完全平方式
一、选择题（共20小题）
1、以下三个判断中，正确的判断的个数是（ ）
（1）x2+3x﹣1=0，则x3﹣10x=﹣3
（2）若b+c﹣a=2+，c+a﹣b=4﹣，a+b﹣c=﹣2，则a4+b4+c4﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）=﹣11
（3）若a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，则a1+a2+a3+a4=（q≠1）
A、0 B、1
C、2 D、3
2、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，S△BOC=9，S△AOD=25，则四边形ABCD的面积最小值是（ ）
A、34 B、64
C、69 D、无法求出
3、若x2+6x+k是完全平方式，则k=（ ）
A、9 B、﹣9
C、±9 D、±3
4、计算（x+2）2的结果为x2+□x+4，则“□”中的数为（ ）
A、﹣2 B、221世纪教育网版权所有
C、﹣4 D、4
5、下列二次三项式是完全平方式的是（ ）
A、x2﹣8x﹣16 B、x2+8x+16
C、x2﹣4x﹣16 D、x2+4x+16
6、下列式子中是完全平方式的是（ ）
A、a2+ab+b2 B、a2+2a+2
C、a2﹣2b+b2 D、a2+2a+1
7、已知4x2+4mx+36是完全平方式，则m的值为（ ）
A、2 B、±2
C、﹣6 D、±6
8、已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是（ ）
A、8 B、±821世纪教育网版权所有
C、16 D、±16
9、如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、8 B、﹣8
C、±8 D、不能确定
10、若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A、24 B、﹣12
C、±12 D、±2421世纪教育网版权所有
11、若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m=（ ）
A、6 B、12
C、±6 D、±12
12、如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A、3 B、6
C、±3 D、±6
13、若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值是（ ）
A、﹣1 B、7
C、7或﹣1 D、5或1
14、下列多项式中是完全平方式的是（ ）
A、2x2+4x﹣4 B、16x2﹣8y2+1
C、9a2﹣12a+4 D、x2y2+2xy+y2
15、下列各式是完全平方式的是（ ）
A、x2﹣x+ B、1+x2
C、x+xy+1 D、x2+2a﹣1
16、如果x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A、5 B、±5
C、10 D、±10
17、若x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（ ）
A、3 B、±321世纪教育网版权所有
C、6 D、±6
18、小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a2﹣10ab+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（ ）
A、5b B、5b2
C、25b2 D、100b2
19、小兵计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果4x2+20xy+□，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（ ）
A、5y2 B、10y2
C、25y2 D、100y2
20、多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）
A、4x B、﹣4x
C、4x4 D、﹣4x4
二、填空题（共5小题）
21、已知x2+x+1=0，求值：x8+x4+1= _________ ．21世纪教育网版权所有
22、已知﹣|x|=1，则代数式+|x|的值是 _________ ．
23、若（a﹣2b）2=a2+Kab+4b2，则K= _________ ；若x2+kx+1是一个完全平方式，则k= _________ ．
24、若x2﹣6x+m是完全平方式，则m= _________ ．
25、将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：
_________ ， _________ ， _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、（1）分解因式：x7+x5+1
（2）对任何正数t，证明：t4﹣t+＞0．
27、已知实数x，y满足，求x+y的立方根．
28、样例：
将多项式4x2+1加上一个整式Q，使它成为某一个多项式的平方，写出一个满足条件的整式Q．
解：当Q=4x时，4x2+1+Q=4x2+1+4x=（2x+1）2
仿照样例，解答下面的问题：21世纪教育网版权所有
将多项式1+16x2加上一个整式P，使它成为某一个多项式的平方，写出三个满足条件的整式P．
