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第5讲 二元一次方程组的应用
一、知识回顾：
实际问题与二元一次方程组
特别说明：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；【版权所有：21教育】
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
二、经典例题：
知识点一：二元一次方程组的应用
【例1】已知关于x，y的方程组的解是，则的值是（ ）
A．2 B．1 C．1 D．0
【例2】已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ．
【例3】已知关于x、y的方程组 的解满足x是正数，y是非负数，求a 的取值范围．
知识点二：二元一次方程组的实际应用
【例4】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：含有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡有x只，兔有y只，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例5】动物园有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有30只眼睛和44只脚，则鸵鸟有 只，长颈鹿有 只.
【例6】玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件天，乙种玩具零件天，则有（ ）
A． B．
C． D．
【例7】机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问，需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？若设需安排x名工人加工大齿轮，y名工人加工小齿轮，则根据题意可得方程组 .
【例8】小华去商店购买、两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元，种玩具每件3元.若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，则小华的购买方案有（ ）
A．7种 B．6种 C．4种 D．3种
【例9】某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元．一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费1510元．设该旅游团租住三人间客房间，两人间客房间，请列出满足题意的方程组 ．
【例10】甲、乙两地相距60千米，一艘轮船往返两地，顺流用2小时，逆流用3小时，那么这艘轮船在静水中的速度是（ ）
A．5千米/时 B．20千米/时 C．25千米/时 D．30千米/时
【例11】甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔 分钟相遇一次；如果同向而行，每隔 分钟相遇一次.已知甲比乙跑得快，则甲每分钟跑 圈.
【例12】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y，列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【例13】两个两位数的差是18，在较大的两位数的右边接着写上较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．若这两个四位数的和是6666，这两个两位数分别是多少？设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意列出的方程组为 ．
【例14】上学年初一某班的学生都是两人一桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学年该班有男生x人，女生y人，则列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【例15】六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大 岁.
【例16】某居民小区为了改善小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成全等的9块小长方形，如图所示，小长方形的长和宽各是多少米？
【例17】商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图中提供的信息，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？
【例18】《九章算术》中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有 人，该物品价值 元．
【例19】我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三，人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，可列方程组为
．
知识点三、三元一次方程组的应用
【例20】若、、满足和，则分式的值为 ．
【例21】小华和小慧到校门外文具店买文件，小华购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱；小慧购同样铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱，若小明去买与她们一样的购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支，他需付 元钱.
练习提升：
1．已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（ ）
A．±2 B． C．2 D．4
2．已知方程组的解满足，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
3．普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（ ）倍．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
4．某校有两种类型的学生宿舍30间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住5人．该校198个住宿生恰好住满30间宿舍．设大宿舍有x间，小宿舍有y间，得方程组：（ ）
A． B．
C． D．
5．甲乙两辆小车同时从A地开出，甲车比乙车每小时快，结果甲车行驶了40分钟到达了B地，而乙车比甲车晚5分钟到达B地，设甲车和乙车的速度分别为，，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若：，，，则：代数式的值等于（ ）
A． B． C．-15 D．-13
7．《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章，其中第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲太半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x，y，则根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同的小长方形后，得到图①和图②的阴影部分，如果大长方形的长为m，则图②与图①的阴影部分周长之差是（ ）
A． B． C． D．
9．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．有一个两位数和一个一位数若在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是139；若用这个两位数除以这个一位数，则商7余3，则这个两位数为（ ）
A．59 B．69 C．79 D．89
11．已知二元一次方程组的解是；那么方程组的解是 ．
12．二元一次方程的正整数解为 .
13．疫情隔离期间，为了降低外出感染风险，各大商超开通了送货到小区的便民服务，某商超推出适合大多数家庭需要的A、B、C三种蔬菜搭配装袋供市民直接选择．其中，甲种搭配每袋装有3千克A， 1千克B， 1千克C；乙种搭配每袋装有1千克A，2千克B，2千克C．甲、乙两种袋装蔬菜每袋成本价分别为袋中A、B、C三种蔬菜的成本价之和．已知A种蔬菜每千克成本价为2.4元，甲种搭配每袋售价为26元，利润率为30%，乙种搭配的利润率为20%．若这两种袋装蔬菜的销售利润率达到25%，则该商超销售甲、乙两种袋装蔬菜的数量之整数比是 （商品的利润率= ×100%）
14．《孙子算经》中有鸡兔同笼问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，如果设鸡有 只，兔有 只，以题意可得二元一次方程组 ．
15．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满．设大房间有x个，小房间有y个，则列出方程组为 ．
16．某活动小组42人去公园划船，共租用10艘船．大船每艘可坐5人，小船每艘可坐3人，每艘船都坐满．问大船、小船各租了多少艘？设坐大船的有 人，坐小船的有 人，由题意可得方程组为 ．
17．五一期间，时代商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利20元，而按原售价的六折出售，将亏损60元，则该商品的原售价为 ．
18．李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟，他骑自行车的平均速度是250米／分钟，步行的平均速度是80米／分钟，他家离学校的距离是2900米，如果设他骑自行车和步行的时间分别为x、y分钟，则列出的方程组是
19．一个两位数的十位数字与个位数字的和是 ，把这个两位数减去 ，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数为 .
