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专题1-6 平行线的六大基本模型
模块一：知识清单
平行线基本模型在初中数学几何模块中虽然属于基础工具类问题，也是浙教版七年级下期末的压轴题，是学生必须掌握的一块内容。本学案就平行线的六大模型（铅笔模型、猪蹄模型、拐弯模型、“5”字模型、翻折模型、旋转模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模块二：基本模型
模型1：猪蹄模型（M型）
【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；
②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD.
图①、图② 图③
③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.
1.（2022.广东省初一月考）如图所示，已知：AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C；
【解析】方法一（破角）:过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4.
方法二（添角）: 连接AC，
∵AB∥CD ∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°，又∠2+∠3+∠APC=180° ∴∠APC=∠1+∠4.
2.（2022.湖北七年级期中）如图，，，则，，之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】解：分别过C、D作AB的平行线CM和DN，
则AB∥CM∥DN∥EF ∴∠α=∠BCM，∠DCM=∠CDN，∠NDE=∠γ
而∠β=∠CDN+∠NDE=∠DCM+∠γ=90°－∠BCM+∠γ=90°－∠α+∠γ.
即∠α+∠β－∠γ=90°，故答案为：C．
3.（2022·渝中区期末）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】解：过点E作EF∥AB，可得：AB∥EF∥CD
∴∠AEF+∠A=180°，∠FEC=∠C，∴∠A+∠AEC－∠C=180°
∴120°+∠AEC－40°=180°，即∠AEC=100°，故答案为：D．
4．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：
过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D .
（2）∠E+∠B+∠D =360°，理由如下：
过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°
∴∠B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360°.
（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：
过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD，
则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D
∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.
5．（2022·山东·德州七年级期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得．
【详解】（1）作，，如图，且
∴∴，，
∴，
∵，∴；
（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，
∵平分，平分，
∴，，
∵∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
模型2：铅笔头模型
【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；
②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD.
图①、图② 图③
③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.
1、（2022.河北七年级月考）如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；
【解析】方法一（破角）:过点P作PQ∥AB
则AB∥CD∥PQ ∴∠BAP+∠APQ=180°，∠CPQ+∠PCD=180°
∴∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360° 即∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.
方法二（添角）:连接AC，
易知，∠1+∠4=180°，∠2+∠3+∠P=180°∴∠1+∠4+∠2+∠3+∠P=360°
即∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.
2．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图已知：ABCD，CDEF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下结论：①AB∥EF；②2∠1 ∠4=90°；③2∠3 ∠2=180°；④∠3+∠4=135°，其中，正确的结论有____．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．
【详解】解：∵ABCD，CDEF，
∴ABEF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，
∵ABCD，∴∠BAC+∠2=180°，∴2∠1+∠2=180°（1），
∵AC⊥CE，∴∠2+∠4=90°（2），
∴（1）-（2）得，2∠1-∠4=90°，故②正确；
∵ABEF，∴∠BAE+∠3=180°，
∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠BAE，∴∠1+∠3=180°，
∴2∠1+2∠3=360°（3），∵2∠1+∠2=180°（1），
（3）-（1）得，2∠3-∠2=180°，故③正确；
∵CDEF，∴∠CEF+∠4=180°，
∴∠3+∠AEC+∠4=180°，
∵AE⊥CE，∴∠1+∠AEC=90°，
∴∠AEC=90°-∠1，∴∠3+∠4-∠1=90°，
∵2∠1-∠4=90°，
∴∠1=45°+∠4，
∴∠3+∠4=135°，故④正确．
综上，正确的结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
3．（2022·山东日照·七年级期末）（1）阅读下面材料：
已知：如图1，，E为AB，CD之间一点，连接AE，CE，得到．求证：．
解答过程如下，并请你在括号内填写推理的依据：
过点E作，
则有（______）．
