专题2.16 二元一次方程组（全章复习与巩固）（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题2.16 二元一次方程组（全章复习与巩固）（知识讲解）
【学习目标】
1.了解二元一次方程组及其解的有关概念；毛
2.掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法；
3.理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；
4.掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；
5.通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念.
【要点梳理】
要点一、二元一次方程组的相关概念
1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
特别说明：：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
特别说明：：
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式.
3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组 .
特别说明：：
（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．
（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
特别说明：：
（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2）方程组的解要用大括号联立；
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个.
要点二、二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的思想
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；
②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出（或）的值；
④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
特别说明：：
(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；
(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.
特别说明：：
当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.
要点三、实际问题与二元一次方程组
特别说明：：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
要点四、三元一次方程组
1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
等都是三元一次方程组.
特别说明：：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：
（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；
（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.
2．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
特别说明：：
（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．
（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解．
3. 三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案(包括单位名称)．
特别说明：：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【典型例题】
类型一、二元一次方程（组） 方程（组）的解 参数
1．已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数．
若是该方程的一个解，求的值；
当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
【分析】（1）将方程的解代入方程中求解限可；（2）方法一：取k的两个特殊值，得到二元一次方程组，解之即可；方法二：将原方程转化为，根据当每取一个不为零的值时所得方程都有一个公共解可得x+1=0，y-2=0，解之即可．
（1）解：将代入方程得，
解得；
（2）解法一：任取两个的值，不妨取，得到两个方程并组成方程组 ，
解得 ，
即这个方程的公共解是；
解法二：原方程可化为，当时，无论取任何一个不为0的值时，都有，
解得，，
即这个方程的公共解是．
【点拨】本题考查二元一次方程的解，解题关键是理解什么是方程的解．
举一反三：
【变式1】已知关于、的二元一次方程的解为和
求、的值；
求当时的值.
【分析】（1）将方程的解代入得到新的方程组解方程组即可得到答案；
（2）根据（1）将代入即可得到答案．
（1）解：由题意可得，
，
解得 ；
（2）解：由（1）得，
，
将代入可得，
．
【点拨】本题考查二元一次方程的解得问题，解题的关键是方程的解满足方程代入左右两边相等．
【变式2】已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，求a+b的值是多少？
【分析】根据方程组解的定义，应满足方程②，应满足方程①，将它们分别代入方程②①，就可得到关于a，b的方程，解得a，b的值．
解：根据题意 是②方程的解， 是①方程的解，
∴ ，
解得：，
∴．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义．
类型二、二元一次方程组 用适合的方法解二元一次方程组
2．解方程组：
； (2) ．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
（1）解：，
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
则方程组的解为；
（2）解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：
，
则方程组的解为．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
举一反三：
【变式1】解二元一次方程组．
(2)
【分析】（1）先整理方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程组即可．
（1）解：
整理得：，
得，
解得：，
把代入解得：，
所以方程组的解为；
（2）解：
由①得③
把③代入②得：，
解得：
把代入①解得：，
所以方程组的解为．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解法，利用消元思想，消元的方法为：代入消元法和加减消元法．
【变式2】解方程组：．
【分析】利用加减消元法求解．
解：，
，得，
即，
，得，
即，
联立，
解得．
【点拨】本题考查加减消元法解二元一次方程组，根据所给方程特点，选择合适的消元方法是解题的关键．
类型三、二元一次方程组 整体消元法解二元一次方程组
3．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．
【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程将①代入方程②，得到1+2y＝9，解得y＝4，再将y＝4代入①得：x＝7，得到原方程组的解为：．
解：，
将①代入②得：1+2y＝9，即y＝4，
将y＝4代入①得：x＝7，
∴原方程组的解为：．
【点拨】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个代数式作为一个整体代入另一个方程．
举一反三：
【变式1】甲、乙、丙在探讨问题“已知，满足，且求的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于，的方程组再求的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值；
丙同学：先解方程组，再求的值．
你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
【答案】我最欣赏乙同学的解法，，理由见分析
【分析】我最欣赏乙同学的解法，根据乙的思路求出的值，分析简便的原因．
解：我最欣赏乙同学的解法，
，
得：，
整理得：，
代入得：，
解得：，
这样解题采用了整体代入的思想，利用简化运算．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，能观察方程特点并运用整体代入的方法是解题的关键．消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式2】（1）仔细阅读下面解方程组的方法，并将解题过程补充完整：
解方程组时，如果直接用代入消元或加减消元，计算会很繁琐，若采用下面的解法，则会简单很多．
解：① －②，得：，即③
③×16，得：④
②－④，得：________
将x的值代入③ 得：________
∴方程组的解是________；
（2）请你采用上述方法解方程组：
【分析】（1）根据题中解二元一次方程组的步骤解答即可；
（2）仿照（1）的解答过程解答即可．
（1）解：
① －②，得：，即③
③×16，得：④
②－④，得：x= -1
将x的值代入③ 得：y= 2
∴方程组的解是．
故答案为：－1，2，．
（2）
① –②得：，即③
③×2019得：④
② －④得
把代入③ 得
∴原方程组的解是．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解法，灵活运用加减消元法、代入消元法解方程组是解答本题的关键．
类型四、二元一次方程组 解二元一次方程组 同解原理
4．已知方程组和有相同的解,求m和n的值.