20．重庆某大学对重庆某村实施“技术助农”.该村种植有A、B、C三种经济作物，助农前，A，B，C三种作物亩数比例为2：5：3；助农后，三种经济作物的亩数都得以增加，其中B作物增加的亩数占总增加亩数的 .助农前，C作物的亩产量是B作物亩产量的2.5倍，A，B两种作物的亩产量之和恰好是C作物的亩产量；助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了 和 ，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量.若助农后，B作物的产量比助农前A，B产量之和多 ，而C作物的产量比助农前A，B，C三种作物产量的总和还多5%，则助农前后A作物的产量之比为 .
21．若关于x、y的方程组 的解同时也是方程 的一个解，试求 的值.
22．已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把C看错了，得，试求出a，b，c的值.
23．“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一，大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何 "这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿，问笼中鸡和兔分别有多少只
24．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ；
（2）求兽、鸟各有多少．
25．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．
（1）打折前，买一件A商品和一件B商品各需多少元？
（2）打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花了多少钱？
26．某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具．据了解，8只“冰墩墩”玩具和10只“雪容融”玩具的进价共计2000元；10只“冰墩墩”玩具和20只“雪容融”玩具的进价共计3100元．
（1）“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只进价分别是多少元？
（2）该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具（两种均买），专卖店共有哪几种采购方案？
（3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只售价分别是200元、100元．在（2）的条件下，请帮助专卖店选出利润最大的采购方案．
27．某农业科学研究院对A、B两种玉米进行实验种植，已知去年两种玉米分别种植10亩，B种玉米的平均亩产量比A种玉米的平均亩产量高，且在两种玉米的市场销售价格均为2.4元/的情况下，全部售出这两种玉米后总收入为21600元．
（1）求A，B两种玉米去年的平均亩产量；
（2）在保持种植面积不变的情况下，预计今年A，B两种玉米的平均亩产量将比去年平均亩产量分别增加和，且总产量将比去年总产量增加280千克，求a的值．
28．阅读下列材料：
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”
译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
结合你学过的知识，解决下列问题：
（1）若设母鸡有x只，公鸡有y只，
① 小鸡有 只，买小鸡一共花费 文钱；（用含x，y的式子表示）
②根据题意，列出一个含有x，y的方程： ；
（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只
（3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解．
29．一个n位数（ ，n为正整数），我们把最高位上的数移到它的右侧，得到一个新数，再将新数的最高位上的数移到它的右侧，又得到一个新数，…，依次类推，我们把这样操作得到的新数都叫做原数的“谦虚数”.比如56有一个“谦虚数”是65；156有两个“谦虚数”分别是561、615；2834有三个“谦虚数”分别是8342、3428、4283.
（1）请写出四位数5832的三个“谦虚数”.
（2）一个两位数，个位上的数与十位上的数和为9，如果这个两位数比它的“谦虚数”少9，求这个两位数.
（3）一个三位数，百位上的数为a，十位上的数为1，个位上的数为b，如果这个三位数与它的两个“谦虚数”的和能被5整除，求 的值.
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第5讲 二元一次方程组的应用
一、知识回顾：
实际问题与二元一次方程组
特别说明：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；【版权所有：21教育】
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
二、经典例题：
知识点一：二元一次方程组的应用
【例1】已知关于x，y的方程组的解是，则的值是（ ）
A．2 B．1 C．1 D．0
【答案】A
【解析】∵是关于x，y的方程组的解，
∴，
解得a=1，b=1，
则a+b=1+1=2．
故答案为：A．
【例2】已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ．
【答案】-6
【解析】
①+②得：3（x+y）＝k+6，
解得：x+y＝，
由题意得：x+y＝0，
可得＝0，
解得：k＝﹣6，
故答案为﹣6．
【例3】已知关于x、y的方程组 的解满足x是正数，y是非负数，求a 的取值范围．
【答案】解：
由①+②得
4x=4a+4
解之：x=a+!
