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新浙教版数学七年级（下）
3.4 乘法公式（2）完全平方公式
公式的结构特征:
左边是
a2 b2;
两个二项式的乘积,
平方差公式
应用平方差公式的注意事项:
复习 & 巩固
(a+b)(a b)=
即两数和与这两数差的积.
右边是
这两数的平方差.
使用平方差公式(a+b)(a-b)=a -b 时，关键在于
找准_a__与_b__，公式左边积的两个因式中相同的
项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b。
很久很久以前,有一个国家的田地都要求是
正方形的,有一天这个国家的公主被妖怪抓到了
森林里,两个农夫到森林打猎时打死了妖怪救出 了公主。国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有 一块边长为a米的地, 第一个农夫就对国王说：“您可不可以再给我一块边长为b米的地呢？”国王答应了他，国王问第二个农夫：“你是不是
要跟他一样啊 ”第二个农夫说：“不，我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了。
国王想不通了，他说：“你们的要求不是
一样的吗？”同学们，你觉得两个农夫的要求
是一样的吗？
b
农夫一
a
图一
b
a
a
b
图二
农夫二
a2+b2
(a+b)2
≠
你能用纸片拼出两个农夫土地的总面积吗？
你能得到什么结论？
a
b
用不同的形式表示第二个农夫 得到赏赐后田地的总面积,并进行比较,你发现了什么
b
a
(a+b)2
=
+
+
a2
2ab
b2
+
a2
ab
+
(a+b)2
=
ab+b2
=
a2+2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)2=(a+b)(a+b)
我们共同发现：
=a2+ab+ba+ b2
=a2+2ab+b2
一般的，我们有以下两数和的完全平方公式：
做一做:用两数和的完全平方公式计算(填空):
(a+1) 2 =____2 +2 . ___ . ___ + ___2 =_____________
(2) (2a+3b)2 =____2 +2 . ___ . ____+____2=____________
a
a
1
1
a2+2a+1
(2a)
3b
(3b)
2a
4a2+12ab+9b2
两数和的完全平方公式 (a+b)2 =
a2 +2ab
+ b2
提问:（a－b）2等于什么？
是否可以写成[a＋（-b）]2 你能继续做下去吗？
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
例.计算: (x-2y)2
(x - 2y )2=
(a - b )2 =a2 - 2 a b + b2
x2 - 2· x· 2y +( 2y )2
=x2 - 4xy+4y2
a
a
b
b
(a-b)
a
ab
ab
b
b
b
完全平方差公式：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2的图形理解
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式
首平方，尾平方，首尾两倍中间放
公式变形为
（首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
1、计算: (x-2y)2
(x - 2y )2=
(a - b )2 =a2 - 2 a b + b2
x2 - 2· x· 2y +( 2y )2
=x2 - 4xy+4y2
（1） 4a2＋ ＋b2=(2a＋b)2
2、练一练：
（2） 4a2＋ ＋b2=(2a－b)2
4ab
(-4ab)
3、小兵计算一个二项整式的平方式时,得到正确结果是4x2+ +25y2,但中间一项不慎被污染了,这一项应是 ( )
A 10xy B 20xy C±10xy D±20xy
D
知识延伸
4、 运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ; (2) 992 .
解:(1)1022 = (100 +2) 2
= 1002 +2×100×2 + 22
= 10000 +400 +4
= 10404；
(2)992 = (100 －1)2
= 1002 － 2×100×1+12
= 10000 － 200 + 1
= 9801.
1、如何计算 (a+b+c)2
解: (a+b+c)2
=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
2、 用完全平方公式计算：
（1）(x+2y)2
（2）(2a-5)2
（3）(-2s+t)2
（4）(-3x-4y)2
=X2+4xy+4y2
=4a2-20ab+25
=4s2-4st+t2
=9x2+24xy+16y2
思考： （1）完全平方展开有几项？
（2）每一项的符号特征？
(7－y )2 ＝
4、思考：比较下列计算结果，你能得到什么结论？
(2s-t )2＝
(-2x-3y )2＝
(a-b)2＝ (-a+b )2
互为相反数的两个数的完全平方相等
(2) (-2s+t)2＝
(1) (y－7)2 ＝
(3) (2x+3y)2＝
(-a-b)2＝ (a+b )2
y2-14y+49
y2-14y+49
4s2-4st+t2
4s2-4st+t2
4x2+12xy+ 9y2
4x2+12xy+ 9y2
5、 运用乘法公式计算:
(1) ( x +2y－3) (x－ 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2.
