2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷第二章 二元一次方程组（进阶版）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·前进期末）若+（m-1）y=6是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（ ）
A．3 B．1 C．任意数 D．1或3
【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵+（m-1）y=6是关于x，y的二元一次方程，
∴且，
解得：．
故答案为：A
【分析】只含有两个未知数，且每个未知数的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程，据此解答即可.
2．（2022七下·相城期末）若是二元一次方程的一个解，则下列x，y的值也是该方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解： 是二元一次方程的一个解，
∴原方程为：
把代入方程得：左边右边，故A不符合题意；
把代入方程得：左边＝右边，故B符合题意；
把代入方程得：左边右边，故C不符合题意；
把代入方程得：左边右边，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把代入二元一次方程得出一个关于a的方程求出a值，再把各组的x、y值代入方程分别进行验证，即可解答.
3．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册2.3解二元一次方程组 同步练习---提高篇）使方程组 有自然数解的整数m（ ）
A．只有5个 B．只能是偶数
C．是小于16的自然数 D．是小于32的自然数
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
由②得：x=2y，
代入①得：4y+my=16，即y= ，
当y=1时，m=12；当y=2时，m=4；当y=4时，m=0；当y=8时，m=﹣2；当y=16时，m=﹣3，
则m的值有5个，故答案为：A
【分析】由②得x=2y，代入①得y=，分析解是自然数时，m的整数值。
4．（2022七下·西宁期末）已知、互补，比小，设、的度数分别为、，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设∠A，∠B的度数分别为x°，y°，由题意得
．
故答案为：A．
【分析】设∠A，∠B的度数分别为x°，y°，根据“ 、互补，比小 ”列出方程组即可.
5．（2022七下·井研期末）若a、b、c、d是正整数，且a+b＝20，a+c＝24，a+d＝22，设a+b+c+d的最大值为M，最小值为N，则M﹣N＝（ ）
A．28 B．12 C．48 D．36
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵a+b＝20①，a+c＝24②，a+d＝22③，
由②-①得：c-b=4，
由③-①得：d-b=2，
∴c=b+4，d=b+2，
∴a+b+c+d=2b+26，
又∵a，b为正整数，（a+b+c+d）的最大值为M，最小值为N，
∴b的最大值为19，b的最小值为1，
∴M=2×19+26=64，
N=2×1+26=28，
∴M-N=64-28=36.
故答案为：D.
【分析】根据a+b＝20①，a+c＝24②，a+d＝22③，联立方程组求得c=b+4，d=b+2，从而得到a+b+c+d=2b+26，根据a，b为正整数，（a+b+c+d）的最大值为M，最小值为N，当b最大为19时，M=64，当b最小为1时，N=28，再代入到M-N中求值即可.
6．（2020七下·余杭期末）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题.用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只.问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ）
A．87 B．84 C．81 D．78
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解.
令②×3－①得：7x+4y=100；
所以
令 =t， (t为整数)所以x=4t
把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
易得z=75+3t
所以：x=4t，y=25-7t，z=75+3t
A.当z=87时，t=4，则x=16，y=﹣3，不符合实际；
B.当z=84时，t=3，则x=12，y=4，符合实际；
C.当z=81时，t=2，则x=8，y=11，符合实际；
D.当z=78时，t=1，则x=4，y=18，符合实际；
故答案为：A.
【分析】根据题意列出三元一次方程组，根据方程组的解再结合实际题意一一验证即可.
7．（2021七下·昭通期末）已知关于，的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则以上四种说法中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：①当时，方程组的解为：，
也是方程的一个解，符合题意；
②关于，的方程组的解为：，
当时，，符合题意；
③不论取什么实数，的值始终不变，符合题意；
④当时，方程组的解为：，
则，符合题意．
所以以上四种说法中正确的有4个．
故答案为：D．
【分析】 ①时，求方程组的解，然后验证是否为方程 的解；
②用含a的式子表示方程组的解，然后根据 解不等式可求出a的范围；
③结合②用含a的式子表示方程组的解后，计算 即可判断；
④ 当时求方程组的解，即可验证是否成立。
8．（2022七下·怀仁期末）一道来自课本的习题：
从甲地到乙地先有一段上坡路后有一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟，甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，采用间接设法：
设坡路有x km，平路有y km，则全程为（x＋y）km．已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设从甲地到乙地的上坡的距离为，平路的距离为，
已经列出一个方程，
则另一个方程正确的是：．
故答案为：B．
【分析】根据题意，求解即可。
9．（2021七下·桥西期末）将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示．则桌子的高度 （ ）
A．70 B．55 C．40 D．30
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，
则有 ，
，得
，
解得， ，
故答案为：A．
【分析】设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图象列出二元一次方程组求解即可。
10．（2022七下·滨城期末）如图，长青化工厂与，两地有公路、铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨6000元的产品运到地．公路运价为1.6元，铁路运价为1.2元，这两次运输共支出公路运费16000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多（ ）元．
A．1286800 B．299000 C．1286000 D．298000
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设购买了xt原料，制成yt产品，
依题意得：，
解得：，
∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多6000×300-1000×400-16000-97200=1286800（元）．
故答案为：A．
【分析】设购买了xt原料，制成yt产品，根据题意列出方程组，再求解即可。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2022七下·海陵期中）小亮解方程组 的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★和●，这个数★＝ ，●＝ .
