2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷第二章 二元一次方程组（基础版）
一、单选题
1．（2022七下·香坊期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（）
A．x＋3y＝1 B．x－2y＝3z C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：A.x＋3y＝1是二元一次方程，故该选项符合题意；
B.x－2y＝3z是三元一次方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
C.是分式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
D.是一元二次方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据二元一次方程的定义对每个选项一一判断即可。
2．（2022七下·大连期末）已知是方程的一个解，那么a的值是（ ）
A． B． C．9 D．10
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程ax-2y=6的一个解，
∴a-2×2=6，
解得：a=10．
故答案为：D．
【分析】将代入，再求出a的值即可。
3．（2021七下·福山期中）下列方程组是二元一次方程组的有（ ）
①②
③④
A．l个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的定义
【解析】【解答】解：①的分母含有未知数，故不是二元一次方程组；
②未知数最高次项的次数是二次，故不是二元一次方程组；
③含有三个未知数，故不是二元一次方程组；
④是二元一次方程组；
故答案为：A．
【分析】根据二元一次方程组的定义逐项判断即可。
4．（2022七下·张家港期末）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y
故答案为：A.
【分析】设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据“ 若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50 ”，列出二元一次方程组即可.
5．（2022七下·镇巴期末）已知是关于的方程组，则无论取何值，恒有关系式（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②得：x+a+y-4=5+a，
∴x+y=9.
故答案为：A.
【分析】将该方程组的两个方程直接相加，再化简，即可求出结果.
6．（2022七下·无棣期末）解方程组时，把①代入②，得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
把①代入②，得4y-3（2y-1）=10，
化简得，
故答案为：B．
【分析】利用加减消元法求解二元一次方程组即可。
7．已知关于x，y的方程组 给出下列结论：
① 是方程组的解；②无论 取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③a=1时，方程组的解也是方程 的解；④x，y都为自然数的解有4对.其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将
代入方程组
得
由第一个式子得 ，由第二个式子得 ，故①不正确；
解方程组
两式相减，得
，
解得
.
将
的值代入
，得
，
所以 ，故无论 取何值，x，y的值都不可能互为相反数，故②正确；
将a=1代入方程组，得
解得
将 代入方程 ，方程左边 右边，故(③正确；
因为
，所以x，y都为自然数的解有
故④正确.
则正确的有②③④.
故答案为：B.
【分析】①将x=5，y=-1代入方程组中进行验证即可判断；②先将x和y分别用a表示出来，再将其相加得x+y=3，即无论a取何值，x和y都不会为相反数；③将a=1代入方程组求出方程组的解，再将方程组的解代入方程x+y=4-a中进行验证即可判断；④由x+y=3，x和y都为自然数，即当x=0，y=3；x=1，y=2；x=2，y=1；x=3，y=0. 据此即可判断正确选项.
8．（2020七上·青岛期末）如图所示的三阶幻方，其对角线、横行、纵向的和都相等，则根据所给数据，可以确定这个和为（ ）
A．12 B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：如图，设对角线上的三个数字为x、y、z，三阶幻方的和=中心数字×3，
由题意得 ，解得，
∴三阶幻方的和10+2+0=12，
故答案为：A．
【分析】设对角线上的三个数字为x、y、z，三阶幻方的和=中心数字×3，结合 对角线、横行、纵向的和都相等，列出三元方程组并解之即可.
9．（2022七下·无为期末）如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和一块正方形无缝隙拼合而成，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．15 B．30 C．36 D．40
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，则小正方形的边长为2y，
依题意得：
，
解得：，
∴图中阴影部分的面积为（2y）2=（2×3）2=36．
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
10．（2022七下·黄陂期末）有48支队伍520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，则排球队有多少支队伍参赛？（ ）
A．28 B．20 C．32 D．26
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设篮球队有 支，排球队有 支，由题意，得：
，
解得：
故答案为：B.
【分析】设篮球队有x支，排球队有y支，根据有48支队伍可得x+y=48；根据520名运动员参加比赛可得10x+12y=520，联立求解即可.
