完全平方公式的几何背景
一、选择题（共16小题）
1、有若干张面积分别为a2、b2、ab的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（ ）
A、2张 B、4张
C、6张 D、8张
2、图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）
A、（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn B、（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn
C、（m﹣n）2+2mn=m2+n2 D、（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2
3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
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A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C、a（a+b）=a2+ab D、a（a﹣b）=a2﹣ab
4、已知如图，图中最大的正方形的面积是（ ）
A、a2 B、a2+b2
C、a2+2ab+b2 D、a2+ab+b221世纪教育网版权所有
5、如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（ ）
A、（a+b）2=a2+2ab+b2 B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D、（a+b）2=（a﹣b）2+4ab
6、请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（ ）
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A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B、（a+b）2=a2+2ab+b2
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D、（a+b）2=a2+ab+b2
7、我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（3）可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．那么通过图（4）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
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A、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C、（a+b）2=a2+2ab+b2 D、（a﹣b）（a+2b）=a2+ab﹣b2
8、如果关于x的二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A、8或﹣8 B、8
C、﹣8 D、无法确定
9、如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，b2，则原正方形的边长是（ ）
A、a2+b2 B、a+b
C、a﹣b D、a2﹣b2
10、若长方形的周长为6，面积为1，以此长方形的长与宽为边分别作两个正方形，则此两个正方形的面积之和是（ ）
A、7 B、9
C、5 D、1121世纪教育网版权所有
11、某班同学学习整式乘除这一章后，要带领本组的成员共同研究课题学习，现在全组同学有4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b．在研究的过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大的正方形．如图所示，由左图至右图，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）
A、a2+2ab+b2=（a+b）2 B、4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2
C、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2 D、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
12、如图，由四个相同的直角三角板拼成的图形，设三角板的直角边分别为a、b（a＞b），则这两个图形能验证的式子是（ ）
A、（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab B、（a2+b2）﹣（a﹣b）2=2ab
C、（a+b）2﹣2ab=a2+b2 D、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
13、如右图：由大正方形面积的两种算法，可得下列等式成立的是（ ）
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A、a2+ab+b2=（a+b）2 B、a2+b2=（a+b）2+2ab
C、a2+2ab+b2=（a+b）2 D、a2+2ab=（a+b）2+b2
14、现有纸片：1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张宽为a、长为b的长方形，用这6张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为（ ）
A、a+b B、a+2b
C、2a+b D、无法确定
15、有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长为a、b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为（ ）
A、a+3b B、3a+b
C、a+2b D、2a+b21世纪教育网版权所有
16、如图是用四个相同的矩形和一个正方形拼成的图案，已知此图案的总面积是49，小正方形的面积是4，x，y分别表示矩形的长和宽，那么下面式子中不正确的是（ ）
A、x+y=7 B、x﹣y=2
C、4xy+4=49 D、x2+y2=25
二、填空题（共9小题）
17、如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 _________ 张才能用它们拼成一个新的正方形．
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18、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是 _________ ．
19、如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a、b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 _________ ．
20、如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式 _________ ．
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21、下列四个图形中，图①是长方形，图②、③、④是正方形．把图①、②、③三个图形拼在一起（不重合），其面积为S，则S= _________ ；图④的面积P= _________ ；则P _________ S．
22、如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小矩形拼接成矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式： _________ ．
