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第2讲 平行线的判定与性质
一、知识回顾
一、平行线判定方法：
判定两直线平行方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行. （基本事实）
符号语言：∵∠1=∠2（已知）∴ l1∥l2（同位角相等，两直线平行）
推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
判定两直线平行方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
符号语言：∵∠2=∠3（已知）∴ AB∥CD（内错角相等,两直线平行) 一、平行线判定方法：
判定两直线平行方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两直线平行.
简单地说成：同旁内角互补,两直线平行.
符号语言: ∵ ∠2+∠3=180 °∴ AB∥CD（同旁内角互补, 两直线平行）
二、平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等.
性质2：两直线平行，内错角相等.
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
二、经典例题
知识点一、平行线的判定
【例1】如图，下列推论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】A、，
∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意；
B、，
∴（同位角相等，两直线平行），不符合题意；
C、由无法得到，不符合题意；
D、，
∴（同位角相等，两直线平行），符合题意．
故答案为：D．
【例2】如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【解析】 过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是同位角相等，两直线平行.
故答案为：同位角相等，两直线平行.
【例3】如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能够判断AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠C＝∠CBE
C．∠C+∠ABC＝180° D．∠2＝∠4
【答案】D
【解析】由∠2＝∠4，可得AD∥CB；
由∠1＝∠3或∠C＝∠CBE或∠C+∠ABC＝180°，可得AB∥DC；
故答案为：D.
【例4】如图，下列条件中，一定能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的角，所以即使相等也不能判断AB∥CD，故本选项错误；
B、∠1与∠2是AB、CD两条直线被第三条直线所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥CD，故本选项正确；
C、∠4与∠5不是两条直线被第三条直线所截形成的角，所以即使相等也不能判断AB∥CD，故本选项错误；
D、∠3与∠4是AB、CD两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角，即使相等，也不能判断AB∥CD，故本选项错误．
故答案为：B.
【例5】如图，在四边形ABCD中，在不添加任何辅助线和字母的情况下，添加一个条件 ，使ABDC．（填一个即可）
【答案】∠BAC=∠DCA
【解析】给定条件BAC=DCA，
∴ABDC（内错角相等两条直线平行）．
故答案为：∠BAC=∠DCA
【例6】如图，要使CDBE，需要添加的一个条件为： ．
【答案】或，（答案不唯一）
【解析】添加，根据同位角相等，两直线平行，可得CDBE，
添加，根据内错角相等，两直线平行，可得CDBE，
添加，根据同旁内角互补，两直线平行，可得CDBE，
故答案为：或或（答案不唯一）．
【例7】如图，点在的延长线上，下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能判断的是 ．（填写正确的序号即可）
【答案】②③④
【解析】①当∠1=∠3时，AB∥DC，不符合题意；
②当∠2=∠4时，AD∥CB，符合题意；
③当∠DAB=∠CBE时，AD∥BC，符合题意；
④当∠D+∠BCD=180°时，AD∥BC，符合题意；
⑤当∠DCB=∠CBE时，AB∥CD，不符合题意；
故答案为：②③④．
【例8】如图AF 与BD相交于点C，∠B=∠ACB， 且CD平分∠ECF．求证： ．
请完成下列推理过程：
证明：∵CD 平分∠ECF
∴∠ECD= ▲ ( )
∵∠ACB=∠FCD( ）
∴∠ECD=∠ACB( ）
∵∠B=∠ACB
∴∠B=∠▲( )
∴ ( )．
【答案】证明：∵CD平分∠ECF
∴∠ECD∠FCD(角平分线的定义)
∵∠ACB∠FCD(对顶角相等)
∴∠ECD∠ACB(等量代换)
∵∠B=∠ACB
∴∠B=∠ECD( 等量代换)
∴(同位角相等，两直线平行) ．
【例9】如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD吗？说出你的理由．
【答案】解：平行，
理由：，，
，
．
知识点二、平行线的性质
【例10】如图，在四边形中，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】A.要得出，需要，但，无法判定，故A不符合题意；
B.要得出，需要，但，无法判定，故B不符合题意；
C.由，无法得出，故C不符合题意；
D.由，根据两直线平行同旁内角互补，得出，故D符合题意．
故答案为：D．
【例11】如图，直线AB∥CD，∠EFB=60°，则∠CGE的度数是（ ）
A．130° B．110° C．120° D．60°
【答案】C
【解析】∵AB∥CD，∠EFB=60°，
∴∠EGD=∠EFB=60°，
∴∠CGE=180°-60°=120°．
故答案为：C．
【例12】如图，已知直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是 °．
【答案】60
【解析】∵a∥b，
∴∠1=∠2=60°.