二、填空题
11．（2022七下·越秀期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程，则n= ．
【答案】1
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程，
∴2n 1＝1，
解得：n＝1，
故答案为：1．
【分析】根据二元一次方程的定义可得2n 1＝1，再求出n的值即可。
12．（2022七下·滨城期末）若关于x、y的方程组的解为，则方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：方程组可变形为，
关于、的方程组的解为，
，
解得，
即方程组的解是，
故答案为：．
【分析】将方程组变形为，再根据方程组的解为，可得，再求出x、y的值即可。
13．（2022七下·抚远期末）已知x，y满足方程组，则的值为 ．
【答案】5
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由②-①，得：，
∴．
故答案为：5
【分析】将两方程相减即可求解.
14．（2022七下·宁波开学考）如果|x﹣2y+1|+|x+y﹣5|＝0，那么x＝ ．
【答案】3
【知识点】解二元一次方程组；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵|x﹣2y+1|+|x+y﹣5|＝0，
∴
解之：
故答案为：3.
【分析】利用绝对值的非负性，可建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
15．（2022七上·曲阜期末）假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放 个■．
【答案】6
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设“●”表示的数为x，“■”表示的数是y，“▲”表示的数为z，
根据题意得：2x＝y＋z，x＋y＝z，
所以2x＝y＋x＋y，
解得x＝2y，
3x＝6y，
即“？”处应该放“■”的个数为6，
故答案为：6．
【分析】设“●”表示的数为x，“■”表示的数是y，“▲”表示的数为z，根据题意列出方程2x＝y＋z，x＋y＝z，再求出3x＝6y，即可得到答案。
16．（2022七下·龙口期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文.若某种加密规则为：明文m、n对应的密文为m-3n，2m+3n．例如：明文1，2对应的密文是-5，8．当接收方收到密文是6，3，则解密后得到的明文是 ．
【答案】3，-1
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】根据题意有
解得：
故答案为：3，-1．
【分析】根据题意列出方程组，再求解即可。
三、计算题
17．（2021七下·桂平期中）解下列方程组
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
由①得③
把④代入②得
解得y=1
把y=1代入③解得
所以原方程组的解为：
（2）解：
②×2得④
④-①得
把代入②得
解得
所以原方程组的解为：
（3）解：
①×3-②×5得
解得
把代入①得
解得
所以原方程组的解为：
（4）解：
①+③得：3x+5y=11④，
①×2-②得：3x+7y=13⑤，
⑤-④得：2y=2，
解得：y=1，
把y=1代入④得：x=2，
把x=2，y=1代入②得：z=-1，
所以原方程组的解为：
【知识点】三元一次方程组解法及应用；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察方程组可用代入消元法求解，由方程①变形可将未知数x用含y得代数式表示得方程③x=3-y；把③代入方程②可得关于y的方程，解这个方程求得y的值，再把y的值代入方程③求得x的值，最后写出结论即可；
（2）观察方程组可用加减消元法求解，由方程②×2+①可消去未知数a，得关于b的方程，解这个方程求得b的值，再把b的值代入方程②求得a的值，最后写出结论即可；
（3）观察方程组可用加减消元法求解，由方程①×3-②×5可消去未知数x，得关于y的方程，解这个方程求得y的值，再把y的值代入方程①求得x的值，最后写出结论即可.
（4）观察方程组可用加减消元法先将原方程组化为关于x、y的二元一次方程组，解这个关于x、y的二元一次方程组可出x、y的值，再把x、y的值代入方程②求出z的值最后写出结论即可.
四、解答题
18．（2020七下·新罗期末）已知关于 的方程组 的解也是二元一次方程 的一个解，求 的值．
【答案】解：解方程组 ，得 ，
∵方程组的解也是二元一次方程 的一个解，
∴ ，
解得：m=2．
【知识点】解一元一次方程；二元一次方程的解
【解析】【分析】先求出方程组的解，再把方程组的解代入方程 中即得关于m的方程，解方程即可求出结果．
19．（2020七下·思明月考）已知 都是关于 的二元一次方程 的解,且 求 的值．
【答案】因为 都是关于 的二元一次方程 的解，
所以 ，解得： ，
又m-n=b2+2b-4，
∴b+1-2+b=b2+2b-4，
整理，得：b2=3，
解得：b=± .