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23、请你根据如图写出一个乘法公式： _________ ．
24、在过去的学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，其实这些代数恒等式可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释这些代数式．例如，图可以用来解释4a2=（2a）2请问可以用图来解释的恒等式是： _________ ．
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25、如图所示，用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．21世纪教育网版权所有
（1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；
（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？
（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果m﹣n=4，mn=12，求m+n的值．
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27、图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为 _________ ；
（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 _________ ；
（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y= _________ ； _________
（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？
（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．
28、阅读材料并回答问题：
我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．
（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式： _________ ；21世纪教育网版权所有
（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；
（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．
29、（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示．用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．
①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；21世纪教育网版权所有
②我们知道：同一个长方形的面积是确定的数值．
由此，你可以得出的一个等式为： _________ ．
（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图并说明推出的过程．
30、如图，四边形ABCD是校园内一块边长为a+b的正方形土地（其中a＞b）示意图，现准备在这块正方形土地的正中修建一个边长为a﹣b的小正方形花坛，其余的部分为空地留作道路．
（1）画出花坛的示意图，并写出图中各部分面积的表达式；
（2）用等式表示大，小正方形及空地的面积关系，（a﹣b）2= _________ ．
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答案与评分标准
一、选择题（共16小题）21世纪教育网版权所有
1、有若干张面积分别为a2、b2、ab的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（ ）
A、2张 B、4张
C、6张 D、8张
考点：完全平方公式的几何背景。
分析：由题意知拼成一个大正方形长为a+2b，宽也为a+2b，面积应该等于所有小卡片的面积．
解答：解：边长为（a+2b）的正方形的面积为：
（a+2b）（a+2b）=a2+4ab+4b2，21世纪教育网版权所有
∴还需面积为b2的正方形纸片4张．
故选B．
点评：此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，考法较新颖．
2、图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）
A、（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn B、（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn
C、（m﹣n）2+2mn=m2+n2 D、（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2
3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
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A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C、a（a+b）=a2+ab D、a（a﹣b）=a2﹣ab
考点：完全平方公式的几何背景。
分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．
解答：解：大正方形的面积=（a﹣b）2，
还可以表示为a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
故选B．
点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．
4、已知如图，图中最大的正方形的面积是（ ）
A、a2 B、a2+b2
C、a2+2ab+b2 D、a2+ab+b2
考点：完全平方公式的几何背景。21世纪教育网版权所有
分析：要求面积就要先求出边长，从图中即可看出边长．然后利用完全平方公式计算即可．
解答：解：图中的正方形的边长为a+b，
∴最大的正方形的面积等于=（a+b）2=a2+2ab+b2．
故选C．
点评：本题利用了完全平方公式求解．
5、如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（ ）
A、（a+b）2=a2+2ab+b2 B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D、（a+b）2=（a﹣b）2+4ab
考点：完全平方公式的几何背景。
分析：我们通过观察可看出大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，从而得出结论．
解答：解：（a+b）2=（a﹣b）2+4ab．
故选D．21世纪教育网版权所有
点评：认真观察，熟练掌握长方形、正方形、组合图形的面积计算方法是正确解题的关键．
6、请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（ ）
A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B、（a+b）2=a2+2ab+b2
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D、（a+b）2=a2+ab+b2
考点：完全平方公式的几何背景。
