2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷第三章整式的乘除（进阶版）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·苏州期中）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，要拼一个长为（a+mb），宽为（3a+b）的大长方形（m为常数），若知道需用到的B类卡片比A类卡片少1张，则共需C类卡片（ ）张.
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意知，A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为ab
∵
∴由上式知：A类卡片需要3张，B类卡片需要m张，C类卡片需要（3m+1）张
由题意知：用到的B类卡片比A类卡片少1张
∴m=2
∴3m+1=3×2+7.
故答案为：C.
【分析】由题意知：A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，根据长方形的面积公式结合多项式与多项式的乘法法则可得(a+mb)(3a+b)=3a2+(3m+1)ab+mb2，据此可得所需的A、B、C类卡片的张数，根据用到的B类卡片比A类卡片少1张可得m的值，据此解答.
2．有下列计算：
① ；② ；③ ；④；⑤ .
其中不正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解： ① ，正确 ；
② ，错误；
③ ，正确 ；
④ ，正确；
⑤ ，错误.
综上，不正确的是②⑤，有2个.
故答案为：B.
【分析】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。根据法则分别计算，再判断，即可作答.
3．已知a=833，b=1625，c=3219，则有（ ）
A．a
【答案】C
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵a=833=299，b=1625=2100，c=3219=295，
295<299<2100，
c故答案为：C.
【分析】观察a、b、c所表示的幂，底数均为2的的倍数，根据幂的乘方运算法则将它们分别表示为以2为底数的幂，再比较大小即可.
4．（2021七上·沙坪坝期末）如图1的8张宽为a，长为 的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：设左上角阴影部分的面积为 ，右下角的阴影部分的面积为 ，
S1=（BC-3 ）× ，S2=（BC- ）×5
=（BC -3 ）× -(BC- ）×5 .
=
=
当 的长度变化时，按照同样的放置方式， 始终保持不变，
，
.
故答案为： .
【分析】 分别表示出左上角阴影部分的面积S1和右下角的阴影部分的面积S2，两者求差，根据当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即与BC无关，则可求得a与b的数量关系．
5．（2021七下·靖西期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”（如，，则8，16均为“和谐数”），在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．430 B．440 C．450 D．460
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵212 192＝（21＋19）（21 19）＝80，
∴在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为：
（ 12＋32）＋（ 32＋52）＋（ 52＋72）＋……＋（ 192＋212）
＝212 12
＝（21＋1）（21 1）
＝22×20
＝440，
故答案为：B.
【分析】找出不超过80的正整数中所有的“和谐数”，再求和，根据计算结果的规律性，即可求解.
6．（2019七下·句容期中）已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
则原式＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝ [（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]
＝ [（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
＝ ×[1+4+1]
＝3，
故答案为：C．
【分析】把已知的式子化成 [（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解．
7．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册3.4乘法公式 同步练习---提高篇）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7=（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2=（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故答案为：A．
【分析】平方具有非负性，（x+1）2最小是0，（y﹣2）2 最小是0，（x+1）2+（y﹣2）2+2最小是2，即总不小于2
8．（2017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练：1.3 同底数幂的除法）方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x﹣1≠0时，解得x=﹣3；（2）当x2+x﹣1=1时，解得x=﹣2或1．（3）当x2+x﹣1=﹣1，x+3为偶数时，解得x=﹣1
因而原方程所有整数解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4个．
故答案为：B．
【分析】解本题关键要知道：任何非零的数0次幂为1，1的任何次幂都为1；-1的偶数次幂也为1.本题的易错点为丢解.
9．（2019七下·兰州月考）观察下列各式及其展开式：（ ）
……
你猜想 的展开式第三项的系数是（ ）
A．66 B．55 C．45 D．36
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：观察上面式子，总结规律可得 的展开式第三项系数为 ，所以 的展开式第三项的系数是
故答案为：C.
【分析】利用各个等式中第三项的系数，可得 的展开式第三项系数为 ，然后将n=10代入计算即可.