故答案为：60.
【例13】如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3= 度
【答案】80
【解析】∵AB//CD，∠1=45°，
∴∠C=∠1=45°.
∵∠2=35°，
∴∠3=∠2+∠C=35°+45°=80°.
故答案为：80.
【例14】如图，，与互补，当，时，的度数为 ．
【答案】16°
【解析】∵∠ABD＝∠EFD，
∴AB∥EF，
∵∠FEC与∠ECD互补，∠FEC＝150°，
∴EF∥CD，
∴∠ECD＝180° 150°＝30°，AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC，
∵∠ABC＝46°，
∴∠BCD＝46°，
∴∠BCE＝∠BCD ∠ECD＝46° 30°＝16°．
故答案为：16°．
【例15】如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分，交直线CD于点G，若，射线于点G，则 .
【答案】或
【解析】①当射线于点G时，，如图，
∵，
∴.
∴∠FGE=∠GEB.
∵EG平分，
∴，
∴，
∴∠PGE-∠FGE=.
②当射线于点G时，，如图，
同理：=.
故答案为：或.
【例16】完成下面的证明过程：
已知：如图，，，求证：．
证明：已知，
，
，
已知，
等量代换，
，
【答案】AB；EF；同旁内角互补，两直线平行；EFC；两直线平行，同位角相等；EFC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等），
∵∠B＝∠3（已知），
∴∠3＝∠EFC（等量代换），
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等），
故答案为：AB；EF；同旁内角互补，两直线平行；EFC；两直线平行，同位角相等；EFC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【例17】按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整．
如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，且，点D在线段上，连接AD，且平分．
求证：．
证明：（ ）
（ ）
▲
（平角定义）
平分（已知）
▲ （ ）
（ ）
（已知）
▲ （ ）
（等量代换）
【答案】证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠BAC=90°（垂直的定义），
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠4+∠BAC=180°（平角定义），
∴∠1+∠4=180°-∠BAC=90°，
∵AC平分∠DAF（已知），
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∴∠3=∠4（等角的余角相等），
∵a∥b（已知），
∴∠4=∠5（两直线平行，内错角相等），
∴∠3=∠5（等量代换）．
知识点三、图形的平移
【例18】如图，把△ABC沿AC方向平移2cm得到△FDE，AE=7cm，则FC的长是（ ）cm
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由平移可知AF=CE=2cm，
∵AE=7cm，
∴FC=AE-AF-CE=3cm．
故答案为：B．
【例19】如图，把沿方向平移得到，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 把沿方向平移得到，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【例20】如图，将周长为7的沿方向平移1个单位得到，则四边形的周长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【解析】根据题意，将周长为7的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=7，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=9．
故答案为：C．
【例21】如图，△ABC的周长为30㎝，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移的距离为4㎝， 则四边形ACED 的周长是多
【答案】解：根据平移的性质得：AD=CF=BE=4cm，AB=DE，
∵△ABC的周长为30cm，
∴AC+CB+AB=30cm，
∴四边形ACED的周长=AC+BC+DE+BE+AD=AC+BC+AB+BE+AD=30+4+4=38cm.
故答案为：38cm.
三、练习提升
1．如图，下列条件中能判定直线l1//l2的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠5
C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5
【答案】C
【解析】证明：∵∠1+∠3=180°，
∴l1//l2，
故答案为：C．
2．如图，下列条件，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A，∵，
（内错角相等，两直线平行）．
故此选项符合题意．
B，∵，
（内错角相等，两直线平行）．
故此选项不符合题意．
C，∵，
（同旁内角互补，两直线平行）．
故此选项不符合题意．
D，∵，
（同位角相等，两直线平行）．
故此选项不符合题意．
故答案为：A．
3．如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠4=∠6 D．∠2＋∠5=180°
【答案】C
【解析】∵∠1=∠2，
∴l1l2，
故A不符合题意；
∵∠3=∠4
∴l1l2，
故B不符合题意；
∠4与∠6不是两条直线被第三条直线所截形成的角，所以即使∠4=∠6，也不能判定l1l2，
故C符合题意；
∵∠2＋∠5=180°，
∴l1l2，
故D不符合题意；
故答案为：C．
4．在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线，，贝贝、晶晶、欢欢三位同学的做法如图所示：
上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（ ）
A．仅贝贝同学 B．贝贝和晶晶 C．晶晶和欢欢 D．贝贝和欢欢
【答案】D
【解析】贝贝做法的依据是：内错角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行；
晶晶做法的依据是：同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行；
欢欢做法的依据是：内错角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行.