【答案】-10；20
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将x=5代入2x+y=0中，得10+y=0，
解得y=-10，即★=-10，
将x=5，y=-10代入第二个方程2x-y=●，
得●=.
故答案为：-10，20.
【分析】将x=5代入2x+y=0中可得y的值，即★的值，将x=5，y=-10代入2x-y=●中可得●的值.
12．（2021七下·丽水期中）若关于x，y的 的解是 ，则关于m，n的方程组 的解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由由题意得： ，
∵由 得 ，
∴，
解得,
故答案为：.
【分析】把 代入原方程得出 ，然后把关于m，n的方程组根据这个形式变形，则可得出，再解之即可.
13．（2021七下·开学考）为迎接建国70周年，某商店购进，，三种纪念品共若干件，且，，三种纪念品的数量之比为8：7：9，一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且，，三种纪念品的比例为9：10：10，又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数景比第二次多170 件，且，，三种纪念品的比例为7： 6： 6，已知第一次三种纪念品总数盘不超过1000件，则第一次购进种纪念品 件.
【答案】320
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，依题意有
，
则24x=29y-200=19z-370=m，
∵0＜m≤1000，
∴0＜x≤41，6＜y≤41，19＜z≤72，
∵x，y、z均为正整数，
∴1≤x≤41，7≤y≤41，20≤z≤72，
24x=29y-200化为：x=y-8+，
∴5y-8=24n（n为正整数），
∴5y=8+24n=8（1+3n），
∴y=8k（k为正整数），5k=3n+1，
∴7≤8k≤41，n=k+，
∴1≤k≤5，1≤2k-1≤9，
∵2k-1必为奇数且是3的整数倍.
∴2k-1=3或2k-1=9，
∴k=2或k=5，
当k=2时，y=16，x=11，z=33（舍）
∴k只能为5，
∴y=40，x=40，z=70.
∴8x=8×40=320.
答：第一次购进A种纪念品320件.
故答案为：320.
【分析】设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，依题意有
，由于0＜m≤1000，求出x、y、z的正整数解即可.
14．（2018七上·鄞州期中）如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入四个如图③的小长方形后分别得到如图①、图②、已知大长方形的长为a，则图②阴影部分周长与图①阴影部分周长的差是 ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】设小长方形的长为x，宽为y，
根据图①得：
解得：
图①阴影部分周长
图②阴影部分周长
∵
∴图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是
故答案为：
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据图①即可得出大小长方形的长与宽的关系，从而列出方程组，求解即可用含a的式子表示出x，y，结合两个图形可知：图①阴影部分的宽就是小长方形的宽，从而根据长方形周长的解散方法算出图①阴影部分周长；通过平移可知：图②阴影部分的宽就是大长方形的长-小长方形的长，长就是小长方形宽的三倍，从而根据长方形周长的解散方法算出图②阴影部分周长；从而利用整式的减法法则即可算出图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差。
15．（2022七下·上虞期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形”请你写出这些长方形的长和宽 ．
【答案】10mm和6mm
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这些长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
这些长方形的长和宽为10mm和6mm.
故答案为：10mm和6mm.
【分析】设这些长方形的长为xmm，宽为ymm，根据长与宽的关系可得3x=5y、x+2=2y，联立求解即可.
三、计算题（共8分）
16．（2021七下·古浪月考）解方程组
（1） ；
（2）
（3） ；
（4）
【答案】（1）解： ，
把①代入②得： ，
解得： ，代入①中，
解得： ，
则方程组的解为
（2）解： ，
①-②得： ，
解得： ，代入①中，
解得： ，
则方程组的解为
（3）解： ，
②×5-①×2得： ，
解得： ，代入①中，
解得： ，
则方程组的解为
（4）解： ，
③-②得： ，
①+④得：2x=12，
解得：x=6，分别代入①、③中，
解得：y=7，z=-2，
则方程组的解为 .
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可；
（3）利用加减消元法解方程组即可；
（4）由③-②消z，可得 ，联立①利用加减法求出x的值，再代入①、③，分别求出y、z即可.
四、解答题（共8题，共67分）
17．（2020七下·下城期末）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1.
（1）当 时，求c的值.
（2）当a＝ 时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解.
（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解.
【答案】（1）∵b＝a+1，c＝b+1.
