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2023年浙教版七下数学第一章平行线章节复习（教师版）
一、知识梳理
知识点1：平行线的定义
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
注意：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
知识点2：同位角、内错角和同旁内角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
知识点3：平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c
注意：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性
知识点4：平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
知识点5：平行线性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
知识点6：平移
1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种
移动，叫做平移变换，简称平移。
2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。
3. 平移的性质
（1）对应点的连线平行(或共线)且相等
（2）对应线段平行(或共线)且相等；
（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
二、典例分析
例1、下列说法中正确的是（ C ）
A．两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直
B．两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补
C．两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直
D．两直线被第三条直线所截得的同位角相等
变式1、下列说法中错误的个数是（ C ）
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
（2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种．
（3）不相交的两条直线叫做平行线．
（4）相等的角是对顶角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2、下列叙述中，正确的是（ C ）
A．在同一平面内，两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、垂直
B．不相交的两条直线叫平行线
C．两条直线的铁轨是平行的
D．我们知道，对顶角是相等的，那么反过来，相等的角就是对顶角
变式3、直线a、b、c在同一平面内，
（1）如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；
（2）如果a∥b，b∥c，c∥d，那么a∥d；
（3）如果a∥b，b⊥c，那么a⊥c；
（4）如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交．
在上述四种说法中，正确的个数为（ C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2、如图，由AD∥BC可以得到的是（ C ）
A．∠1＝∠2 B．∠3+∠4＝90°
C．∠DAB+∠ABC＝180° D．∠ABC+∠BCD＝180°
变式1、如图，已知AC∥BD，∠A＝∠C，则下列结论不一定成立的是（ C ）
A．∠B＝∠D B．OA＝OC C．OA＝OD D．AD＝BC
变式2、在下面的四个图形中，已知∠1＝∠2，那么能判定AB∥CD的是（ A ）
A． B．
C． D．
例3、如图，b∥c，a⊥b，∠1＝130°，则∠2等于（ B ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
变式1、如图，AB∥CD，BE⊥EF于E，∠B＝25°，则∠EFD的度数是（ B ）
A．80° B．65° C．45° D．30°
变式2、如图，已知AB∥CD，∠BEG＝58°，∠G＝30°，则∠HFG的度数为（ A ）
A．28° B．29° C．30° D．32°
变式3、已知直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝35°，则∠2等于（A）
A．25° B．35° C．40° D．45°
例4、如图，将一个长方形纸片ABCD沿着EF折叠，使C，D两点分别落在点C′，D′处，若∠BFE＝70°，则∠AED′的度数为（ B ）
A．70° B．40° C．30° D．20°
变式1、把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠D′FD的度数为 640 ．
变式2、如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2，若∠1＝75°，则∠2的度数为 150 ．
变式3、如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为（ D ）
A．120° B．108° C．126° D．114°
变式4、如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中∠CFE＝120°，则图1中的∠DEF 的度数是 200 ．
例5、如图，若OP∥QR∥ST，则∠1，∠2，∠3的数量关系是：∠2+∠3﹣∠1＝180°．
变式1、如图，已知AD∥BE，点C是直线FG上的动点，若在点C的移动过程中，存在某时刻使得∠ACB＝45°，∠DAC＝22°，则∠EBC的度数为23°或67° .