故答案为：D.
5．如图，直线，如果，，那么的度数是（ ）
A．31° B．40° C．39° D．70°
【答案】C
【解析】∵ABCD，
∴∠EMB=，
∵∠EMB=∠E+∠EFB，
∴∠E=∠EMB-∠EFB=70°-31°=39°，
故答案为：C．
6．如图所示，，，若，则的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】C
【解析】如图，过E作，
∵
∴
∴
∵，
∵，
∴
故答案为：C
7．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】如图：
∵∠1=50°，
∴∠3=90°-∠1=90°-50°=40°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=40°．
故答案为：B．
8．如图，直线a，b被c，d所截，∠1＋∠2＝180°，∠3＝60°，则∠4的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【解析】
∠1＋∠2＝180°
∠3＝60°
故答案为：C
9．如图，小明在两块按如图所示的方式摆放的含30°角的直角三角板的边缘画直线AB、CD，得到，这是根据 ， 两直线平行．
【答案】内错角相等
【解析】由图可知∠ABC=∠BCD=30°，
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：内错角相等．
10．如图，四边形ABCD，点E是AB的延长线上的一点．请你添加一个条件，能判定．这个条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】补充：
由同位角相等，两直线平行可得
补充：
根据同旁内角互补，两直线平行可得
故答案为：或（任写一个即可）
11．用两个相同的三角板如图所示摆放，直线a∥b，画图依据是： ．
【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】如图：
由题意得：∠1=∠2，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故答案为：内错角相等，两直线平行．
12．如图，下列条件①，②，③，④，⑤，能判断的是 ．
【答案】①④
【解析】①，根据内错角相等可以判断.
②，得到的是AC∥BD，
③，得到的是AC∥BD，
④，可以判断.
⑤，判断不出平行，
所以答案是①④
13．如图，将一个含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在两条平行线，中的上，若，则∠2的度数为 ．
【答案】140°
【解析】如图，
∵，
∴∠3=∠1=70°，
∵∠3=∠4+∠A，∠A=30°，
∴∠4=70°-30°=40°，
∴∠2=180°-∠4=140°，
故答案为：140°；
14．如图，AB与CE的关系是 ，此时若∠3=30°，则∠B= °．
【答案】平行（或AB//CD）；30
【解析】，、的位置关系为内错角，
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
故答案为：平行（或）；30．
15．如图，点E、F分别是直线AB、CD上的点，分别连接AD、EC，交点为G，连接BF，与AD交于点H，若∠1=∠2，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
请根据题意将下面的解答过程补充完整：
解：∵∠1=∠CGD（ ），∠1=∠2，
∴∠2=∠CGD，
∴ ▲ （ ），
∴∠B=∠AEG（ ）
∵∠B=∠C，
∴∠AEG=∠C，
∴ ▲ （ ），
∴∠A=∠D（ ）．
【答案】解：∵∠1=∠CGD（对顶角相等），∠1=∠2，
∴∠2=∠CGD，
∴，（同位角相等，两直线平行），
∴∠B=∠AEG（两直线平行，同位角相等）．
∵∠B=∠C，
∴∠AEG=∠C，
∴（内错角相等，两直线平行），
∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
16．完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
完成推理过程：
BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（ ）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β（ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【答案】解： BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠β （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．
故答案为角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
17．完成下面的证明
如图，点B在AG上，AGCD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．
求证：∠F＝90°．
证明：∵AGCD（已知）
∴∠ABC＝∠BCD（ ）
∵∠ABE＝∠FCB（已知）
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB
即∠EBC＝∠FCD
∵CF平分∠BCD（已知）
∴∠BCF＝∠FCD（ ）
∴ ▲ ＝∠BCF（等量代换）
∴BECF（ ）
∴ ▲ ＝∠F（ ）
∵BE⊥AF（已知）
∴ ▲ ＝90°（ ）
∴∠F＝90°．
【答案】证明：∵AG∥CD（已知），
∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵∠ABE＝∠FCB（已知），