∴c＝a+2，
由题意，得3a+a+1＝a+2，
解得a＝ ，
∴c＝a+2＝ ；
（2）当a＝ 时， x+ y= ，
化简得，x+3y＝5，
∴符合题意的整数解是： ， ， ；
（3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2，
整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，
∵x、y均为正整数，
∴x+y﹣1是正整数，
∵a是正整数，
∴2﹣y是正整数，
∴y＝1，
把y＝1代入①得，ax＝1，
∴a＝1，
此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是 .
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二元一次方程的解
【解析】【分析】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝ ，即可求得c＝ ；
（2）当a＝ 时，方程为 x+ y= ，即x+3y＝5，根据方程即可求得；
（3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此时方程的正整数解是 .
18．（2019七下·余杭期末）已知关于x，y的二元一次方程组 （a为实数）．
（1）若方程组的解始终满足y=a+1，求a的值．
（2）已知方程组的解也是方程bx+3y=1(b为实数，b≠0且b≠-6)的解．
①探究实数a，b满足的关系式．
②若a，b都是整数，求b的最大值和最小值．
【答案】（1）解：将方程组②-①，得3y=6a-3
∴y=2a-1
∵y=a+1
∴2a-1=a+1
∴a=2
（2）解：①将y=2a-1代入方程①，可得x=a+2
∴方程组的解为
∵方程组的解也是方程bx+3y=1的解
∴b(a+2)+3(2a-1)=1
∴ab+6a+2b=4
②由ab+6a+2b=4可得b=
∴b=
∵a，b都是整数
∴a+2=±1，±2，±4，±8，±16
∴当a+2=1时，b有最大值10；
当a+2=-1时，b有最小值-22
【知识点】二元一次方程组的解；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）把a看成已知数，解关于x、y的方程组，解得y用a来表示，再将已知式
y=a+1 代入解得a的值即可。
（2） ①将y=2a-1代入方程①，使x也用a来表示， 将x、y的值代入bx+3y=1中，则a、b的关系式可求。
② 要求b的最大值和最小值，将a、b的关系式变形，使b用a来表示，因为a、b都是整数，根据整数的特点，把b的关系式变形，使分子不含有字母，以便取整数。列出所有符合条件的a+2值，找出b的最大值和最小值即可。
19．（2017七下·顺义期末）（1）阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组 我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表 ，求得的一次方程组的解 用数表可表示为 .用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
从而得到该方程组的解为
（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组 的过程．
【答案】（1）解：
，
从而得到该方程组的解为
（2）解：
所以方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）首先进行下行 上行，然后将下行除以3将y的系数化为1，就可得方程组的解；
（2）类比（1）中方法通过加减法将x、y的系数化为1可得.
20．（初中数学浙教版七下精彩练习专题分类突破三 巧解一次方程组）已知关于x，y的方程组 的解是
（1）若把x换成m，y换成n，得到的关于m，n的方程组为 ，则这个方程组的解是 .
（2）若把x换成2x，y换成3y，得到方程组 ，则 ，所以这个方程组的解是 .
（3）根据以上的方法解方程组
【答案】（1）
（2）；
（3）解：将方程组 ，变形为
∴ ，解得 ，
∴方程组 的解为
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）∵关于x，y的方程组 的解是 ，
若把x换成m，y换成n，得到的关于m，n的方程组为 ，则这个方程组的解是
故答案为：4，-6.
（2） 若把x换成2x，y换成3y，得到方程组 ，则 ，
解之：.
【分析】（1）利用已知方程组的解，将x换成m，y换成n，可得到m的值就是x的值；n的值就是y的值，即可得到关于m，n的方程组的解.
（2）若将x换成2x，y换成3y，可知x的值就是2x的值；y的值就是3y的值，由此可得到方程组的解.
（3）将方程组转化为，由此可推出，然后解方程组求出x，y的值.
21．（2021七下·芝罘期中）阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：解方程组小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为，解的，把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得解得所以，原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：令，，
原方程组化为，
解得：，
，
解得：．
原方程组的解为．
（2）解：令，，
原方程组可化为：，
解得：，
，
经检验，是原方程的解．
原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据阅读材料可设
，，可将原方程组化为关于m、n的方程组并解之，再得出关于x、y的方程组并解之即可；
（2） 设
，可得关于m、n的方程组并求出m、n的值，继而求出x、y的值.