分析：此题观察一个正方形被分为四部分，把这四部分的面积相加就是边长为a+b的正方形的面积，从而得到一个公式．
解答：解：由图知，大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积为，（a+b）2，
根据图知，大正方形分为：一个边长为a的小正方形，一个边长为b的小正方形，
两个长为b，宽为a的长方形，
∵大正方形的面积等于这四部分面积的和，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2，21世纪教育网版权所有
故选B．
点评：此题比较新颖，用面积分割法来证明完全平方式，主要考查完全平方式的展开式．
7、我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（3）可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．那么通过图（4）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C、（a+b）2=a2+2ab+b2 D、（a﹣b）（a+2b）=a2+ab﹣b2
考点：完全平方公式的几何背景。21世纪教育网版权所有
分析：图（3）求的是阴影部分的面积，同样，图（4）正方形的面积用代数式表示即可．
解答：解：图（4）中，
∵S正方形=a2﹣2b（a﹣b）﹣b2=a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
故选B．
点评：关键是找出阴影部分面积的两种表达式，化简即可．
8、如果关于x的二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A、8或﹣8 B、8
C、﹣8 D、无法确定
考点：完全平方公式的几何背景。
分析：根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可．
解答：解：∵x2﹣mx+16是一个完全平方式，21世纪教育网版权所有
∴﹣mx=±2×4?x，
解得m=±8．
故选A．
点评：本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
9、如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，b2，则原正方形的边长是（ ）
A、a2+b2 B、a+b21世纪教育网版权所有
C、a﹣b D、a2﹣b2
10、若长方形的周长为6，面积为1，以此长方形的长与宽为边分别作两个正方形，则此两个正方形的面积之和是（ ）
A、7 B、9
C、5 D、1121世纪教育网版权所有
考点：完全平方公式的几何背景。
分析：设长方形的长是a，宽是b，根据题意，得a+b=3，ab=1．再进一步运用完全平方公式的变形求得a2+b2的值．
解答：解：设长方形的长是a，宽是b．
根据题意，得a+b=3，ab=1．
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=9﹣2=7．
故选A．
点评：此题考查了完全平方公式在几何题目中的运用，渗透数形结合的思想．
11、某班同学学习整式乘除这一章后，要带领本组的成员共同研究课题学习，现在全组同学有4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b．在研究的过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大的正方形．如图所示，由左图至右图，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）
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A、a2+2ab+b2=（a+b）2 B、4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2
C、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2 D、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
考点：完全平方公式的几何背景。
分析：根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．21世纪教育网版权所有
解答：解：∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，即4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2．
故选B．
点评：考查了完全平方公式的几何背景，能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
12、如图，由四个相同的直角三角板拼成的图形，设三角板的直角边分别为a、b（a＞b），则这两个图形能验证的式子是（ ）
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A、（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab B、（a2+b2）﹣（a﹣b）2=2ab
C、（a+b）2﹣2ab=a2+b2 D、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
考点：完全平方公式的几何背景。
分析：本题从图形的阴影面积着手算起，结果选项B符合．
解答：解：前一个图阴影部分的面积：（a2+b2）﹣（a﹣b）2=2ab
后一个图形面积：=2ab
故选B．
点评：本题考查了完全平方公式，从图形的阴影面积得到．很简单．
13、如右图：由大正方形面积的两种算法，可得下列等式成立的是（ ）
A、a2+ab+b2=（a+b）2 B、a2+b2=（a+b）2+2ab
C、a2+2ab+b2=（a+b）2 D、a2+2ab=（a+b）2+b2
考点：完全平方公式的几何背景。
分析：求出大正方形的边长可得出面积，求出四个分割出来的部分的面积可得出大正方形的面积，从而可得出答案．
解答：解：由题意得：大正方形的面积=（a+b）2；
大正方形的面积=a2+2ab+b2，21世纪教育网版权所有
∴可得：a2+2ab+b2=（a+b）2．
故选C．
点评：本题考查完全平方公式的集合背景，难度不大，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是关键．
14、现有纸片：1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张宽为a、长为b的长方形，用这6张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为（ ）
A、a+b B、a+2b
C、2a+b D、无法确定21世纪教育网版权所有
考点：完全平方公式的几何背景。
分析：此题需先根据题意表示出重新拼出的长方形的面积是a2+3ab+2b2，再把a2+3ab+2b2因式分解，即可求出该长方形的长．
解答：解：根据题意得：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），
所以可以拼成 （a+2b）（a+b）的长方形，
该长方形的长为a+2b．
故选B．
点评：本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，要与因式分解相结合．
15、有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长为a、b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为（ ）
A、a+3b B、3a+b
C、a+2b D、2a+b
16、如图是用四个相同的矩形和一个正方形拼成的图案，已知此图案的总面积是49，小正方形的面积是4，x，y分别表示矩形的长和宽，那么下面式子中不正确的是（ ）