29、在数学课的学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用图形的面积来解释这些代数恒等式．如图①可以解释恒等式（2b）2=4b2；
（1）如图②可以解释恒等式a2+2ab+b2= _________ ．
（2）如图③是由4个长为a，宽为b的长方形纸片围成的正方形，①利用面积关系写出一个代数恒等式： _________ ．
②若长方形纸片的面积为1，且长比宽长3，求长方形的周长（其中a、b都是正数，结果可保留根号）．
30、若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．21世纪教育网版权所有
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、以下三个判断中，正确的判断的个数是（ ）
（1）x2+3x﹣1=0，则x3﹣10x=﹣3
（2）若b+c﹣a=2+，c+a﹣b=4﹣，a+b﹣c=﹣2，则a4+b4+c4﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）=﹣11
（3）若a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，则a1+a2+a3+a4=（q≠1）
A、0 B、1
C、2 D、321世纪教育网版权所有
考点：因式定理与综合除法；完全平方式。
专题：整体思想。
分析：（1）把x3﹣10x进行因式分解，然后由x2+3x﹣1=0，即可求出原式的值，（2）根据a4+b4+c4﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）=（a2﹣b2﹣c2）2﹣4b2c2，再次因式分解可得（a+b﹣c）（a﹣b+c）（a+b+c）（a﹣b﹣c），结合b+c﹣a=2+，c+a﹣b=4﹣，a+c﹣c=﹣2，即可求出原式的值，（3）分别求出当q=1和q≠1时，前四项的和的值．
解答：解：（1）x3﹣10x=x（x2﹣10）=x（1﹣3x﹣10）=﹣3（x2+3x）=﹣3，故（1）正确；
（2）a4+b4+c4﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）=（a2﹣b2﹣c2）2﹣4b2c2
=（a2﹣b2﹣c2+2bc）（a2﹣b2﹣c2﹣2bc）
=（a+b﹣c）（a﹣b+c）（a+b+c）（a﹣b﹣c）
又知b+c﹣a=2+，c+a﹣b=4﹣，a+b﹣c=﹣2，可得a+b+c=4+，
故a4+b4+c4﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）=﹣11，故（2）正确；
（3）当q=1时，a1+a2+a3+a4=4a1，当q≠1时，a1+a2+a3+a4=，故（3）正确，
正确的有3个，故选D．
点评：本题主要考查因式定理与综合除法和完全平方式的知识点，解答本题的关键是对等式进行合理的变形，此题难度不大．
2、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，S△BOC=9，S△AOD=25，则四边形ABCD的面积最小值是（ ）
A、34 B、64
C、69 D、无法求出21世纪教育网版权所有
考点：面积及等积变换；完全平方式。
专题：数形结合。
分析：首先假设S△AOB=x，S△COD=y，则S四边形ABCD=9+25+x+y，因而转化为求x+y的最小值．利用完全平方式可知，
及平行线的特点，可知S最小值．
解答：解：设S△AOB=x，S△COD=y，则S四边形ABCD=9+25+x+y；
∵
∴．
∴；
当且仅当x=y时，；21世纪教育网版权所有
此时，．
故S最小=34+2×15=64．
故选B．
点评：本题考查面积及等积变换，完全平方式．本题是一道典型的数形结合的题目，用到了完全平方式，三角形的面积、四边形的面积计算，解决本题的关键是巧设未知数，转化为求最小值解决．
3、若x2+6x+k是完全平方式，则k=（ ）
A、9 B、﹣9
C、±9 D、±3
4、计算（x+2）2的结果为x2+□x+4，则“□”中的数为（ ）
A、﹣2 B、2
C、﹣4 D、4
考点：完全平方式。
分析：由（x+2）2=x2+4x+4与计算（x+2）2的结果为x2+□x+4，根据多项式相等的知识，即可求得答案．
解答：解：∵（x+2）2=x2+4x+4，
∴“□”中的数为4．
故选D．
点评：此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是熟记公式，注意解题要细心．
5、下列二次三项式是完全平方式的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、x2﹣8x﹣16 B、x2+8x+16
C、x2﹣4x﹣16 D、x2+4x+16
考点：完全平方式。
分析：根据完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、应为x2﹣8x+16，故A错误；
B、x2+8x+16，正确；
C、应为x2﹣4x+4，故C错误；
D、应为x2+4x+4，故D错误．
故选B．
点评：本题主要考查完全平方公式的结构特点，需要熟练掌握并灵活运用．
6、下列式子中是完全平方式的是（ ）
A、a2+ab+b2 B、a2+2a+2
C、a2﹣2b+b2 D、a2+2a+1
考点：完全平方式。21世纪教育网版权所有