∵，
∴（______）．
∴（______）．
∴,
又∵
∴．
假若将具有图1特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：
若，E为AB，CD之间一点，则有
（2）已知：直线，点A，B在直线m上，点C，D在直线上，连接AD，BC，BE平分，DE平分，且BE，DE所在的直线交于点E．
①如图2，当点D在点C的左侧时，若，，请你结合（1）中“平行凸折线”的性质，求的度数；
②如图3，当点D在点C的右侧时，设，，请直接写出的度数（用含有，的式子表示）．
【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；平行线公理；两直线平行，同旁内角互补；（2）①；②；
【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质进行证明，即可得到结论成立；
（2）由平行线的性质，角平分线的定义，结合（1）的结论，即可求出答案；
（3）由平行线的性质，角平分线的定义，结合（1）的结论，即可求出答案．
【详解】解：（1）过点E作，
则有（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，
∴（平行线公理）．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∴，
又∵，
∴．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行线公理；两直线平行，同旁内角互补；
（2）①根据题意，由（1）可知
∵，DE平分，
∴，
∴
∵，
∴，
∴,
∵BE平分，
∴；
②根据题意，如图：
由（1）可知，，
∵BE平分，DE平分，，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，几何图形中角的运算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及结合图形进行角的和差运算．
4．（2022·西安七年级月考）下列各图中的MA1与NAn平行．
（1）图①中的∠A1+∠A2= 度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3= 度，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= 度，…，
第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10= 度（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An= ．
【答案】（1）180；360；540；720；1620；（2）180°（n﹣1）．
【解析】解：（1）∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2=180°，
如图，分别过A2、A3、A4作MA1的平行线，图②中的∠A1+∠A2+∠A3=360°，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°，…，
第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=1620°；
（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=180°（n﹣1）．
故答案为180，360，540，720，1620；180°（n﹣1）．
5．（2022·贵州遵义市·七年级期末）[问题解决]（1）如图1，AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，连接OE、OF，探求∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．
[拓展延伸]（2）如图2，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请写出它们的关系．
[拓展应用]（3）如图3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O．若∠E1OEn＝m°，直接写出∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）的度数．（用含m、n的代数式表示）
【答案】（1）∠1+∠2+∠3＝360°；（2）∠1＝∠2+∠3；（3）（n﹣1） 180°﹣2m°.
【解析】解：[问题解决]∠1+∠2+∠3＝360°．理由如下：
过点O作OH∥AB，如图，∴∠1+∠EOH＝180°，
∵AB∥CD，∴OH∥CD，∴∠2+∠FOH＝180°，
∴∠1+∠EOH+2+∠FOH＝360°，即∠1+∠2+∠3＝360°；
[拓展延伸]∠1＝∠2+∠3．理由如下：过点O作OH∥AB，∴∠1＝∠EOH，
∵AB∥CD，∴OH∥CD，∴∠2＝∠FOH，又∵∠EOH＝∠3+∠FOH，∴∠1＝∠2+∠3；
[拓展应用]过E2点作E2H2∥AB，过E3作E3H3∥AB，…，过点En﹣2作En﹣2Hn﹣2∥AB，过点En﹣1作En﹣1Hn﹣1∥AB，过点O作OH∥AB，
∴∠AE1E2+∠E1E2H2＝∠H2E2E3+∠H3E3E2＝…＝∠Hn﹣2En﹣2+∠Hn﹣1En﹣1En﹣2＝∠Hn﹣1En﹣1En+∠En﹣1EnC＝180°，∴∠AE1E2+∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）+∠CEnEn﹣1＝（n﹣1） 180°，
∵∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O，∠E1OEn＝m°，
∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1＝2（∠AE1O+∠CEnEn﹣1），∴∠AE1O＝∠E1OH，
∵AB∥CD，∴OH∥CD，∴∠CEnO＝∠En﹣1OH，
∴∠AE1O+∠CEnO＝∠E1OEn＝m°，∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1＝2m°，
∴∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）═（n﹣1） 180°﹣2m°．
模型3：拐弯模型
【解题技巧】类型1（鸟嘴形）：如图，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3.
类型2（骨折形）：如图，AB∥CD，结论：∠2=∠1+∠3.
1．（2022.广东七年级期中）如图，已知AB∥CD，求证：∠1=∠2+∠3.
【解析】证法1（添角）：过点P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ
∴∠2+∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°∴∠1=∠2+∠3.
证法2：延长AB交PD于Q，则∠2=∠4，∠1+∠5=180°，∠5+∠3+∠4=180°
∴∠1=∠3+∠4=∠2+∠3.