10．（2020七上·犍为期中）为了求 的值，可设 ，等式两边同乘以 ，得 ，所以得 ，所以 ，即： ＝ .仿照以上方法求 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：求 的值，
可设s= ，
则5s=5（ ）= ，
=4s=
（ ）-（ ）
= ，
.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，模仿给出的示例，可设S=①，可得5s= ② ，利用②-①即可求解.
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2019七下·新吴期中）已知 = 1，则 x =（ ）
【答案】-2或3
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】∵ =1
∴ -4=0，且x-2 0；或x-2=1
∴x=-2或3.
【分析】①根据0指数的意义，任何一个非0数的0次幂等于1，②根据1的任何次幂都等于1，③再根据-1的偶数次幂等于1，三种情况来考虑分别列出方程并检验即可。
12．（2021七下·和平期末）计算：3（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1，它的结果的个位数字是 ．
【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：3（22+1）（24+1）…（232+1）-1
=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）-1
=264-1-1
=264-2，
∵2的尾数是2，
22=4的尾数是4，
23=8的尾数是8，
24=16的尾数是6，
25=32的尾数是2，
…
其尾数为：2，4，8，6不断的循环，
∵64÷4=16，
∴264的尾数为6，
∴264-2的个位数字为：6-2=4．
故答案为：4．
【分析】将3转换为（22-1），再利用平方差公式进行运算，即可得出结果。
13．（2020七上·景德镇期中）已知 ，则 = ．
【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
而 ，
，
．
故答案为：11．
【分析】利用完全平方公式变形得到，再展开，将代入计算出xy的值即可。
14．（2018七下·太原期中）南宋数学家杨辉在研究(a+b)n展开式各项的系数时，采用了特殊到一般的方法，他将(a+b)0，(a+b)1，(a+b)2，(a+b)3，…，展开后各项的系数画成如图所示的三角阵，在数学上称之为杨辉三角．已知(a+b)0＝1，(a+b)1＝a+b，(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3．按杨辉三角写出(a+b)5的展开式是 ．
【答案】a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】根据题意得：（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
【分析】根据杨辉三角确定出展开项系数，写出展开式即可．
15．（2021七下·淳安期末）如图，将长为a cm(a>2)，宽为b cm(b>1)的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为 cm2．(用含a、b的代数式表示，结果要求化成最简)
【答案】4b+2a－4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵空白部分为矩形，此矩形的长为（a-2）cm，宽为（b-1）cm，
∴阴影部分的面积为2ab-2（a-2）（b-1）=2ab-2ab+2a+4b-4=2a+4b-4.
故答案为：2a+4b-4.
【分析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽，再列式化简，可求出阴影部分的面积.
16．（2021七下·淳安期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝8，ab＝10，则S1+S2= ；当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3= .
【答案】34；20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：如图1，S1=a2-b2；
图2：S2=2b2-ab；
∴ S1+S2= a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab=82-3×10=34；
图3：S3=a2+b2-a2-b（a+b）=(a2+b2-ab)=（S1+S2）=×40=20；
故答案为：34，20.
【分析】根据拼图可用a、b的代数式表示S1， S2；进而根据a+b=8， ab=10，求出S1+S2的值即可；
由第一问可知，当S1+S2=40时，就是a2+b2- ab=40，再利用a、b的代数式表示S3， 变形后再整体代入计算即可求出答案.
三、计算题（共3题，共16分）
17．（2018七下·嘉定期末）利用幂的性质计算： （结果表示为幂的形式）．
【答案】解：
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】先逆用积的乘方的运算性质将 写成 ，再运用幂的乘方的性质得出原式 ，然后根据同底数幂的除法法则计算即可．
18．（2019七下·吴江期中）已知 ， ，
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ = =
（2）解：∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴xy=x+y
∴ =
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）利用幂的乘方的逆运算及同底数幂的逆运算解答即可;（2）利用积的乘方的逆运算解答即可.