分析：完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．看哪个式子整理后符合即可．
解答：解：符合的只有a2+2a+1．
故选D．
点评：本题主要考的是完全平方公式结构特点，有两项是两个数的平方，另一项是加或减去这两个数的积的2倍．
7、已知4x2+4mx+36是完全平方式，则m的值为（ ）
A、2 B、±2
C、﹣6 D、±6
考点：完全平方式。
专题：计算题。
分析：这里首末两项是2x和6这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和6积的2倍．
解答：解：∵（2x±6）2=4x2±24x+36，
∴4mx=±24x，
即4m=±24，
∴m=±6．
故选D．
点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
8、已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是（ ）
A、8 B、±8
C、16 D、±16
考点：完全平方式。21世纪教育网版权所有
分析：根据完全平方公式的特点求解．
解答：解：∵64y2=（±8y）2，
∴kxy=2×（±8y）=±16y，
∴k=±16．
故选D．
点评：本题利用了完全平方公式求解：（a±b）2=a2±2ab+b2．注意k的值有两个，并且互为相反数．
9、如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、8 B、﹣8
C、±8 D、不能确定21世纪教育网版权所有
考点：完全平方式。
分析：完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故m=±8．
解答：解：由于（x±4）2=x2±8x+16=x2+mx+16，
∴m=±8．
故选C．
点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
10、若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A、24 B、﹣12
C、±12 D、±24
11、若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m=（ ）
A、6 B、12
C、±6 D、±12
考点：完全平方式。
分析：这里首末两项是2x和3y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3y积的2倍，故m=±12．
解答：解：加上或减去2x和3y积的2倍，
故m=±12．
故选D．
点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
12、如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A、3 B、6
C、±3 D、±621世纪教育网版权所有
考点：完全平方式。
专题：计算题。
分析：这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故m=±6．
解答：解：∵（x±3）2=x2±6x+9，
∴在x2+mx+9中，m=±6．
故选D．
点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
13、若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值是（ ）
A、﹣1 B、7
C、7或﹣1 D、5或121世纪教育网版权所有
考点：完全平方式。
专题：计算题。
分析：完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故2（m﹣3）=±8，∴m=7或﹣1．
解答：解：∵（x±4）2=x2±8x+16，
∴在x2+2（m﹣3）x+16中，2（m﹣3）=±8，
解得：m=7或﹣1．
故选C．
点评：本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
14、下列多项式中是完全平方式的是（ ）
A、2x2+4x﹣4 B、16x2﹣8y2+1
C、9a2﹣12a+4 D、x2y2+2xy+y221世纪教育网版权所有
考点：完全平方式。
分析：完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，形如a2±2ab+b2的式子要符合完全平方公式的形式a2±2ab+b2=（a±b）2才成立．
解答：解：符合完全平方公式的只有9a2﹣12a+4．
故选C．
点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求熟练掌握完全平方公式．
15、下列各式是完全平方式的是（ ）
A、x2﹣x+ B、1+x2
C、x+xy+1 D、x2+2a﹣1
考点：完全平方式。
分析：完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．最后一项为乘积项除以2，除以第一个底数的结果的平方．
解答：解：A、x2﹣x+是完全平方式；
B、缺少中间项±2x，不是完全平方式；
C、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式；21世纪教育网版权所有
