，
④＋②得y＝2，
将y＝2代入②得x＝3，
将x＝3，y＝2代入①得z＝1，
所以原方程组的解为．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】利用三元一次方程组的解法求解即可。
18．【答案】解：设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 ，
根据题意，可列方程组
两式相加得：
答：桌子高度 .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】 设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 a,b，由图一可得桌子的高+长方形木块的长-长方形木块的宽=80cm，由图二可得桌子的高+长方形木块的宽-长方形木块的长=70cm，从而即可列出方程组，求解即可.
19．【答案】解：由题意得， ，
解得，a＝1，b＝﹣1，c＝1.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可.
20．【答案】解：设第一个数为x，第二个数为y，第三个数为z，由题意得：
解得
答：这三个数依次是20，30，5．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设第一个数为x，第二个数为y，第三个数为z，根据题意，即可得到三元一次方程组，求出三个数即可。
21．【答案】（1）4
（2）解：设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意得
①×2②得，．
答：购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需11元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
①-②得：
，
故答案为：4
【分析】（1）利用加减消元法求解即可得到答案；
（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意列出方程组，再求解即可。
22．【答案】（1）解：设需甲车型辆，乙车型辆，得：
，
解得.
答：需甲车型8辆，乙车型10辆；
（2）解：设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，得：
，
消去得，，
因，是正整数，且不大于14，得，10，
由是正整数，解得，，
当，，时，总运费为：元；
当，，时，总运费为：元元；
运送方案：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆.
【知识点】三元一次方程组解法及应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据120吨水果可得5x+8y=120，根据需运费8200元可得400x+500y=8200，联立求解即可；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据总辆数为16辆可得x+y+z=16，根据120吨水果可得5x+8y+10z=120，根据x、y、z为正整数可得x、y、z的值，然后求出总运费，进行比较即可.
23．【答案】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，以题意得方程组
解得 ，得整数解 或
即甲队胜负的所有可能情况有：“4胜4平”或者“5胜1平2负”.
（2）若是4胜4平，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为：
2000×4+800×4+500×8=15200（元）
若是5胜1平2负，甲队参加了所有8场比赛的队员的总收入为：
2000×5+800+500×8=14800（元）．
答：若是4胜4平，总收入为15200元；若是5胜1平2负，总收入为14800元.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，依题意得方程组 ，讨论求出整数解即可；（2）由（1）可得由两种情况，根据奖励规则可分别求出总收入.
24．【答案】（1）解：将②变形得 3（2x﹣3y）+4y=11④ 将①代入④得
3×7+4y=11
y=-
把 y=- 代入①得x=- ，
∴方程组的解为
（2）解：
由①得，3（x+4y）﹣2z=47③
由②得，2（x+4y）+z=36④
③×2﹣④×3 得 z=2
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由方程②变形后代入方程①即可求解；
（2）同理将原方程变形后用加减消元法即可求解。
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