因式分解-提公因式法
一、选择题（共20小题）
1、下列运算正确的是（ ）
A、a2?a3=a6 B、（x+y）2=x2+y2
C、x2y﹣xy2+xy=xy（x+y） D、2x2﹣x2=x2
2、计算（2ab2﹣8a2b）÷（4a﹣b）的结果为（ ）
A、﹣2ab B、2ab
C、3a2b D、﹣3ab
3、已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（ ）
A、﹣12 B、﹣32
C、38 D、72
4、下列分解因式正确的是（ ）
A、2x2﹣xy﹣x=2x（x﹣y﹣1）
B、﹣xy2+2xy﹣3y=﹣y（xy﹣2x﹣3）
C、x（x﹣y）﹣y（x﹣y）=（x﹣y）2
D、x2﹣x﹣3=x（x﹣1）﹣3
5、若a*b=a2+2ab，则x2*y所表示的代数式分解因式的结果是（ ）
A、x2（x2+2y） B、x（x+2）
C、y2（y2+2x） D、x2（x2﹣2y）
6、分解因式﹣2xy2+6x3y2﹣10xy时，合理地提取的公因式应为（ ）
A、﹣2xy2 B、2xy
C、﹣2xy D、2x2y
7、把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后，余下的部分是（ ）
A、m+1 B、2m
C、2 D、m+2
8、下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、x2﹣y B、x2+2x
C、x2+y2 D、x2﹣xy+y2
9、多项式a﹣b+c（a﹣b）因式分解的结果是（ ）
A、（a﹣b）（c+1） B、（b﹣a）（c+1）
C、（a﹣b）（c﹣1） D、（b﹣a）（c﹣1）
10、将m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式，正确的是（ ）
A、（a﹣2）（m2﹣m） B、m（a﹣2）（m+1）
C、m（a﹣2）（m﹣1） D、m（2﹣a）（m﹣1）
11、下列因式分解变形中，正确的是（ ）
A、ab（a﹣b）﹣a（b﹣a）=﹣a（b﹣a）（b+1）
B、6（m+n）2﹣2（m+n）=（2m+n）（3m+n+1）
C、3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x+2） 21世纪教育网版权所有
D、3x（x+y）2﹣（x+y）=（x+y）2（2x+y）
12、用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A、12abc﹣9a2b2c2=3abc（4﹣3ab） B、3x2y﹣3xy+6y=3y（x2﹣x+2y）
C、﹣a2+ab﹣ac=﹣a（a﹣b+c） D、x2y+5xy﹣y=y（x2+5x）
13、若（p﹣q）2﹣（q﹣p）3=（q﹣p）2E，则E是（ ）
A、1﹣q﹣p B、q﹣p
C、1+p﹣q D、1+q﹣p21世纪教育网版权所有
14、下列因式分解正确的是（ ）
A、2a2﹣3ab+a=a（2a﹣3b） B、2πR﹣2πr=π（2R﹣2r）
C、﹣x2﹣2x=﹣x（x﹣2） D、5x4+25x2=5x2（x2+5）
15、利用因式分解计算：2100﹣2101=（ ）
A、﹣2 B、2
C、2100 D、﹣2100
16、如果多项式﹣abc+ab2﹣a2bc的一个因式是﹣ab，那么另一个因式是（ ）
A、c﹣b+5ac B、c+b﹣5ac
C、c﹣b+ac D、c+b﹣ac
17、观察下列各式：①abx﹣adx；②2x2y+6xy2；③8m3﹣4m2+2m+1；④a3+a2b+ab2﹣b3；⑤（p+q）x2y﹣5x2（p+q）+6（p+q）2；⑥a2（x+y）（x﹣y）﹣4b（y+x）．其中可以用提公因式法分解因式的有（ ）
A、①②⑤ B、②④⑤
C、②④⑥ D、①②⑤⑥21世纪教育网版权所有
18、分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）
A、（x﹣3）（b2+b） B、b（x﹣3）（b+1）
C、（x﹣3）（b2﹣b） D、b（x﹣3）（b﹣1）
19、下列各式中，分解因式错误的是（ ）
A、3x2y﹣9xy2=3xy（x﹣3y） B、﹣6m3+9mb2﹣15mc2=﹣3m（2m2﹣3b2+5c2）
C、2a2y+12a2y2﹣8ay=2ay（a+6ay） D、14pqx﹣8xpq2+6px=2px（7q﹣4q2+3）
20、下列哪项是x4+x3+x2的因式分解的结果（ ）