22．（2020七下·温州期中）文雅书店出售A，B两种书籍，已知A书籍单售为每本50元，B书籍单售为每本30元，整套(A，B各一本)出售为每套70元。
（1）小明购买了A，B两种书籍共20本，且购买的B书籍数量比A书籍数量的2倍少4本。
①小明购买了A，B两种书籍各多少本？
②小明至少需要花费多少钱？
（2）如果小刚花了600元购买A，B两种书籍，其中A书籍购买了8本，那么有哪几种购买方案？其中哪一种方案最划算？
【答案】（1）解：①设小明购买了A书籍x本、B书籍y本，
则由题意得：
得：
答：小明购买了A书籍8本、B书籍12本
②花费最少的方案为：购买8套书籍和4本B书籍，即：8×70+4×30=680(元)
答：至少需要花费680元
（2）解：设单独购买A书籍a本，B书籍b本，整套购买c套，
则50a+30b+70c=600①
c=8-a②
将②代入①，整理得：a= b-2，
∵a，b均为正整数，且a≤8，
∴ ， ，
∴有三种购买方案：
方案一：单买A书籍1本，单买B书籍2本，整套买7套，
共得A书籍8本，B书籍9本；
方案二：单买A书籍4本，单买B书籍4本，整套买4套，
共得A书籍8本，B书籍8本；
方案三：单买A书籍7本，单买B书籍6本，整套买1套，
共得A书籍8本，B书籍7本。
其中方案一最划算
【知识点】三元一次方程组解法及应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1） ①设小明购买了A书籍x本、B书籍y本， 根据小明购买A类书籍的数量+购买B类书籍的数量=20本，及购买的B书籍数量=A书籍数量的2倍-4本 列出方程组，求解即可；②根据题干提供的信息可知，A,B两类书籍成套购买更划算，根据①的计算结果可得购买8套书籍和4本B书籍 即是花费最少的购书方案，进而根据有理数的混合运算即可解决问题；
（2） 设单独购买A书籍a本，B书籍b本，整套购买c套， 根据单独购买A类书籍的a本费用+单独购买B类书籍b本的费用+整套购买c套的费用=600及 A书籍购买了8本 列出方程组，求出该方程组的正整数解即可解决问题.
23．（2019七下·长兴月考）某校举办“迎冬奥会“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品．
（1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为x，宽为y，求出x和y的值．
（2）如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b．
①求出1个小长方形周长与大长方形周长之比；
②若作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ，求x和y的数量关系．
【答案】（1）解：根据题意得
，……2分得
（2）解：①
①+②，得
3(x+y)=a+b，
∴
∴1个小长方形周长与大长方形周长之比是
即1个小长方形周长与大长方形周长之比是1：3；
②∵作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的
∴3xy= ab
∴3xy= (2x+y)(x+2y)，
∴(2x+y)(x+2y)=9xy
化简，得
(x-y)2=0
∴x-y=0
∴x=y
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系：2×一个小长方形的长+一个小长方形的宽=45，一个小长方形的长+2×一个小长方形的宽=30，列方程组求解即可。
（2）①抓住题中关键的已知条件：2×一个小长方形的长+一个小长方形的宽=a，一个小长方形的长+2×一个小长方形的宽=b，列方程组，解方程组求出x+y与a+b的比值即可；②由①可知a=2x-y，b=x+2y，再根据作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ，即 3xy= ab，将a，b代入进行整理，可得 (x-y)2=0，即可得出x，y的关系。
24．（初中数学浙教版七下精彩练习2.4一元一次方程组的应用（1））某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产.他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材（不计损耗），如图1.（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图1中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式（高大于长）与横式（长大于高）两种无盖礼品盒.
①两种裁法共生产A型板材 ▲ 张，B型板材 ▲ 张.
②能否在做成若干个上述的两种无盖礼品盒后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，则竖式无盖礼品盒与横式无盖礼品盒分别做了几个？若不能，则最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共多少个？并直接写出此时做成的横式无盖礼品盒的个数.
【答案】（1）解：由题意得 ，
解得
即a与b的值分别为60，40.
（2）解：①64；38；
②不能在做成若干个两种无盖礼品盒后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完，理由如下：
设竖式无盖礼品盒做x个，横式无盖礼品盒做y个，
则A型板材需要（4x+3y）张，B型板材需要（x+2y）张，
则 ，
解得
∵x，y是自然数，
∴不能恰好把①中的A型板材和B型板材用完.
∵x+y=
∴最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共20个，此时做成的横式无盖礼品盒为16个或17个或18个.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】（2）①由裁法一生产A型板材为2×30=60（张），裁法二生产A型板材为1×4=4（张），
∴两种裁法共生产A型板材为60+4=64（张）。
由图示裁法一生产B型板材为1×30=30（张），裁法二生产B型板材为2×4=8（张），
∴两种裁法共生产B型板材为30+8=38（张）
故答案为：64，38.
【分析】(1)观察图形，利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解即可；
(2)①根据已知条件和图示分别计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数即可；
②设竖式无盖礼品盒做x个，横式无盖礼品盒做y个， 根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一 次方程组， 然后求解即可.