变式2、如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为55°．
变式3、如图，BE∥CF，则∠A+∠B+∠C+∠D＝ 180 度．
变式4、如图：已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数是 200 ．
变式5、如图，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，则下列结论：①GH∥BC；②∠D＝∠F；③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的是 ①④ （只填序号）
例6、已知：如图，DG⊥BC AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．
求证：EF∥CD．
证明：
∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB＝∠ACB＝90° （ ）
∴DG∥AC （ ）
∴∠2＝ （ ）
∵∠1＝∠2 （已知）
∴∠1＝∠DCA（等量代换）
∴EF∥CD （ ）
变式1、如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°，
（1）求证；BF∥DE．
（2）如果DE垂直于AC，∠2＝150°，求∠AFG的度数．
【解答】（1）证明：∵∠AGF＝∠ABC，
∴BC∥GF，
∴∠AFG＝∠C．
∵∠1+∠2＝180°，∠CDE+∠2＝180°，
∴∠1＝∠CDE．
∵∠CED＝180°﹣∠C﹣∠CDE，∠CFB＝180°﹣∠AFD﹣∠1，
∴∠CED＝∠CFB，
∴BF∥DE．
（2）解：∵DE⊥AC，BF∥DE，
∴∠AFB＝∠AED＝90°，
∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°，
∴∠1＝30°．
∵∠AFB＝∠AFG+∠1＝90°
∴∠AFG＝60°．
变式2、如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试说明∠AED＝∠ACB．
【解答】证明：∵∠1+∠4＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠4，
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
变式3、已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．
【解答】证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴EF∥DM，
∴∠2＝∠CDM，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠CDM，
∴MN∥CD，
∴∠C＝∠AMN，
∵∠3＝∠C，
∴∠3＝∠AMN，
∴AB∥MN．
变式4、如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝28°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG．
（1）说明：DC∥AB；
（2）求∠PFH的度数．
【解答】解：（1）∵DC∥FP，
∴∠3＝∠2，
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠1，
∴DC∥AB；
（2）∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF＝28°，
∴∠DEF＝∠EFP＝28°，AB∥FP，
又∵∠AGF＝80°，
∴∠AGF＝∠GFP＝80°，
∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝80°+28°＝108°，
又∵FH平分∠EFG，
∴∠GFH＝∠GFE＝54°，
∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝80°﹣54°＝26°
变式5、（1）如图（a），如果∠B+∠E+∠D＝360°，那么AB、CD有怎样的关系？为什么？
解：过点E作EF∥AB①，如图（b），
则∠ABE+∠BEF＝180°，（ ）
因为∠ABE+∠BED+∠EDC＝360°（ ）
所以∠FED+∠EDC＝ ° （等式的性质）
所以 FE∥CD②（ ）
由①、②得AB∥CD （ ）．
（2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件 时，有AB∥CD．
（3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
例7、已知AB∥CD，解决下列问题：
（1）如图①，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度数．
（2）如图②，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，试写出∠P与∠E的数量关系并说明理由．
（3）如图③，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，设∠E＝m°，求∠P的度数（直接用含n、m的代数式表示，不需说明理由）．
【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
又∵∠BED＝100°，
∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣100°＝260°，
又∵BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，
∴∠PBE+∠PDE＝（∠ABE+∠CDE）＝×260°＝130°，
∴∠P＝360°﹣130°﹣100°＝130°；
（2）3∠P+∠BED＝360°；
如图②，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED，
又∵∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，
∴∠PBE+∠PDE＝（∠ABE+∠CDE）＝×（360°﹣∠BED）＝240°﹣∠BED，
∴∠P＝360°﹣∠BED﹣（240°﹣∠BED）＝120°﹣∠BED，
即3∠P+∠BED＝360°；
（3）∠P＝．
如图③，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
同理可得，∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED＝360°﹣m°，
又∵∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，
∴∠PBE+∠PDE＝（∠ABE+∠CDE）＝（360°﹣m°），
∴四边形PDEB中，∠P＝360°﹣（360°﹣m°）﹣m°＝．
变式1、已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝ ．