2．（2022·山东德州·七年级期末）已知，平分，，，则___________．
【答案】##30度
【分析】作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得．
【详解】解：如图，作于，作于，
则，
设，则，，
平分，，
设，则，
，，，
，，，
，，
又，，解得，
则，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行公理推论、平行线的性质等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
3．（2022·余干县期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 = ．
【答案】(1) ∠E=∠END﹣∠BME (2) ∠E+2∠NPM=180°（3）
【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.
（2）根据平行线的性质，三角形外角定理，角平分线的性质即可解答.
（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.
【详解】（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，
（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，
∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F=∠E，即.
点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义.
4．（2022·广东·广州市第四中学七年级期中）已知直线l1l2，直线l3交l1于点C，交l2于点D，P是直线CD上一点．
(1)如图1，当点P在线段CD上时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系，并说明理由；
(2)如图2，当点P在线段DC的延长线上时，∠1，∠2，∠3之间的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请找出它们之间的关系，并说明理由；
(3)如图3，当点P在线段CD的延长线上时，请直接写出结论．
【答案】(1)∠3=∠1+∠2，理由见解析
(2)∠2=∠1+∠3，理由见解析
(3)∠1=∠2+∠3，理由见解析
【分析】（1）过点P作PE∥l1，根据平行线的性质得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE，结合图形求解即可；（2）过点P作PE∥l1，根据平行线的性质得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE，结合图形求解即可；
（3）方法同（1）（2）类似，进行求解即可
（1）解：如图所示，过点P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l1∥l2∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE，∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠APB=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2，
（2）如图所示，过点P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l1∥l2∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE，∵∠APB+∠APE=∠BPE，∴∠BPE=∠1+∠3，即∠2=∠1+∠3，（3）过点P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l1∥l2∴∠1=∠BPE，∠2=∠APE，∵∠EPB=∠APE+∠BPA，∴∠BPE=∠2+∠3，即∠1=∠2+∠3．
【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
模型4：“5”字模型
基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
1.（2022.浙江七年级期中）如图，AB∥CD，求证：∠1+∠3－∠2=180°.
【解析】过P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ
∴∠1+∠4=180°，∠4+∠5=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠3－∠2=180°.
2．（2022.北京七年级期中）如图，已知AB∥CD, EF∥CD，则下列结论中一定正确的是( )
A．∠BCD= ∠DCE; B．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360;
C．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD; D．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180.
【分析】根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.
【解析】延长DC到H。∵AB∥CD，EF∥CD ∴∠ABC+∠BCH=180°
∠ABC=∠BCD ∠CE+∠DCE=180° ∠ECH=∠FEC∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC
∠ABC+∠BCE -∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°. 故选D.
点拨：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，同位角相等.
3．（2022·四川·渠县成都市实验外国语学校七年级期中）如图， 已知，，，则_________
【答案】90°
【分析】根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小
【详解】∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF
∵CF∥DE
∴∠FCD+∠D=180°
∴∠FCD+∠D－∠B=180°－∠BCF，化简得：∠D－∠B=180°－(∠BCF+∠FCD)
∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠FCD=90°
∴∠D―∠B=90°
故答案为：90°
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是将∠BCD分为∠BCF和∠FCD，然后利用平行线的性质进行角度转换．
4.（2022·河北七年级月考）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=__________度．
【答案】20.