1 / 12023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷第二章 二元一次方程组（进阶版）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·前进期末）若+（m-1）y=6是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（ ）
A．3 B．1 C．任意数 D．1或3
2．（2022七下·相城期末）若是二元一次方程的一个解，则下列x，y的值也是该方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册2.3解二元一次方程组 同步练习---提高篇）使方程组 有自然数解的整数m（ ）
A．只有5个 B．只能是偶数
C．是小于16的自然数 D．是小于32的自然数
4．（2022七下·西宁期末）已知、互补，比小，设、的度数分别为、，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022七下·井研期末）若a、b、c、d是正整数，且a+b＝20，a+c＝24，a+d＝22，设a+b+c+d的最大值为M，最小值为N，则M﹣N＝（ ）
A．28 B．12 C．48 D．36
6．（2020七下·余杭期末）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题.用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只.问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ）
A．87 B．84 C．81 D．78
7．（2021七下·昭通期末）已知关于，的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则以上四种说法中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022七下·怀仁期末）一道来自课本的习题：
从甲地到乙地先有一段上坡路后有一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟，甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，采用间接设法：
设坡路有x km，平路有y km，则全程为（x＋y）km．已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021七下·桥西期末）将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示．则桌子的高度 （ ）
A．70 B．55 C．40 D．30
10．（2022七下·滨城期末）如图，长青化工厂与，两地有公路、铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨6000元的产品运到地．公路运价为1.6元，铁路运价为1.2元，这两次运输共支出公路运费16000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多（ ）元．
A．1286800 B．299000 C．1286000 D．298000
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2022七下·海陵期中）小亮解方程组 的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★和●，这个数★＝ ，●＝ .
12．（2021七下·丽水期中）若关于x，y的 的解是 ，则关于m，n的方程组 的解是 ．
13．（2021七下·开学考）为迎接建国70周年，某商店购进，，三种纪念品共若干件，且，，三种纪念品的数量之比为8：7：9，一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且，，三种纪念品的比例为9：10：10，又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数景比第二次多170 件，且，，三种纪念品的比例为7： 6： 6，已知第一次三种纪念品总数盘不超过1000件，则第一次购进种纪念品 件.
14．（2018七上·鄞州期中）如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入四个如图③的小长方形后分别得到如图①、图②、已知大长方形的长为a，则图②阴影部分周长与图①阴影部分周长的差是 ．
15．（2022七下·上虞期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形”请你写出这些长方形的长和宽 ．
三、计算题（共8分）
16．（2021七下·古浪月考）解方程组
（1） ；
（2）
（3） ；
（4）
四、解答题（共8题，共67分）
17．（2020七下·下城期末）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1.
（1）当 时，求c的值.
（2）当a＝ 时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解.
（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解.
18．（2019七下·余杭期末）已知关于x，y的二元一次方程组 （a为实数）．
（1）若方程组的解始终满足y=a+1，求a的值．
（2）已知方程组的解也是方程bx+3y=1(b为实数，b≠0且b≠-6)的解．
①探究实数a，b满足的关系式．
②若a，b都是整数，求b的最大值和最小值．
19．（2017七下·顺义期末）（1）阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组 我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表 ，求得的一次方程组的解 用数表可表示为 .用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
从而得到该方程组的解为
（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组 的过程．
20．（初中数学浙教版七下精彩练习专题分类突破三 巧解一次方程组）已知关于x，y的方程组 的解是
（1）若把x换成m，y换成n，得到的关于m，n的方程组为 ，则这个方程组的解是 .
（2）若把x换成2x，y换成3y，得到方程组 ，则 ，所以这个方程组的解是 .
（3）根据以上的方法解方程组
21．（2021七下·芝罘期中）阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：解方程组小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为，解的，把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得解得所以，原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）；
（2）．
22．（2020七下·温州期中）文雅书店出售A，B两种书籍，已知A书籍单售为每本50元，B书籍单售为每本30元，整套(A，B各一本)出售为每套70元。
（1）小明购买了A，B两种书籍共20本，且购买的B书籍数量比A书籍数量的2倍少4本。
①小明购买了A，B两种书籍各多少本？
②小明至少需要花费多少钱？
（2）如果小刚花了600元购买A，B两种书籍，其中A书籍购买了8本，那么有哪几种购买方案？其中哪一种方案最划算？
23．（2019七下·长兴月考）某校举办“迎冬奥会“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品．
（1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为x，宽为y，求出x和y的值．
（2）如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b．
①求出1个小长方形周长与大长方形周长之比；
②若作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ，求x和y的数量关系．
24．（初中数学浙教版七下精彩练习2.4一元一次方程组的应用（1））某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产.他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材（不计损耗），如图1.（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图1中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式（高大于长）与横式（长大于高）两种无盖礼品盒.
①两种裁法共生产A型板材 ▲ 张，B型板材 ▲ 张.