【知识点】代数式求值；二元一次方程的解
【解析】【分析】将方程的解代入方程，得到关于m、n的方程的方程组，从而得到m-n=2b-1，结合已知条件列出关于b的方程求解即可．
20．甲、乙两人同时解方程组 ，甲看错了b，求得的解为 ；乙看错了a，求得的解为 ，请求出a，b正确的值.
【答案】解：将甲的解 ，代入方程ax+y=3，解得a=4，再将乙的解 代入方程2x-by=1，解得b=-1.
∴a=4，b=-1.
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】 甲看错了b， 说明含a的二元一次方程的解是正确的，则可把甲的解代入ax+y=3中可求a值，乙看错了a，说明含b的二元一次方程的解是正确的，则可把乙的解代入2x+by=1中可求b值.
五、综合题
21．（2022七下·井研期末）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．其方法为：由2x+3y＝12可得yx（x、y为正整数），要使y＝4x为正整数，则x为整数，所以x必须为3的倍数，从而得到x＝3，代入得y＝4x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 ；
（2）若为自然数，求出满足条件的正整数x的值；
（3）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值．
【答案】（1）
（2）解：∵为自然数，
∴x-3=1或x-3=2或x-3=3或x-3=6，
∴x=4或5或6或9.
（3）解：，
由①×2-②得：（4-k）y=8，
∵二元一次方程组有解，
∴4-k≠0，
∴y=，
∵y是正整数，
∴4-k=1或4-k=2或4-k=4或4-k=8，
∴k=3或2或k=0或k=-4，
∵k=3时，y=8，
∴x=-7（不符合题意），
∴满足题意的k为2或0或-4.
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵3x+2y=8，
∴y==4-，
∴当x=2时，y=1，
∴方程的正整数解为.
故答案为：.
【分析】（1）由3x+2y=8变形为y=4-，若y为正整数，则3x被2整除，又x为正整数，因此x=2，y=1，即可求解；
（2）由为自然数，可得6为x-3的倍数，则x-3=1或x-3=2或x-3=3或x-3=6，解之即可求解；
（3）先利用加减消元法解二元一次方程组，得（4-k）y=8，因为4-k≠0，即得y=，再结合y和x均为正整数，进而得满足题意的k为2或0或-4.
22．（2022七下·吴江期末）已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解.
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值.
【答案】（1），
（2）解：，解得
把代入，解得m=
（3）解：∵方程x-2y+mx+5=0总有一个固定的解，
∴x=0，
把x=0代入x-2y+mx+5=0中得：y=2.5，
∴
（4）解：
①+②得：
解得，
∵x恰为整数，m也为整数，
∴2+m=1或2+m=-1，
解得
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）x+2y-6=0，
∴x+2y=6，
∴x=6-2y，
当y=1时，x=4，
当y=2时，x=2，
∴方程x+2y-6=0的所有正整数解为：，；
【分析】（1）由x+2y-6=0可得x=2(3-y)，则x为偶数，据此可得方程的正整数解；
（2）联立x+y=0、x+2y-6=0，利用加减消元法可得x、y的值，然后代入x-2y+mx+5=0中进行计算就可求出m的值；
（3）根据x-2y+mx+5=0可得x(m+1)-2y+5=0，令x=0，求出y的值，据此可得方程的固定解；
（4）将方程组中的两个方程相加并化简可得x，根据方程的解为整数可得2+m=±1，求解可得m的值.
23．（2022七下·仪征期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变；
（3）某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？
【答案】（1）-1；3
（2）证明：
得：，
等式两边同时除以2得：，
得：，
等式两边同时除以2得：，
因此不论a取什么实数，的值始终不变．
（3）解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，
由题意得，
得：，
等式两边同时乘以2得：，
得：，
故，
即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
①－②得：，
得：，
等式两边同时除以3得：.
