公因式
一、选择题（共20小题）
1、有两个多项式M=2x2+3x+1，N=4x2﹣4x﹣3，则下列哪一个为M与N的公因式（ ）
A、x+1 B、x﹣1
C、2x+1 D、2x﹣1
2、多项式m2﹣4n2与m2﹣4mn+4n2的公因式是（ ）
A、（m+2n）（m﹣2n） B、m+2n
C、m﹣2n D、（m+2n）（m﹣2n）2
3、下列多项式中，含有因式（y+1）的多项式是（ ）
A、y2﹣2xy﹣3x2 B、（y+1）2﹣（y﹣1）2
C、（y+1）2﹣（y2﹣1） D、（y+1）2+2（y+1）+1
4、多项式36a2bc﹣48ab2c+24abc2的公因式是（ ）
A、12a2b2c2 B、6abc
C、12abc D、36a2b2c2
5、下列各组代数式中没有公因式的是（ ）
A、4a2bc与8abc2 B、a3b2+1与a2b3﹣121世纪教育网版权所有
C、b（a﹣2b）2与a（2b﹣a）2 D、x+1与x2﹣1
6、观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m（a﹣b）和﹣a+b；③3（a+b）和﹣a﹣b；④x2﹣y2和x2+y2；其中有公因式的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、①② B、②③
C、③④ D、①④
7、在多项式：①16x5﹣x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2；④﹣4x2﹣1+4x中，分解因式的结果中含有相同因式的是（ ）
A、①② B、③④
C、①④ D、②③
8、式子x2+9x，x2+18x+81与x2﹣81的公因式是（ ）
A、x+9 B、x﹣9
C、（x+9）2 D、以上都不对21世纪教育网版权所有
9、多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（ ）
A、xmyn B、xmyn﹣1
C、4xmyn D、4xmyn﹣1
10、多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是（ ）
A、5mn B、5m2n2
C、5m2n D、5mn2
11、多项式9xy+3x2y﹣6xyz各项的公因式是（ ）
A、3yz B、3xz
C、3xy D、3x
12、把多项式9a2b2﹣18ab2分解因式时，应提出的公因式是（ ）
A、9a2b B、9ab221世纪教育网版权所有
C、a2b2 D、18ab2
13、把多项式﹣8a2b3c+16a2b2c2﹣24a3bc3分解因式，应提的公因式是（ ）
A、﹣8a2bc B、2a2b2c3
C、﹣4abc D、24a3b3c3
14、多项式8x2n﹣4xn的公因式是（ ）21世纪教育网版权所有
A、4xn B、2xn﹣1
C、4xn﹣1 D、2xn﹣1
15、多项式8x2y2﹣14x2y+4xy3的公因式是（ ）
A、8xy B、2xy
C、4xy D、2y
16、分解8a3b2﹣12ab3c时应提取的公因式是（ ）21世纪教育网版权所有
A、2ab2 B、4ab
C、ab2 D、4ab2
17、代数式x4﹣81，x2﹣6x+9的公因式是（ ）
A、x+3 B、x﹣3
C、（x﹣3）2 D、x2﹣9
18、下列各组代数式中，没有公因式的是（ ）
A、ax+y和x+y B、2x和4y
C、a﹣b和b﹣a D、﹣x2+xy和y﹣x
19、下列各式中，不能提取公因式的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、12xyz﹣9x2y2 B、a2+2ab+b2
C、x6y﹣x4z D、x（a+b）﹣y（a+b）
20、分解2x（﹣x+y）2﹣（x﹣y）3应提取的公因式是（ ）
A、﹣x+y B、x﹣y
C、（x﹣y）2 D、以上都不对
二、填空题（共9小题）
21、多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4的公因式是 _________ ．
22、24m2n+18n的公因式是 _________ ．
23、9x3y2+12x2y2﹣6xy3中各项的公因式是 _________ ．
24、多项式6a2b﹣3ab2的公因式是 _________ ．
25、多项式9abc﹣6a2b2+12abc2各项的公因式是 _________ ．
26、单项式6a3b与9a2b2c的公因式为 _________ ．
27、9x2y﹣3xy2的公因式是 _________ ．
28、单项式﹣12x12y3与8x10y6的公因式是 _________ ．
29、﹣12a4﹣24a3+36a2的公因式是 _________ ．
三、解答题（共1小题）21世纪教育网版权所有
30、已知：A=3x2﹣12，B=5x2y3+10xy3，C=（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、有两个多项式M=2x2+3x+1，N=4x2﹣4x﹣3，则下列哪一个为M与N的公因式（ ）
A、x+1 B、x﹣1
C、2x+1 D、2x﹣1
考点：公因式。
分析：先将两个多项式M，N因式分解，再找出公因式．
解答：解：2x2+3x+1=（2x+1）（x+1），
4x2﹣4x﹣3=（2x+1）（2x﹣3），
所以公因式是2x+1．21世纪教育网版权所有
故选C．
点评：本题主要考查公因式的确定，先利用十字相乘法分解因式，然后即可确定出公因式．
2、多项式m2﹣4n2与m2﹣4mn+4n2的公因式是（ ）