②能否在做成若干个上述的两种无盖礼品盒后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，则竖式无盖礼品盒与横式无盖礼品盒分别做了几个？若不能，则最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共多少个？并直接写出此时做成的横式无盖礼品盒的个数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵+（m-1）y=6是关于x，y的二元一次方程，
∴且，
解得：．
故答案为：A
【分析】只含有两个未知数，且每个未知数的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程，据此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解： 是二元一次方程的一个解，
∴原方程为：
把代入方程得：左边右边，故A不符合题意；
把代入方程得：左边＝右边，故B符合题意；
把代入方程得：左边右边，故C不符合题意；
把代入方程得：左边右边，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把代入二元一次方程得出一个关于a的方程求出a值，再把各组的x、y值代入方程分别进行验证，即可解答.
3．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
由②得：x=2y，
代入①得：4y+my=16，即y= ，
当y=1时，m=12；当y=2时，m=4；当y=4时，m=0；当y=8时，m=﹣2；当y=16时，m=﹣3，
则m的值有5个，故答案为：A
【分析】由②得x=2y，代入①得y=，分析解是自然数时，m的整数值。
4．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设∠A，∠B的度数分别为x°，y°，由题意得
．
故答案为：A．
【分析】设∠A，∠B的度数分别为x°，y°，根据“ 、互补，比小 ”列出方程组即可.
5．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵a+b＝20①，a+c＝24②，a+d＝22③，
由②-①得：c-b=4，
由③-①得：d-b=2，
∴c=b+4，d=b+2，
∴a+b+c+d=2b+26，
又∵a，b为正整数，（a+b+c+d）的最大值为M，最小值为N，
∴b的最大值为19，b的最小值为1，
∴M=2×19+26=64，
N=2×1+26=28，
∴M-N=64-28=36.
故答案为：D.
【分析】根据a+b＝20①，a+c＝24②，a+d＝22③，联立方程组求得c=b+4，d=b+2，从而得到a+b+c+d=2b+26，根据a，b为正整数，（a+b+c+d）的最大值为M，最小值为N，当b最大为19时，M=64，当b最小为1时，N=28，再代入到M-N中求值即可.
6．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解.
令②×3－①得：7x+4y=100；
所以
令 =t， (t为整数)所以x=4t
把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
易得z=75+3t
所以：x=4t，y=25-7t，z=75+3t
A.当z=87时，t=4，则x=16，y=﹣3，不符合实际；
B.当z=84时，t=3，则x=12，y=4，符合实际；
C.当z=81时，t=2，则x=8，y=11，符合实际；
D.当z=78时，t=1，则x=4，y=18，符合实际；
故答案为：A.
【分析】根据题意列出三元一次方程组，根据方程组的解再结合实际题意一一验证即可.
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：①当时，方程组的解为：，
也是方程的一个解，符合题意；
②关于，的方程组的解为：，
当时，，符合题意；
③不论取什么实数，的值始终不变，符合题意；
④当时，方程组的解为：，
则，符合题意．
所以以上四种说法中正确的有4个．
故答案为：D．
【分析】 ①时，求方程组的解，然后验证是否为方程 的解；
②用含a的式子表示方程组的解，然后根据 解不等式可求出a的范围；
③结合②用含a的式子表示方程组的解后，计算 即可判断；
④ 当时求方程组的解，即可验证是否成立。
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设从甲地到乙地的上坡的距离为，平路的距离为，
已经列出一个方程，
则另一个方程正确的是：．
故答案为：B．
【分析】根据题意，求解即可。
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，
则有 ，
，得
，
解得， ，
故答案为：A．
【分析】设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图象列出二元一次方程组求解即可。
10．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设购买了xt原料，制成yt产品，
依题意得：，
解得：，
∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多6000×300-1000×400-16000-97200=1286800（元）．
故答案为：A．
【分析】设购买了xt原料，制成yt产品，根据题意列出方程组，再求解即可。
11．【答案】-10；20
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将x=5代入2x+y=0中，得10+y=0，
解得y=-10，即★=-10，
将x=5，y=-10代入第二个方程2x-y=●，
得●=.
故答案为：-10，20.
【分析】将x=5代入2x+y=0中可得y的值，即★的值，将x=5，y=-10代入2x-y=●中可得●的值.
12．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由由题意得： ，
∵由 得 ，
∴，
解得,
故答案为：.
【分析】把 代入原方程得出 ，然后把关于m，n的方程组根据这个形式变形，则可得出，再解之即可.
13．【答案】320
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，依题意有
，
则24x=29y-200=19z-370=m，
∵0＜m≤1000，
∴0＜x≤41，6＜y≤41，19＜z≤72，
∵x，y、z均为正整数，
∴1≤x≤41，7≤y≤41，20≤z≤72，
24x=29y-200化为：x=y-8+，
∴5y-8=24n（n为正整数），
∴5y=8+24n=8（1+3n），
∴y=8k（k为正整数），5k=3n+1，
∴7≤8k≤41，n=k+，
∴1≤k≤5，1≤2k-1≤9，
∵2k-1必为奇数且是3的整数倍.