A、x+y=7 B、x﹣y=2
C、4xy+4=49 D、x2+y2=2521世纪教育网版权所有
考点：完全平方公式的几何背景。
专题：常规题型。
分析：根据大正方形的面积与小正方形的面积的表示，四个矩形的面积的和的两种不同的表示方法列式，然后整理，对各选项分析判断后利用排除法．
解答：解：A、∵此图案的总面积是49，
∴（x+y）2=49，21世纪教育网版权所有
∴x+y=7，故本选项正确，不符合题意；
B、∵小正方形的面积是4，
∴（x﹣y）2=4，
∴x﹣y=2，故本选项正确，不符合题意；
C、根据题得，四个矩形的面积=4xy，
四个矩形的面积=（x+y）2﹣（x﹣y）2=49﹣4，
∴4xy=49﹣4，
即4xy+4=49，故本选项正确，不符合题意；
D、∵（x+y）2+（x﹣y）2=49+4，
∴2（x2+y2）=53，
解得x2+y2=26.5，故本选项错误，符合题意．
故选D．
点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示方法列出算式是解题的关键．
二、填空题（共9小题）
17、如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 4 张才能用它们拼成一个新的正方形．21世纪教育网版权所有
考点：完全平方公式的几何背景。
专题：几何图形问题。
分析：根据构成的新正方形的面积一定是一个完全平方数，根据三张纸片的面积即可确定．
解答：解：甲类纸片1张，乙类纸片4张，总面积是4+4=8，大于8的完全平方数依次是9，16，25…，而丙的面积是2，因而不可能；
当总面积是16时，取的丙纸片的总面积是8，因而是4张．
因而应至少取丙类纸片4张才能用它们拼成一个新的正方形．
故答案为：4．
点评：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确理解新正方形的面积是完全平方数是解题的关键．
18、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是 （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 ．21世纪教育网版权所有
考点：完全平方公式的几何背景。21世纪教育网版权所有
分析：观察图形可得从整体来看（a﹣b）2等于大正方形（边长为a）的面积减两个边长分别为a和b的图形面积，其中最小部分被减了两次，因此应重新加上一次，即：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
解答：解：用两种方法表示出边长为（a﹣b）的正方形的面积为：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
点评：本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
19、如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a、b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 a+3b ．
20、如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式 （a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab ．
考点：完全平方公式的几何背景。
分析：从图中可以得出，大正方形的边长为a+b，大正方形的面积就为（a+b）2，4个矩形的边长相同，且长为a，宽为b，则4个矩形的面积为4ab，中间空心的正方形的边长为a﹣b，面积等于（a﹣b）2，大正方形面积减去4个阴影矩形的面积就等于中间空白部分的面积．21世纪教育网版权所有
解答：解：∵四周阴影部分都是全等的矩形，且长为a，宽为b
∴四个矩形的面积为4ab
∵大正方形的边长为a+b
∴大正方形面积为（a+b）2
∴中间小正方形的面积为（a+b）2﹣4ab
而中间小正方形的面积也可表示为：（a﹣b）2
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab．
点评：本题考查了完全平方公式几何意义，利用大正方形面积减去阴影部分的面积就是中间的正方形的面积．
21、下列四个图形中，图①是长方形，图②、③、④是正方形．把图①、②、③三个图形拼在一起（不重合），其面积为S，则S= a2+b2+2ab ；图④的面积P= （a+b）2 ；则P = S．21世纪教育网版权所有
考点：完全平方公式的几何背景。
专题：计算题。
分析：根据正方形、矩形面积公式，结合图中数据即可解答．
解答：解：根据长方形正方形的面积公式图①、②、③面积分别为2ab、b2、a2，
把图①、②、③三个图形拼在一起（不重合），其面积S=a2+b2+2ab；
图④的面积P=（a+b）×（a+b）=（a+b）2；
∴P=S．
点评：本题考查了正方形、矩形面积公式，以及完全平方公式，利用面积相等求解是解题的关键．
22、如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小矩形拼接成矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式： a2+2ab=a（a+2b）；a（a+b）+ab=a（a+2b）；a（a+2b）﹣a（a+b）=ab ．
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考点：完全平方公式的几何背景。
分析：根据计算面积的方法多种多样，因此可以用不同的方式表达求解．
解答：解：把图形分割成一个正方形，两个长方形计算面积，则有：a2+2ab=a（a+2b）；
把图形分割成两个长方形，一边长分别是a+b，b，宽都是a，则有：a（a+b）+ab=a（a+2b）；
用整个图形的面积减去一个边长为a，a+b的长方形，得到另外一个长方形，边长是a，b，即：a（a+2b）﹣a（a+b）=ab．
故本题答案为：a2+2ab=a（a+2b）；a（a+b）+ab=a（a+2b）；a（a+2b）﹣a（a+b）=ab．
点评：本题考查了用面积分割法检验乘法算式，是学习乘法运算最常见的形式，这种方法形象直观，容易理解．
23、请你根据如图写出一个乘法公式： （a+b）2=a2+2ab+b2 ．
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24、在过去的学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，其实这些代数恒等式可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释这些代数式．例如，图可以用来解释4a2=（2a）2请问可以用图来解释的恒等式是： （a+b）2=a2+2ab+b2 ．
考点：完全平方公式的几何背景。21世纪教育网版权所有
分析：先利用正方形的面积公式求出总的面积，再分解成四个部分求出它们面积的和，根据两种求法求出的面积相等即可得解．
解答：解：整体来看：可看做是边长为（a+b）的正方形，面积为：（a+b）2；
从部分看，可看作是有四个不同的长方形构成的图形，其中两个带阴影的长方形面积是相同的，
面积为：a2+2ab+b2；
∴a2+2ab+b2=（a+b）2．
点评：本题考查的是对完全平方公式几何意义的理解能力，观察图形，根据面积相等可以得到结果．
25、如图所示，用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是 （a+b）2=a2+2ab+b2 ．
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考点：完全平方公式的几何背景。
分析：大正方形的面积是由边长为a，边长为b的两个小正方形，长为a宽为b的两个长方形组成．所以用边长为a+b的正方形面积的两种求法作为相等关系，即可表示出完全平方和公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．