A、x2（x2+x） B、x（x3+x2+x）
C、x3（x+1）+x2 D、x2（x2+x+1）
二、填空题（共5小题）
21、分解因式：x2+3x= _________ ．
22、分解因式：2a2﹣4a= _________ ．
23、分解因式：x2﹣2x= _________ ．
24、分解因式：x2+x= _________ ．
25、分解因式：2x2﹣6x= _________ ．
三、解答题（共5小题）21世纪教育网版权所有
26、（1）计算：
（2）因式分解：ab2+2ab+a．
27、计算与分解因式：
（1）计算：（x﹣2）（x+2）﹣（x﹣1）2
（2）因式分解：a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）
28、（1）因试分解：n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）21世纪教育网版权所有
（2）先化简再求值：（2a﹣3b）2﹣2（2a+3b）（2a﹣3b）+（2a+3b）2，其中：．
29、先化简，再求值：（2x+1）2﹣（2x+1）（﹣1+2x），其中．
30、化简：（1﹣3a）2﹣3（1﹣3a）
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答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列运算正确的是（ ）
A、a2?a3=a6 B、（x+y）2=x2+y2
C、x2y﹣xy2+xy=xy（x+y） D、2x2﹣x2=x2
考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；因式分解-提公因式法。
专题：计算题。
分析：根据合并同类项的法则，积的乘方运算性质，同底数幂的乘法法则，完全平方公式分别计算，然后比较即可．
解答：解：A、应得a5，故本选项错误；
B、（x+y）2=x2+2xy+y2，故本选项错误；
C、x2y﹣xy2+xy=xy（x﹣y）+xy=xy（x﹣y+1），故本选项错误；
D、2x2﹣x2=x2，正确．
故选D．
点评：本题考查了合并同类项的法则，积的乘方运算性质，同底数幂的乘法法则，完全平方公式，比较简单．牢记法则是关键．
2、计算（2ab2﹣8a2b）÷（4a﹣b）的结果为（ ）
A、﹣2ab B、2ab
C、3a2b D、﹣3ab
3、已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（ ）
A、﹣12 B、﹣32
C、38 D、72
考点：因式分解的意义；因式分解-提公因式法。
分析：首先要对原式正确因式分解，然后进行对号入座，即可得出字母的值．
解答：解：原式=（13x﹣17）（19x﹣31﹣11x+23）=（13x﹣17）（8x﹣8），
∵可以分解成（ax+b）（8x+c），
∴a=13，b=﹣17，c=﹣8，
∴a+b+c=﹣12．
故选A．
点评：各项有公因式时，要先考虑提取公因式．21世纪教育网版权所有
4、下列分解因式正确的是（ ）
A、2x2﹣xy﹣x=2x（x﹣y﹣1） B、﹣xy2+2xy﹣3y=﹣y（xy﹣2x﹣3）
C、x（x﹣y）﹣y（x﹣y）=（x﹣y）2 D、x2﹣x﹣3=x（x﹣1）﹣3
考点：因式分解的意义；因式分解-提公因式法。
分析：根据提公因式法和公式法进行判断求解．
解答：解：A、公因式是x，应为2x2﹣xy﹣x=x（2x﹣y﹣1），错误；
B、符号错误，应为﹣xy2+2xy﹣3y=﹣y（xy﹣2x+3），错误；
C、提公因式法，正确；
D、右边不是积的形式，错误；21世纪教育网版权所有
故选C．
点评：本题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服．
5、若a*b=a2+2ab，则x2*y所表示的代数式分解因式的结果是（ ）
A、x2（x2+2y） B、x（x+2）
C、y2（y2+2x） D、x2（x2﹣2y）
考点：因式分解的意义；因式分解-提公因式法。
专题：新定义。
分析：把x2*y表示成一般形式，分解因式即可．
解答：解：x2*y=x4+2x2y=x2（x2+2y）．
故选A．
点评：正确理解题意，是解决本题的关键．
6、分解因式﹣2xy2+6x3y2﹣10xy时，合理地提取的公因式应为（ ）
A、﹣2xy2 B、2xy
C、﹣2xy D、2x2y
考点：公因式；因式分解-提公因式法。
专题：推理填空题。
