提公因式法与公式法的综合运用
一、选择题（共20小题）
1、设S=（x﹣1）4+4（x﹣1）3+6（x﹣1）2+4（x﹣1）+1，则S等于（ ）
A、（x﹣2）4 B、（x﹣1）4
C、x4 D、（x+1）4
2、分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是（ ）
A、2x（x﹣2） B、2（x2﹣2x+1）
C、2（x﹣1）2 D、（2x﹣2）2
3、多项式2a2﹣4ab+2b2分解因式的结果正确的是（ ）
A、2（a2﹣2ab+b2） B、2a（a﹣2b）+2b2
C、2（a﹣b）2 D、（2a﹣2b）2
4、下列等式不成立的是（ ）
A、m2﹣16=（m﹣4）（m+4） B、m2+4m=m（m+4）
C、m2﹣8m+16=（m﹣4）2 D、m2+3m+9=（m+3）2
5、下列分解因式正确的是（ ）
A、﹣a+a3=﹣a（1+a2） B、2a﹣4b+2=2（a﹣2b）
C、a2﹣4=（a﹣2）2 D、a2﹣2a+1=（a﹣1）2
6、将多项式x3﹣xy2分解因式，结果正确的是（ ）
A、x（x2﹣y2） B、x（x﹣y）2
C、x（x+y）2 D、x（x+y）（x﹣y）21世纪教育网版权所有
7、下列因式分解正确的是（ ）
A、x3﹣x=x（x2﹣1） B、x2+3x+2=x（x+3）+2
C、x2﹣y2=（x﹣y）2 D、x2+2x+1=（x+1）2
8、把a3﹣4ab2分解因式，结果正确的是（ ）
A、a（a+4b）（a﹣4b） B、a（a2﹣4b2）21世纪教育网版权所有
C、a（a+2b）（a﹣2b） D、a（a﹣2b）2
9、把多项式x3﹣2x2+x分解因式结果正确的是（ ）
A、x（x2﹣2x） B、x2（x﹣2）
C、x（x+1）（x﹣1） D、x（x﹣1）2
10、把代数式mx2﹣6mx+9m分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A、m（x+3）2 B、m（x+3）（x﹣3）
C、m（x﹣4）2 D、m（x﹣3）2
11、把代数式3x3﹣6x2y+3xy2分解因式，结果正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、x（3x+y）（x﹣3y） B、3x（x2﹣2xy+y2）
C、x（3x﹣y）2 D、3x（x﹣y）2
12、把多项式2x2﹣8x+8分解因式，结果正确的是（ ）
A、（2x﹣4）2 B、2（x﹣4）2
C、2（x﹣2）2 D、2（x+2）2
13、把x3﹣2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（ ）
A、x（x+y）（x﹣y） B、x（x2﹣2xy+y2）21世纪教育网版权所有
C、x（x+y）2 D、x（x﹣y）2
14、将x3﹣4x分解因式的结果是（ ）
A、x（x2﹣4） B、x（x+4）（x﹣4）
C、x（x+2）（x﹣2） D、x（x﹣2）2
15、下列分解因式错误的是（ ）
A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B、x2+2x+1=（x+1）2
C、x2+y2=（x+y）2 D、x2+xy=x（x+y）
16、分解因式：a﹣ab2的结果是（ ）
A、a（1+b）（1﹣b） B、a（1+b）221世纪教育网版权所有
C、a（1﹣b）2 D、（1﹣b）（1+b）
17、把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A、a（x﹣2）2 B、a（x+2）2
C、a（x﹣4）2 D、a（x+2）（x﹣2）
18、把x3﹣xy2分解因式，正确的结果是（ ）
A、（x+xy）（x﹣xy） B、x（x2﹣y2）
C、x（x﹣y）2 D、x（x﹣y）（x+y）
19、分解因式：x3﹣x，结果为（ ）
A、x（x2﹣1） B、x（x﹣1）2
C、x（x+1）2 D、x（x+1）（x﹣1）
20、把代数式xy2﹣9x分解因式，结果正确的是（ ）
A、x（y2﹣9） B、x（y+3）2
C、x（y+3）（y﹣3） D、x（y+9）（y﹣9）
二、填空题（共5小题）
21、（Ⅰ）因式分解：2x2﹣8= _________ ．
（Ⅱ）用计算器计算： _________ ．（结果保留三个有效字）
22、分解因式：ax2﹣4a= _________ ．
23、因式分解：x3y2﹣x5= _________ ．
24、因式分解：x3﹣4x2+4x= _________ ．
25、分解因式：x3﹣6x2+9x= _________ ．21世纪教育网版权所有
三、解答题（共5小题）
26、（1）计算：
（2）给出三个多项式：，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．