A、（m+2n）（m﹣2n） B、m+2n
C、m﹣2n D、（m+2n）（m﹣2n）2
3、下列多项式中，含有因式（y+1）的多项式是（ ）
A、y2﹣2xy﹣3x2 B、（y+1）2﹣（y﹣1）221世纪教育网版权所有
C、（y+1）2﹣（y2﹣1） D、（y+1）2+2（y+1）+1
考点：公因式。
分析：应先对所给的多项式进行因式分解，根据分解的结果，然后进行判断．
解答：解：A、y2﹣2xy﹣3x2=（y﹣3x）（y+x），故不含因式（y+1）．
B、（y+1）2﹣（y﹣1）2=[（y+1）﹣（y﹣1）][（y+1）+（y﹣1）]=4y，故不含因式（y+1）．
C、（y+1）2﹣（y2﹣1）=（y+1）2﹣（y+1）（y﹣1）=2（y+1），故含因式（y+1）．
D、（y+1）2+2（y+1）+1=（y+2）2，故不含因式（y+1）．
故选C．
点评：本题主要考查公因式的确定，先因式分解，再做判断，在解题时，仅看多项式的表面形式，不能做出判断．
4、多项式36a2bc﹣48ab2c+24abc2的公因式是（ ）
A、12a2b2c2 B、6abc
C、12abc D、36a2b2c221世纪教育网版权所有
考点：公因式。
分析：根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式．
解答：解：系数的最大公约数是12，相同字母的最低指数次幂是abc，
∴公因式为12abc．
故选C．
点评：此题考查的是对公因式的确定，熟练掌握定义是解题的关键．
5、下列各组代数式中没有公因式的是（ ）
A、4a2bc与8abc2 B、a3b2+1与a2b3﹣1
C、b（a﹣2b）2与a（2b﹣a）2 D、x+1与x2﹣1
考点：公因式。21世纪教育网版权所有
分析：分别分析各选项中的代数式，能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式的选项即可．
解答：解：A、4a2bc与8abc2有公因式，为4abc；
B、a3b2+1与a2b3﹣1无公因式；
C、b（a﹣2b）2与a（2b﹣a）2有公因式，为（a﹣2b）2；
D、x+1与x2﹣1，因为后一项可分解为（x+1）（x﹣1），所以两项有公因式，为x+1．
故选B．
点评：本题主要考查公因式的确定，互为相反数的两数的平方相等的性质，只要仔细计算，比较容易得解．
6、观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m（a﹣b）和﹣a+b；③3（a+b）和﹣a﹣b；④x2﹣y2和x2+y2；其中有公因式的是（ ）
A、①② B、②③
C、③④ D、①④
考点：公因式。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：要熟悉一些符号的变化，如②和③中，提出“﹣”后即可出现公因式．
解答：解：①2a+b和a+b没有公因式；
②5m（a﹣b）和﹣a+b=﹣（a﹣b）的公因式为（a﹣b）；
③3（a+b）和﹣a﹣b=﹣（a+b）的公因式为（a+b）；
④x2﹣y2和x2+y2没有公因式．
故选B．
点评：本题主要考查公因式的确定，对于互为相反数的两数，对一个式子提取负号后便可以找到公因式．21世纪教育网版权所有
7、在多项式：①16x5﹣x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2；④﹣4x2﹣1+4x中，分解因式的结果中含有相同因式的是（ ）
A、①② B、③④
C、①④ D、②③
考点：公因式。
分析：根据提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式对各选项分解因式，然后找出有公因式的项即可．
解答：解：①16x5﹣x=x（16x4﹣1），
=x（4x2﹣1）（4x2+1），
=x（2x+1）（2x﹣1）（4x2+1）；
②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=（x﹣3）2；21世纪教育网版权所有
③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2，
=[（x+1）2﹣2x]2，
=（x2+2x+1﹣2x）2，
=（x2+1）2；
④﹣4x2﹣1+4x，
=﹣（4x2﹣4x+1），21世纪教育网版权所有
=﹣（2x﹣1）2．
所以分解因式的结果中含有相同因式的是①④，共同的因式是（2x﹣1）．
故选C．
点评：本题主要考查提公因式法，公式法分解因式，熟记平方差公式，完全平方公式的结构是解题的关键．
8、式子x2+9x，x2+18x+81与x2﹣81的公因式是（ ）
A、x+9 B、x﹣9
C、（x+9）2 D、以上都不对
9、多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（ ）
A、xmyn B、xmyn﹣1
C、4xmyn D、4xmyn﹣121世纪教育网版权所有
考点：公因式。
分析：找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
解答：解：多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是4xmyn﹣1．
故选D．
点评：本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
10、多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是（ ）