分析：根据多项式的公因式的定义（系数取最大公因数，相同底数的幂取底数最低次幂），取出即可．
解答：解：﹣2xy2+6x3y2﹣10xy=﹣2xy（y﹣3xy+5），
多项式的公因式是﹣2xy，
故选C．
点评：本题考查了对公因式的理解和运用，注意多项式的公因式的找法：①系数取各项系数的最大公约数，②相同字母，取最低次幂．
7、把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后，余下的部分是（ ）
A、m+1 B、2m
C、2 D、m+2
考点：因式分解-提公因式法。
分析：先提取公因式（m﹣1）后，得出余下的部分．
解答：解：（m+1）（m﹣1）+（m﹣1），21世纪教育网版权所有
=（m﹣1）（m+1+1），
=（m﹣1）（m+2）．
故选D．
点评：先提取公因式，进行因式分解，要注意m﹣1提取公因式后还剩1．
8、下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）
A、x2﹣y B、x2+2x
C、x2+y2 D、x2﹣xy+y2
考点：因式分解-提公因式法。
分析：根据找公因式的要点提公因式分解因式．
解答：解：A、不符合要求，没有公因式可提，故本选项错误；
B、x2+2x可以提取公因式x，正确；
C、不符合要求，没有公因式可提，故本选项错误；
D、不符合要求，没有公因式可提，故本选项错误；21世纪教育网版权所有
故选B．
点评：要明确找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；
（3）相同字母的指数取次数最低的．
9、多项式a﹣b+c（a﹣b）因式分解的结果是（ ）
A、（a﹣b）（c+1） B、（b﹣a）（c+1）
C、（a﹣b）（c﹣1） D、（b﹣a）（c﹣1）
10、将m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式，正确的是（ ）
A、（a﹣2）（m2﹣m） B、m（a﹣2）（m+1）
C、m（a﹣2）（m﹣1） D、m（2﹣a）（m﹣1）21世纪教育网版权所有
考点：因式分解-提公因式法。
分析：先把2﹣a转化为a﹣2，然后提取公因式m（a﹣2），整理即可．
解答：解：m2（a﹣2）+m（2﹣a），
=m2（a﹣2）﹣m（a﹣2），
=m（a﹣2）（m﹣1）．
故选C．
点评：把（2﹣a）转化为（a﹣2）是提取公因式的关键．
11、下列因式分解变形中，正确的是（ ）
A、ab（a﹣b）﹣a（b﹣a）=﹣a（b﹣a）（b+1） B、6（m+n）2﹣2（m+n）=（2m+n）（3m+n+1）
C、3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x+2） D、3x（x+y）2﹣（x+y）=（x+y）2（2x+y）
考点：因式分解-提公因式法；因式分解的意义。
分析：分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
解答：解：A、ab（a﹣b）﹣a（b﹣a）=﹣a（b﹣a）（b+1），正确；
B、6（m+n）2﹣2（m+n）=2（m+n）（3m+3n﹣1），故本选项错误；
C、3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x﹣2），故本选项错误；21世纪教育网版权所有
D、3x（x+y）2﹣（x+y）=（x+y）（3x2+3xy﹣1），故本选项错误．
故选A．
点评：这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
12、用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A、12abc﹣9a2b2c2=3abc（4﹣3ab） B、3x2y﹣3xy+6y=3y（x2﹣x+2y）
C、﹣a2+ab﹣ac=﹣a（a﹣b+c） D、x2y+5xy﹣y=y（x2+5x）
考点：因式分解-提公因式法。
分析：此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案．
解答：解：A、12abc﹣9a2b2c2=3abc（4﹣3abc），故本选项错误；
B、3x2y﹣3xy+6y=3y（x2﹣x+2），故本选项错误；
C、﹣a2+ab﹣ac=﹣a（a﹣b+c），正确；
D、x2y+5xy﹣y=y（x2+5x﹣1），故本选项错误．
故选C．
点评：此题考查提取公因式的方法，通过得出结论推翻选项．