27、（1）分解因式：x2y﹣2xy2+y3（2）计算：
28、（1）计算：
（2）因式分解：ax2+4ax+4a21世纪教育网版权所有
29、（1）计算：
（2）分解因式：2x3y﹣8x2y2+8xy3．
30、合并同类项：（注：第（2）题把（a+b）看作整体．）
（1）7xy﹣2x2+x2﹣5xy+3x2+2yx；
（2）﹣3（a+b）+5（a+b）2﹣6（a+b）+4（a+b）﹣2（a+b）221世纪教育网版权所有
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）21世纪教育网版权所有
1、设S=（x﹣1）4+4（x﹣1）3+6（x﹣1）2+4（x﹣1）+1，则S等于（ ）
A、（x﹣2）4 B、（x﹣1）4
C、x4 D、（x+1）4
考点：整式的混合运算；去括号与添括号；提公因式法与公式法的综合运用。
专题：转化思想；换元法；因式分解。
分析：观察S=（x﹣1）4+4（x﹣1）3+6（x﹣1）2+4（x﹣1）+1发现，均含有x﹣1所以令t=x﹣1，则S=t4+4t3+6t2+4t+1，再观察答案各项均是一个完整的四次式，因而要因式分解．分解后再将t=x﹣1代入分解后的因式，即可知S
解答：解：令t=x﹣1，
则S=t4+4t3+6t2+4t+1，21世纪教育网版权所有
=t4+t3+3t3+3t2+3t2+3t+t+1，
=t3（t+1）+3t2（t+1）+3t（t+1）+（t+1），
=（t+1）（t3+3t2+3t+1），
=（t+1）（t3+t2+2t2+2t+t+1），
=（t+1）[t2（t+1）+2t（t+1）+（t+1）]，
=（t+1）2（t2+2t+1），
=（t+1）4再将t=x﹣1代入S=（t+1）4=x4．
故选C．
点评：本题巧妙利用换元法，拆分项，提取公因式法，本题虽是选择题，仍可做为大题出现．同学们通过本题可以综合锻炼自己的思维与能力．
2、分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是（ ）
A、2x（x﹣2） B、2（x2﹣2x+1）
C、2（x﹣1）2 D、（2x﹣2）2
3、多项式2a2﹣4ab+2b2分解因式的结果正确的是（ ）
A、2（a2﹣2ab+b2） B、2a（a﹣2b）+2b2
C、2（a﹣b）2 D、（2a﹣2b）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用。21世纪教育网版权所有
分析：先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
解答：解：2a2﹣4ab+2b2=2（a2﹣2ab+b2）=2（a﹣b）2．
故选C．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
4、下列等式不成立的是（ ）
A、m2﹣16=（m﹣4）（m+4） B、m2+4m=m（m+4）
C、m2﹣8m+16=（m﹣4）2 D、m2+3m+9=（m+3）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
专题：因式分解。21世纪教育网版权所有
分析：由平方差公式，提公因式以及完全平方公式分解因式的知识求解即可求得答案．
解答：解：A、m2﹣16=（m﹣4）（m+4），故本选项正确；
B、m2+4m=m（m+4），故本选项正确；
C、m2﹣8m+16=（m﹣4）2，故本选项正确；
D、m2+3m+9≠（m+3）2，故本选项错误．
故选D．
点评：此题考查了因式分解的知识．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解，注意分解要彻底．
5、下列分解因式正确的是（ ）
A、﹣a+a3=﹣a（1+a2） B、2a﹣4b+2=2（a﹣2b）
C、a2﹣4=（a﹣2）2 D、a2﹣2a+1=（a﹣1）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用。21世纪教育网版权所有
专题：因式分解。
分析：根据提公因式法，平方差公式，完全平方公式求解即可求得答案．
解答：解：A、﹣a+a3=﹣a（1﹣a2）=﹣a（1+a）（1﹣a），故本选项错误；
B、2a﹣4b+2=2（a﹣2b+1），故本选项错误；
C、a2﹣4=（a﹣2）（a+2），故本选项错误；
D、a2﹣2a+1=（a﹣1）2，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，理解因式分解与整式的乘法是互逆运算是解题的关键．
6、将多项式x3﹣xy2分解因式，结果正确的是（ ）
A、x（x2﹣y2） B、x（x﹣y）2