19．（第8讲 整式的乘除——练习题） 用乘法公式计算下列各式的值
（1）
（2）(2+1)(22+1)(24+1) (22n+1)
【答案】（1）解：原式=20002-1999×（2000+1），
=20002-1999×2000-1999×1，
=2000×（2000-1999）-1999，
=2000-1999，
=1.
（2）解：原式=，
=（22-1）（22+1）（24+1）……（22n+1），
=（24-1）（24+1）……（22n+1），
=24n-1.
【知识点】有理数的乘法运算律；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先将2001拆分成2000+1，再利用乘法分配律计算即可.
（2）分子分母同时乘以2-1，利用平方差公式化简计算即可.
四、解答题（共7题，共53分）
20．（2019七下·鄞州期末）先化简．再求值：(2a+b)2-2(a-2b) (2a+b)的值，其中a4=4b=16,，且ab<0·
【答案】 解： (2a+b)2-2(a-2b) (2a+b)
=4a2+4ab+b2-2(2a2+ab-4ab-2b2)
=4a2+4ab+b2-4a2-2ab+8ab+4b2
=(4a2-4a2)+(4ab-2ab+8ab)+(b2+4b2)
=10ab+5b2
∵a4=16 ,
∴a=±2，
∵4b=16,
∴b=2,
∵ab<0,
∴a=-2,b=2,
则10ab+5b2
=10×(-2)×2+5×4
=-20.
【知识点】有理数的乘方法则；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先将原式第一项用完全平方式展开，第二项用多项式乘以多项式的法则展开，然后合并同类项化简，再由a4=4b=16求出a、b, 代入原式化简结果求值即可.
21．（2020七上·江城期末）已知： ， ，且多项式 的值与字母y的取值无关，求 的值．
【答案】解：
因为多项式 的值与字母 无关，
所以 ， ，
解得 ，
；
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题先用整体思想，把A和B对应的多项式看成一个整体，代入 时要注意加括号；与 字母y的取值无关 ，说明y对应的系数为0
22．（初中数学浙教版七下精彩练习第三章整式的乘除 质量评估试卷）运用所学知识，完成下列题目.
（1）若 ，直接说出a，b，c之间的数量关系： .
（2）若 ，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由；
（3）若 ，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）a+c=2b
（2）解：a，b，c之间的数量关系为：4c=6b-3a，理由如下：
∵，
∴，
∴
∴.
（3）解：a，b，c之间的数量关系为： ，理由如下：∵ ，
∴ .
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：(1)∵ ，
∴ ，即a+c=2b，故答案为：a+c=2b.
(2) a
【分析】(1)根据同底数幂的乘法法则，结合3×12=6×6，建立等量关系，即可求解；
(2)根据幂的乘法法则和同底数幂的乘法法则推出，结合得出等式，最后等式两边指数相同建立等式，即可求解.
(3)根据同底数幂的乘法法则，结合72=23×32，建立等量关系，再根据幂的乘方法则将等式两边指数化为相同，即可求解.
23．（2020七上·长春期中）已知 ， ， ．
（1）当 ， 时， ， ．
（2）当 ， 时， ， ．
（3）观察（1）和（2）的结果，可以得出结论： （n为正整数）．
（4）此性质可以用来进行积的乘方运算，反之仍然成立．如 ， ，…．应用上述等式，求 的值．
【答案】（1）-32；-32
（2）1000000；1000000
（3）
（4）解：
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】（1）当 ， 时， ， ．（2）当 ， 时， ， ．（3） （n为正整数）．
【分析】（1）将a、b值分别代入计算即可；
（2）将a、b值分别代入计算即可；
（3）根据（1）（2）结论得出 （n为正整数）；
（4）先将原式化为 ，再利用总结的规律得出，然后计算即得.