故答案为：－1；3；
【分析】（1）将方程组中的两个方程相减可得x-y的值，将两个方程相加并化简可得x+y的值；
（2）将两个方程相加并化简可得x-y，再加上第一个方程并化简可得x+y，据此判断；
（3） 铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元可得3x+5y+z=21；根据买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元可得4x+7y+z=28，联立可得方程组，利用第二个方程减去第一个方程可得x+2y的值，然后求出2x+4y的值，减去第一个方程可得x+y+z的值，然后求出10x+10y+10z的值即可.
24．（2022七下·颍州期末）疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用18900元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，23元/盒．
（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计1000人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？
（3）如果学校再用2000元钱去购买甲、乙两种口罩（两种口罩都要有）若干盒；你认为有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，
依题意得：，
解得：．
答：甲种口罩购进了600盒，乙种口罩购进了300盒．
（2）解：学校购进两种口罩的数量为（个），
该校师生10天所需口罩数量为（个）．
∵，
∴购买的口罩数量不能满足市教育局的要求．
（3）解：设购买甲种口罩m盒，乙种口罩n盒，
依题意得：，
∴．
又∵m，n均为正整数，
∴或或或．
∴该学校共有4种购买方案，
方案1：购买甲种口罩77盒，乙种口罩20盒；
方案2：购买甲种口罩54盒，乙种口罩40盒；
方案3：购买甲种口罩31盒，乙种口罩60盒；
方案4：购买甲种口罩8盒，乙种口罩80盒．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】 (1)、设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，根据18900元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，23元/盒，列出方程组即可解得.
(2)、 根据题意求得 学校购进两种口罩的数量为，实际需要的口罩数量进行比较，得出结论.
(3)、设购买甲种口罩m盒，乙种口罩n盒， 根据题意列出方程组，分情况讨论即可求得.
1 / 12023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷第二章 二元一次方程组（基础版）
一、单选题
1．（2022七下·香坊期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（）
A．x＋3y＝1 B．x－2y＝3z C． D．
2．（2022七下·大连期末）已知是方程的一个解，那么a的值是（ ）
A． B． C．9 D．10
3．（2021七下·福山期中）下列方程组是二元一次方程组的有（ ）
①②
③④
A．l个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022七下·张家港期末）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022七下·镇巴期末）已知是关于的方程组，则无论取何值，恒有关系式（ ）
A． B． C． D．
6．（2022七下·无棣期末）解方程组时，把①代入②，得（ ）
A． B．
C． D．
7．已知关于x，y的方程组 给出下列结论：
① 是方程组的解；②无论 取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③a=1时，方程组的解也是方程 的解；④x，y都为自然数的解有4对.其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2020七上·青岛期末）如图所示的三阶幻方，其对角线、横行、纵向的和都相等，则根据所给数据，可以确定这个和为（ ）
A．12 B．4 C． D．
9．（2022七下·无为期末）如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和一块正方形无缝隙拼合而成，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．15 B．30 C．36 D．40
10．（2022七下·黄陂期末）有48支队伍520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，则排球队有多少支队伍参赛？（ ）
A．28 B．20 C．32 D．26
二、填空题
11．（2022七下·越秀期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程，则n= ．
12．（2022七下·滨城期末）若关于x、y的方程组的解为，则方程组的解是 ．
13．（2022七下·抚远期末）已知x，y满足方程组，则的值为 ．
14．（2022七下·宁波开学考）如果|x﹣2y+1|+|x+y﹣5|＝0，那么x＝ ．
15．（2022七上·曲阜期末）假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放 个■．
16．（2022七下·龙口期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文.若某种加密规则为：明文m、n对应的密文为m-3n，2m+3n．例如：明文1，2对应的密文是-5，8．当接收方收到密文是6，3，则解密后得到的明文是 ．
三、计算题
17．（2021七下·桂平期中）解下列方程组
（1）
（2）
（3）
（4）
四、解答题
18．（2020七下·新罗期末）已知关于 的方程组 的解也是二元一次方程 的一个解，求 的值．
19．（2020七下·思明月考）已知 都是关于 的二元一次方程 的解,且 求 的值．
20．甲、乙两人同时解方程组 ，甲看错了b，求得的解为 ；乙看错了a，求得的解为 ，请求出a，b正确的值.