C、x（x+y）2 D、x（x+y）（x﹣y）
考点：提公因式法与公式法的综合运用。21世纪教育网版权所有
分析：先提取公因式x，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）．
解答：解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y），
故选：D．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
7、下列因式分解正确的是（ ）
A、x3﹣x=x（x2﹣1） B、x2+3x+2=x（x+3）+2
C、x2﹣y2=（x﹣y）2 D、x2+2x+1=（x+1）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用。21世纪教育网版权所有
分析：要首先提取多项式中的公因式，然后再考虑公式法分解，注意分解因式后结果都是积的形式，分解要彻底．
解答：解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x﹣1）（x+1）分解不彻底，故此选项错误；
B、x2+3x+2=x（x+3）+2的结果不是积的形式，故此选项错误；
C、x2﹣y2=（x﹣y）（x+y），故此选项错误；
D、x2+2x+1=（x+1）2故此选项正确；
故选：D．
点评：此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，关键是熟记平法差公式与完全平方的公式特点注意结果要分解彻底．
8、把a3﹣4ab2分解因式，结果正确的是（ ）
A、a（a+4b）（a﹣4b） B、a（a2﹣4b2）
C、a（a+2b）（a﹣2b） D、a（a﹣2b）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式a，再对余下的多项式继续分解．
解答：解：a3﹣4ab2=a（a2﹣4b2）=a（a+2b）（a﹣2b）．
故选C．
点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
9、把多项式x3﹣2x2+x分解因式结果正确的是（ ）
A、x（x2﹣2x） B、x2（x﹣2）
C、x（x+1）（x﹣1） D、x（x﹣1）2
10、把代数式mx2﹣6mx+9m分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A、m（x+3）2 B、m（x+3）（x﹣3）
C、m（x﹣4）2 D、m（x﹣3）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式m，再对余下的多项式继续分解．
解答：解：mx2﹣6mx+9m，
=m（x2﹣6x+9），
=m（x﹣3）2．
故选D．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11、把代数式3x3﹣6x2y+3xy2分解因式，结果正确的是（ ）
A、x（3x+y）（x﹣3y） B、3x（x2﹣2xy+y2）
C、x（3x﹣y）2 D、3x（x﹣y）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：先提公因式3x，再利用完全平方公式分解因式．
解答：解：3x3﹣6x2y+3xy2，
=3x（x2﹣2xy+y2），
=3x（x﹣y）2．
故选D．
点评：本题主要利用提公因式法、完全平方公式分解因式，熟记公式结构特点是解题的关键．
12、把多项式2x2﹣8x+8分解因式，结果正确的是（ ）
A、（2x﹣4）2 B、2（x﹣4）2
C、2（x﹣2）2 D、2（x+2）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用。21世纪教育网版权所有
分析：考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题．当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应提公因式，再用公式．
解答：解：2x2﹣8x+8=2（x2﹣4x+4）=2（x﹣2）2．
故选C．
点评：本题考查分解因式的提公因式法及公式法．要先提公因式，再用公式法．
易错易混点：学生在提出公因式之后不能正确应用完全平方公式而易错选B．
13、把x3﹣2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（ ）
A、x（x+y）（x﹣y） B、x（x2﹣2xy+y2）
C、x（x+y）2 D、x（x﹣y）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