【解析】解：过点C作CF∥AB，由题意知，AB∥DE，
∴CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC=180°，∴∠BCF=60°，∴∠DCF=20°，∴∠CDE=∠DCF=20°．故答案为：20．
5．（2022·江苏·吕良中学七年级阶段练习）课题学行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求的度数．
阅读并补充下面推理过程
解：过点A作
，_________________．
__________________
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求证：提示：过点C做．
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，平分，DE平分，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数。
②如图4，点B在点A的右侧，且，若，则的度数为___________．
【答案】(1)∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC
(2)见详解
(3)①55°；②160
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C作CFAB，根据平行线的性质得到∠D+∠FCD＝180°，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）①过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，进而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°．
（1）
如图1，过点A作EDBC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案为：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC；
（2）
如图2，过C作CFAB，
，
∵ABDE，
∴CFDE，
∴∠D+∠FCD＝180°，
∵CFAB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF，
∴∠D+∠BCD＝180°+∠B，
即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°；
（3）
①如图3，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝25°，∠CDE∠ADC＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°；
②如图4，过点E作EFAB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°，
故答案为：160．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线．
模型5：折叠模型
1．（2022·黑龙江·林口县七年级期末）一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上结论正确的有（ ）
A．① ② ③ ④ B．② ③ ④ C．① ② ③ D．① ②
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质可得的度数，根据折叠的性质可得，进而可得，即可判断① ③ ；再利用平行线的性质可得、的度数，即可判断② ；再根据折叠的性质可得的度数，进而可得的度数，即可判断④
【详解】解：∵ 四边形ABCD是长方形
∴
由折叠的性质可得故 ① 正确
故 ③ 正确
故 ② 正确
又
由折叠的性质可得：
故 ④ 正确 故选：A
【点睛】本题主要考查平行线的性质和折叠的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质和折叠的性质．
2．（2022·浙江绍兴·七年级期中）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝36°，则∠GHC等于（ ）
A．110° B．108° C．106° D．112°
【答案】B
【分析】由折叠可得：∠DGH=∠DGE=72°，再根据，即可得到∠GHC=180°﹣∠DGH=108°．
【详解】解：∵∠AGE=36°，∴∠DGE=144°，
由折叠可得：∠DGH=∠DGE=72°，
∵四边形ABCD为矩形，∴，
∴∠GHC=180°﹣∠DGH=108°，故B正确． 故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
3．（2022·广东·广州市七年级期中）如图，长方形ABCD中，∠ADB＝20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，当折痕AF与AB的夹角∠BAF＝________时，．
A．50° B．55° C．65° D．70°
【答案】B
【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABD的度数，再由平行线的性质求出∠BAB′的度数，根据图形翻折变换的性质即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∠ADB=20°，∴∠ABD=70°．
∵AB′∥BD，∴∠BAB′=110°．∵△AB′F由△ABF翻折而成，
∴∠BAF=∠BAB′=55°．故选B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
4．（2022·新疆七年级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，点F是边BC上一点（不含端点），沿DF折叠纸片使得点C落在点C′位置，满足C′D∥AC，∠ADF－∠ACB＝18°，则∠ADF的度数是（ ）
A．42° B．36° C．54° D．18°
【答案】B
【分析】根据翻折的性质及平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠DAC＝∠ACB，∠ADF＝∠DFC，
∵C′D∥AC，∴∠DAC＝∠C′DA，由折叠的性质得到，△CDF≌△C′DF，
∴∠FDC＝∠FDC′＝∠ADF+∠C′DA＝∠ADF+∠ACB，
∴∠CFD+∠FDC＝2∠ADF+∠ACB＝90°，
∵∠ADF﹣∠ACB＝18°，∴∠ADF＝36°，故选：B．
【点睛】此题考查了翻折的性质，熟记翻折的性质是解题的关键．
5.（2022·广东深圳市七年级期末）如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为______度.
【答案】30+.
【解析】解：如图：∵∠ABE=30°，∴∠BEA'=∠BAE=60°，
∵A'D'∥BC，∴∠BCE=∠CED'，∵∠CED'=∠CED，∴∠BCE=∠CED'=∠CED，
∵∠DEC=∠DED'，∴∠DEC=（180°-∠A'EA+∠AED）=（180°-120°+n°）=（30+）°，
∴∠BCE=（30+）°故答案为：（30+）．
6．（2022·福建·上杭县第三中学七年级阶段练习）如图，长方形纸片按图①中的虚线第一次折叠得图②，折痕与长方形的一边形成的，再按图②中的虚线进行第二次折叠得到图③，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【分析】根据折叠的性质得到∠1=∠5，∠3=∠4，根据平行线的性质得到∠2=∠3，即可得到结论．
【详解】解：如图所示，标注角度，
由折叠的性质得：∠5=∠1=55°，∠3=∠4，
∴∠3=∠4=(180°-∠1-∠5)=35°，
∵长方形的对边平行，∴∠2=∠3=35°，故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟记各性质定理是解题的关键．
