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专题1-3 平行线的判定
模块一：知识清单
1.直线平行的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠3＝∠2 ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠1＝∠2 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠4＋∠2＝180° ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
注意：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
判定方法4：在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。
即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
判定方法5：平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．
【详解】解：A、∵，∴，故选项A不能判定，符合题意；
B、∵，∴，故选项B能判定，不符合题意；
C、∵，∴，故选项C能判定，不符合题意；
D、∵，即，
∴，故选项D能判定，不符合题意；故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
2．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）如图，能判断直线的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：由可得，A选项不合题意；
由可得，B选项不合题意；
由不能判定平行，C选项不合题意；
由可得，D选项符合题意，故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行．
3．（2022春·浙江台州·七年级统考期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案．
【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出，
根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠5和∠2是内错角，如果度量出，
根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠3和∠2是同旁内角，如果度量出，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，所以答案为：A．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．
4．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线，，贝贝、晶晶、欢欢三位同学的做法如图所示：
上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（ ）
A．仅贝贝同学 B．贝贝和晶晶 C．晶晶和欢欢 D．贝贝和欢欢
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，贝贝：利用内错角相等，两直线平行；
晶晶：利用同位角相等，两直线平行；欢欢：利用内错角相等，两直线平行；故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．属于基础题，熟记平行线的判定定理即可填空．
5．（2022春·重庆九龙坡·七年级阶段练习）已知：如图所示，，则下列说法正确的是（ ）
A．与平行 B．与平行
C．与平行，与也平行 D．以上说法都不正确
【答案】A
【分析】据平行线的判定，逐项检查，选出符合题意的选项．
【详解】，（同位角相等，两直线平行）
由图和题意知，直线与被直线所截，所得到的同位角与不一定相等，所得到的内错角与不一定相等，所得的同旁内角与不一定互补，故与不一定平行．∴只有A选项符合题意．故选：．
【点睛】此题考查平行线的判定，熟悉平行线的判定方法能正确找得同位角、内错角、
6．（2020·浙江衢州·统考中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
7．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【详解】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90 ，所以；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
8．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）如图， 下列结论能得到的是（ ）
（1） （2） （3）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：如图，
∵∠1=∠3，∠4=∠3，∴∠1=∠4，∴l1∥l2，故①符合题意；
由∠1+∠2=180°不能得出l1∥l2，故②不符合题意；
∵∠4=∠3，∠2+∠3=180°，∴∠2+∠4=180°，∴l1∥l2，故③符合题意；故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
9．（2022春·浙江台州·七年级校联考阶段练习）如图，直线a，b，c被直线l所截，下列条件中：①1=3，4=5；②2+3=，3=7；③1=2，5=6；④2=3，4=5，能确定ac的条件的是 （ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可．
【详解】解：①∵∠1＝∠3，∴ab，∵∠4＝∠5，∴bc，∴ac，符合题意；
②∵2+3=，∴ab，∵3=4，3=7，∴4=7，∴bc，∴ac，符合题意；
③∵1=2，1＋2＝180°，∴1=2=90°，∴a⊥l，
∵5=6，5＋6＝180°，∴5=6=90°，∴c⊥l，∴ac，符合题意；
④由4=5可得bc，但是由2=3，无法推出ab，故无法得出ac，不符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．
10．（2022春·浙江宁波·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有BCAE；③如果∠1＝∠2＝∠3，则有BCAE；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】根据题意得：∠2+∠3=90°，∠2+∠1=90°，可得∠1＝∠3，故①正确；再由∠4=45°，∠2＝30°，可得∠3=60°，从而得到∠3≠∠4，故②错误；由∠1＝∠2＝∠3，可得∠3=45°，从而得到∠4＝∠3，故③正确；根据题意得：∠4=45°，∠E=60°，可得∠4≠∠E，故④错误，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠2+∠3=90°，∠2+∠1=90°， ∴∠1＝∠3，故①正确；
根据题意得：∠2+∠3=90°，∠4=45°，
若∠2＝30°，∴∠3=60°，∴∠3≠∠4，∴BC不平行与AE，故②错误；
若∠1＝∠2＝∠3，∴∠3=45°，∴∠4＝∠3，∴BCAE，故③正确；
根据题意得：∠4=45°，∠E=60°，∴∠4≠∠E，故④错误；∴正确的有①③．故选：B
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，三角板中角度计算问题，熟练掌握一副三角板中各个内角的度数，平行线的判定定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，下列条件中能推出的有_______．
①∠3=∠5，②∠1=∠7，③∠2+∠5=180°，④∠1+∠4=180°．
【答案】①②③
【分析】根据平行线的判定依次判断即可．
【详解】解：∵∠3=∠5，∴（内错角相等，两直线平行），∴①符合题意；
∵∠1=∠3，∠1=∠7，∴∠3=∠7，
∴（同位角相等，两直线平行），∴②符合题意；
∵∠2＋∠1=180°，∠2＋∠5=180°，∴∠1＝∠5，
∴（同位角相等，两直线平行），∴③符合题意；
∠1＋∠4=180°，因为两个角是邻补角，不能证明．故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
12．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）如图，直线，被直线c所截，若∠4+∠5=180°，则可得∥，其依据是：___________________．
【答案】同旁内角互补，两直线平行
【分析】结合题意，根据平行线的判定性质分析，即可得到答案.