13、若（p﹣q）2﹣（q﹣p）3=（q﹣p）2E，则E是（ ）
A、1﹣q﹣p B、q﹣p21世纪教育网版权所有
C、1+p﹣q D、1+q﹣p
考点：因式分解-提公因式法。
分析：观察等式的右边，提取的是（q﹣p）2，故可把（p﹣q）2变成（q﹣p）2，即左边=（q﹣p）2（1﹣q+p）．
解答：解：（p﹣q）2﹣（q﹣p）3=（q﹣p）2（1﹣q+p）．
故选C．
点评：注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．
14、下列因式分解正确的是（ ）
A、2a2﹣3ab+a=a（2a﹣3b） B、2πR﹣2πr=π（2R﹣2r）
C、﹣x2﹣2x=﹣x（x﹣2） D、5x4+25x2=5x2（x2+5）
考点：因式分解-提公因式法。
分析：要根据公因式的定义，在多项式中找出公因式，然后提取公因式．
解答：解：A、2a2﹣3ab+a=a（2a﹣3b+1），故本选项错误；
B、2πR﹣2πr=2π（R﹣r），故本选项错误；
C、﹣x2﹣2x=﹣x（x+2），故本选项错误；
D、5x4+25x2=5x2（x2+5），正确．
故选D．
点评：解题的关键是正确找出公因式，提取公因式后注意符号的变化．
15、利用因式分解计算：2100﹣2101=（ ）21世纪教育网版权所有
A、﹣2 B、2
C、2100 D、﹣2100
考点：因式分解-提公因式法。
分析：提取公因式2100，整理并计算即可．
解答：解：2100﹣2101=2100﹣2100?2=2100（1﹣2）=﹣2100．
故选D．
点评：主要考查提公因式法分解因式，要注意符号．
16、如果多项式﹣abc+ab2﹣a2bc的一个因式是﹣ab，那么另一个因式是（ ）
A、c﹣b+5ac B、c+b﹣5ac
C、c﹣b+ac D、c+b﹣ac
考点：因式分解-提公因式法。21世纪教育网版权所有
分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解，本题提取公因式﹣ab．
解答：解：﹣abc+ab2﹣a2bc=﹣ab（c﹣b+5ac），
故另一个因式为（c﹣b+5ac），
故选A．
点评：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，提取公因式后剩下的因式是用原多项式除以公因式所得的商得到的．
17、观察下列各式：①abx﹣adx；②2x2y+6xy2；③8m3﹣4m2+2m+1；④a3+a2b+ab2﹣b3；⑤（p+q）x2y﹣5x2（p+q）+6（p+q）2；⑥a2（x+y）（x﹣y）﹣4b（y+x）．其中可以用提公因式法分解因式的有（ ）
A、①②⑤ B、②④⑤
C、②④⑥ D、①②⑤⑥
18、分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）
A、（x﹣3）（b2+b） B、b（x﹣3）（b+1）
C、（x﹣3）（b2﹣b） D、b（x﹣3）（b﹣1）
考点：因式分解-提公因式法。
分析：确定公因式是b（x﹣3），然后提取公因式即可．
解答：解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），21世纪教育网版权所有
=b（x﹣3）（b+1）．
故选B．
点评：需要注意提取公因式后，第二项还剩因式1．
19、下列各式中，分解因式错误的是（ ）
A、3x2y﹣9xy2=3xy（x﹣3y） B、﹣6m3+9mb2﹣15mc2=﹣3m（2m2﹣3b2+5c2）
C、2a2y+12a2y2﹣8ay=2ay（a+6ay） D、14pqx﹣8xpq2+6px=2px（7q﹣4q2+3）
考点：因式分解-提公因式法。
分析：根据公因式的定义，取系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，对各选项分析后找出各项的公因式，然后提取公因式整理即可．
解答：解：A、B、D，都正确运用了提公因式法；
C、出现了漏项，原式=2ay（a+6ay﹣4），错误；
故选C．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查了提公因式法分解因式，找出公因式是解题的关键，不要出现漏项，分解因式结束后检查非常重要．
20、下列哪项是x4+x3+x2的因式分解的结果（ ）
A、x2（x2+x） B、x（x3+x2+x）
C、x3（x+1）+x2 D、x2（x2+x+1）
考点：因式分解-提公因式法。
分析：确定公因式为x2，然后提取公因式即可．