A、5mn B、5m2n2
C、5m2n D、5mn2
考点：公因式。
分析：找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
解答：解：多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，
各项系数的最大公约数是5，21世纪教育网版权所有
各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，
所以它的公因式是5m2n．
故选C．
点评：本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．
11、多项式9xy+3x2y﹣6xyz各项的公因式是（ ）
A、3yz B、3xz
C、3xy D、3x21世纪教育网版权所有
考点：公因式。
分析：分别找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可找出公因式．
解答：解：多项式9xy+3x2y﹣6xyz的公因式是3xy．
故选C．
点评：本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
12、把多项式9a2b2﹣18ab2分解因式时，应提出的公因式是（ ）
A、9a2b B、9ab2
C、a2b2 D、18ab2
考点：公因式。
分析：多项式9a2b2﹣18ab2中，各项系数的最大公约数是9，各项都含有的相同字母是a、b，且字母a的指数最低是1，b的指数最低是2，所以应提出的公因式是9ab2．
解答：解：多项式分解因式9a2b2﹣18ab2，应提出公因式9ab2．
故选B．
点评：本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
13、把多项式﹣8a2b3c+16a2b2c2﹣24a3bc3分解因式，应提的公因式是（ ）
A、﹣8a2bc B、2a2b2c3
C、﹣4abc D、24a3b3c321世纪教育网版权所有
考点：公因式。
分析：考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，在做题时首先要准确确定公因式，然后做出选择．
解答：解：﹣8a2b3c+16a2b2c2﹣24a3bc3，
=﹣8a2bc（ab2﹣2bc+3ac2），
公因式是﹣8a2bc．
故选A．
点评：本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
14、多项式8x2n﹣4xn的公因式是（ ）
A、4xn B、2xn﹣1
C、4xn﹣1 D、2xn﹣121世纪教育网版权所有
考点：公因式。
分析：本题考查公因式的定义．找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
解答：解：8x2n﹣4xn=4xn（2xn﹣1），
∴4xn是公因式．
故选A．
点评：本题考查公因式的定义，难度不大，要根据找公因式的要点进行．
15、多项式8x2y2﹣14x2y+4xy3的公因式是（ ）
A、8xy B、2xy
C、4xy D、2y
16、分解8a3b2﹣12ab3c时应提取的公因式是（ ）
A、2ab2 B、4ab
C、ab2 D、4ab2
考点：公因式。
分析：提取公因式时：系数取最大公约数；字母取相同字母的最低次幂．
解答：解：8a3b2﹣12ab3c=4ab2（2a2﹣3bc）．
所以应提取的公因式是4ab2．
故选D．
点评：本题主要考查公因式的确定，注意找公因式的方法，特别不要漏掉找系数的最大公约数．
17、代数式x4﹣81，x2﹣6x+9的公因式是（ ）
A、x+3 B、x﹣3
C、（x﹣3）2 D、x2﹣9
考点：公因式。21世纪教育网版权所有
分析：观察两个多项式，都可以运用公式法进一步因式分解．
解答：解：x4﹣81=（x2+9）（x2﹣9），
=（x2+9）（x+3）（x﹣3）；
x2﹣6x+9=（x﹣3）2．
因此两个多项式的公因式是x﹣3．
故选B．
点评：本题主要考查平方差公式，完全平方公式分解因式，先对每个多项式进行因式分解，然后即可找出两个多项式的公因式．
18、下列各组代数式中，没有公因式的是（ ）
A、ax+y和x+y B、2x和4y
C、a﹣b和b﹣a D、﹣x2+xy和y﹣x21世纪教育网版权所有
考点：公因式。
分析：找公因式即一要找系数的最大公约数，二要找相同字母或相同因式的最低次幂．
解答：解：A、两个没有公因式，正确；
B、显然有系数的最大公约数是2，故错误；
C、只需把b﹣a=﹣（a﹣b），两个即为公因式，故错误；
D、﹣x2+xy=x（y﹣x），显然有公因式y﹣x，故错误．
故选A．
点评：本题主要考查公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式．
19、下列各式中，不能提取公因式的是（ ）
A、12xyz﹣9x2y2 B、a2+2ab+b2
C、x6y﹣x4z D、x（a+b）﹣y（a+b）
考点：公因式。
分析：提公因式法的方法：一看系数，提取各项系数的最大公约数；二看字母，提取相同字母或相同因式的最低次幂．
解答：解：A、公因式是3xy；
B、无公因式，不能提取公因式；
C、公因式是x4；
D、公因式是a+b．21世纪教育网版权所有
故选B．
点评：本题主要考查公因式的确定，注意正确掌握提公因式法的正确方法．
20、分解2x（﹣x+y）2﹣（x﹣y）3应提取的公因式是（ ）