【详解】根据题意，直线，被直线c所截，若∠4+∠5=180°，则可得∥，其依据是：同旁内角互补，两直线平行故答案为：同旁内角互补，两直线平行.
【点睛】本题考查了平行线的知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定，从而完成求解.
13．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）如图，下列条件中：（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的条件个数有__个．
【答案】3
【分析】根据平行线的判定定理即可判断．
【详解】解：（1）∠B+∠BCD=180°，则AB∥CD；（2）∠1=∠2，则AD∥BC；
（3）∠3=∠4，则AB∥CD；（4）∠B=∠5，则AB∥CD，
故能判定AB∥CD的条件个数有3个．故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
14．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，若第一次向左拐40°，则第二次向右拐的角度是__________度．
【答案】40°
【分析】因为最后汽车沿原来的方向前进，所以两次拐的方向相反，角的度数相等．
【详解】解：两次拐完汽车沿原来的方向前进，所以前后拐的方向应该相反，角的大小相等，拐的两角处在同位角的位置．故答案为；40．
【点睛】考查平行线的性质．解题的关键是注意两直线平行，同位角相等定理与数形结合思想的应用．
15．（2022春·浙江·七年级期末）如图，直角三角形的顶点A在直线m上，分别度量：①；②；③；④，可判断直线m与直线n是否平行的是__________．
【答案】②
【分析】两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．据此可得结论．
【详解】解：度量：①∠1，∠2，∠C，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
度量：②∠2，∠3，∠B，可得∠4的度数，结合∠2的度数，即可判断直线m与直线n是否平行，符合题意；
度量：③∠3，∠4，∠C不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
度量：④∠1，∠2，∠3，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；故答案为：②．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
16．（2022·七年级课时练习）木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，如图所示， ，这是依据__________________的道理．由此得出推论：在同一平面内，_________________．如图，几何语言表述为： ∴________．
【答案】 同位角相等，两直线平行 垂直于同一直线的两条直线互相平行
【分析】根据同位角相等，两直线平行以及垂直于同一直线的两条直线互相平行即可得出结果．
【详解】，，（同位角相等，两直线平行）
由此得出推论：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，
几何语言表述为：
，∴，
故答案为：同位角相等，两直线平行；垂直于同一直线的两条直线互相平行；．
【点睛】本题主要考查了同位角相等，两直线平行以及垂直于同一直线的两条直线互相平行，属于基础题，掌握平行线的判定定理是解题关键．
17．（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）
【答案】①④
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【详解】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，
∴∠BAD=60°+90°=150°；
∴∠BAD=150°或∠BAD =30°．故答案为：①④．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
18．（2022秋·浙江八年级课时练习）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为______时，与平行．
【答案】2秒或38秒
【分析】分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：存在．分三种情况：
如图，与在的两侧时，
，，，，
要使，则，即，解得；
此时，；
旋转到与都在的右侧时，，，
，，
要使，则，即，解得，
此时，；
旋转到与都在的左侧时，，，
，，
要使，则，即，解得，此时，
，此情况不存在．
综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行．故答案为：秒或秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，已知，，试说明．请将过程填写完整．
证明：∵
又（_____________）
∴_______（______________）
∴（______________）
又∵
∴______________．
【答案】对顶角相等；∠2；等量代换；同位角相等两直线平行；EF
【分析】若能得到，再由，则可得结论，由，可得，从而可证得，因而问题解决．
【详解】∵
又（对顶角相等）
∴∠2（等量代换）
∴（同位角相等两直线平行）
又∵
∴EF(平行于同一条直线的两条直线平行)
故答案分别为：对顶角相等；∠2；等量代换；同位角相等两直线平行；EF．
【点睛】本题考查了平行线的判定、解题的关键是掌握平行于同一直线的两条直线平行这一性质．
20．（2022春·贵州贵阳·七年级统考期中）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．．求证：．
【答案】答案见解析
【分析】AE平分∠BAC，则∠BAE＝∠CAE，根据∠CAE＝∠CEA可证得∠BAE＝∠CEA，根据内错角相等，两直线平行即可证得结论．
【详解】证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠CEA，∴∠BAE＝∠CEA，∴AB∥CD．
【点睛】本题考查了平行线的判定和角平分线的性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．
21．（2022·浙江绍兴·七年级统考阶段练习）如图，，垂足为，，．
（1）与平行吗？为什么？
（2）根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由：如果不能，添加一个条件，使它们平行（不必说明理由）．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）不能，可添加．
【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到结论；
（2）根据平行线的判定定理，即可得到结论．
【详解】（1）平行．理由如下：
∵，∴∠BAC=90°，∵，∴．
∵，∴，∴；
（2）不能判断与平行，添加即可判断与平行．
∵ ，∴∠BAC=90°，∵，∴∠ACD=90°，∴∥．
【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”，是解题的关键．
22．（2022秋·浙江七年级单元测试）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连结BG，且．
（1）求证：；（2）若，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）AB∥EF，理由见解析．
【分析】（1）根据垂直关系和平角的定义可得∠DEF+∠BEG=90°，又∠EBG+∠BEG=90°结论可证；
（2）由（1）和角平分线的定义可得∠A=∠AEF，再根据内错角相等，两直线平行即可证明．
【详解】证明：（1）∵EB⊥EF，∴∠FEB=90°，
∴∠DEF+∠BEG=180°-90°=90°，又∠EBG+∠BEG=90°，∴∠DEF=∠EBG；
（2）AB∥EF，理由如下：∵EF平分∠AED，
∴∠AEF=∠DEF=，
∵∠EBG=∠A，∠DEF=∠EBG，∴∠A=∠AEF，∴AB∥EF．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，同角（或等角）的余角相等，角平分线的有关证明．能根据同角（或等角）的余角相等完成角度之间的转化是解题关键．
23．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（1）学行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．
（2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）．
【答案】（1）①见解析；②垂；（2）见解析
【分析】（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线；②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．