模型6：旋转模型
1．（2022·湖南岳阳·七年级期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③④
【分析】①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．
【详解】解①如图，∵∠CAB=∠DAE=90°，即∠1+∠2=∠3+∠2+90°，∴∠1=∠3≠45°，故①不正确；
②∵AD平分∠CAB，∴∠1=∠2=45°，∵∠1=∠3，∴∠3=45°，
又∵∠C=∠B=45°，∴∠3=∠B，∴BC∥AE，故②正确；
③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，
则∠4=∠ADE-∠ACB=60°-45°=15°，故③正确；
④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠3=60°，
又∠E=30°，设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°，
∵∠B=45°，∴∠4=45°，∴∠C=∠4，故④正确，故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定．
2．（2022·辽宁建昌·七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）
【答案】①④
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【详解】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，∴∠BAD=60°+90°=150°；
∴∠BAD=150°或∠BAD =30°．故答案为：①④．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
3．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB
B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
【答案】A
【分析】设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，可得∠OMN＝α+∠A＝60°，可证DC∥AB；当OC⊥AB时，α+∠A＝90°，可得α＝30°；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况；整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD存在平行，根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行．
【详解】解：设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，
当α＝15°时，∠OMN＝α+∠A＝60°，∴∠OMN＝∠C，∴DC∥AB，故A正确；
当OC⊥AB时，α+∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，∴α＝45°或225°，故B错误；
当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，
则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况，故C错误；
整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD存在平行，
根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行，故D错误；故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，垂直定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
4. （2022·浙江七年级期中）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．
【答案】PB′⊥QC′；15秒或63秒或135秒．
【解析】解：（1）当旋转时间30秒时，由已知得：∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，
过E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，
∴∠PEQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案为：PB′⊥QC′；
（2）①第一次平行时，如图
则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t＝45+t，解得：t＝15（s）；
②第二次平行时，如图 则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，即4t﹣180＝180﹣（45+t），解得：t＝63（s）；
③第三次平行时，如图，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t﹣360＝t+45，解得：t＝135（s）；故答案为：15秒或63秒或135秒．
模块三：专项训练
1．（2022·浙江温州·七年级期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
A．129° B．72° C．51° D．18°
【答案】C
【分析】分当时，如图1所示，当时，如图2所示，两种情况，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：当时，如图1所示，过点G作，
∵，∴，
∴∠PGQ =∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，
∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，
由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM，
∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，
∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，
∴
当时，如图2所示，过点G作，
同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，
∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，
∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，
∴∠PHG=150°-2∠ABM∴，
综上所述，或，故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
2．（2022·河南·七年级专题练习）如图，直线，点在上，点、点在上，的角平分线交于点，过点作于点，已知，则的度数为（ ）
A．26 B．32 C．36 D．42
【答案】A
【分析】依据∠OGD=148°，可得∠EGO=32°，根据AB∥CD，可得∠EGO =∠GOF，根据GO平分∠EOF，可得∠GOE =∠GOF，等量代换可得：∠EGO=∠GOE=∠GOF=32°，根据，可得：=90°-32°-32°=26°
【详解】解：∵ ∠OGD=148°,∴∠EGO=32° ∵AB∥CD，∴∠EGO =∠GOF,
∵的角平分线交于点,∴∠GOE =∠GOF,
∵∠EGO=32° ∠EGO =∠GOF ∠GOE =∠GOF, ∴∠GOE=∠GOF=32°,
∵, ∴=90°-32°-32°=26° 故选A.