24．（2021七下·遵化期末）有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙．
（1）①计算：S甲＝ ，S乙＝ ；
②用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲 S乙．
（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正．
①该正方形的边长是 ▲ 用含m的代数式表示）；
②小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否符合题意，并通过计算说明你的理由．
【答案】（1）m2+12m+27；m2+10m+24；>
（2）①m+5．
②正确，理由如下：
∵S正，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24，
∴S正﹣S乙＝（m2+10m+25）﹣（m2+10m+24）＝1．
∴S正与S乙的差是1，故与m无关．
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）①S甲＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24
故答案为：m2+12m+27，m2+10m+24．
②∵S甲﹣S乙
＝m2+12m+27﹣（m2+10m+24）
＝2m+3＞0，
∴S甲＞S乙．
故答案为：＞．
（2）②正确，理由如下：
∵S正，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24，
∴S正﹣S乙＝（m2+10m+25）﹣（m2+10m+24）＝1．
∴S正与S乙的差是1，故与m无关．
【分析】（1）①利用长方形的面积计算公式和多项式乘多项式的计算方法可得答案；
②利用作差法可得答案；
（2）①根据正方形的周长公式可得：正方形的边长为[（m+4）+（m+6）]×2÷4=m+5；
②根据题意列出算式S正﹣S乙＝（m2+10m+25）﹣（m2+10m+24）＝1，即可得到答案。
25．（2020七下·怀宁期中）好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： x 2x 3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为 ．
（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为 ．
（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020= ．
【答案】（1）-11
（2）63.5
（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：
1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0
∴a=-3．
（4）2021．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由题意可得( x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：
．（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．
所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．
【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有 x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．
26．（2022七下·禅城期末）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
（1）【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
（2）利用图3得到的结论，解决问题：若，，则 ；
（3）如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则 ；
（4）如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
（5）【方法拓展】
已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明．
【答案】（1）（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）155
（3）8
（4）a+2b
（5）解：如图，
如图，构造了一个边长为k的正方形，AC=CE=EG=AG=k，
在正方形的4个边上分别截取AB=a，CD=b，EF= HG=c，
∵a+m=b+n=c+l=k，
∴BC=m，DE=n，FG=l，AH=l，
∴3个长方形的面积和为al+bm+cn，大正方形的面积为k2，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】(1)解：由图2知，大长方形的面积=（2a+b）（a+b），
大长方形的面积=3个小正方形的面积+3个小长方形的面积=a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab，
∴（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；
由图3知，大正方形的面积=（a+b+c）2，
大正方形的面积=3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
(2)由图3得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-（2ab+2ac+2bc）=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc），
当，时，
a2+b2+c2=152-2×35=150；
故答案为：155
(3)解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，2，
∴长方形可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形，
∴x=1，y=2，z=5，
∴x+y+z=8；
故答案为：8
(4)解：3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为ab的长方形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2，
∵想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），
∴选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为ab的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，
此时围成的正方形面积为a2+2ab+b2=（a+b）2，
∴此时正方形的边长=a+b；
选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为ab的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，
此时围成的正方形面积为a2+4ab+4b2=（a+2b）2，
∴此时正方形的边长=a+2b，
∵a+b＜a+2b，
∴拼成的正方形的边长最长为a+2b；
故答案为：a+2b；
【分析】（1）图2：大长方形的面积=2个边长为a的正方形的面积+1个边长为b的正方形的面积+3个边长为a、b的长方形的面积；图3：大正方形的面积=3个边长分别为a、b、c的正方形的面积+2个边长为a、b的小长方形的面积+2个边长为a、c的小长方形的面积+2个边长为b、c的小长方形的面积，据此即得等式；
（2）由图3知（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc），然后整体代入计算即可；
（3）由（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，可知 面积为长方形可看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形拼成的，从而求出x、y、z的值，继而得解；
（4）由题意可知选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，才能抽取后拼成拼成一个正方形，据此即可求解；
（5）利用面积分割法，可构造正方形，使其边长等于a+m=b+n=c+l=k（a≠b≠c，m≠n≠l）并且正方形里面有边长为a、l；b、m；c、n的长方形，通过画出的图形的面积即可验证结论.
