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2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷3.4乘法公式
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七上·庐江月考）下列多项式乘以多项式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022七下·馆陶期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形；验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
3．（2022七下·江都期末）我们知道，借助图形可以验证公式.下列图形可以用来验证平方差公式a2 b2=（a+b）（a b）的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022七下·迁安期末）某同学粗心大意，分解因式时，把式子中的一部分弄污了，那么你认为式子中的所对应的代数式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022七下·普宁期末）将边长分别为和a-b的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面积化简后的结果（ ）
A． B． C．2ab D．4ab
6．（2022七下·仪征期末）如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（ ）
A．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 B．（a﹣b）2＝a2＋2ab﹣b2
C．（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2
7．（2021七下·来宾期末）有两个正方形 ，现将 放在 的内部得图甲，将 并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形 的面积之和为 （ ）
A．13 B．11 C．19 D．21
8．（2022七上·浦东新期中）今年各地疫情时有出现，为了不影响学习，学校组织同学们进行网上学习，课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案：
计算： ①；②；③； ④
则小刚做对的题数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2022七下·乐亭期末）若，，则（ ）
A．-3 B．3 C．-4 D．4
10．（2022七下·迁安期末）在多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（ ）
嘉琪：添加，
陌陌：添加，
嘟嘟：添加，
A．嘉琪和陌陌的做法正确 B．嘉琪和嘟嘟的做法正确
C．陌陌和嘟嘟的做法正确 D．三位同学的做法都错误
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022七上·庐江月考）已知， ．
12．（2022七上·普陀期中）计算： ．
13．（2022七下·上城期中）如图，在边长为a(cm)的大正方形内放入三个边长都为b(cm)(a＞b)的小正方形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是4cm2，则a2－2ab＋b2的值为 .
14．（2022七下·张家港期末）已知，则的值为 ．
15．（2022七下·迁安期末）计算：
16．（2022七上·浦东新期中）若，则的值为 ．
三、计算题（共2题，共20分）
17．运用整式乘法公式进行计算
（1）（50）2
（2）1232-122×118.
18．（2022七下·东港期末）要求：利用乘法公式计算
（1）
（2）
四、解答题（共7题，共46分）
19．（2022七下·余姚期中）先化简，再求值： ，其中 .
20．（2022七上·闵行期中）已知，求的值．
21．（2022七下·会同期末）证明是13的倍数．
22．（2021七下·来宾期中）将多项式 加上一个整式后，使它能成为另一个整式的平方，你有哪些方法，请写出三类不同的解法.
23．（2022七上·黄浦期中）已知，，
（1）求代数式的值；
（2）求代数式的值．
24．（2022七下·光明期末）【背景知识】用两种方法计算同一个图形的面积，就可以得到一个等式．例如：图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到．
（1）【能力提升】请你根据背景知识和图2推导等式 ；
（2）【能力提升】请你根据背景知识和图3推导等式 ；
（3）【拓展应用】若，，利用（2）得到的结论，求图3中阴影部分的面积．
25．（2022七下·东海期末）完全平方公式进行适当的变形后，可以解决很多的数学问题．
如：若x满足，求的值．
解题思路：由得，
可设，，则，，
∴；
（1）请仿照上面的方法求解下面问题：
①若x满足，求的值；
②若x满足，求的值；
（2）应用上面的解题思路解决问题：如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A．，是平方差公式计算，符合题意；
B．，不是平方差公式计算，不符合题意；
C．，不是平方差公式计算，不符合题意；
D．，不是平方差公式计算，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式的计算方法逐项判断即可。
2．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，面积表示为a2﹣b2；
拼成的矩形的面积为a（a-b）+b（a-b）=（a-b）（a+b），
由此得到a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A．
【分析】利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得答案。
3．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：A、图形可以用来验证（a+b）2=a2+b2+2ab，不能验证平方差公式，该选项不符合题意；
B、
S阴影=S大正方形- S小正方形= 2S梯形，即a2-b2=2×= ，
能验证平方差公式，该选项符合题意；
C、S阴影=S大正方形- S小正方形= 4S小长方形，即（a+b）2-（a-b）2=4ab，不能验证平方差公式，该选项不符合题意；
D、图形可以用来验证（a+x）2=a2+x2+ax+bx，不能验证平方差公式，该选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据图形整体的面积等于各部分面积之和进行判断求解．
A、由图形可以用来验证（a+b）2=a2+b2+2ab；
B、根据图形的构成得S阴影=S大正方形- S小正方形= 2S梯形可得 a2 b2=（a+b）（a b）；
C、根据图形的构成得S阴影=S大正方形- S小正方形= 4S小长方形可得（a+b）2-（a-b）2=4ab；
D、由图形可以用来验证（a+x）2=a2+x2+ax+bx.