五、综合题
21．（2022七下·井研期末）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．其方法为：由2x+3y＝12可得yx（x、y为正整数），要使y＝4x为正整数，则x为整数，所以x必须为3的倍数，从而得到x＝3，代入得y＝4x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 ；
（2）若为自然数，求出满足条件的正整数x的值；
（3）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值．
22．（2022七下·吴江期末）已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解.
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值.
23．（2022七下·仪征期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变；
（3）某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？
24．（2022七下·颍州期末）疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用18900元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，23元/盒．
（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计1000人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？
（3）如果学校再用2000元钱去购买甲、乙两种口罩（两种口罩都要有）若干盒；你认为有哪几种购买方案？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：A.x＋3y＝1是二元一次方程，故该选项符合题意；
B.x－2y＝3z是三元一次方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
C.是分式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
D.是一元二次方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据二元一次方程的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程ax-2y=6的一个解，
∴a-2×2=6，
解得：a=10．
故答案为：D．
【分析】将代入，再求出a的值即可。
3．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的定义
【解析】【解答】解：①的分母含有未知数，故不是二元一次方程组；
②未知数最高次项的次数是二次，故不是二元一次方程组；
③含有三个未知数，故不是二元一次方程组；
④是二元一次方程组；
故答案为：A．
【分析】根据二元一次方程组的定义逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y
故答案为：A.
【分析】设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据“ 若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50 ”，列出二元一次方程组即可.
5．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②得：x+a+y-4=5+a，
∴x+y=9.
故答案为：A.
【分析】将该方程组的两个方程直接相加，再化简，即可求出结果.
6．【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
把①代入②，得4y-3（2y-1）=10，
化简得，
故答案为：B．
【分析】利用加减消元法求解二元一次方程组即可。
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将
代入方程组
得
由第一个式子得 ，由第二个式子得 ，故①不正确；
解方程组
两式相减，得
，
解得
.
将
的值代入
，得
，
所以 ，故无论 取何值，x，y的值都不可能互为相反数，故②正确；
将a=1代入方程组，得
解得
将 代入方程 ，方程左边 右边，故(③正确；
因为
，所以x，y都为自然数的解有
故④正确.
则正确的有②③④.
故答案为：B.
【分析】①将x=5，y=-1代入方程组中进行验证即可判断；②先将x和y分别用a表示出来，再将其相加得x+y=3，即无论a取何值，x和y都不会为相反数；③将a=1代入方程组求出方程组的解，再将方程组的解代入方程x+y=4-a中进行验证即可判断；④由x+y=3，x和y都为自然数，即当x=0，y=3；x=1，y=2；x=2，y=1；x=3，y=0. 据此即可判断正确选项.
8．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：如图，设对角线上的三个数字为x、y、z，三阶幻方的和=中心数字×3，
由题意得 ，解得，
∴三阶幻方的和10+2+0=12，
故答案为：A．
【分析】设对角线上的三个数字为x、y、z，三阶幻方的和=中心数字×3，结合 对角线、横行、纵向的和都相等，列出三元方程组并解之即可.
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，则小正方形的边长为2y，
依题意得：
，
解得：，
∴图中阴影部分的面积为（2y）2=（2×3）2=36．
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设篮球队有 支，排球队有 支，由题意，得：
，
解得：
故答案为：B.
【分析】设篮球队有x支，排球队有y支，根据有48支队伍可得x+y=48；根据520名运动员参加比赛可得10x+12y=520，联立求解即可.