【点睛】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义的综合运用，易构造等腰三角形，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
3．（2022·河北·迁安市七年级阶段练习）①如图1，AB∥CD，则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2，AB∥CD，则∠E =∠A +∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4，AB∥CD，则∠A=∠C +∠P．以上结论正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①过点E作EF∥AB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EF∥AB，由平行线的性质即可得出结论；
③过点点E作EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A +∠E－∠1=180°；
④过点P作PF∥AB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】①如图1，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC－∠1=∠A+∠AEC－∠CEF=∠A+∠AEF=180°，
则③正确；④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，
所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；故选C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
4．（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．
【答案】22°##22度
【分析】延长CE，交AD与点F，根据平行的性质有∠2=∠DFE，再根据∠1+∠DFE=90°，即可求出∠DFE，则问题得解．
【详解】延长CE，交AD与点F，如图，
根据题意有：，∠DEC=90°，
∴∠2=∠DFE，∠DEF=∠DEC=90°，
∴△DEF是直角三角形，即∠1+∠DFE=90°，
∵∠1=68°，
∴∠DFE=90°-∠1=22°，
∴∠2=22°，
故答案为：22°．
【点睛】本题考查了由平行线的性质探究角的关系；掌握两直线平行内错角相等是解题关键．
5．（2022·江西抚州·七年级期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若，则∠1的度数为______．
【答案】48°
【分析】过点作，根据“两直线平行，内错角相等”，进行计算；
【详解】解：如图，过点作，
，
长方形纸片ABCD，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，注意翻折问题中的对应角相等．
6．（2022·云南·昆明市第一中学西山学校七年级期中）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′、C′位置，ED′的延长线与BC相交于点G，若∠EFG＝60°，则∠1＝__°．
【答案】120
【分析】先根据平行线的性质得∠DEF=∠EFG=60°，∠1=∠GED，再根据折叠的性质得∠DEF=∠GEF=60°，则∠GED=120°，所以∠1=120°．
【详解】∵DE∥GC，
∴∠DEF=∠EFG=60°，∠1=∠GED，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′、C′的位置，
∴∠DEF=∠GEF=60°，
即∠GED=120°，
∴∠1=∠GED=120°．
故答案为120．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
7．（2022·浙江·萧山七年级期中）如图，，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．
【答案】
【分析】根据可得，，又因为，所以可得．
【详解】解：∵，∴，，
又∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，正确判断角之间的关系是解答本题的关键．
8．（2022·甘肃·凉州区七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．
【答案】##20度
【分析】过点作，利用平行线的性质可得的度数，进而可得的度数，再结合可得，进而可得的度数．
【详解】解：如图，过点作，则，
，
，，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．
9．（2022·重庆市綦江中学七年级阶段练习）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，则∠ACD的度数是_____．
【答案】##27度
【分析】延长FA与直线MN交于点K，通过角度的不断转换解得∠BCA=45°，然后结合图形，利用各角之间的关系求解即可．
【详解】解：延长FA与直线MN交于点K，
由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠FAD=45°-(90°-∠AFD)=∠AFD，
∵MN∥PQ，∴∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°，
∴∠ACD=∠AFD=(∠ABM-90°)=∠BCD-45°，即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°，
∴∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-∠BCA=45°-18°=27°，
故∠ACD的度数是27°，故答案为：27°．
【点睛】本题利用平行线、垂直、角平分线综合考查角度的计算，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
10．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级阶段练习）课题学行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，
， ，
，
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)；
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；
（2）过C作，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果；
（3）①过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用平行线的性质导角即可．
【详解】（1）解：，
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；
（2）解：过C作，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①过E作，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
；
②过E作，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线的传递性以及角平分线的概念，作出辅助线构造平行线导角是解决本题的关键．
11．（2022·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点．
(1)如图，平分，若，求的度数．
(2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)或，证明见解析
【分析】（1）首先作，根据平行线的性质，推得；然后根据，推得，据此求出的度数即可．
（2）①首先判断出，然后根据，可得，推得，再根据，推得即可．
②首先判断出，然后根据，可得，推得，再根据，推得即可．
（1）
解：如图，作，
，
，，
，，
，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
．
（2）
解：①如图，
，
，理由如下：
平分，平分，
，，
，
，，
，
，．
②如图，
，
，理由如下：
平分，平分，，，
，
，，
，
，．
综上，可得当在直线上运动（不与点重合）时，或．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