解答：解：x4+x3+x2=x2（x2+x+1）．
故选D．
点评：考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式．
二、填空题（共5小题）
21、分解因式：x2+3x= x（x+3） ．
考点：因式分解-提公因式法。
分析：观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．
解答：解：x2+3x=x（x+3）．21世纪教育网版权所有
点评：主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．
22、分解因式：2a2﹣4a= 2a（a﹣2） ．
考点：因式分解-提公因式法。
分析：观察原式，找到公因式2a，提出即可得出答案．
解答：解：2a2﹣4a=2a（a﹣2）．
点评：本题考查了因式分解的基本方法一﹣﹣﹣提公因式法．本题只要将原式的公因式2a提出即可．
23、分解因式：x2﹣2x= x（x﹣2） ．
考点：因式分解-提公因式法。
分析：提取公因式x，整理即可．
解答：解：x2﹣2x=x（x﹣2）．
点评：本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．
24、分解因式：x2+x= x（x+1） ．
考点：因式分解-提公因式法。21世纪教育网版权所有
分析：首先确定公因式是x，然后提公因式即可．
解答：解：x2+x=x（x+1）．
点评：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
25、分解因式：2x2﹣6x= 2x（x﹣3） ．
考点：因式分解-提公因式法。
专题：计算题。
分析：首先确定公因式为2x，然后提取公因式2x，进行分解．
解答：解：2x2﹣6x=2x（x﹣3）．21世纪教育网版权所有
故答案为：2x（x﹣3）．
点评：此题考查的是因式分解﹣提公因式法，解答此题的关键是先确定公因式2x．
三、解答题（共5小题）
26、（1）计算：
（2）因式分解：ab2+2ab+a．
27、计算与分解因式：
（1）计算：（x﹣2）（x+2）﹣（x﹣1）221世纪教育网版权所有
（2）因式分解：a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）
考点：整式的混合运算；因式分解-提公因式法。
专题：计算题。
分析：（1）利用平方差公式、完全平方差公式将（x﹣2）（x+2）和（x﹣1）2展开，然后合并同类项；
（2）先提取公因式（x﹣y），然后合并同类项．
解答：解：（1）原式=x2﹣4﹣（x2﹣2x+1）=2x﹣5；
（2）原式=a（x﹣y）+b（x﹣y）+c（x﹣y）
=（x﹣y）（a+b+c）．
点评：本题考查了整式的混合运算、提公因式法，公式法分解因式，分解因式一般用的方法有提公因式法和运用公式法．如果含有公因式则先提公因式，提公因式后再用公式法进行分解．
28、（1）因试分解：n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）
（2）先化简再求值：（2a﹣3b）2﹣2（2a+3b）（2a﹣3b）+（2a+3b）2，其中：．
考点：整式的混合运算—化简求值；因式分解-提公因式法。
分析：（1）把m﹣2与2﹣m统一形式，运用提取公因式法分解因式；21世纪教育网版权所有
（2）原式是完全平方式结构，所以运用完全平方公式化简，再代值计算．
解答：解：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）
=n2（m﹣2）+n（m﹣2）
=n（m﹣2）（n+1）；
（2）（2a﹣3b）2﹣2（2a+3b）（2a﹣3b）+（2a+3b）2
=[（2a﹣3b）﹣（2a+3b）]2=（﹣6b）2=36b2．
当a=﹣2，b=时，原式=36×=4．21世纪教育网版权所有
点评：此题考查分解因式和分式的化简求值，难度中等．
29、先化简，再求值：（2x+1）2﹣（2x+1）（﹣1+2x），其中．
考点：整式的混合运算—化简求值；因式分解-提公因式法。
分析：先提取公因式（2x+1）并整理，然后代入数据计算即可．
解答：解：（2x+1）2﹣（2x+1）（﹣1+2x），
=（2x+1）（2x+1+1﹣2x），
=2（2x+1），
=4x+2，
当时，原式=4×（﹣）+2=﹣2+2=0．
点评：本题考查了提公因式法分解因式，在化简的过程中，有时利用因式分解可以达到计算更加简便的目的．
30、化简：（1﹣3a）2﹣3（1﹣3a）