【分析】根据两个方程组解相同，可先由求出x、y的值，再将x和y的值代入得到m、n的二元一次方程组，解方程组求出m和n．
解：∵方程组和有相同的解，
∴与原两方程组同解．
由5y-x=3可得：x=5y-3，
将x=5y-3代入3x-2y=4，则y=1．
再将y=1代入x=5y-3，则x=2．
将代入得：，
将（1）×2-（2）得：n=-1，
将n=-1代入（1）得：m=4．
∴
【点拨】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，运用代入法，得关于a和b的二元一次方程组，再解方程组求解．
举一反三：
【变式1】已知关于x，y的方程组的解也是二元一次方程2x＋y＝－6的解，求m的值．
【分析】由题意可知，解出x和y后再代入即可求解.
解：依题意得方程组，用①加上②可得，5x=-35，解得x=-7，
则y=-6-2×(-7)=8，即，
将该解代入方程7x+9y=m, 解得：m＝23.
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，理解同解的含义并重新组合方程组是解题关键.
【变式2】已知关于x，y的方程组与有相同的解，求 的值．
【分析】先根据题意得到方程组，解方程组求出，进而得到关于a、b的方程组，求出a、b的值即可得到答案．
解：∵关于x，y的方程组与有相同的解，
∴
得，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∴
得，解得，
把代入④得，解得，
∴．
【点拨】本题主要考查了同解方程组，代数式求值，正确求出a、b的值是解题的关键．
类型五、三元一次方程组 解三元一次方程组
5．解方程组
【分析】先用加减消元法消去z，变为关于x、y的二元一次方程组，解三元一次方程组即可．
解：，
②①，得：，
③②，得：，
解方程组，
得：，
将代入①，得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用消元法把三元化为二元，再解二元一次方程组．
举一反三：
【变式1】在等式中，当时，；当时，；当与时，y的值相等，求的值．
【答案】37
【分析】由当与时，y的值相等，得出a和b的关系，再将x与y的2对值代入等式，得出关于a，b，c的方程组求解即可．
解：∵当与时，y的值相等，
∴，即，
把当时，；当时，代入等式得
，
①-②得：，即，
将代入③得：，
将代入①得：，
∴，
∴．
【点拨】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式2】解方程组：
【分析】利用消元法先把三元一次方程组变形为二元一次方程组，再解二元一次方程组即可得解．
解： ，
得，
把和④组成方程组得，
解此二元一次方程组得，
把，代入②得2×2+5×1-2z=11，
解得z= 1，
∴原方程组得解为．
【点拨】本题主要考查了解三元一次方程组，把三元一次方程组通过消元法化为二元一次方程组是解题的关键．
类型六、二元一次方程组的应用 列二（三）元一次方程组解应用题
6．某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3600元（毛利润＝售价－进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
(2) 如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
【答案】(1) 购进A型服装45件，购进B型服装30件 (2) 服装店比按标价出售少收入1410元
【分析】（1）设购进A型服装x件，B型服装y件，根据“某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用少收入的钱数=每件A型服装少挣的钱数×销售数量+每件B型服装少挣的钱数×销售数量，即可求出结论．
解：（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件，
根据题意得：，
解得：
答：购进A型服装45件，购进B型服装30件；
（2）
=450+960
（元）．
答：服装店比按标价出售少收入1410元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
举一反三：
【变式】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元．
问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2元，销售1辆B型汽车可获利0.8元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少元？
【答案】(1) 两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元 (2) 最大利润为 万元
【分析】（1）设A种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，根据购进3辆A型新能源汽车总价辆B型新能源汽车总价万元；购进4辆A型新能源汽车总价辆B型新能源汽车的总价万元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据题意得出，根据m、n为正整数，求出方程的解，再分别算出各种方案获得的利润，进行比较即可得出最大利润．
（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，
由题意可得: ，
解得： ，
答：两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元
（2）解：设购买A型号的汽车辆，种型号的汽车辆，由题意可得且的正整数，
解得： 或或或，
该公司共有四种购买方案，
当 时, 获得的利润为:(万元)，
当 时, 获得的利润为:(万元)，
当 时, 获得的利润为:(万元)，
当 时, 获得的利润为:(万元)，
由上可得, 最大利润为 万元．
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【点拨】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算．