将x=a+1代入①得
a+1+2y=4a+3
解之：
∴方程组的解为：
∵ x是正数，y是非负数
∴
解之：a＞-1，a≥-
∴a的取值范围是a≥- .
知识点二：二元一次方程组的实际应用
【例4】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：含有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡有x只，兔有y只，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，得： ，
故答案为：A.
【例5】动物园有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有30只眼睛和44只脚，则鸵鸟有 只，长颈鹿有 只.
【答案】8；7
【解析】设鸵鸟有x只，长颈鹿有y只，
则 ，
解得
故答案为：8，7.
【例6】玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件天，乙种玩具零件天，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ．
故答案为：C.
【例7】机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问，需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？若设需安排x名工人加工大齿轮，y名工人加工小齿轮，则根据题意可得方程组 .
【答案】
【解析】设需安排x名工人加工大齿轮，y名工人加工小齿轮，
依题意，得： .
故答案为： .
【例8】小华去商店购买、两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元，种玩具每件3元.若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，则小华的购买方案有（ ）
A．7种 B．6种 C．4种 D．3种
【答案】D
【解析】设A种玩具x件，B种玩具y件，根据题意得
x+3y=12
解之：x=12-3y，
∵ 每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，
∴
解之：
∴不等式组的解集为：1≤y≤3
∵y为整数，
∴y=1，2，3，
∴x=9，6，3，
∴一共有3种方案.
故答案为：D.
【例9】某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元．一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费1510元．设该旅游团租住三人间客房间，两人间客房间，请列出满足题意的方程组 ．
【答案】
【解析】根据题意可得三人间每间住宿费为25×3=75元；两人间每间住宿费为：35×2=70元；
设租住三人间x间，两人间y间，可列方程：
【例10】甲、乙两地相距60千米，一艘轮船往返两地，顺流用2小时，逆流用3小时，那么这艘轮船在静水中的速度是（ ）
A．5千米/时 B．20千米/时 C．25千米/时 D．30千米/时
【答案】C
【解析】设轮船在静水中的速度为 千米/时，水流速度为 千米/时，由题意得：
解得
即这艘轮船在静水中的速度是25千米/时
故答案为：C
【例11】甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔 分钟相遇一次；如果同向而行，每隔 分钟相遇一次.已知甲比乙跑得快，则甲每分钟跑 圈.
【答案】
【解析】设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，
依题意得： ，
解得： ，
故答案为： .
【例12】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y，列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设十位上的数字为x，个位上的数字为y，
∵十位上的数字比个位上的数字大2，
∴；
∵交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．
∴；
故可列方程组：，
故答案为：A
【例13】两个两位数的差是18，在较大的两位数的右边接着写上较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．若这两个四位数的和是6666，这两个两位数分别是多少？设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意列出的方程组为 ．
【答案】
【解析】∵ 较大的两位数为x，较小的两位数为y，
∴ 在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数为：，
在较大的两位数的左边接着写较小的两位数，得到一个四位数为：，
又∵两个两位数的差是18，这两个四位数的和是6666，
∴可得：．
故答案为：
【例14】上学年初一某班的学生都是两人一桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学年该班有男生x人，女生y人，则列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，得，
故答案为：A.
【例15】年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大 岁.
【答案】12
【解析】设甲六年前的年龄为x，乙六年前年龄为y，则现在甲年龄为x+6，乙年龄为y+6，
由题意，得：，
整理，解得：，
∴甲比乙的年龄大12岁.
故答案为：12.
【例16】某居民小区为了改善小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成全等的9块小长方形，如图所示，小长方形的长和宽各是多少米？
【答案】解：设小长方形的长为 米，宽为 米，根据题意可列方程组：
解得：
答：小长方形的长为10米，宽为4米.
