第二单元《二元一次方程组》单元测试卷（困难）（含答案）

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浙教版初中数学七年级下册第二单元《二元一次方程组》单元测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第二单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知方程，用含的代数式表示为( )
A. B. C. D.
2. 已知是关于，的二元一次方程，则，的值是( )
A. B. C. D.
3. 若方程 是关于的二元一次方程，则满足( )
A. B. C. D.
4. 已知关于，的二元一次方程组，下列结论中正确的是( )
当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
当为正数，为非负数时，；
无论取何值，的值始终不变．
A. B. C. D.
5. 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替代的方法来解决”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是( )
A. B. C. D.
6. 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解为则原方程组的解( )
A. B. C. D.
7. 当实数，满足时，称点为创新点，若以关于，的方程组的解为坐标的点为创新点，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 已知，是整数，满足，，则整数的所有可能值有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9. 某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利相对于进价，另一台空调调价后售出则亏本相对于进价，而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出．( )
A. 既不获利也不亏本 B. 可获利 C. 要亏本 D. 要亏本
10. 将两块完全相同的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图单位：所示．则桌子的高度( )
A. B. C. D.
11. 用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身个，或制盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有张白铁皮，设用张制盒身，张制盒底，恰好配套制成罐头盒，则下列方程组中符合题意的是( )
A. B.
C. D.
12. 三角形然幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字、、、、分别填入如图所示的个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于，则的和是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知二元一次方程，用的代数式表示为______ ．
14. 若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是_____．
15. 已知关于，的方程组有下列三种说法：当时，，互为相反数，都是负整数的解只有组是该方程组的解其中说法正确的有 填序号．
16. 为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为：：，需香樟数量之比为：：，并且甲、乙两山需红枫数量之比为：在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
规定：关于，的二元一次方程有无数组解，每组解记为，称为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，回答下列问题：
已知，，，则是“合作线”的“团结点”的是____；
设，是“合作线”的两个“团结点”，求关于，的二元一次方程的正整数解；
已知，是实数，且，若是“合作线”的一个“团结点”，求的最大值与最小值的和．
18. 本小题分
在学习“二元一次方程的解”时，数学张老师设计了一个数学活动，有、两组卡片，每组各三张，组卡片上分别写有，，；组卡片上分别写有，，每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从组随机抽取一张记为，乙从组随机抽取一张记为．
若甲抽出的数字是，乙抽出的数字是，它们恰好是方程的解，求的值；
在的条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程的解的概率请用树状图或列表法求解
19. 本小题分
已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值．
20. 本小题分
已知关于，的二元一次方程组的解适合方程，求的值．
21. 本小题分
为何值时，方程组的解互为相反数？求这个方程组的解．
22. 本小题分
如果是关于，的方程的解，求、的值．
23. 本小题分
阅读材料并回答下列问题：
当，都是实数，且满足，就称点为“爱心点”．
判断点，哪个点为“爱心点”，并说明理由；
若点也是“爱心点”，请求出的值；
已知，为有理数，且关于，的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求，的值．
24. 本小题分
已知小明骑车和步行的速度分别为米分、米分，小红每次从家步行到学校所需时间相同．请你根据小红和小明的对话内容如图，解答如下问题：
若设小明同学从家到学校的路程为米，小红从家到学校所需时间是分钟．
填空：小明从家到学校的骑车时间是______分钟，步行时间是______分钟用含的代数式表示；
试求和的值．
25. 本小题分