A、﹣x+y B、x﹣y
C、（x﹣y）2 D、以上都不对
二、填空题（共9小题）
21、多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4的公因式是 x﹣2 ．
考点：公因式。21世纪教育网版权所有
分析：分别将多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4进行因式分解，再寻找他们的公因式．
解答：解：∵ax2﹣4a=a（x2﹣4）=a（x+2）（x﹣2），
x2﹣4x+4=（x﹣2）2，
∴多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4的公因式是x﹣2．
点评：本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
22、24m2n+18n的公因式是 6n ．
考点：公因式。21世纪教育网版权所有
分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．
解答：解：原式=6n?4m2+6n?3=6n（4m2+3）．
所以公因式为6n．
点评：本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．
23、9x3y2+12x2y2﹣6xy3中各项的公因式是 3xy2 ．
考点：公因式。
分析：找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
解答：解：9x3y2+12x2y2﹣6xy3中，
系数的最大公约数是3，
相同字母的最低指数次幂是xy2，
所以公因式是3xy2．
点评：本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义是解题的关键．
24、多项式6a2b﹣3ab2的公因式是 3ab ．
考点：公因式。21世纪教育网版权所有
分析：找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
解答：解：∵系数的最大公约数是3，
相同字母的最低指数次幂是ab，
∴多项式6a2b﹣3ab2的公因式是3ab．
点评：本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．
25、多项式9abc﹣6a2b2+12abc2各项的公因式是 3ab ．
考点：公因式。
分析：找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．
解答：解：9abc﹣6a2b2+12abc2中
∵系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，
∴公因式是3ab．
点评：本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．
26、单项式6a3b与9a2b2c的公因式为 3a2b ．
27、9x2y﹣3xy2的公因式是 3xy ．
考点：公因式。
分析：多项式9x2y﹣3xy2中，各项系数的最大公约数是3，各项都含有的相同字母是x、y，字母x的指数最低是1，字母y的指数最低也是1，所以它的公因式是3xy．
解答：解：9x2y﹣3xy2的公因式是3xy．
点评：本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
28、单项式﹣12x12y3与8x10y6的公因式是 4x10y3 ．
考点：公因式。21世纪教育网版权所有
分析：根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．
解答：解：系数的最大公约数是4，
相同字母的最低指数次幂是x10y3，
∴公因式为4x10y3．
点评：本题考查公因式的定义，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键，
29、﹣12a4﹣24a3+36a2的公因式是 ﹣12a2 ．
考点：公因式。
分析：在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低指数次幂．同时注意首项系数通常要变成正数．21世纪教育网版权所有
解答：解：﹣12a4﹣24a3+36a2的公因式是﹣12a2．
点评：本题主要考查公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，特别注意通常首项系数应为正数．
三、解答题（共1小题）
30、已知：A=3x2﹣12，B=5x2y3+10xy3，C=（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
考点：公因式。
分析：分别将多项式A=3x2﹣12，B=5x2y3+10xy3，C=（x+1）（x+3）+1，进行因式分解，再寻找他们的公因式．
解答：解：多项式A、B、C有公因式．
∵A=3x2﹣12=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2），
B=5x2y3+10xy3=5xy3（x+2），
C=（x+1）（x+3）+1=x2+4x+3+1=x2+4x+4=（x+2）2．
∴多项式A、B、C的公因式是：x+2．
点评：本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．21世纪教育网版权所有