变式2、已知：如图1直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请直接写出结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，过P点作PH∥EQ交CD于点H，连接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：4，求∠PHQ的度数．
【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠END＝∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，
故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠CNP＝∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，
∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，
∵AB∥CD，
∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，
即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，
∴∠E+2∠NPM＝180°；
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，
∴∠ABM＝∠ABE＝∠CHB，∠CDN＝∠CDE＝∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F＝∠E，即． 故答案为：．
变式3、已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上∠ACB﹣∠MAC＝∠CBP
（1）如图1，求证：MN∥PQ；
（2）分别过点A和点C作直线AG、CH使AG∥CH，以点B为顶点的直角∠DBI绕点B旋转，并且∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2试判断∠CFB、∠BEG是之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB＝60°，求∠CFB的度数．
【解答】解：（1）过C作CE∥MN，
∴∠1＝∠MAC，
∵∠2＝∠ACB﹣∠1，
∴∠2＝∠ACB﹣∠MAC，
∵∠ACB﹣∠MAC＝∠CBP，
∴∠2＝∠CBP，
∴CE∥PQ，
∴MN∥PQ；
（2）过B作BR∥AG，
∵AG∥CH，
∴BR∥HF，
∴∠BEG＝∠EBR，∠RBF+∠CFB＝180°，
∵∠EBF＝90°，
∴∠BEG＝∠EBR＝90°﹣∠RBF，
∴∠BEG＝90°﹣∠RBF＝90°﹣（180°﹣∠CFB），
∴∠CFB﹣∠BEG＝90°；
（3）过E作ES∥MN，
∵MN∥PQ，
∴ES∥PQ，
∴∠NAE＝∠AES，∠QBE＝∠EBC，
∵BD和AE分别平分∠CBP和∠CAN，
∴∠NAE＝∠EAC，∠CBD＝∠DBP，
∴∠CAE＝∠AES，
∵∠EBD＝90°，
∴∠EBQ+∠PBD＝∠EBC+∠CBD＝90°，
∴∠QBE＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠AES+∠BES＝∠CAE+∠CBE＝，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AEB＝150°，
∴∠BEG＝30°，
∵∠CFB﹣∠BEG＝90°，
∴∠CFB＝120°．
例8、课题学行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．
求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程
解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝∠EAB，∠C＝ ．
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
所以∠B+∠BAC+∠C＝180°
解题反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
深化拓展：
（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°．点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．
【解答】解：（1）∵ED∥BC，
∴∠C＝∠DAE，
故答案为：∠DAE；
（2）过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D＝∠FCD，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°，
（3）如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°．
变式1、已知：E，F分别为AB，CD上任意一点．M，N为AB和CD之间任意两点．连接EM，MN，NF，∠AEM＝∠DFN＝a，∠EMN＝∠MNF＝b．
（1）如图1，若a＝b，求证：ME∥NF，AB∥CD；
（2）当a≠b时
①如图2，求证：AB∥CD；
②如图3，分别过点E，点N引射线EP，NP．EP交MN于Q，交NP于P，∠PEM＝∠AEM，∠MNP＝∠FNP．∠BEP和∠NFD两角的角平分线交于点I．当∠P＝∠I时，a和b的数量关系为： （用含有b的式子表示a）．
【解答】证明：（1）如图1，∵∠EMN＝∠MNF＝b，
∴EM∥NF，
∵∠AEM＝∠NFD＝a，且a＝b，
∴∠AEM＝∠EMN＝∠MNF＝∠NFD，
∴AB∥MN，MN∥CD，
∴AB∥CD，
（2）①如图2，延长FN交AB于G，
∵ME∥FN，
∴∠AEM＝∠AGF，
∵∠AEM＝∠NFD，
∴∠AGF＝∠NFD，
∴AG∥CD，
即AB∥CD；
②如图3，延长EN交CD于G，
∵∠AEM＝a，∠PEM＝∠AEM＝a，
∴∠PEB＝180°﹣∠AEP＝180°﹣a﹣a＝180°﹣a，
∵EN平分∠PEB，
∴∠BED＝＝＝90°﹣，
∵PI平分∠NFD，∠NFD＝a，
∴∠DFI＝a，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠IDF＝90°﹣，
△FTD中，∠EIF＝∠DFI+∠IDF＝a+90°﹣，
∵∠MNP＝，∠MNF＝b，
∴∠MNP＝＝b，
在△EMQ和△PQN中，∵∠M+∠MEQ＝∠P+∠PNQ，
∴b+a＝∠P+b，
∴∠P＝b+a﹣b，
∵∠P＝∠EIF，
∴b+a﹣b＝a+90°﹣，
12b+6a﹣4b＝6a+1080﹣9a，
8b＝1080﹣9a，
9a＝1080﹣8b，
a＝；
故答案为：a＝．
变式2、已知，两直线AB，CD，且AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，放置一个足够大的直角三角尺，使得三角尺的两边EP，EQ分别经过点M，N，过点N作射线NF，使得∠ENF＝∠ENC．