4．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴=．
故答案为B．
【分析】根据平方差公式即可判断.
5．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：阴影部分的面积为（a+b）2-（a-b）2
=a2+2ab+b2-（a2-2ab+b2）
=4ab，
故答案为：D．
【分析】根据图形列出算式（a+b）2-（a-b）2，再利用平方差公式计算即可。
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，因此其面积为（a﹣b）2，
阴影部分也可以看作是边长为a的大正方形的面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，再加上边长为b的正方形面积，即a2﹣2ab＋b2，
因此有（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2.
故答案为：D.
【分析】由图形可得：阴影部分可看作边长为(a-b)的正方形，也可看作是边长为a的大正方形的面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，再加上边长为b的正方形面积，据此可得等式.
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得： ，即 ，由图乙得： ，整理得 ，所以 .
即正方形A、B的面积之和为19.
故答案为：C.
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，图甲阴影部分的面积=A面积，-B面积=3，图乙阴影部分的面积=边长为(a+b）正方形的面积-A面积，-B面积=16，据此建立两等式，联立即可求出结论.
8．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：① ，故①不符合题意；
② ，故②不符合题意；
③ ，故③不符合题意；
④ ，故④不符合题意；
所以①②③④全错，
故答案为：A．
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式及合并同类项的计算方法逐项判断即可。
9．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵，，
∴
即4=10+2xy
xy=-3
故答案为：A
【分析】利用完全平方公式可得，再将，代入计算即可。
10．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：添加，，故嘉琪的表述是正确的；
添加，，故陌陌的表述是正确的；
嘟嘟的表述不是完全平方公式，故是错误的，
故答案为：A
【分析】根据（ab）2=a22ab+b2的结构特征进行判断即可.
11．【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
即，
11，
故答案为：11.
【分析】利用完全平方公式可得，再求出即可。
12．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】
．
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式计算即可。
13．【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意可得：没有盖住的的长方形长=a-b，宽为a-b，
∵未盖住部分面积=4cm2，
∴（a-b）（a-b）=4，
∴a2-2ab+b2=4.
故答案为：4.
【分析】根据图形可知：没有盖住的的长方形长=a-b，宽为a-b，再结合未盖住部分面积=4cm2，可得（a-b）（a-b）=4，整理即可求得a2-2ab+b2的值.
14．【答案】1
【知识点】代数式求值；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a+2b=1，
∴a2 4b2+4b=（a+2b）（a 2b）+4b
=（a 2b）+4b
= a+2b=1，
故答案为：1．
【分析】先根据平方差公式将待求式子化为（a+2b）（a 2b）+4b，再代值将原式化简得出a+2b，再代值计算即可.
15．【答案】90000
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为：90000
【分析】根据完全平方公式将原式变形为，再计算即可.
16．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
．
故答案为： ．
【分析】将代数式变形为，再计算即可。
17．【答案】（1）解：原式=（50+）2=2500+2+=
（2）解：原式=1232-（120+2）×（120-2）
=1232-1202+22
=（123+120）×（123-120）+4
=243×3+4
=729+4
=733.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；含括号的有理数混合运算
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式展开计算即可；
(2)先根据平方差公式将第二项展开，然后再次利用平方差公式进行简便运算，最后进行有理数的混合运算，即得结果.
18．【答案】（1）解：原式=（2022+1）×（2022-1）-20222
=20222-1-20222
=-1．
（2）解：原式=（2x-y）2-9
=4x2-4xy+y2-9．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先将原式变形，再利用平方差公式计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可。
19．【答案】解：原式
当 时，
原式
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】 利用平方差公式，完全平方公式及单项式乘以多项式运算法则，化简原式=-x -16，再把x=6代入计算即可求解.