1 / 12023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷第三章整式的乘除（进阶版）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·苏州期中）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，要拼一个长为（a+mb），宽为（3a+b）的大长方形（m为常数），若知道需用到的B类卡片比A类卡片少1张，则共需C类卡片（ ）张.
A．5 B．6 C．7 D．8
2．有下列计算：
① ；② ；③ ；④；⑤ .
其中不正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知a=833，b=1625，c=3219，则有（ ）
A．a4．（2021七上·沙坪坝期末）如图1的8张宽为a，长为 的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
5．（2021七下·靖西期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”（如，，则8，16均为“和谐数”），在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．430 B．440 C．450 D．460
6．（2019七下·句容期中）已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册3.4乘法公式 同步练习---提高篇）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
8．（2017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练：1.3 同底数幂的除法）方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．（2019七下·兰州月考）观察下列各式及其展开式：（ ）
……
你猜想 的展开式第三项的系数是（ ）
A．66 B．55 C．45 D．36
10．（2020七上·犍为期中）为了求 的值，可设 ，等式两边同乘以 ，得 ，所以得 ，所以 ，即： ＝ .仿照以上方法求 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2019七下·新吴期中）已知 = 1，则 x =（ ）
12．（2021七下·和平期末）计算：3（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1，它的结果的个位数字是 ．
13．（2020七上·景德镇期中）已知 ，则 = ．
14．（2018七下·太原期中）南宋数学家杨辉在研究(a+b)n展开式各项的系数时，采用了特殊到一般的方法，他将(a+b)0，(a+b)1，(a+b)2，(a+b)3，…，展开后各项的系数画成如图所示的三角阵，在数学上称之为杨辉三角．已知(a+b)0＝1，(a+b)1＝a+b，(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3．按杨辉三角写出(a+b)5的展开式是 ．
15．（2021七下·淳安期末）如图，将长为a cm(a>2)，宽为b cm(b>1)的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为 cm2．(用含a、b的代数式表示，结果要求化成最简)
16．（2021七下·淳安期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝8，ab＝10，则S1+S2= ；当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3= .
三、计算题（共3题，共16分）
17．（2018七下·嘉定期末）利用幂的性质计算： （结果表示为幂的形式）．
18．（2019七下·吴江期中）已知 ， ，
（1）求 的值；
（2）求 的值.
19．（第8讲 整式的乘除——练习题） 用乘法公式计算下列各式的值
（1）
（2）(2+1)(22+1)(24+1) (22n+1)
四、解答题（共7题，共53分）
20．（2019七下·鄞州期末）先化简．再求值：(2a+b)2-2(a-2b) (2a+b)的值，其中a4=4b=16,，且ab<0·
21．（2020七上·江城期末）已知： ， ，且多项式 的值与字母y的取值无关，求 的值．
22．（初中数学浙教版七下精彩练习第三章整式的乘除 质量评估试卷）运用所学知识，完成下列题目.
（1）若 ，直接说出a，b，c之间的数量关系： .
（2）若 ，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由；
（3）若 ，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由.
23．（2020七上·长春期中）已知 ， ， ．
（1）当 ， 时， ， ．
（2）当 ， 时， ， ．
（3）观察（1）和（2）的结果，可以得出结论： （n为正整数）．
（4）此性质可以用来进行积的乘方运算，反之仍然成立．如 ， ，…．应用上述等式，求 的值．
24．（2021七下·遵化期末）有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙．
（1）①计算：S甲＝ ，S乙＝ ；
②用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲 S乙．
（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正．
①该正方形的边长是 ▲ 用含m的代数式表示）；
②小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否符合题意，并通过计算说明你的理由．
25．（2020七下·怀宁期中）好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： x 2x 3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为 ．
（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为 ．
（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020= ．
26．（2022七下·禅城期末）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
（1）【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
（2）利用图3得到的结论，解决问题：若，，则 ；
（3）如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则 ；
（4）如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
（5）【方法拓展】
已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意知，A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为ab
∵
∴由上式知：A类卡片需要3张，B类卡片需要m张，C类卡片需要（3m+1）张
由题意知：用到的B类卡片比A类卡片少1张
∴m=2
∴3m+1=3×2+7.