12．（2022·福建泉州·七年级期末）现有一块含角的直角三角板，其直角顶点在直线上，将三角板绕着点按逆时针方向旋转的度数（）．
请你解决下列问题：
(1)当的度数为多少时，（不必说理）；
(2)如右图，作于点，于点，试探究：图中提供的字母或数字能表示的所有角（不包含该图中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，试写出所有相等的角，并说明理由；若不存在，请举例说明．
【答案】(1)或；(2)存在，，，理由见解析．
【分析】（1）利用平行线的性质求解即可；（2）利用平行线的判定及性质求解即可．
（1）解：如图：
∵，，∴，如图：
∵，∴，
∵， ∴，
综上所述：当或，．
（2）解：图中所有相等的角分别为：，．
理由如下：在同一平面内，过点作射线，
∵，，∴，
∴，，
∵，
∴，即，同理可得．
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的判定及性质．
13．（2022·山西·古县教育局教学研究室七年级期末）综合与实践
问题情境：
在数学实践课上，给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图1放置，在直线上，且三角板和三角板均可以点P为顶点运动．
操作探究：
(1)如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转一定角度，平分平分，求；
(2)如图3，在图1基础上，若三角板开始绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当转到与重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
(3)如图4，作三角板关于直线的对称图形．三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数．
【答案】(1)30°(2)15秒或秒 (3)30°或210°．
【分析】（1）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解；
（2）分三种情况讨论，建立与时间t有关的方程求解即可；
（3）分两种情况，结合平行线的判定与性质讨论求解即可．
（1）∵平分∠∴设∠
则∠∠∴
∴∴∠
（2）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角，
∵当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动，
∴秒，分三种情况讨论：
①当PD平分∠BPC时，根据题意可列方程，
解得，，符合题意；
②当PC平分∠BPD时，根据题意可列方程,
解得，，符合题意；
③当PB平分∠CPD时，根据题意可列方程,
解得，，不符合题意舍去，
所以，旋转时间为15秒或秒时，三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角；
（3）①如图①，
∵与关于PB对称，
∴
若，则
∴
∴
∴旋转角度数为：；
②如图②，
若，则
∴
∴旋转角度数为：；
综上，当时，旋转角的度数为30°或210°．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义及角的和与差，图形的旋转.掌握图形旋转的特征，找出等量关系列出方程式是解答本题的关键
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专题1-6 平行线的六大基本模型
模块一：知识清单
平行线基本模型在初中数学几何模块中虽然属于基础工具类问题，也是浙教版七年级下期末的压轴题，是学生必须掌握的一块内容。本学案就平行线的六大模型（铅笔模型、猪蹄模型、拐弯模型、“5”字模型、翻折模型、旋转模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模块二：基本模型
模型1：猪蹄模型（M型）
【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；
②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD.
图①、图② 图③
③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.
1.（2022.广东省初一月考）如图所示，已知：AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C；
2.（2022.湖北七年级期中）如图，，，则，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2022·渝中区期末）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．
5．（2022·山东·德州七年级期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
模型2：铅笔头模型
【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；
②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD.
图①、图② 图③
③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.
1、（2022.河北七年级月考）如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；
2．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图已知：ABCD，CDEF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下结论：①AB∥EF；②2∠1 ∠4=90°；③2∠3 ∠2=180°；④∠3+∠4=135°，其中，正确的结论有____．（填序号）
3．（2022·山东日照·七年级期末）（1）阅读下面材料：
已知：如图1，，E为AB，CD之间一点，连接AE，CE，得到．求证：．
解答过程如下，并请你在括号内填写推理的依据：
过点E作，
则有（______）．
∵，∴（______）．
∴（______）．
∴,
又∵∴．
假若将具有图1特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：
若，E为AB，CD之间一点，则有
（2）已知：直线，点A，B在直线m上，点C，D在直线上，连接AD，BC，BE平分，DE平分，且BE，DE所在的直线交于点E．
①如图2，当点D在点C的左侧时，若，，请你结合（1）中“平行凸折线”的性质，求的度数；
②如图3，当点D在点C的右侧时，设，，请直接写出的度数（用含有，的式子表示）．
4．（2022·西安七年级月考）下列各图中的MA1与NAn平行．
（1）图①中的∠A1+∠A2= 度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3= 度，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= 度，…，
第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10= 度（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An= ．
5．（2022·贵州遵义市·七年级期末）[问题解决]（1）如图1，AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，连接OE、OF，探求∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．
[拓展延伸]（2）如图2，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请写出它们的关系．
[拓展应用]（3）如图3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O．若∠E1OEn＝m°，直接写出∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）的度数．（用含m、n的代数式表示）
模型3：拐弯模型
【解题技巧】类型1（鸟嘴形）：如图，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3.
类型2（骨折形）：如图，AB∥CD，结论：∠2=∠1+∠3.
1．（2022.广东七年级期中）如图，已知AB∥CD，求证：∠1=∠2+∠3.