（2）先根据平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，然后根据平行线的判定得到结论．
【详解】（1）解：①如图2所示：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．故答案为垂；
（2）证明：平分，平分（已知），，（角平分线的定义），
（已知），（两直线平行，内错角相等），
（等量代换），（等式性质），
（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定．
24．（2022春·山西大同·七年级校考期中）已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上．
（1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．
（2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：；
（3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；．
【分析】（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；
（2）先证明，再证明，得到，问题得证；
（3）根据题意得到，根据（２）结论得到∠DEF=∠ECA=，进而得到，根据三角形内角和即可求解．
【详解】解：（1）过点C作，，
，，，，
，， ，；
（2）解：，，
又，，
，，，，；
（3）如图三角形DEF即为所求作三角形．
∵，∴，由（2）得，DE∥AC，∴∠DEF=∠ECA=，
∵，∴∠ACB=，∴ ，
∴∠A=180°-=．故答案为为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根据题意画出图形是解题关键．
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专题1-3 平行线的判定
模块一：知识清单
1.直线平行的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠3＝∠2 ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠1＝∠2 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠4＋∠2＝180° ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
注意：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
判定方法4：在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。
即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
判定方法5：平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）如图，能判断直线的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·浙江台州·七年级统考期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A． B． C． D．
4．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线，，贝贝、晶晶、欢欢三位同学的做法如图所示：
上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（ ）
A．仅贝贝同学 B．贝贝和晶晶 C．晶晶和欢欢 D．贝贝和欢欢
5．（2022春·重庆九龙坡·七年级阶段练习）已知：如图所示，，则下列说法正确的是（ ）
A．与平行 B．与平行
C．与平行，与也平行 D．以上说法都不正确
6．（2020·浙江衢州·统考中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）
A．B． C．D．
7．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
8．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）如图， 下列结论能得到的是（ ）
（1） （2） （3）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
9．（2022春·浙江台州·七年级校联考阶段练习）如图，直线a，b，c被直线l所截，下列条件中：①1=3，4=5；②2+3=，3=7；③1=2，5=6；④2=3，4=5，能确定ac的条件的是 （ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④
10．（2022春·浙江宁波·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有BCAE；③如果∠1＝∠2＝∠3，则有BCAE；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，下列条件中能推出的有_______．
①∠3=∠5，②∠1=∠7，③∠2+∠5=180°，④∠1+∠4=180°．
12．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）如图，直线，被直线c所截，若∠4+∠5=180°，则可得∥，其依据是：___________________．
13．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）如图，下列条件中：（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的条件个数有__个．
14．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，若第一次向左拐40°，则第二次向右拐的角度是__________度．
15．（2022春·浙江·七年级期末）如图，直角三角形的顶点A在直线m上，分别度量：①；②；③；④，可判断直线m与直线n是否平行的是__________．
16．（2022·七年级课时练习）木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，如图所示， ，这是依据__________________的道理．由此得出推论：在同一平面内，_________________．如图，几何语言表述为： ∴________．
17．（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）
18．（2022秋·浙江八年级课时练习）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为______时，与平行．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，已知，，试说明．请将过程填写完整．
证明：∵
又（_____________）
∴_______（______________）
∴（______________）
又∵
∴______________．
20．（2022春·贵州贵阳·七年级统考期中）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．．求证：．
21．（2022·浙江绍兴·七年级统考阶段练习）如图，，垂足为，，．
（1）与平行吗？为什么？（2）根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由：如果不能，添加一个条件，使它们平行（不必说明理由）．
22．（2022秋·浙江七年级单元测试）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连结BG，且．
（1）求证：；（2）若，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．
23．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（1）学行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．
（2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）．
24．（2022春·山西大同·七年级校考期中）已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上．
（1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．
（2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：；
（3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示）
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