故答案为：C.
【分析】由题意知：A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，根据长方形的面积公式结合多项式与多项式的乘法法则可得(a+mb)(3a+b)=3a2+(3m+1)ab+mb2，据此可得所需的A、B、C类卡片的张数，根据用到的B类卡片比A类卡片少1张可得m的值，据此解答.
2．【答案】B
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解： ① ，正确 ；
② ，错误；
③ ，正确 ；
④ ，正确；
⑤ ，错误.
综上，不正确的是②⑤，有2个.
故答案为：B.
【分析】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。根据法则分别计算，再判断，即可作答.
3．【答案】C
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵a=833=299，b=1625=2100，c=3219=295，
295<299<2100，
c故答案为：C.
【分析】观察a、b、c所表示的幂，底数均为2的的倍数，根据幂的乘方运算法则将它们分别表示为以2为底数的幂，再比较大小即可.
4．【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：设左上角阴影部分的面积为 ，右下角的阴影部分的面积为 ，
S1=（BC-3 ）× ，S2=（BC- ）×5
=（BC -3 ）× -(BC- ）×5 .
=
=
当 的长度变化时，按照同样的放置方式， 始终保持不变，
，
.
故答案为： .
【分析】 分别表示出左上角阴影部分的面积S1和右下角的阴影部分的面积S2，两者求差，根据当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即与BC无关，则可求得a与b的数量关系．
5．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵212 192＝（21＋19）（21 19）＝80，
∴在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为：
（ 12＋32）＋（ 32＋52）＋（ 52＋72）＋……＋（ 192＋212）
＝212 12
＝（21＋1）（21 1）
＝22×20
＝440，
故答案为：B.
【分析】找出不超过80的正整数中所有的“和谐数”，再求和，根据计算结果的规律性，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
则原式＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝ [（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]
＝ [（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
＝ ×[1+4+1]
＝3，
故答案为：C．
【分析】把已知的式子化成 [（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解．
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7=（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2=（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故答案为：A．
【分析】平方具有非负性，（x+1）2最小是0，（y﹣2）2 最小是0，（x+1）2+（y﹣2）2+2最小是2，即总不小于2
8．【答案】B
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x﹣1≠0时，解得x=﹣3；（2）当x2+x﹣1=1时，解得x=﹣2或1．（3）当x2+x﹣1=﹣1，x+3为偶数时，解得x=﹣1
因而原方程所有整数解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4个．
故答案为：B．
【分析】解本题关键要知道：任何非零的数0次幂为1，1的任何次幂都为1；-1的偶数次幂也为1.本题的易错点为丢解.
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：观察上面式子，总结规律可得 的展开式第三项系数为 ，所以 的展开式第三项的系数是
故答案为：C.
【分析】利用各个等式中第三项的系数，可得 的展开式第三项系数为 ，然后将n=10代入计算即可.
10．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：求 的值，
可设s= ，
则5s=5（ ）= ，
=4s=
（ ）-（ ）
= ，
.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，模仿给出的示例，可设S=①，可得5s= ② ，利用②-①即可求解.
11．【答案】-2或3
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】∵ =1
∴ -4=0，且x-2 0；或x-2=1
∴x=-2或3.
【分析】①根据0指数的意义，任何一个非0数的0次幂等于1，②根据1的任何次幂都等于1，③再根据-1的偶数次幂等于1，三种情况来考虑分别列出方程并检验即可。
12．【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：3（22+1）（24+1）…（232+1）-1
=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）-1
=264-1-1
=264-2，
∵2的尾数是2，
22=4的尾数是4，
23=8的尾数是8，
24=16的尾数是6，
25=32的尾数是2，
…
其尾数为：2，4，8，6不断的循环，
∵64÷4=16，
∴264的尾数为6，
∴264-2的个位数字为：6-2=4．
故答案为：4．
【分析】将3转换为（22-1），再利用平方差公式进行运算，即可得出结果。
13．【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
而 ，
，
．
故答案为：11．
【分析】利用完全平方公式变形得到，再展开，将代入计算出xy的值即可。
14．【答案】a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】根据题意得：（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
【分析】根据杨辉三角确定出展开项系数，写出展开式即可．
15．【答案】4b+2a－4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵空白部分为矩形，此矩形的长为（a-2）cm，宽为（b-1）cm，
∴阴影部分的面积为2ab-2（a-2）（b-1）=2ab-2ab+2a+4b-4=2a+4b-4.