D、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式．
故选A．
点评：本题是完全平方公式的应用，熟记公式结构：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，是解题的关键．
16、如果x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A、5 B、±5
C、10 D、±10
考点：完全平方式。
分析：这里首末两项是x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和5的积的2倍，故k=±2×5=±10．
解答：解：由于（x±5）2=x2±10x+25=x2+kx+25，
∴k=±10．21世纪教育网版权所有
故选D．
点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
17、若x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（ ）
A、3 B、±3
C、6 D、±6
18、小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a2﹣10ab+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（ ）21世纪教育网版权所有
A、5b B、5b2
C、25b2 D、100b2
考点：完全平方式。
分析：根据乘积二倍项找出另一个数，再根据完全平方公式即可确定．
解答：解：∵﹣10ab=2×（﹣5）×b，
∴最后一项为（﹣5b）2=25b2．
故选C．
点评：利用了完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，熟记公式结构特点是求解的关键．
19、小兵计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果4x2+20xy+□，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（ ）
A、5y2 B、10y2
C、25y2 D、100y2
考点：完全平方式。
专题：应用题。
分析：根据完全平方式的定义和展开式来求解．
解答：解：由题意知，4x2+20xy+□，为完全平方式，21世纪教育网版权所有
∴4x2+20xy+□=（2x+5y）2，
∴□=25y2．
故选C．
点评：此题主要考查完全平方式的定义及其应用，比较简单．
20、多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）
A、4x B、﹣4x21世纪教育网版权所有
C、4x4 D、﹣4x4
考点：完全平方式。
分析：完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，此题为开放性题目．
解答：解：设这个单项式为Q，
如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q=±4；
如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2=2?2x2，所以Q=4x4；
如果该式只有4x2项，它也是完全平方式，所以Q=﹣1；
如果加上单项式﹣4x4，它不是完全平方式．
故选D．
点评：此题为开放性题目，只要符合完全平方公式即可，要求非常熟悉公式特点．
二、填空题（共5小题）
21、已知x2+x+1=0，求值：x8+x4+1= 0 ．
考点：代数式求值；完全平方式。
专题：整体思想。
分析：应先根据x2﹣x+1=0，得到x2=x﹣1，要求的式子的指数较大，应降次整理．
解答：解：∵x2﹣x+1=0
∴x2=﹣x﹣1，
∴x8+x4+1=x4（x4+1）+1
=（x2）2[（x2）2+1]+1
=（﹣x﹣1）2[（﹣x﹣1）2+1]+1
=（x2+2x+1）[（x2+2x+1）+1]+1
=（x+0）（0+x+1）+1
=（x）（x+1）+1
=x2+x+1
=0．21世纪教育网版权所有
故答案为0．
点评：本题主要考查代数式求值的问题，本题的次数较大，所以基本思路是降次，只要是高于2次的应降次到底．最终得到与所给条件有关的式子．
22、已知﹣|x|=1，则代数式+|x|的值是 ．
考点：代数式求值；完全平方式。
专题：计算题。
分析：根据已知条件先利用完全平方公式求出+x2的值，然后两边都加上2配成（+|x|）的平方的形式，根据算术平方根的定义进行求解．
解答：解：∵﹣|x|=1，
∴﹣2+x2=1，
解得+x2=3，21世纪教育网版权所有
∴+2+x2=3+2，
即（+|x|）2=5，
∵﹣|x|=1，
∴＞|x|＞0，
∴+|x|=．21世纪教育网版权所有
故答案为：．
点评：本题考查了完全平方式，代数式求值，要注意判断＞|x|＞0，这也是本题容易出错的地方．
23、若（a﹣2b）2=a2+Kab+4b2，则K= ﹣4 ；若x2+kx+1是一个完全平方式，则k= 2 ．
考点：完全平方公式；完全平方式。
分析：直接将（a﹣2b）2展开，然后和a2+Kab+4b2对照即可得出k的值；将x2+kx+1化为完全平方形式即可得出k的值．
解答：解：（a﹣2b）2=a2﹣4ab+4b2
=a2+Kab+4b2
则k=﹣4
x2+kx+1=（x+1）2=x2+2x+1
则k=2
故本题答案为：﹣4；2．