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB，
即∠EBC＝∠FCD，
∵CF平分∠BCD（已知），
∴∠BCF＝∠FCD（角平分线的定义），
∴∠EBC＝∠BCF（等量代换），
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠BEF＝∠F（两直线平行，内错角相等），
∵BE⊥AF（已知），
∴∠BEF＝90°（垂直的定义），
∴∠F＝90°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠EBC；内错角相等，两直线平行；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；垂直的定义．
18．请把下列说理过程补充完整，并在括号内填上相应的根据．
如图，已知，，
请对说明理由．
理由：∵（已知）
（ ）
∴（ ）
∴ ▲ ▲ （ ）．
∴（ ）．
∵（已知）
∴（ ）
∴（ ）
∴（等量代换）
【答案】解：理由：∵∠1+∠EFG = 180° (已知)，
∠2 +∠EFG = 180° (邻补角的定义)，
∴∠1 =∠2(同角的补角相等)，
∴AB// EF(内错角相等，两直线平行)，
∴∠DEF=∠ADE(两直线平行，内错角相等)
∵∠DEC+∠C= 180°(已知)，
∴DE// BC(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠ADE=∠B(两直线平行，同位角相等)
∴∠DEF=∠B(等量代换)，
19．如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，求∠DOF的度数．
【答案】解：∵CD∥AB∴
∵∴
∵OE平分∠AOD∴
∵OE⊥OF∴
∴
20．如图，，，，求的度数.
【答案】解：∵DG∥AB，
∴∠1=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴EF∥AD；
又∵∠ADB=102°，
∴∠EFD=180°-∠ADB=78°.
21．点B，E分别在AC，DF上，BD，CE分别交AF于点G，H，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D.求证：AC//DF.
【答案】证明：∵∠AGB=∠EHF，∠AGB=∠DGF，
∴∠DGF=∠EHF，
∴EC∥BD，
∴∠C=∠ABD，
∵∠C=∠D，
∴∠D=∠ABD，
∴AC∥DF.
22．如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
【答案】（1）解：∵∠A=78°，∠A=∠D，∴∠D=78°，∵∠C=47°，∴∠BFD=∠D+∠C=78°+47°=125°；
（2）证明：∵∠AEB+∠BFD=180°，∠CFD+∠BFD=180°，∴∠AEB=∠CFD，∵∠A=∠D，∴∠B=∠C，∴AB∥CD．
23．在四边形中，，．
（1）如图1，若平分交于点E，求证：；
（2）如图2，点G、F分别在、上，点H为上方一点，连接、，求证：；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点A作AK//GH，连接，平分，作的平分线交于点N，若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵CD⊥BC，∴∠C=90°，∵∠D=90°，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠AEB=∠BAE，
（2）证明：由（1）得AD∥BC，∴∠HGC＝∠HMF，∵∠HFD＝∠HMF+∠FHG；∴∠HFD＝∠HGC+∠FHG；
（3）解：∵∠HFD＝∠HMF+∠FHG，∠FHG＝36°，∠HFD＝136°，∴∠HMF＝100°，∵AK∥GH，∴∠HMF＝∠KAM＝100°，∵AH平分∠KAB，AN平分∠DAB，∴∠KAH＝∠HAB，∠MAN＝∠BAN，设∠KAH＝∠HAB＝β，∠MAN＝∠BAN＝α，则2β＝100°+2α，∴β﹣α＝50°，∴∠HAN＝∠KAM+∠MAN﹣∠KAH＝100°+α﹣β＝100°﹣50°＝50°．
24．
（1）（问题）如图1，若ABCD，∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数；
（2）（问题迁移）如图2，ABCD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题拓展）如图3所示，在⑵的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
【答案】（1）解：过P点作PH//CD
可得：∠1+∠PFD=180°
∵∠PFD=130°
∴∠1=50°
又∵AB//CD
∴PH//AB
可得：∠2=∠AEP=40°
故：∠EPF=∠1+∠2=90°
（2）解：∠PFC=∠PEA+∠EPF
理由：如图2，过点P作PH//AB
可得：∠1=∠PEA
∵AB//CD
∴PH//CD
可知：∠PFC=∠HPF
由于∠HPF=∠1+∠EPF
∴∠PFC=∠1+∠EPF
即：∠PFC=∠PEA+∠EPF
（3）解：令AB与PF的交点为O，连接EF，如图3
在△GFE中，∠G=180°-（∠GFE+∠GEF）
∵∠GEF=∠PEA+∠OEF
∠GFE=∠PFC+∠OFE
∴∠GEF+∠GFE=∠PEA+∠PFC+∠OEF+∠OFE
由（2）可知∠PFC=∠PEA+∠EPF
∴∠PEA=∠PFC-α
又∵AB//CD
可得：∠EOF=∠PFC
∴在△OEF中有：
∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC
则∠GEF+∠GFE=（∠PFC-α）+∠PFC+180°-∠PFC