故答案为：2a+4b-4.
【分析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽，再列式化简，可求出阴影部分的面积.
16．【答案】34；20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：如图1，S1=a2-b2；
图2：S2=2b2-ab；
∴ S1+S2= a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab=82-3×10=34；
图3：S3=a2+b2-a2-b（a+b）=(a2+b2-ab)=（S1+S2）=×40=20；
故答案为：34，20.
【分析】根据拼图可用a、b的代数式表示S1， S2；进而根据a+b=8， ab=10，求出S1+S2的值即可；
由第一问可知，当S1+S2=40时，就是a2+b2- ab=40，再利用a、b的代数式表示S3， 变形后再整体代入计算即可求出答案.
17．【答案】解：
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】先逆用积的乘方的运算性质将 写成 ，再运用幂的乘方的性质得出原式 ，然后根据同底数幂的除法法则计算即可．
18．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ = =
（2）解：∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴xy=x+y
∴ =
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）利用幂的乘方的逆运算及同底数幂的逆运算解答即可;（2）利用积的乘方的逆运算解答即可.
19．【答案】（1）解：原式=20002-1999×（2000+1），
=20002-1999×2000-1999×1，
=2000×（2000-1999）-1999，
=2000-1999，
=1.
（2）解：原式=，
=（22-1）（22+1）（24+1）……（22n+1），
=（24-1）（24+1）……（22n+1），
=24n-1.
【知识点】有理数的乘法运算律；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先将2001拆分成2000+1，再利用乘法分配律计算即可.
（2）分子分母同时乘以2-1，利用平方差公式化简计算即可.
20．【答案】 解： (2a+b)2-2(a-2b) (2a+b)
=4a2+4ab+b2-2(2a2+ab-4ab-2b2)
=4a2+4ab+b2-4a2-2ab+8ab+4b2
=(4a2-4a2)+(4ab-2ab+8ab)+(b2+4b2)
=10ab+5b2
∵a4=16 ,
∴a=±2，
∵4b=16,
∴b=2,
∵ab<0,
∴a=-2,b=2,
则10ab+5b2
=10×(-2)×2+5×4
=-20.
【知识点】有理数的乘方法则；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先将原式第一项用完全平方式展开，第二项用多项式乘以多项式的法则展开，然后合并同类项化简，再由a4=4b=16求出a、b, 代入原式化简结果求值即可.
21．【答案】解：
因为多项式 的值与字母 无关，
所以 ， ，
解得 ，
；
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题先用整体思想，把A和B对应的多项式看成一个整体，代入 时要注意加括号；与 字母y的取值无关 ，说明y对应的系数为0
22．【答案】（1）a+c=2b
（2）解：a，b，c之间的数量关系为：4c=6b-3a，理由如下：
∵，
∴，
∴
∴.
（3）解：a，b，c之间的数量关系为： ，理由如下：∵ ，
∴ .
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：(1)∵ ，
∴ ，即a+c=2b，故答案为：a+c=2b.
(2) a
【分析】(1)根据同底数幂的乘法法则，结合3×12=6×6，建立等量关系，即可求解；
(2)根据幂的乘法法则和同底数幂的乘法法则推出，结合得出等式，最后等式两边指数相同建立等式，即可求解.
(3)根据同底数幂的乘法法则，结合72=23×32，建立等量关系，再根据幂的乘方法则将等式两边指数化为相同，即可求解.