（1）转动三角尺，如图①所示，当射线NF与NM重合，∠FND＝45°时，求∠AME的度数；
（2）转动三角尺，如图②所示，当射线NF与NM不重合，∠FND＝60°时，求∠AME的度数．
（3）转动直角三角尺的过程中，请直接写出∠FND与∠AME之间的数量关系．
【解答】解：（1）如图1所示，∵AB∥CD，
∴∠AMN＝∠MND＝45°，
∵∠ENF＝∠ENC，
∴∠ENM＝（180°﹣45°）＝67.5°，
又∵∠E＝90°，
∴∠EMN＝22.5°，
∴∠AME＝45°﹣22.5°＝22.5°；
（2）如图2所示，设ME与FN交于点H，AB与FN交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠AGN＝∠FND＝60°，
∵∠ENF＝∠ENC，
∴∠ENF＝（180°﹣60°）＝60°，
又∵∠E＝90°，
∴∠EHN＝30°＝∠GHM，
∴∠AME＝∠AGN﹣∠GHM＝60°﹣30°＝30°；
（3）由AB∥CD，∠E＝90°，可得∠CNE＝90°﹣∠AME，
由∠ENF＝∠ENC，可得∠FND＝180°﹣2∠CNE＝180°﹣2（90°﹣∠AME）＝2∠AME，
故∠FND与∠AME之间的数量关系为：∠FND＝2∠AME．
变式3、已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
【解答】解：（1）如图1，∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
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2023年浙教版七下数学第一章平行线章节复习（学生版）
一、知识梳理
知识点1：平行线的定义
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
注意：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
知识点2：同位角、内错角和同旁内角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
知识点3：平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c
注意：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性
知识点4：平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
知识点5：平行线性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
知识点6：平移
1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种
移动，叫做平移变换，简称平移。
2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。
3. 平移的性质
（1）对应点的连线平行(或共线)且相等
（2）对应线段平行(或共线)且相等；
（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
二、典例分析
例1、下列说法中正确的是（ ）
A．两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直
B．两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补
C．两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直
D．两直线被第三条直线所截得的同位角相等
变式1、下列说法中错误的个数是（ ）
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
（2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种．
（3）不相交的两条直线叫做平行线．
（4）相等的角是对顶角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2、下列叙述中，正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、垂直
B．不相交的两条直线叫平行线
C．两条直线的铁轨是平行的
D．我们知道，对顶角是相等的，那么反过来，相等的角就是对顶角
变式3、直线a、b、c在同一平面内，
（1）如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；
（2）如果a∥b，b∥c，c∥d，那么a∥d；
（3）如果a∥b，b⊥c，那么a⊥c；
（4）如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交．
在上述四种说法中，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2、如图，由AD∥BC可以得到的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3+∠4＝90°
C．∠DAB+∠ABC＝180° D．∠ABC+∠BCD＝180°
变式1、如图，已知AC∥BD，∠A＝∠C，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠B＝∠D B．OA＝OC C．OA＝OD D．AD＝BC
变式2、在下面的四个图形中，已知∠1＝∠2，那么能判定AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
例3、如图，b∥c，a⊥b，∠1＝130°，则∠2等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
变式1、如图，AB∥CD，BE⊥EF于E，∠B＝25°，则∠EFD的度数是（ ）
A．80° B．65° C．45° D．30°
变式2、如图，已知AB∥CD，∠BEG＝58°，∠G＝30°，则∠HFG的度数为（ ）
A．28° B．29° C．30° D．32°
变式3、已知直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝35°，则∠2等于（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
例4、如图，将一个长方形纸片ABCD沿着EF折叠，使C，D两点分别落在点C′，D′处，若∠BFE＝70°，则∠AED′的度数为（ ）
A．70° B．40° C．30° D．20°
变式1、把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠D′FD的度数为 ．
变式2、如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2，若∠1＝75°，则∠2的度数为 ．
变式3、如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为（ ）
A．120° B．108° C．126° D．114°