解答：解：x3﹣2x2y+xy2，
=x（x2﹣2xy+y2），21世纪教育网版权所有
=x（x﹣y）2．
故选D．
点评：本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14、将x3﹣4x分解因式的结果是（ ）
A、x（x2﹣4） B、x（x+4）（x﹣4）
C、x（x+2）（x﹣2） D、x（x﹣2）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题．当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．
解答：解：x3﹣4x，21世纪教育网版权所有
=x（x2﹣4），
=x（x﹣2）（x+2）．
故选C．
点评：本题需要二次分解，先提公因式，然后再利用平方差公式分解，一定要做到不能再分解因式为止．
15、下列分解因式错误的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B、x2+2x+1=（x+1）2
C、x2+y2=（x+y）2 D、x2+xy=x（x+y）
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：此题考查乘法公式的应用及简单的因式分解．
解答：解：由（x+y）2=x2+2xy+y2，所以很容易判断出C答案错误．故选C．
点评：应用乘法公式，找出错误的因式分解．
16、分解因式：a﹣ab2的结果是（ ）
A、a（1+b）（1﹣b） B、a（1+b）2
C、a（1﹣b）2 D、（1﹣b）（1+b）
17、把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A、a（x﹣2）2 B、a（x+2）2
C、a（x﹣4）2 D、a（x+2）（x﹣2）
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
解答：解：ax2﹣4ax+4a，
=a（x2﹣4x+4），
=a（x﹣2）2．
故选A．21世纪教育网版权所有
点评：本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．
18、把x3﹣xy2分解因式，正确的结果是（ ）
A、（x+xy）（x﹣xy） B、x（x2﹣y2）
C、x（x﹣y）2 D、x（x﹣y）（x+y）
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：先提取公因式x，再根据平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
解答：解：x3﹣xy2，
=x（x2﹣y2），
=x（x﹣y）（x+y）．
故选D．
点评：提取公因式后利用平方差公式进行两次分解，注意要分解完全．
19、分解因式：x3﹣x，结果为（ ）
A、x（x2﹣1） B、x（x﹣1）2
C、x（x+1）2 D、x（x+1）（x﹣1）
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可．21世纪教育网版权所有
解答：解：x3﹣x，21世纪教育网版权所有
=x（x2﹣1），
=x（x+1）（x﹣1）．
故选D．
点评：本题需要先提取公因式，再利用平方差公式分解，一定要分解彻底．
20、把代数式xy2﹣9x分解因式，结果正确的是（ ）
A、x（y2﹣9） B、x（y+3）2
C、x（y+3）（y﹣3） D、x（y+9）（y﹣9）
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：先提取公因式x，再根据平方差公式分解即可．
解答：解：xy2﹣9x，
=x（y2﹣9），
=x（y+3）（y﹣3）．21世纪教育网版权所有
故选C．
点评：本题要用到二次分解因式，分解因式时一定要分解彻底．
二、填空题（共5小题）
21、（Ⅰ）因式分解：2x2﹣8= 2（x+2）（x﹣2） ．
（Ⅱ）用计算器计算： 1.83 ．（结果保留三个有效字）
22、分解因式：ax2﹣4a= a（x+2）（x﹣2） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用。21世纪教育网版权所有
分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：ax2﹣4a，
=a（x2﹣4），
=a（x+2）（x﹣2）．
点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