=180°-α
∴∠G=180°-（∠GEF+∠GFE）
=180°-（180°-α）
=α
25．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①，有，．设镜子与的夹角．
（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，若，设镜子与的夹角（），入射光线与镜面的夹角（），已知入射光线分别从镜面、、反射，反射光线与入射光线平行，请求出与的关系式．
【答案】（1）解：EF∥GH，
理由：在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，α＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∵∠1＋∠2＋∠FEG＝180°，∠3＋∠4＋∠EGH＝180°，
∴∠FEG＋∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）解：，
理由：如图，作GM∥EF，
∵EF∥HK，
∴GM∥HK，
∵∠1＝∠2，∠1＝β，
∴∠2＝β，
∴∠FEG＝180°－2β，
∴∠EGM＝180°－（180°－2β）＝2β，
在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，，
∴∠3＝180°－135°－∠2＝45°－β，
∴∠3＝∠CGH＝45°－β，
∴∠MGH＝180°－∠3－∠EGM－∠CGH＝180°－2（45°－β）－2β＝90°，
∵GM∥HK，
∴∠MGH＋∠GHK＝180°，
∴∠GHK＝90°，
∵∠GHC＝∠KHD，∠GHK＝180°－∠GHC－∠KHD＝90°，
∴∠GHC＝∠KHD＝45°，
∴∠BCD＝180°－∠CGH－∠CHG＝180°－（45°－β）－45°＝90°＋β，即．
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第2讲 平行线的判定与性质
一、知识回顾
一、平行线判定方法：
判定两直线平行方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行. （基本事实）
符号语言：∵∠1=∠2（已知）∴ l1∥l2（同位角相等，两直线平行）
推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
判定两直线平行方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
符号语言：∵∠2=∠3（已知）∴ AB∥CD（内错角相等,两直线平行) 一、平行线判定方法：
判定两直线平行方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两直线平行.
简单地说成：同旁内角互补,两直线平行.
符号语言: ∵ ∠2+∠3=180 °∴ AB∥CD（同旁内角互补, 两直线平行）
二、平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等.
性质2：两直线平行，内错角相等.
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
二、经典例题
知识点一、平行线的判定
【例1】如图，下列推论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例2】如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线 D．同位角相等，两直线平行
【例3】如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能够判断AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠C＝∠CBE
C．∠C+∠ABC＝180° D．∠2＝∠4
【例4】如图，下列条件中，一定能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【例5】如图，在四边形ABCD中，在不添加任何辅助线和字母的情况下，添加一个条件 ，使ABDC．（填一个即可）
【例6】如图，要使CDBE，需要添加的一个条件为： ．
【例7】如图，点在的延长线上，下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能判断的是 ．（填写正确的序号即可）
【例8】如图AF 与BD相交于点C，∠B=∠ACB， 且CD平分∠ECF．求证： ．
请完成下列推理过程：
证明：∵CD 平分∠ECF
∴∠ECD= ▲ ( )
∵∠ACB=∠FCD( ）
∴∠ECD=∠ACB( ）
∵∠B=∠ACB
∴∠B=∠▲( )
∴ ( )．
【例9】如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD吗？说出你的理由．
知识点二、平行线的性质
【例10】如图，在四边形中，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【例11】如图，直线AB∥CD，∠EFB=60°，则∠CGE的度数是（ ）
A．130° B．110° C．120° D．60°
【例12】如图，已知直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是 °．
【例13】如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3= 度
【例14】如图，，与互补，当，时，的度数为 ．
【例15】如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分，交直线CD于点G，若，射线于点G，则 .