20．【答案】解： ，
， ，
，
，
，
∴ 的值为28．
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据，可得，，再将其代入计算即可。
21．【答案】证明：，
，
∵26能被13整除，
∴结论成立．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式可得924-1=(912+1)(96+1)(93+1)(33+1)(33-1)=26(912+1)(96+1)(93+1)(33+1)，据此证明.
22．【答案】解：（1）加整式
（2）加整式
（3）加整式
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据整式的加法法则可得9x2+x+(-x)=9x2，而9x2为整式(±3x)2；给多项式加上整式5x+1可得9x2+x+5x+1=9x2+6x+1=(3x+1)2；给多项式加上整式1-7x可得9x2+x+1-7x=9x2-6x+1=(3x-1)2，据此解答.
23．【答案】（1）解：∵，
∴
又∵，
∴，
∴．
（2）解：
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式可得，再结合，求出即可；
（2）将代数式变形为，再将数据代入计算即可。
24．【答案】（1）
（2）
（3）解：根据题意得：，由（2）得：，当，时，，解得：，即阴影部分的面积为25．
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有2块，面积为的正方形有2块，面积为ab的长方形有5块，∴该正方形的面积还可以表示为，∴；故答案为：；
（2）解：从整体来看，它的面积可以表示为；从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，面积为ac的长方形有2块，面积为bc的长方形有2块，∴该正方形的面积还可以表示为；∴；故答案为：
【分析】（1）分别求出图2中的每个小长方形的面积，再相加即可得到答案；
（2）分别求出图3中的每个小长方形的面积，再相加即可得到答案；
（3）利用（2）的结论进行计算即可。
25．【答案】（1）解：①设，，
则
∴
②设，，
则
∴
（2）解：∵点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，
∴
结合题意可得：
∴
∴
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）①设6-x=a，x-2=b，得到ab=2，a+b=4，根据完全平方式将原式化为(a+ b)2- 2ab，然后代值计算即可；②设6+x=a，2+x=b，得到ab=2，a-b=4，根据完全平方式将原式化为(a- b) 2+ 2ab，最后代值计算即可；
（2）由AB= AC+BC=8，AC2+BC2=34，利用AC·BC=[(AC+ BC)2 - (AC2 +BC2)]进行求值，即可得到结果.
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2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷3.4乘法公式
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七上·庐江月考）下列多项式乘以多项式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A．，是平方差公式计算，符合题意；
B．，不是平方差公式计算，不符合题意；
C．，不是平方差公式计算，不符合题意；
D．，不是平方差公式计算，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式的计算方法逐项判断即可。
2．（2022七下·馆陶期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形；验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，面积表示为a2﹣b2；
拼成的矩形的面积为a（a-b）+b（a-b）=（a-b）（a+b），
由此得到a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A．
【分析】利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得答案。
3．（2022七下·江都期末）我们知道，借助图形可以验证公式.下列图形可以用来验证平方差公式a2 b2=（a+b）（a b）的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：A、图形可以用来验证（a+b）2=a2+b2+2ab，不能验证平方差公式，该选项不符合题意；
B、
S阴影=S大正方形- S小正方形= 2S梯形，即a2-b2=2×= ，
能验证平方差公式，该选项符合题意；
C、S阴影=S大正方形- S小正方形= 4S小长方形，即（a+b）2-（a-b）2=4ab，不能验证平方差公式，该选项不符合题意；
D、图形可以用来验证（a+x）2=a2+x2+ax+bx，不能验证平方差公式，该选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据图形整体的面积等于各部分面积之和进行判断求解．
A、由图形可以用来验证（a+b）2=a2+b2+2ab；
B、根据图形的构成得S阴影=S大正方形- S小正方形= 2S梯形可得 a2 b2=（a+b）（a b）；
C、根据图形的构成得S阴影=S大正方形- S小正方形= 4S小长方形可得（a+b）2-（a-b）2=4ab；
D、由图形可以用来验证（a+x）2=a2+x2+ax+bx.
4．（2022七下·迁安期末）某同学粗心大意，分解因式时，把式子中的一部分弄污了，那么你认为式子中的所对应的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴=．
故答案为B．
【分析】根据平方差公式即可判断.