11．【答案】1
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程，
∴2n 1＝1，
解得：n＝1，
故答案为：1．
【分析】根据二元一次方程的定义可得2n 1＝1，再求出n的值即可。
12．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：方程组可变形为，
关于、的方程组的解为，
，
解得，
即方程组的解是，
故答案为：．
【分析】将方程组变形为，再根据方程组的解为，可得，再求出x、y的值即可。
13．【答案】5
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由②-①，得：，
∴．
故答案为：5
【分析】将两方程相减即可求解.
14．【答案】3
【知识点】解二元一次方程组；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵|x﹣2y+1|+|x+y﹣5|＝0，
∴
解之：
故答案为：3.
【分析】利用绝对值的非负性，可建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
15．【答案】6
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设“●”表示的数为x，“■”表示的数是y，“▲”表示的数为z，
根据题意得：2x＝y＋z，x＋y＝z，
所以2x＝y＋x＋y，
解得x＝2y，
3x＝6y，
即“？”处应该放“■”的个数为6，
故答案为：6．
【分析】设“●”表示的数为x，“■”表示的数是y，“▲”表示的数为z，根据题意列出方程2x＝y＋z，x＋y＝z，再求出3x＝6y，即可得到答案。
16．【答案】3，-1
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】根据题意有
解得：
故答案为：3，-1．
【分析】根据题意列出方程组，再求解即可。
17．【答案】（1）解：
由①得③
把④代入②得
解得y=1
把y=1代入③解得
所以原方程组的解为：
（2）解：
②×2得④
④-①得
把代入②得
解得
所以原方程组的解为：
（3）解：
①×3-②×5得
解得
把代入①得
解得
所以原方程组的解为：
（4）解：
①+③得：3x+5y=11④，
①×2-②得：3x+7y=13⑤，
⑤-④得：2y=2，
解得：y=1，
把y=1代入④得：x=2，
把x=2，y=1代入②得：z=-1，
所以原方程组的解为：
【知识点】三元一次方程组解法及应用；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察方程组可用代入消元法求解，由方程①变形可将未知数x用含y得代数式表示得方程③x=3-y；把③代入方程②可得关于y的方程，解这个方程求得y的值，再把y的值代入方程③求得x的值，最后写出结论即可；
（2）观察方程组可用加减消元法求解，由方程②×2+①可消去未知数a，得关于b的方程，解这个方程求得b的值，再把b的值代入方程②求得a的值，最后写出结论即可；
（3）观察方程组可用加减消元法求解，由方程①×3-②×5可消去未知数x，得关于y的方程，解这个方程求得y的值，再把y的值代入方程①求得x的值，最后写出结论即可.
（4）观察方程组可用加减消元法先将原方程组化为关于x、y的二元一次方程组，解这个关于x、y的二元一次方程组可出x、y的值，再把x、y的值代入方程②求出z的值最后写出结论即可.
18．【答案】解：解方程组 ，得 ，
∵方程组的解也是二元一次方程 的一个解，
∴ ，
解得：m=2．
【知识点】解一元一次方程；二元一次方程的解
【解析】【分析】先求出方程组的解，再把方程组的解代入方程 中即得关于m的方程，解方程即可求出结果．
19．【答案】因为 都是关于 的二元一次方程 的解，
所以 ，解得： ，
又m-n=b2+2b-4，
∴b+1-2+b=b2+2b-4，
整理，得：b2=3，
解得：b=± .
【知识点】代数式求值；二元一次方程的解
【解析】【分析】将方程的解代入方程，得到关于m、n的方程的方程组，从而得到m-n=2b-1，结合已知条件列出关于b的方程求解即可．
20．【答案】解：将甲的解 ，代入方程ax+y=3，解得a=4，再将乙的解 代入方程2x-by=1，解得b=-1.
∴a=4，b=-1.
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】 甲看错了b， 说明含a的二元一次方程的解是正确的，则可把甲的解代入ax+y=3中可求a值，乙看错了a，说明含b的二元一次方程的解是正确的，则可把乙的解代入2x+by=1中可求b值.
21．【答案】（1）
（2）解：∵为自然数，
∴x-3=1或x-3=2或x-3=3或x-3=6，
∴x=4或5或6或9.