解答：解：根据面积公式得：（a+b）2=a2+2ab+b2．
故填（a+b）2=a2+2ab+b2．
点评：本题考查了完全平方公式几何意义，关键是能看出大正方形的面积是由边长为a，边长为b的两个小正方形，长为a宽为b的两个长方形组成，找出相等关系并表示出来．
三、解答题（共5小题）
26、如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．
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（1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；
（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？
（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果m﹣n=4，mn=12，求m+n的值．
考点：完全平方公式；完全平方公式的几何背景。
分析：（1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，中间阴影部分的面积为S=（m+n）2﹣4mn；
方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为m﹣n，所以其面积为（m﹣n）2．
（2）观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，即（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2或（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．
（3）由（2）得，将m﹣n=4，mn=12，代入（2）式可求m+n=8．
解答：解：（1）方法一：∵大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，
∴中间阴影部分的面积为S=（m+n）2﹣4mn．
方法二：∵中间小正方形的边长为m﹣n，∴其面积为（m﹣n）2．（4分）
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（2）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2或（m+n）2=（m﹣n）2+4mn）．（6分）
（3）由（2）得（m+n）2﹣4×12=42，即（m+n）2=64，
∴m+n=±8．又m、n非负，∴m+n=8．（8分）
点评：本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在一起，要学会观察图形．
27、图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为 （m﹣n）2 ；21世纪教育网版权所有
（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 （m﹣n）2+4mn=（m+n）2 ；
（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y= 5 ； ﹣5
（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？
（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．
例如：
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点评：解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变式．
28、阅读材料并回答问题：
我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．
（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式： （2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2 ；
（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；
（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．
考点：完全平方公式的几何背景。
专题：阅读型。
分析：本题考查用平面几何图形的面积来表示一些代数恒等式，如图（3）中长方形的面积=长×宽=（2a+b）（a+2b），长方形的面积还可以把几个小图形的面积相加，即a2+a2+ab+ab+ab+ab+ab+b2+b2=2a2+5ab+2b2．
解答：解：（1）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；
（2）（答案不唯一）；
（3）恒等式是（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2，如图所示．
（答案不唯一）21世纪教育网版权所有
点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
29、（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示．用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．
①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；
②我们知道：同一个长方形的面积是确定的数值．21世纪教育网版权所有
由此，你可以得出的一个等式为： （a+1）2=a2+2a+1 ．
（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图并说明推出的过程．
解答：解：（1）①长方形的面积=（a+1）×（a+1）=（a+1）2或a2+2a+1，
②（a+1）2=a2+2a+1；
（2）如下图，
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把该长方形视为一个边长为a+b的正方形时，其面积为（a+b）2；
该长方形可视为四个长方形的拼图．四个长方形指两个边长分别为a和b的正方形，以及两个相同的小长方形（长和宽分别为a和b）．此时，其面积为a2+2ab+b2，由此，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2．
点评：解决本题的关键是根据面积公式来求．
30、如图，四边形ABCD是校园内一块边长为a+b的正方形土地（其中a＞b）示意图，现准备在这块正方形土地的正中修建一个边长为a﹣b的小正方形花坛，其余的部分为空地留作道路．
（1）画出花坛的示意图，并写出图中各部分面积的表达式；
（2）用等式表示大，小正方形及空地的面积关系，（a﹣b）2= （a+b）2﹣4ab ．
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考点：完全平方公式的几何背景。
分析：在图中作一个边长为a﹣b的正方形后，写出各个面积的表达式．
解答：解：（1）如图：
正中小正方形的面积是（a﹣b）2，留作道路的空地的面积是4ab，原正方形土地的面积是（a+b）2；
（2）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab．
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点评：本题通过数形结合得到：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab成立．