∴2k-1=3或2k-1=9，
∴k=2或k=5，
当k=2时，y=16，x=11，z=33（舍）
∴k只能为5，
∴y=40，x=40，z=70.
∴8x=8×40=320.
答：第一次购进A种纪念品320件.
故答案为：320.
【分析】设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，依题意有
，由于0＜m≤1000，求出x、y、z的正整数解即可.
14．【答案】
【知识点】整式的加减运算；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】设小长方形的长为x，宽为y，
根据图①得：
解得：
图①阴影部分周长
图②阴影部分周长
∵
∴图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是
故答案为：
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据图①即可得出大小长方形的长与宽的关系，从而列出方程组，求解即可用含a的式子表示出x，y，结合两个图形可知：图①阴影部分的宽就是小长方形的宽，从而根据长方形周长的解散方法算出图①阴影部分周长；通过平移可知：图②阴影部分的宽就是大长方形的长-小长方形的长，长就是小长方形宽的三倍，从而根据长方形周长的解散方法算出图②阴影部分周长；从而利用整式的减法法则即可算出图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差。
15．【答案】10mm和6mm
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这些长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
这些长方形的长和宽为10mm和6mm.
故答案为：10mm和6mm.
【分析】设这些长方形的长为xmm，宽为ymm，根据长与宽的关系可得3x=5y、x+2=2y，联立求解即可.
16．【答案】（1）解： ，
把①代入②得： ，
解得： ，代入①中，
解得： ，
则方程组的解为
（2）解： ，
①-②得： ，
解得： ，代入①中，
解得： ，
则方程组的解为
（3）解： ，
②×5-①×2得： ，
解得： ，代入①中，
解得： ，
则方程组的解为
（4）解： ，
③-②得： ，
①+④得：2x=12，
解得：x=6，分别代入①、③中，
解得：y=7，z=-2，
则方程组的解为 .
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可；
（3）利用加减消元法解方程组即可；
（4）由③-②消z，可得 ，联立①利用加减法求出x的值，再代入①、③，分别求出y、z即可.
17．【答案】（1）∵b＝a+1，c＝b+1.
∴c＝a+2，
由题意，得3a+a+1＝a+2，
解得a＝ ，
∴c＝a+2＝ ；
（2）当a＝ 时， x+ y= ，
化简得，x+3y＝5，
∴符合题意的整数解是： ， ， ；
（3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2，
整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，
∵x、y均为正整数，
∴x+y﹣1是正整数，
∵a是正整数，
∴2﹣y是正整数，
∴y＝1，
把y＝1代入①得，ax＝1，
∴a＝1，
此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是 .
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二元一次方程的解
【解析】【分析】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝ ，即可求得c＝ ；
（2）当a＝ 时，方程为 x+ y= ，即x+3y＝5，根据方程即可求得；
（3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此时方程的正整数解是 .
18．【答案】（1）解：将方程组②-①，得3y=6a-3
∴y=2a-1
∵y=a+1
∴2a-1=a+1
∴a=2
（2）解：①将y=2a-1代入方程①，可得x=a+2
∴方程组的解为
∵方程组的解也是方程bx+3y=1的解
∴b(a+2)+3(2a-1)=1
∴ab+6a+2b=4
②由ab+6a+2b=4可得b=
∴b=
∵a，b都是整数
∴a+2=±1，±2，±4，±8，±16
∴当a+2=1时，b有最大值10；
当a+2=-1时，b有最小值-22
【知识点】二元一次方程组的解；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）把a看成已知数，解关于x、y的方程组，解得y用a来表示，再将已知式
y=a+1 代入解得a的值即可。
（2） ①将y=2a-1代入方程①，使x也用a来表示， 将x、y的值代入bx+3y=1中，则a、b的关系式可求。
② 要求b的最大值和最小值，将a、b的关系式变形，使b用a来表示，因为a、b都是整数，根据整数的特点，把b的关系式变形，使分子不含有字母，以便取整数。列出所有符合条件的a+2值，找出b的最大值和最小值即可。
19．【答案】（1）解：
，
从而得到该方程组的解为
（2）解：
所以方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）首先进行下行 上行，然后将下行除以3将y的系数化为1，就可得方程组的解；
（2）类比（1）中方法通过加减法将x、y的系数化为1可得.
20．【答案】（1）
（2）；
（3）解：将方程组 ，变形为
∴ ，解得 ，
∴方程组 的解为
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）∵关于x，y的方程组 的解是 ，
若把x换成m，y换成n，得到的关于m，n的方程组为 ，则这个方程组的解是
故答案为：4，-6.