为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费下表是该市民一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元吨 单价：元吨
吨及以下
超过吨但不超过吨的部分
超过吨的部分
说明：每户生产的污水量等于该户自来水用量水费自来水费用污水处理费
已知小王家年月用水吨，交水费元月份用水吨，交水费元．
求、的值
如果小王家月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨
小王家月份忘记了去交水费，当他月去交水费时发现两个月一共用水吨，其中月份用水超过吨，一共交水费元，其中包含元滞纳金，求小王家月份用水多少吨滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程的概念和二元一次方程的解，先移项、再系数化为即可．
【解答】
解：移项，得，
系数化为，得，
即，
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程．
根据二元一次方程的定义含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程解答．
【解答】
解：根据题意，得
，解得；
，解得，
即；
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二元一次方程的定义的知识点，即一个方程只含有两个未知数，并且所含未知项的次数都是，那么这个整式方程就叫做二元一次方程先把方程整理为二元一次方程的一般形式，再根据定义要求、的系数均不为，即解出即可．
【解答】
解：是关于、的二元一次方程，
移项合并，得，
，
解得．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：解方程组得：，
、互为相反数，
，
，
解得：，故正确；
为正数，为非负数，
，
解得：，故正确；
，，
，即的值始终不变，故正确；
故选：．
先求出方程组，根据相反数得出，求出后即可判断；
根据为正数和为非负数得出，求出不等式组的解后即可判断
根据和求出，即可判断．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，求代数式的值等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了方程组的解法，正确观察已知方程的系数之间的关系是解题的关键．把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替代的方法即可得到一个关于，的方程组，即可求解．
【解答】
解：第二个方程组的两个方程的两边都除以得：
方程组的解是，
解得．
故选C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把甲的结果代入第二个方程求出的值，把乙的结果代入第一个方程求出的值即可，将与的值代入方程组，求出解即可．
【解答】
解：由题意得：，
解得：；
把代入原方程组得：
解得：．
故选B．

7.【答案】
【解析】解：
得，
，
将代入，得，
，
，
点为创新点，
，，
，
，
．
故答案选：．
用加减消元法解二元一次方程组，可到点为
，再由创新点的定义可得，
，分别求出、，由于、满足等式，即可求的值．
8.【答案】
【解析】解：，
，
整理，得
由于、都是整数，
所以或或
即所有可能的值有：、、、、、．
故选：．
用含的代数式表示出，得到关于的一次方程，再用含的代数式表示出，根据、都是整数，得结论．
本题考查了代入消元法解二元一次方程组．解决本题的关键是用含的代数式表示出后变形代数式为整数分式的形式．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查的是二元一次方程组的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．要求这两台空调调价后售出的亏赚，就要先求出他们的售价．根据题意可知，本题中的等量关系是“调价后两台空调价格相同”，依此列方程求解即可．
【解答】
解：设这两台空调调价后的售价为，两台空调进价分别为、．
调价后两台空调价格为：；．
则空调进价为：，空调进价为：，
调价后售出利润率为：，
所以亏本．
故选D．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组进行解答．
根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得桌子的高度，本题得以解决．
【解答】
解：设长方体的长为，宽为，
，
，得
，
解得，，
故选C．
11.【答案】
【解析】解：设用张制作盒身，张制作盒底，
根据题意得，
故选：．
根据题意可知，本题中的相等关系是：盒身的个数盒底的个数；制作盒身的白铁皮张数制作盒底的白铁皮张数，列方程组即可．
此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．注意运用本题中隐含的一个相等关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．
12.【答案】
【解析】解：把填入，，三处圈内的三个数之和记为；
，，三处圈内的三个数之和记为；
其余三个圈所填的数位之和为．
显然有，
图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为，所以有，
，得，
把，，每一边上三个圈中的数的和相加，则可得，
联立，，解得，，
则．
故选：．
把填入，，三处圈内的三个数之和记为；，，三处圈内的三个数之和记为；其余三个圈所填的数位之和为结合图形和已知条件得到方程组，进而求得即可．
此题考查了二元一次方程组的应用，数字的变化类，解题要特别注意三角形的顶点的数字的重复使用，能够根据各边的数字之和列方程组求解．
13.【答案】
【解析】解：移项得，，
的系数化为的，．
故答案为：．
先移项，再把的系数化为即可．
本题考查的是解二元一次方程，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，将代入求出与的值，再将与的值代入所求不等式组即可求出解．
【解答】
解：将代入得：
解得：
将代入得：