23、因式分解：x3y2﹣x5= x3（y﹣x）（y+x） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：先提取公因式x3，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
解答：解：x3y2﹣x5=x3（y2﹣x2）=x3（y﹣x）（y+x）．
故答案为：x3（y﹣x）（y+x）．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
24、因式分解：x3﹣4x2+4x= x（x﹣2）2 ．21世纪教育网版权所有
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：找到公因式x后，提取公因式x发现x2﹣4x+4符合完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得．
解答：解：x3﹣4x2+4x，
=x（x2﹣4x+4），
=x（x﹣2）2．
点评：本题主要考查提公因式法和利用完全平方公式分解因式，熟记公式是解题的关键，要进行二次分解因式．21世纪教育网版权所有
25、分解因式：x3﹣6x2+9x= x（x﹣3）2 ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式套用公式继续分解．
解答：解：x3﹣6x2+9x=x（x2﹣6x+9）=x（x﹣3）2．
点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
三、解答题（共5小题）
26、（1）计算：21世纪教育网版权所有
（2）给出三个多项式：，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．
考点：实数的运算；整式的加减；提公因式法与公式法的综合运用。
专题：计算题。
分析：（1）根据零指数幂、负指数幂、乘方3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）先选择两个多项式，再进行加法运算，最后因式分解即可．
解答：解：（1）原式=1﹣1﹣8
=﹣8；
（2）选择x2+3x+1与x2﹣x，21世纪教育网版权所有
则x2+3x+1+x2﹣x=x2+2x+1
=（x+1）2．
点评：本题考查实数的综合运算能力以及多项式的加法、因式分解，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方等考点的运算．
27、（1）分解因式：x2y﹣2xy2+y3（2）计算：
考点：实数的运算；提公因式法与公式法的综合运用。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：（1）先提公因式y，再用完全平方公式进行分解即可；
（2）根据绝对值二次根式的化简以及立方根进行计算．
解答：解：（1）原式=y（x2﹣2xy+y2）=y（x﹣y）2；
（2）原式=+﹣2=﹣1．
点评：本题考查了因式分解及实数的有关运算，是基础知识比较简单．
28、（1）计算：21世纪教育网版权所有
（2）因式分解：ax2+4ax+4a
考点：实数的运算；提公因式法与公式法的综合运用。
专题：计算题。
分析：（1）利用乘法分配律，即可求得结果；
（2）首先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
解答：解：（1）=2；
（2）ax2+4ax+4a=a（x2+4x+4）=a（x+2）2．
点评：此题考查了实数的混合运算与因式分解的知识．题目比较简单，注意解题时要细心．
29、（1）计算：
（2）分解因式：2x3y﹣8x2y2+8xy3．21世纪教育网版权所有
（2）本题考查了提公因式法、公式法分解因式，关键在于提取公因式后要进行二次因式分解．
30、合并同类项：（注：第（2）题把（a+b）看作整体．）
（1）7xy﹣2x2+x2﹣5xy+3x2+2yx；
（2）﹣3（a+b）+5（a+b）2﹣6（a+b）+4（a+b）﹣2（a+b）2
考点：合并同类项；提公因式法与公式法的综合运用。
专题：整体思想。21世纪教育网版权所有
分析：（1）合并同类项即可直接求出答案；
（2）把（a+b）看作整体，提取公因式（a+b），运算比较简便．
解答：解：（1）7xy﹣2x2+x2﹣5xy+3x2+2yx，
=﹣2x2+3x2+x2+7xy﹣5xy+2xy，
=2x2+4xy；
（2）﹣3（a+b）+5（a+b）2﹣6（a+b）+4（a+b）﹣2（a+b）2，
=（﹣3﹣6+4）（a+b）+（5﹣2）（a+b）2，
=3（a+b）2﹣5（a+b）．
点评：此题主要考查学生对合并同类项这一知识点的理解和掌握；解答（2）的关键是把（a+b）看作整体．此题难度不大，属于基础题．21世纪教育网版权所有