【例16】完成下面的证明过程：
已知：如图，，，求证：．
证明：已知，
，
，
已知，
等量代换，
，
【例17】按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整．
如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，且，点D在线段上，连接AD，且平分．
求证：．
证明：（ ）
（ ）
▲
（平角定义）
平分（已知）
▲ （ ）
（ ）
（已知）
▲ （ ）
（等量代换）
知识点三、图形的平移
【例18】如图，把△ABC沿AC方向平移2cm得到△FDE，AE=7cm，则FC的长是（ ）cm
A．2 B．3 C．4 D．5
【例19】如图，把沿方向平移得到，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【例20】如图，将周长为7的沿方向平移1个单位得到，则四边形的周长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【例21】如图，△ABC的周长为30㎝，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移的距离为4㎝， 则四边形ACED 的周长是多
练习提升
1．如图，下列条件中能判定直线l1//l2的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠5
C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图，下列条件，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠4=∠6 D．∠2＋∠5=180°
4．在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线，，贝贝、晶晶、欢欢三位同学的做法如图所示：
上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（ ）
A．仅贝贝同学 B．贝贝和晶晶 C．晶晶和欢欢 D．贝贝和欢欢
5．如图，直线，如果，，那么的度数是（ ）
A．31° B．40° C．39° D．70°
（第5题） （第6题） （第7题）
6．如图所示，，，若，则的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
7．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．如图，直线a，b被c，d所截，∠1＋∠2＝180°，∠3＝60°，则∠4的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
（第8题） （第9题） （第10题）
9．如图，小明在两块按如图所示的方式摆放的含30°角的直角三角板的边缘画直线AB、CD，得到，这是根据 ， 两直线平行．
10．如图，四边形ABCD，点E是AB的延长线上的一点．请你添加一个条件，能判定．这个条件是 ．
11．用两个相同的三角板如图所示摆放，直线a∥b，画图依据是： ．
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，下列条件①，②，③，④，⑤，能判断的是 ．
13．如图，将一个含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在两条平行线，中的上，若，则∠2的度数为 ．
14．如图，AB与CE的关系是 ，此时若∠3=30°，则∠B= °．
15．如图，点E、F分别是直线AB、CD上的点，分别连接AD、EC，交点为G，连接BF，与AD交于点H，若∠1=∠2，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
请根据题意将下面的解答过程补充完整：
解：∵∠1=∠CGD（ ），∠1=∠2，
∴∠2=∠CGD，
∴ （ ），
∴∠B=∠AEG（ ）
∵∠B=∠C，
∴∠AEG=∠C，
∴ （ ），
∴∠A=∠D（ ）．
16．完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
完成推理过程：
BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（ ）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β（ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
17．完成下面的证明
如图，点B在AG上，AGCD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．
求证：∠F＝90°．
证明：∵AGCD（已知）
∴∠ABC＝∠BCD（ ）
∵∠ABE＝∠FCB（已知）
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB
即∠EBC＝∠FCD
∵CF平分∠BCD（已知）
∴∠BCF＝∠FCD（ ）
∴ ＝∠BCF（等量代换）
∴BECF（ ）
∴ ＝∠F（ ）
∵BE⊥AF（已知）
∴ ＝90°（ ）
∴∠F＝90°．
18．请把下列说理过程补充完整，并在括号内填上相应的根据．
如图，已知，，
请对说明理由．
理由：∵（已知）
（ ）
∴（ ）
∴ ▲ ▲ （ ）．
∴（ ）．
∵（已知）
∴（ ）
∴（ ）
∴（等量代换）
19．如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，求∠DOF的度数．
20．如图，，，，求的度数.
21．点B，E分别在AC，DF上，BD，CE分别交AF于点G，H，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D.求证：AC//DF.
22．如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
23．在四边形中，，．
（1）如图1，若平分交于点E，求证：；
（2）如图2，点G、F分别在、上，点H为上方一点，连接、，求证：；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点A作AK//GH，连接，平分，作的平分线交于点N，若，，求的度数．
24．
（1）（问题）如图1，若ABCD，∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数；
（2）（问题迁移）如图2，ABCD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题拓展）如图3所示，在⑵的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
25．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①，有，．设镜子与的夹角．
（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，若，设镜子与的夹角（），入射光线与镜面的夹角（），已知入射光线分别从镜面、、反射，反射光线与入射光线平行，请求出与的关系式．
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