（3）解：，
由①×2-②得：（4-k）y=8，
∵二元一次方程组有解，
∴4-k≠0，
∴y=，
∵y是正整数，
∴4-k=1或4-k=2或4-k=4或4-k=8，
∴k=3或2或k=0或k=-4，
∵k=3时，y=8，
∴x=-7（不符合题意），
∴满足题意的k为2或0或-4.
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵3x+2y=8，
∴y==4-，
∴当x=2时，y=1，
∴方程的正整数解为.
故答案为：.
【分析】（1）由3x+2y=8变形为y=4-，若y为正整数，则3x被2整除，又x为正整数，因此x=2，y=1，即可求解；
（2）由为自然数，可得6为x-3的倍数，则x-3=1或x-3=2或x-3=3或x-3=6，解之即可求解；
（3）先利用加减消元法解二元一次方程组，得（4-k）y=8，因为4-k≠0，即得y=，再结合y和x均为正整数，进而得满足题意的k为2或0或-4.
22．【答案】（1），
（2）解：，解得
把代入，解得m=
（3）解：∵方程x-2y+mx+5=0总有一个固定的解，
∴x=0，
把x=0代入x-2y+mx+5=0中得：y=2.5，
∴
（4）解：
①+②得：
解得，
∵x恰为整数，m也为整数，
∴2+m=1或2+m=-1，
解得
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）x+2y-6=0，
∴x+2y=6，
∴x=6-2y，
当y=1时，x=4，
当y=2时，x=2，
∴方程x+2y-6=0的所有正整数解为：，；
【分析】（1）由x+2y-6=0可得x=2(3-y)，则x为偶数，据此可得方程的正整数解；
（2）联立x+y=0、x+2y-6=0，利用加减消元法可得x、y的值，然后代入x-2y+mx+5=0中进行计算就可求出m的值；
（3）根据x-2y+mx+5=0可得x(m+1)-2y+5=0，令x=0，求出y的值，据此可得方程的固定解；
（4）将方程组中的两个方程相加并化简可得x，根据方程的解为整数可得2+m=±1，求解可得m的值.
23．【答案】（1）-1；3
（2）证明：
得：，
等式两边同时除以2得：，
得：，
等式两边同时除以2得：，
因此不论a取什么实数，的值始终不变．
（3）解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，
由题意得，
得：，
等式两边同时乘以2得：，
得：，
故，
即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
①－②得：，
得：，
等式两边同时除以3得：.
故答案为：－1；3；
【分析】（1）将方程组中的两个方程相减可得x-y的值，将两个方程相加并化简可得x+y的值；
（2）将两个方程相加并化简可得x-y，再加上第一个方程并化简可得x+y，据此判断；
（3） 铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元可得3x+5y+z=21；根据买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元可得4x+7y+z=28，联立可得方程组，利用第二个方程减去第一个方程可得x+2y的值，然后求出2x+4y的值，减去第一个方程可得x+y+z的值，然后求出10x+10y+10z的值即可.
24．【答案】（1）解：设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，
依题意得：，
解得：．
答：甲种口罩购进了600盒，乙种口罩购进了300盒．
（2）解：学校购进两种口罩的数量为（个），
该校师生10天所需口罩数量为（个）．
∵，
∴购买的口罩数量不能满足市教育局的要求．
（3）解：设购买甲种口罩m盒，乙种口罩n盒，
依题意得：，
∴．
又∵m，n均为正整数，
∴或或或．
∴该学校共有4种购买方案，
方案1：购买甲种口罩77盒，乙种口罩20盒；
方案2：购买甲种口罩54盒，乙种口罩40盒；
方案3：购买甲种口罩31盒，乙种口罩60盒；
方案4：购买甲种口罩8盒，乙种口罩80盒．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】 (1)、设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，根据18900元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，23元/盒，列出方程组即可解得.
(2)、 根据题意求得 学校购进两种口罩的数量为，实际需要的口罩数量进行比较，得出结论.
(3)、设购买甲种口罩m盒，乙种口罩n盒， 根据题意列出方程组，分情况讨论即可求得.
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