2．（2022·山东德州·七年级期末）已知，平分，，，则___________．
3．（2022·余干县期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 = ．
4．（2022·广东·广州市第四中学七年级期中）已知直线l1l2，直线l3交l1于点C，交l2于点D，P是直线CD上一点．
(1)如图1，当点P在线段CD上时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系，并说明理由；
(2)如图2，当点P在线段DC的延长线上时，∠1，∠2，∠3之间的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请找出它们之间的关系，并说明理由；
(3)如图3，当点P在线段CD的延长线上时，请直接写出结论．
模型4：“5”字模型
基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
1.（2022.浙江七年级期中）如图，AB∥CD，求证：∠1+∠3－∠2=180°.
2．（2022.北京七年级期中）如图，已知AB∥CD, EF∥CD，则下列结论中一定正确的是( )
A．∠BCD= ∠DCE; B．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360;
C．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD; D．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180.
3．（2022·四川·渠县成都市实验外国语学校七年级期中）如图， 已知，，，则_________
4.（2022·河北七年级月考）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=__________度．
5．（2022·江苏·吕良中学七年级阶段练习）课题学行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求的度数．
阅读并补充下面推理过程
解：过点A作
，_________________．
__________________
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求证：提示：过点C做．
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，平分，DE平分，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数。
②如图4，点B在点A的右侧，且，若，则的度数为___________．
模型5：折叠模型
1．（2022·黑龙江·林口县七年级期末）一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上结论正确的有（ ）
A．① ② ③ ④ B．② ③ ④ C．① ② ③ D．① ②
2．（2022·浙江绍兴·七年级期中）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝36°，则∠GHC等于（ ）
A．110° B．108° C．106° D．112°
3．（2022·广东·广州市七年级期中）如图，长方形ABCD中，∠ADB＝20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，当折痕AF与AB的夹角∠BAF＝________时，．
A．50° B．55° C．65° D．70°
4．（2022·新疆七年级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，点F是边BC上一点（不含端点），沿DF折叠纸片使得点C落在点C′位置，满足C′D∥AC，∠ADF－∠ACB＝18°，则∠ADF的度数是（ ）
A．42° B．36° C．54° D．18°
5.（2022·广东深圳市七年级期末）如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为______度.
6．（2022·福建·上杭县第三中学七年级阶段练习）如图，长方形纸片按图①中的虚线第一次折叠得图②，折痕与长方形的一边形成的，再按图②中的虚线进行第二次折叠得到图③，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
模型6：旋转模型
1．（2022·湖南岳阳·七年级期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号）
2．（2022·辽宁建昌·七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）
3．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB
B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
4. （2022·浙江七年级期中）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．
模块三：专项训练
1．（2022·浙江温州·七年级期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
A．129° B．72° C．51° D．18°
2．（2022·河南·七年级专题练习）如图，直线，点在上，点、点在上，的角平分线交于点，过点作于点，已知，则的度数为（ ）
A．26 B．32 C．36 D．42
3．（2022·河北·迁安市七年级阶段练习）①如图1，AB∥CD，则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2，AB∥CD，则∠E =∠A +∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4，AB∥CD，则∠A=∠C +∠P．以上结论正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．
5．（2022·江西抚州·七年级期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若，则∠1的度数为______．
6．（2022·云南·昆明市第一中学西山学校七年级期中）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′、C′位置，ED′的延长线与BC相交于点G，若∠EFG＝60°，则∠1＝__°．
7．（2022·浙江·萧山七年级期中）如图，，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．
8．（2022·甘肃·凉州区七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．
9．（2022·重庆市綦江中学七年级阶段练习）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，则∠ACD的度数是_____．
10．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级阶段练习）课题学行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，
， ，
，
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）
11．（2022·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点．
(1)如图，平分，若，求的度数．
(2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论．
12．（2022·福建泉州·七年级期末）现有一块含角的直角三角板，其直角顶点在直线上，将三角板绕着点按逆时针方向旋转的度数（）．
请你解决下列问题：
(1)当的度数为多少时，（不必说理）；
(2)如右图，作于点，于点，试探究：图中提供的字母或数字能表示的所有角（不包含该图中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，试写出所有相等的角，并说明理由；若不存在，请举例说明．
13．（2022·山西·古县教育局教学研究室七年级期末）综合与实践
问题情境：
在数学实践课上，给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图1放置，在直线上，且三角板和三角板均可以点P为顶点运动．
操作探究：
(1)如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转一定角度，平分平分，求；
(2)如图3，在图1基础上，若三角板开始绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当转到与重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
(3)如图4，作三角板关于直线的对称图形．三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数．
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