解得：．
15.【答案】
【解析】当时，方程组为
，得，解得，
将代入得，．
，互为相反数，
故正确
，得，
，
当时，，解得，
将代入，得，
当时，，解得，
当，都是负数时，．
又为负整数，
，
当时，为负整数，
，都是负整数的解只有组，
故正确
将代入解得，
正确，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，如表格所设：
香樟数量 红枫数量 总量
甲
乙
丙
甲、乙两山需红枫数量之比为：，
，
，
故数量可如下表：
香樟数量 红枫数量 总量
甲
乙
丙
所以香樟的总量是，红枫的总量是，
设香樟的单价为，红枫的单价为，
由题意得，
，
，
，
设，，
，
故答案为：．
分别设出甲乙丙三山的香樟数量、红枫数量及总量，根据甲乙两山红枫数量关系，得出甲乙丙三山香樟和红枫的数量只含一个字母，进而根据“所花费用和预算费用相等”列出等式，从而求得香樟和红枫的单价之间关系，进一步求得结果．
本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理．
17.【答案】解：；
将代入，方程得：
得：．
解得：．
代入方程得：．
此方程的正整数解为：．
，
，．
是“合作线”的一个“团结点”，
．
，
或．
，，
由，可得有最大值．
由，可得有最小值．
的最大值与最小值的和为．
【解析】
【分析】
本题主要考查了二元一次方程的解和解二元一次方程组，以及非负数的应用．本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式，并熟练运用是解题的关键．
将，，三点的坐标分别代入中，能使方程成立的是“团结点”；
利用“团结点”和“合作线”的定义，列出方程组求得，的值，然后将，的值代入二元一次方程求得正整数解；
利用“团结点”和“合作线”的定义，分别得出与和与的关系式，利用非负数的意义得到的最大值和最小值，则的最大值与最小值的和可求．
【解答】
解：将，，三点坐标代入方程，只有是方程的解，
“合作线”的团结点的是．
故答案为：．
见答案．
见答案．
18.【答案】解：将，代入方程得：，即；
列表得：
所有等可能的情况有种，其中恰好为方程的解的情况有，，，共种情况，
则抽取一次的数恰好是方程的解的概率为．
【解析】将，代入方程计算即可求出的值；
列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程的解的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，
，
解得：．
【解析】先求出方程组的解，再代入，即可求出．
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
20.【答案】解：方程组消元得：，
联立得：，
解得：，
则．
【解析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．方程组消元后，与已知方程联立求出与的值，即可确定出的值．
21.【答案】解：，
得：，
，
得：，
，
方程组的解互为相反数，
，
，
把代入原方程组的解中：，
，
当时，方程组的解互为相反数，此时这个方程组的解为：．
【解析】先将原方程组中的看作常数，解出方程组的解，由方程组的解互为相反数得到，列式可得的值，代入方程组的解可得结论．
此题考查了二元一次方程组的解和相反数的特点，根据条件得出是本题的关键．
22.【答案】解：原方程化为：，
，
且，
将得：，
，
将代入可得：，
故．
【解析】本题可先将、的值代入方程中，再根据非负数的性质“两个非负数相加，和为，这两个非负数的值都为”来解题．
本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：
绝对值；
偶次方；
二次根式算术平方根．
当它们相加和为时，必须满足其中的每一项都等于根据这个结论可以求解这类题目．
23.【答案】解：点是爱心点，点不是爱心点，理由如下：
，
，
，
点是爱心点；
，
，
，
点不是爱心点；
点为爱心点，
，
，
又，
，
解得，
，即；
解方程组得，
又点是爱心点满足：，
，
，
，
整理得：，
，是有理数，
，，
，．
【解析】根据“爱心点”的定义，列出方程组计算即可求解；
根据“爱心点”的定义，可得方程组，先求得，再求得，进一步得到的值；
解方程组用和表示和，代入，得到关于和的等式，再根据，为有理数，求出，的值．
本题主要考查了解二元一次方程组，考查了阅读理解能力及迁移运用能力，根据爱心点的定义列出方程组是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：小明从家到学校的骑车时间是：；
步行时间是：；
设小明同学从家到学校的路程为米，小红从家到学校所需时间是分钟，由题意得：
，
解得：．
答：和的值分别是，．
小明从家到学校的骑车时间路程骑车速度；步行时间路程步行速度；
小明同学从家到学校的路程为米，小红从家到学校所需时间是分钟，由题意得：小明步行所用时间小红步行所用时间；小明骑车所用时间小红步行所用时间，由等量关系列出方程组，解方程组可得答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是理解题意，表示出小明与小红步行与骑车从家到学校所用的时间，再根据题目中的等量关系列出方程组即可．
25.【答案】解：由题意得：
解，得，
将代入，解得
，．
，，
设小王家这个月用水吨，由题意得：
解得：
小王家这个月用水吨．
设小王家月份用水吨，
当时，
解得
当时，
解得舍去
小王家月份用水吨．
【解析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，理清题目中的数量关系，并正确分段是解答本题的关键．
吨小于吨，用乘以自来水每吨的销售价格与污水处理单价之和，等于元，得方程；，按照两段的价格计算，得出方程，解方程组即可求得和；
设小王家这个月用水吨，分吨以下、吨、吨以上三部分相加计算，让其等于，解方程即可；
设小王家月份用水吨，由于两个月一共用水吨，其中月份用水超过吨，则分和，分别列方程求解，再结合问题的实际意义可得本题答案．
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