5．（2022七下·普宁期末）将边长分别为和a-b的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面积化简后的结果（ ）
A． B． C．2ab D．4ab
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：阴影部分的面积为（a+b）2-（a-b）2
=a2+2ab+b2-（a2-2ab+b2）
=4ab，
故答案为：D．
【分析】根据图形列出算式（a+b）2-（a-b）2，再利用平方差公式计算即可。
6．（2022七下·仪征期末）如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（ ）
A．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 B．（a﹣b）2＝a2＋2ab﹣b2
C．（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，因此其面积为（a﹣b）2，
阴影部分也可以看作是边长为a的大正方形的面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，再加上边长为b的正方形面积，即a2﹣2ab＋b2，
因此有（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2.
故答案为：D.
【分析】由图形可得：阴影部分可看作边长为(a-b)的正方形，也可看作是边长为a的大正方形的面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，再加上边长为b的正方形面积，据此可得等式.
7．（2021七下·来宾期末）有两个正方形 ，现将 放在 的内部得图甲，将 并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形 的面积之和为 （ ）
A．13 B．11 C．19 D．21
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得： ，即 ，由图乙得： ，整理得 ，所以 .
即正方形A、B的面积之和为19.
故答案为：C.
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，图甲阴影部分的面积=A面积，-B面积=3，图乙阴影部分的面积=边长为(a+b）正方形的面积-A面积，-B面积=16，据此建立两等式，联立即可求出结论.
8．（2022七上·浦东新期中）今年各地疫情时有出现，为了不影响学习，学校组织同学们进行网上学习，课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案：
计算： ①；②；③； ④
则小刚做对的题数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：① ，故①不符合题意；
② ，故②不符合题意；
③ ，故③不符合题意；
④ ，故④不符合题意；
所以①②③④全错，
故答案为：A．
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式及合并同类项的计算方法逐项判断即可。
9．（2022七下·乐亭期末）若，，则（ ）
A．-3 B．3 C．-4 D．4
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵，，
∴
即4=10+2xy
xy=-3
故答案为：A
【分析】利用完全平方公式可得，再将，代入计算即可。
10．（2022七下·迁安期末）在多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（ ）
嘉琪：添加，
陌陌：添加，
嘟嘟：添加，
A．嘉琪和陌陌的做法正确 B．嘉琪和嘟嘟的做法正确
C．陌陌和嘟嘟的做法正确 D．三位同学的做法都错误
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：添加，，故嘉琪的表述是正确的；
添加，，故陌陌的表述是正确的；
嘟嘟的表述不是完全平方公式，故是错误的，
故答案为：A
【分析】根据（ab）2=a22ab+b2的结构特征进行判断即可.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022七上·庐江月考）已知， ．
【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
即，
11，
故答案为：11.
【分析】利用完全平方公式可得，再求出即可。
12．（2022七上·普陀期中）计算： ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】
．
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式计算即可。
13．（2022七下·上城期中）如图，在边长为a(cm)的大正方形内放入三个边长都为b(cm)(a＞b)的小正方形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是4cm2，则a2－2ab＋b2的值为 .
【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意可得：没有盖住的的长方形长=a-b，宽为a-b，
∵未盖住部分面积=4cm2，
∴（a-b）（a-b）=4，
∴a2-2ab+b2=4.
故答案为：4.
【分析】根据图形可知：没有盖住的的长方形长=a-b，宽为a-b，再结合未盖住部分面积=4cm2，可得（a-b）（a-b）=4，整理即可求得a2-2ab+b2的值.
14．（2022七下·张家港期末）已知，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】代数式求值；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a+2b=1，
∴a2 4b2+4b=（a+2b）（a 2b）+4b
=（a 2b）+4b
= a+2b=1，
故答案为：1．
【分析】先根据平方差公式将待求式子化为（a+2b）（a 2b）+4b，再代值将原式化简得出a+2b，再代值计算即可.
15．（2022七下·迁安期末）计算：
【答案】90000
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为：90000
【分析】根据完全平方公式将原式变形为，再计算即可.
16．（2022七上·浦东新期中）若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
．
故答案为： ．
【分析】将代数式变形为，再计算即可。
三、计算题（共2题，共20分）
17．运用整式乘法公式进行计算
（1）（50）2
（2）1232-122×118.
