专题2.13 三元一次方程组及其解法（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题2.13 三元一次方程组及其解法（知识讲解）
【学习目标】
1．理解三元一次方程(或组)的含义；
2．会解简单的三元一次方程组；
3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.
【要点梳理】
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
特别说明：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．
2．三元一次方程组的定义
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
特别说明：
(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．
（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．
要点二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
特别说明：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．
要点三、三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
特别说明：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【典型例题】
类型一、三元一次方程组 直接解三元一次方程组
1．解三元一次方程组．
【答案】
【分析】先由①×2-②消去y，①×3+③消去y，得到，转化为解关于x，z的二元一次方程组，据此解答．
解：
①×2-②，得
①×3+③，得
解方程组
解得
把代入①，得，
所以原方程组的解为 ．
【点拨】本题考查加减消元法解三元一次方程组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式1】用代入法解三元一次方程组．
【答案】
【分析】观察每个方程的特点，将变形为z＝3x+2y﹣16，分别代入剩下的方程，再利用加减消元解二元一次方程组即可．
解：，
由②得：z＝3x+2y﹣16④，
把④代入①得：2x+y+9x+6y﹣48＝13，即11x+7y＝61⑤；
把④代入③得：x+3y﹣15x﹣10y+80＝10，即2x+y＝10⑥，
⑥×7﹣⑤得：3x＝9，即x＝3，
把x＝3代入⑥得：y＝4，
把x＝3，y＝4代入④得：z＝1，
则方程组的解为．
【点拨】本题主要考查了解三元一次方程组，正确运用消元思想进行运算是解题的关键．
【变式2】解下列方程组：
（1） （2）
【答案】（1） （2）
【分析】（1）先标号利用加减消元法①+②得，（③-②）÷2得，再利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先标号利用加减消元法先消去z，再解x与y的二元方程组即可．
解：（1），
①+②得，
（③-②）÷3得，
④+⑤×2得4x=8，
解得x=2，
把x=2代入④得，
把代入②得y=-3，
∴；
（2），
①+③得，
（②+③）÷5×3得，
④-⑤得x=3，
把x=3代入④得y=2，
把x=3，y=2代入①得z=5，
∴．
【点拨】本题考查三元一次方程组的解法，掌握三元方程组消元转化二元方程组来解是解题关键．
类型二、三元一次方程组 特殊方法解三元一次方程组
2．用不同的方法解方程组：再对这些方法进行比较．
【答案】
【分析】方法1：①-②和③可得关于x、z的方程组可求解x、z的值，代入②可求y的值；
方法2：由①+②+③得，再代入①②③可求解x、y、z的值．
解：
方法1：①﹣②得x﹣z＝10④，
由③④得，
解得
把代入②得，y=0
∴方程组的解为．
方法2：①+②+③得④，
把①代入④得，z=5
把③代入④得，y=0
把②代入④得，x=15
∴方程组的解为
经比较，方法2更简便些．
【点拨】本题考查了解三元一次方程组：利用加减消元或代入消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组．
举一反三：
【变式1】已知方程组的解使得代数式的值等于-10，求的值．
【答案】．
【分析】把、、用含有的式子表示出来，然后再代入即可解出的值．
解：②-①，得④
③+④，得，
把分别代入②和③，得，．
∴．
把，，代入得．
解得．
【点拨】本题考查了三元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法的解题步骤是解决此类题的关键．
【变式2】设线段x、y、z满足，求x、y、z的值．
【答案】．
【分析】设＝＝＝k，从而可得x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，进而可得x+y+z＝k，然后根据x+y+z＝18，求出k的值，从而求出x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，最后进行计算即可解答．
解：设＝＝＝k，
∴x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，
∴x+y+z+x+y+z＝9k，
∴2x+2y+2z＝9k，
∴x+y+z＝k，
∵x+y+z＝18，
∴k＝18，
∴k＝4，
∴x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，
∴z＝10，y＝6，x＝2，
∴原方程组的解为：．
【点拨】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是令＝＝＝k，并求出k值．
【变式3】在等式中，当时，；当时，：当时，．
求，，的值；
求当时，的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据题设条件，得到关于，，的三元一次方程组，利用加减消元法解之即可，
（2）结合（1）的结果，得到关于和的等式，把代入，计算求值即可．
解：（1）根据题意得：，
①＋②得：④
③＋②×2得：⑤，
⑤－④得：，
把代入④得：，
解得：，
把，代入①得：，
解得：，
方程组的解为：；
（2）根据题意得：，
把代入得：，
即的值为．
【点拨】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键：（1）正确掌握加减消元法，（2）正确掌握代入法．
类型三、三元一次方程组 应用
3．在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
已知，求的值；
(2) 马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
【答案】(1) (2) 节省了元
【分析】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，求出按照原价本笔记本、支签字笔、支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数．
（1）解：（1），
①②得：，
则；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得：，
∴，
（元），
则比原价购买节省了元．
【点拨】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员 小丽 小华
月销售件数（件） 200 150
月总收入（元） 1400 1250
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
求x、y的值；
(2) 如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
【答案】(1) x的值为800，y的值为3 (2) 购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元
【分析】（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成=1400元，小华的基本工资+提成=1250元，列方程组求解即可；
（2）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱，即可求解．
（1）解：设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元．
由题意得，
解得，
即x的值为800，y的值为3；
（2）解：设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元．
则可列方程组：，
将两等式相加得4x+4y+4z=600，则x+y+z=150，
答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．
【点拨】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【变式2】某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的，此时厂家需付甲、丙两队共5500元．
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
【答案】（1）甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天，15天，30天．；（2）由乙队单独完成此工程花钱最少．
【分析】（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则甲、乙、丙的工作效率分别是、、，列分式方程组求解；（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，用每天应付的费用×完成任务天数=共付费用，列方程组求、、，再根据工期的规定及花费最少答题．
解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则，
解得，∴．
答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天，15天，30天．
（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，则，解得．
∵（元），（元）．
答：由乙队单独完成此工程花钱最少．
【点拨】本题考查三元一次方程组的工程问题，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列方程组求解是解题的关键．
【变式3】感悟思想：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足①，②，求和的值．
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．
如①-②可得①+②×2可得．
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
体会思想：
已知二元一次方程组，则______，______．
解方程组：
某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
【答案】(1) -1，5 (2) (3) 30元
【分析】（1）把两个方程相加可求，相减可求；
（2）把3个方程相加得，分别减三个方程可求解；
（3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可．
（1）解：
①+②得，解得，
①-②得，
故答案为：-1，5．
（2）解：，
①+②+③得，，即④，
④-①得，，
④-②得，，
④-③得，，
方程组的解为．
（3）解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元,
根据题意列方程组得，．
①×2-②得，，则；
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
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【点拨】本题考查了利用整体思想解方程组，解题关键是熟练利用整体思想，通过整体运算求解．