23．【答案】（1）-32；-32
（2）1000000；1000000
（3）
（4）解：
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】（1）当 ， 时， ， ．（2）当 ， 时， ， ．（3） （n为正整数）．
【分析】（1）将a、b值分别代入计算即可；
（2）将a、b值分别代入计算即可；
（3）根据（1）（2）结论得出 （n为正整数）；
（4）先将原式化为 ，再利用总结的规律得出，然后计算即得.
24．【答案】（1）m2+12m+27；m2+10m+24；>
（2）①m+5．
②正确，理由如下：
∵S正，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24，
∴S正﹣S乙＝（m2+10m+25）﹣（m2+10m+24）＝1．
∴S正与S乙的差是1，故与m无关．
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）①S甲＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24
故答案为：m2+12m+27，m2+10m+24．
②∵S甲﹣S乙
＝m2+12m+27﹣（m2+10m+24）
＝2m+3＞0，
∴S甲＞S乙．
故答案为：＞．
（2）②正确，理由如下：
∵S正，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24，
∴S正﹣S乙＝（m2+10m+25）﹣（m2+10m+24）＝1．
∴S正与S乙的差是1，故与m无关．
【分析】（1）①利用长方形的面积计算公式和多项式乘多项式的计算方法可得答案；
②利用作差法可得答案；
（2）①根据正方形的周长公式可得：正方形的边长为[（m+4）+（m+6）]×2÷4=m+5；
②根据题意列出算式S正﹣S乙＝（m2+10m+25）﹣（m2+10m+24）＝1，即可得到答案。
25．【答案】（1）-11
（2）63.5
（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：
1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0
∴a=-3．
（4）2021．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由题意可得( x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：
．（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．
所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．
【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有 x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．
26．【答案】（1）（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）155
（3）8
（4）a+2b
（5）解：如图，
如图，构造了一个边长为k的正方形，AC=CE=EG=AG=k，
在正方形的4个边上分别截取AB=a，CD=b，EF= HG=c，
∵a+m=b+n=c+l=k，
∴BC=m，DE=n，FG=l，AH=l，
∴3个长方形的面积和为al+bm+cn，大正方形的面积为k2，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】(1)解：由图2知，大长方形的面积=（2a+b）（a+b），
大长方形的面积=3个小正方形的面积+3个小长方形的面积=a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab，
∴（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；
由图3知，大正方形的面积=（a+b+c）2，
大正方形的面积=3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
(2)由图3得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-（2ab+2ac+2bc）=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc），
当，时，
a2+b2+c2=152-2×35=150；
故答案为：155
(3)解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，2，
∴长方形可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形，
∴x=1，y=2，z=5，
∴x+y+z=8；
故答案为：8
(4)解：3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为ab的长方形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2，
∵想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），
∴选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为ab的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，
此时围成的正方形面积为a2+2ab+b2=（a+b）2，
∴此时正方形的边长=a+b；
选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为ab的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，
此时围成的正方形面积为a2+4ab+4b2=（a+2b）2，
∴此时正方形的边长=a+2b，
∵a+b＜a+2b，
∴拼成的正方形的边长最长为a+2b；
故答案为：a+2b；
【分析】（1）图2：大长方形的面积=2个边长为a的正方形的面积+1个边长为b的正方形的面积+3个边长为a、b的长方形的面积；图3：大正方形的面积=3个边长分别为a、b、c的正方形的面积+2个边长为a、b的小长方形的面积+2个边长为a、c的小长方形的面积+2个边长为b、c的小长方形的面积，据此即得等式；
（2）由图3知（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc），然后整体代入计算即可；
（3）由（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，可知 面积为长方形可看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形拼成的，从而求出x、y、z的值，继而得解；
（4）由题意可知选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，才能抽取后拼成拼成一个正方形，据此即可求解；
（5）利用面积分割法，可构造正方形，使其边长等于a+m=b+n=c+l=k（a≠b≠c，m≠n≠l）并且正方形里面有边长为a、l；b、m；c、n的长方形，通过画出的图形的面积即可验证结论.
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