变式4、如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中∠CFE＝120°，则图1中的∠DEF 的度数是 ．
例5、如图，若OP∥QR∥ST，则∠1，∠2，∠3的数量关系是： ．
变式1、如图，已知AD∥BE，点C是直线FG上的动点，若在点C的移动过程中，存在某时刻使得∠ACB＝45°，∠DAC＝22°，则∠EBC的度数为 ．
变式2、如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为 ．
变式3、如图，BE∥CF，则∠A+∠B+∠C+∠D＝ 度．
变式4、如图：已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数是 ．
变式5、如图，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，则下列结论：①GH∥BC；②∠D＝∠F；③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的是 （只填序号）
例6、已知：如图，DG⊥BC AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．
求证：EF∥CD．
证明：
∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB＝∠ACB＝90° （ ）
∴DG∥AC （ ）
∴∠2＝ （ ）
∵∠1＝∠2 （已知）
∴∠1＝∠DCA（等量代换）
∴EF∥CD （ ）
变式1、如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°，
（1）求证；BF∥DE．
（2）如果DE垂直于AC，∠2＝150°，求∠AFG的度数．
变式2、如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试说明∠AED＝∠ACB．
变式3、已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．
变式4、如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝28°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG．
（1）说明：DC∥AB；
（2）求∠PFH的度数．
变式5、（1）如图（a），如果∠B+∠E+∠D＝360°，那么AB、CD有怎样的关系？为什么？
解：过点E作EF∥AB①，如图（b），
则∠ABE+∠BEF＝180°，（ ）
因为∠ABE+∠BED+∠EDC＝360°（ ）
所以∠FED+∠EDC＝ ° （等式的性质）
所以 FE∥CD②（ ）
由①、②得AB∥CD （ ）．
（2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件 时，有AB∥CD．
（3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
例7、已知AB∥CD，解决下列问题：
（1）如图①，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度数．
（2）如图②，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，试写出∠P与∠E的数量关系并说明理由．
（3）如图③，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，设∠E＝m°，求∠P的度数（直接用含n、m的代数式表示，不需说明理由）．
变式1、已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝ ．
变式2、已知：如图1直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请直接写出结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，过P点作PH∥EQ交CD于点H，连接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：4，求∠PHQ的度数．
变式3、已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上∠ACB﹣∠MAC＝∠CBP
（1）如图1，求证：MN∥PQ；
（2）分别过点A和点C作直线AG、CH使AG∥CH，以点B为顶点的直角∠DBI绕点B旋转，并且∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2试判断∠CFB、∠BEG是之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB＝60°，求∠CFB的度数．
例8、课题学行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．
求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程
解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝∠EAB，∠C＝ ．
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
所以∠B+∠BAC+∠C＝180°
解题反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
深化拓展：
（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°．点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．
变式1、已知：E，F分别为AB，CD上任意一点．M，N为AB和CD之间任意两点．连接EM，MN，NF，∠AEM＝∠DFN＝a，∠EMN＝∠MNF＝b．
（1）如图1，若a＝b，求证：ME∥NF，AB∥CD；
（2）当a≠b时
①如图2，求证：AB∥CD；
②如图3，分别过点E，点N引射线EP，NP．EP交MN于Q，交NP于P，∠PEM＝∠AEM，∠MNP＝∠FNP．∠BEP和∠NFD两角的角平分线交于点I．当∠P＝∠I时，a和b的数量关系为： （用含有b的式子表示a）．
变式2、已知，两直线AB，CD，且AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，放置一个足够大的直角三角尺，使得三角尺的两边EP，EQ分别经过点M，N，过点N作射线NF，使得∠ENF＝∠ENC．
（1）转动三角尺，如图①所示，当射线NF与NM重合，∠FND＝45°时，求∠AME的度数；
（2）转动三角尺，如图②所示，当射线NF与NM不重合，∠FND＝60°时，求∠AME的度数．
（3）转动直角三角尺的过程中，请直接写出∠FND与∠AME之间的数量关系．
变式3、已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
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