解： (1) ( x +2y－3) (x－ 2y +3)
= [ x+ (2y – 3 )] [ x－ (2y－3) ]
= x2－ (2y－3)2
= x2－ ( 4y2－12y + 9)
= x2－4y2+12y－9.
(a + b +c ) 2
= [ (a+b) +c ]2
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
= a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
1、下列等式是否成立 说明理由．
成立
成立
解：(3) ∵ (1 4a)＝ ( 1+4a)
不成立．
即 (1 4a)＝ (4a 1)
＝ (4a 1)，
∴ (4a 1)(1 4a)＝(4a 1)·[ (4a 1)]
＝ (4a 1)(4a 1)
＝ (4a 1)2。
(1) ( 4a+1)2=(1 4a)2；
(2) ( 4a 1)2=(4a+1)2；
(3) (4a 1)(1 4a)＝(4a 1)(4a 1)＝(4a 1)2
生活在线：2、一花农有1块正方形茶花苗圃，边长为am。现将这块苗圃的边长都增加1.5m，求这块苗圃的面积增加了多少m 。
a
a
1.5
1.5
(a+1.5) -a
=a +3a+2.25-a
= 3a+2.25
3、一花农有4块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，30m，27m。现将这4块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少m 。
解：设原正方形苗圃的边长为am,边长都增1.5m，
新正方形的边长为（a+1.5）m，
（a+1.5）2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25
当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55
当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75
类似地，当a=30， a=27时， 3a+2.25的值分别为92.25，83.25。
答：苗圃的面积分别增加了92.55m2,90.75m2,
92.25m2,83.25m2.
拓展4:
(1)二次三项式
是一个完全平方式,求m的值
(2)已知n为正整数,且
是一个完全平方数,你知道n的值吗
比较平方差公式和完全平方公式：
(a-b)(a+b)= a2-b2
( a+ b)2=a2+2 a b+ b2
( a- b)2=a2-2 a b+ b2
公式 相乘多项式的符号特征 展开式项数
平方差公式 同号是a
异号是b 2项
完全平方公式 a同号
b也同号 3项登陆21世纪教育 助您教考全无忧
3.4 乘法公式（2)完全平方公式
姓名 班级
基础题——初显身手
1．下列计算正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．若，则为（ ）．
A．0 B．
C． D．
3．小明在利用完全平方公式计算一个二次整式的平方时，得到正确结果
但不小心用墨水把最后一项弄污了，你觉得这一项应是（ ）．
A． B．
C． D．
4．
5．（ )．
6．计算：
（1）；（2）．
能力题——挑战自我
7．如果恰好是一个整式的平方，那么常数的值为（ ）．
A．3 B．—3
C． D．
8．要使成为形如的完全平方式，则的值为（ ）．
A． B．
C． D．
9．若，则 ．
10．运用乘法公式计算：
．
11．已知，求的值．
12．一个圆的半径为cm，当半径减少4cm后，这个圆的面积减少多少平方厘米？
拓展题——勇攀高峰
13．已知，试求的值．
参考答案
基础题——初显身手
1．下列计算正确的是（ C ）．
A．
B．
C．
D．
2．若，则为（ D ）．
A．0 B．
C． D．
3．小明在利用完全平方公式计算一个二次整式的平方时，得到正确结果
但不小心用墨水把最后一项弄污了，你觉得这一项应是（ C ）．
A． B．
C． D．
4．
．
5．．
6．计算：
（1）；（2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=．
能力题——挑战自我
7．如果恰好是一个整式的平方，那么常数的值为（ C ）．
A．3 B．—3
C． D．
8．要使成为形如的完全平方式，则的值为（ B ）．
A． B．
C． D．
9．若，则．
10．运用乘法公式计算：
．
解原式=．
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