点评：本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．
24、（2007?白银）若x2﹣6x+m是完全平方式，则m= 9 ．
考点：完全平方式。
分析：先根据乘积二倍项确定出这两个数是x和3，再根据完全平方公式求解即可．
解答：解：∵6x=2×3?x，
∴这两个数是x和3，21世纪教育网版权所有
∴m=32=9．
点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．
25、将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：
4x ， ﹣4x ， ．
考点：完全平方式。
专题：开放型。
分析：根据完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2进行配方，此题为开放性题目，答案不唯一．
解答：解：设这个整式为Q，如果这里首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2积的2倍，故Q=±4x；
如果如果这里首末两项是Q和4，则乘积项是x2=2×2×x2，
所以Q=x4；
故本题答案为：±4x；x4．
点评：本题考查了完全平方式，为开放性题目，只要符合完全平方式即可，要求非常熟悉公式特点．
三、解答题（共5小题）
26、（1）分解因式：x7+x5+1
（2）对任何正数t，证明：t4﹣t+＞0．
27、已知实数x，y满足，求x+y的立方根．
考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；立方根；完全平方式。
专题：计算题。
分析：首先根据非负数的性质求出x、y的值，再求出x+y的值，计算立方根即可解答．
解答：解：∵
∴
∴…（4分）21世纪教育网版权所有
∴x﹣5=0且y+4=0
∴x=5，y=﹣4，x+y=1…（8分）
∴x+y的立方根是1．
点评：本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
28、样例：
将多项式4x2+1加上一个整式Q，使它成为某一个多项式的平方，写出一个满足条件的整式Q．
解：当Q=4x时，4x2+1+Q=4x2+1+4x=（2x+1）2
仿照样例，解答下面的问题：
将多项式1+16x2加上一个整式P，使它成为某一个多项式的平方，写出三个满足条件的整式P．
考点：整式的加减；完全平方式。
专题：常规题型。
分析：多项式1+16x2，可把16x2看做是中间项，或是看做第三项，再根据完全平方公式即可解答．
解答：解：根据完全平方公式定义得，
当P=64x4时，组成的完全平方式为（1+8x2）2；
当P=8x时，成的完全平方式为（1+4x）2；
当P=时，成的完全平方式为（4x+）2．21世纪教育网版权所有
点评：本题主要考查了完全平方公式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式．注意，16x2即可看做中间项也可看做第三项，解答时，不要遗漏．
29、在数学课的学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用图形的面积来解释这些代数恒等式．如图①可以解释恒等式（2b）2=4b2；
（1）如图②可以解释恒等式a2+2ab+b2= （a+b）2 ．
（2）如图③是由4个长为a，宽为b的长方形纸片围成的正方形，①利用面积关系写出一个代数恒等式： ①（a+b）2=（a﹣b）2+4ab或 （a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab
或（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab ．
②若长方形纸片的面积为1，且长比宽长3，求长方形的周长（其中a、b都是正数，结果可保留根号）．
考点：完全平方公式的几何背景；完全平方式。
分析：（1）根据图形面积可以得出公式；
（2）①根据面积关系可以得出公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab或 （a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab或（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab；
②再利用长方形纸片的面积为1，长比宽长3，得出a，b关系求出即可．
解答：解：（1）（a+b）2，
（2）①（a+b）2=（a﹣b）2+4ab或 （a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab或（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab；
（2）②由①得：（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，
依题意得a﹣b=3，ab=1，（a+b）2=32+4×1=13，
∵a、b都是正数，21世纪教育网版权所有
∴a+b＞0
∴a+b=．
点评：此题考查了对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
30、若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．