【答案】（1）解：原式=（50+）2=2500+2+=
（2）解：原式=1232-（120+2）×（120-2）
=1232-1202+22
=（123+120）×（123-120）+4
=243×3+4
=729+4
=733.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；含括号的有理数混合运算
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式展开计算即可；
(2)先根据平方差公式将第二项展开，然后再次利用平方差公式进行简便运算，最后进行有理数的混合运算，即得结果.
18．（2022七下·东港期末）要求：利用乘法公式计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=（2022+1）×（2022-1）-20222
=20222-1-20222
=-1．
（2）解：原式=（2x-y）2-9
=4x2-4xy+y2-9．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先将原式变形，再利用平方差公式计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可。
四、解答题（共7题，共46分）
19．（2022七下·余姚期中）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式
当 时，
原式
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】 利用平方差公式，完全平方公式及单项式乘以多项式运算法则，化简原式=-x -16，再把x=6代入计算即可求解.
20．（2022七上·闵行期中）已知，求的值．
【答案】解： ，
， ，
，
，
，
∴ 的值为28．
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据，可得，，再将其代入计算即可。
21．（2022七下·会同期末）证明是13的倍数．
【答案】证明：，
，
∵26能被13整除，
∴结论成立．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式可得924-1=(912+1)(96+1)(93+1)(33+1)(33-1)=26(912+1)(96+1)(93+1)(33+1)，据此证明.
22．（2021七下·来宾期中）将多项式 加上一个整式后，使它能成为另一个整式的平方，你有哪些方法，请写出三类不同的解法.
【答案】解：（1）加整式
（2）加整式
（3）加整式
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据整式的加法法则可得9x2+x+(-x)=9x2，而9x2为整式(±3x)2；给多项式加上整式5x+1可得9x2+x+5x+1=9x2+6x+1=(3x+1)2；给多项式加上整式1-7x可得9x2+x+1-7x=9x2-6x+1=(3x-1)2，据此解答.
23．（2022七上·黄浦期中）已知，，
（1）求代数式的值；
（2）求代数式的值．
【答案】（1）解：∵，
∴
又∵，
∴，
∴．
（2）解：
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式可得，再结合，求出即可；
（2）将代数式变形为，再将数据代入计算即可。
24．（2022七下·光明期末）【背景知识】用两种方法计算同一个图形的面积，就可以得到一个等式．例如：图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到．
（1）【能力提升】请你根据背景知识和图2推导等式 ；
（2）【能力提升】请你根据背景知识和图3推导等式 ；
（3）【拓展应用】若，，利用（2）得到的结论，求图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）解：根据题意得：，由（2）得：，当，时，，解得：，即阴影部分的面积为25．
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有2块，面积为的正方形有2块，面积为ab的长方形有5块，∴该正方形的面积还可以表示为，∴；故答案为：；
（2）解：从整体来看，它的面积可以表示为；从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，面积为ac的长方形有2块，面积为bc的长方形有2块，∴该正方形的面积还可以表示为；∴；故答案为：
【分析】（1）分别求出图2中的每个小长方形的面积，再相加即可得到答案；
（2）分别求出图3中的每个小长方形的面积，再相加即可得到答案；
（3）利用（2）的结论进行计算即可。
25．（2022七下·东海期末）完全平方公式进行适当的变形后，可以解决很多的数学问题．
如：若x满足，求的值．
解题思路：由得，
可设，，则，，
∴；
（1）请仿照上面的方法求解下面问题：
①若x满足，求的值；
②若x满足，求的值；
（2）应用上面的解题思路解决问题：如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：①设，，
则
∴
②设，，
则
∴
（2）解：∵点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，
∴
结合题意可得：
∴
∴
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）①设6-x=a，x-2=b，得到ab=2，a+b=4，根据完全平方式将原式化为(a+ b)2- 2ab，然后代值计算即可；②设6+x=a，2+x=b，得到ab=2，a-b=4，根据完全平方式将原式化为(a- b) 2+ 2ab，最后代值计算即可；
（2）由AB= AC+BC=8，AC2+BC2=34，利用AC·BC=[(AC+ BC)2 - (AC2 +BC2)]进行求值，即可得到结果.
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