（2） 若把x换成2x，y换成3y，得到方程组 ，则 ，
解之：.
【分析】（1）利用已知方程组的解，将x换成m，y换成n，可得到m的值就是x的值；n的值就是y的值，即可得到关于m，n的方程组的解.
（2）若将x换成2x，y换成3y，可知x的值就是2x的值；y的值就是3y的值，由此可得到方程组的解.
（3）将方程组转化为，由此可推出，然后解方程组求出x，y的值.
21．【答案】（1）解：令，，
原方程组化为，
解得：，
，
解得：．
原方程组的解为．
（2）解：令，，
原方程组可化为：，
解得：，
，
经检验，是原方程的解．
原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据阅读材料可设
，，可将原方程组化为关于m、n的方程组并解之，再得出关于x、y的方程组并解之即可；
（2） 设
，可得关于m、n的方程组并求出m、n的值，继而求出x、y的值.
22．【答案】（1）解：①设小明购买了A书籍x本、B书籍y本，
则由题意得：
得：
答：小明购买了A书籍8本、B书籍12本
②花费最少的方案为：购买8套书籍和4本B书籍，即：8×70+4×30=680(元)
答：至少需要花费680元
（2）解：设单独购买A书籍a本，B书籍b本，整套购买c套，
则50a+30b+70c=600①
c=8-a②
将②代入①，整理得：a= b-2，
∵a，b均为正整数，且a≤8，
∴ ， ，
∴有三种购买方案：
方案一：单买A书籍1本，单买B书籍2本，整套买7套，
共得A书籍8本，B书籍9本；
方案二：单买A书籍4本，单买B书籍4本，整套买4套，
共得A书籍8本，B书籍8本；
方案三：单买A书籍7本，单买B书籍6本，整套买1套，
共得A书籍8本，B书籍7本。
其中方案一最划算
【知识点】三元一次方程组解法及应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1） ①设小明购买了A书籍x本、B书籍y本， 根据小明购买A类书籍的数量+购买B类书籍的数量=20本，及购买的B书籍数量=A书籍数量的2倍-4本 列出方程组，求解即可；②根据题干提供的信息可知，A,B两类书籍成套购买更划算，根据①的计算结果可得购买8套书籍和4本B书籍 即是花费最少的购书方案，进而根据有理数的混合运算即可解决问题；
（2） 设单独购买A书籍a本，B书籍b本，整套购买c套， 根据单独购买A类书籍的a本费用+单独购买B类书籍b本的费用+整套购买c套的费用=600及 A书籍购买了8本 列出方程组，求出该方程组的正整数解即可解决问题.
23．【答案】（1）解：根据题意得
，……2分得
（2）解：①
①+②，得
3(x+y)=a+b，
∴
∴1个小长方形周长与大长方形周长之比是
即1个小长方形周长与大长方形周长之比是1：3；
②∵作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的
∴3xy= ab
∴3xy= (2x+y)(x+2y)，
∴(2x+y)(x+2y)=9xy
化简，得
(x-y)2=0
∴x-y=0
∴x=y
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系：2×一个小长方形的长+一个小长方形的宽=45，一个小长方形的长+2×一个小长方形的宽=30，列方程组求解即可。
（2）①抓住题中关键的已知条件：2×一个小长方形的长+一个小长方形的宽=a，一个小长方形的长+2×一个小长方形的宽=b，列方程组，解方程组求出x+y与a+b的比值即可；②由①可知a=2x-y，b=x+2y，再根据作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ，即 3xy= ab，将a，b代入进行整理，可得 (x-y)2=0，即可得出x，y的关系。
24．【答案】（1）解：由题意得 ，
解得
即a与b的值分别为60，40.
（2）解：①64；38；
②不能在做成若干个两种无盖礼品盒后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完，理由如下：
设竖式无盖礼品盒做x个，横式无盖礼品盒做y个，
则A型板材需要（4x+3y）张，B型板材需要（x+2y）张，
则 ，
解得
∵x，y是自然数，
∴不能恰好把①中的A型板材和B型板材用完.
∵x+y=
∴最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共20个，此时做成的横式无盖礼品盒为16个或17个或18个.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】（2）①由裁法一生产A型板材为2×30=60（张），裁法二生产A型板材为1×4=4（张），
∴两种裁法共生产A型板材为60+4=64（张）。
由图示裁法一生产B型板材为1×30=30（张），裁法二生产B型板材为2×4=8（张），
∴两种裁法共生产B型板材为30+8=38（张）
故答案为：64，38.
【分析】(1)观察图形，利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解即可；
(2)①根据已知条件和图示分别计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数即可；
②设竖式无盖礼品盒做x个，横式无盖礼品盒做y个， 根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一 次方程组， 然后求解即可.
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