【例17】商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图中提供的信息，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？
【答案】解：设凳子的高度是xcm，凳子面的高度是ycm，由题意得：
，
解得，
所以10张凳子整齐的叠放在一起时的高度是20+10×3=50（cm）．
答：当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是50厘米．
【例18】《九章算术》中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有 人，该物品价值 元．
【答案】7；53
【解析】设有人，物品价值为元，
由题意得：，解得：；
答：有人，物品价值元；
故答案为：7；53．
【例19】我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三，人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，可列方程组为
．
【答案】
【解析】设有x人，买此物的钱数为y，
由题意得：，
故答案为：．
知识点三：三元一次方程组的应用
【例20】若、、满足和，则分式的值为 ．
【答案】
【解析】 ， ，
解得：
， ，
故答案为：.
【例21】小华和小慧到校门外文具店买文件，小华购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱；小慧购同样铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱，若小明去买与她们一样的购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支，他需付 元钱.
【答案】7
【解析】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，
根据题意得，
由①+②得，
整理得，
所以购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支需要7元钱.
故答案为：7.
练习提升：
1．已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（ ）
A．±2 B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】∵是二元一次方程组的解，
∴
由 ①+②×2得
5n=10，
解之：n=2，
∴2m+2=8，
解之：m=3，
∴方程组的解为
∴2m-n=2×3-2=4
∴2m﹣n的算术平方根为2.
故答案为：C
2．已知方程组的解满足，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
由②①得：，
方程组的解满足，
，
解得，
故答案为：D．
3．普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（ ）倍．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】A
【解析】设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米，
依题意得，
解得：，
∴．
故答案为：A．
4．某校有两种类型的学生宿舍30间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住5人．该校198个住宿生恰好住满30间宿舍．设大宿舍有x间，小宿舍有y间，得方程组：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设大宿舍有x间，小宿舍有y间，
由题意可得，
，
故答案为：B．
5．甲乙两辆小车同时从A地开出，甲车比乙车每小时快，结果甲车行驶了40分钟到达了B地，而乙车比甲车晚5分钟到达B地，设甲车和乙车的速度分别为，，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，可列方程组为，
故答案为：B．
6．若：，，，则：代数式的值等于（ ）
A． B． C．-15 D．-13
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
由，可得：，
把代入，可得：，
又∵，
∴
.
故答案为：D.
7．《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章，其中第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲太半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x，y，则根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，得：，
故答案为：D．
8．两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同的小长方形后，得到图①和图②的阴影部分，如果大长方形的长为m，则图②与图①的阴影部分周长之差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设图③中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为n，
根据题意得：x+2y＝m，x＝2y，即ym，
图①中阴影部分的周长为2（n﹣2y+m）＝2n﹣4y+2m，图②中阴影部分的周长2n+4y+2y＝2n+6y，
则图②与图①的阴影部分周长之差是2n+6y﹣（2n﹣4y+2m）＝10y﹣2mm﹣2m．
故答案为：B．
9．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得
，
故答案为：C．
10．有一个两位数和一个一位数若在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是139；若用这个两位数除以这个一位数，则商7余3，则这个两位数为（ ）
A．59 B．69 C．79 D．89
【答案】A
【解析】设这个两位数为 这个一位数为 则
把②代入①得：
把 代入②得：
故答案为：A.
11．已知二元一次方程组的解是；那么方程组的解是 ．
【答案】
【解析】∵和形式完全相同，
∴，解的，
故答案为：
12．二元一次方程的正整数解为 .
【答案】
【解析】2x+3y=8，
解之：，
∵方程的解为正整数，
∴
解之：，
∴y=1，2，
当y=1时不符合题意；
当y=2时x=1，
∴原方程的正整数解为.
故答案为：.
13．疫情隔离期间，为了降低外出感染风险，各大商超开通了送货到小区的便民服务，某商超推出适合大多数家庭需要的A、B、C三种蔬菜搭配装袋供市民直接选择．其中，甲种搭配每袋装有3千克A， 1千克B， 1千克C；乙种搭配每袋装有1千克A，2千克B，2千克C．甲、乙两种袋装蔬菜每袋成本价分别为袋中A、B、C三种蔬菜的成本价之和．已知A种蔬菜每千克成本价为2.4元，甲种搭配每袋售价为26元，利润率为30%，乙种搭配的利润率为20%．若这两种袋装蔬菜的销售利润率达到25%，则该商超销售甲、乙两种袋装蔬菜的数量之整数比是 （商品的利润率= ×100%）
【答案】7：5
【解析】∵甲种搭配每袋装有3千克A，1千克B，1千克C，而A种蔬菜每千克成本价为2.4元，甲种搭配每袋售价为26元，利润率为30%，
∴1千克B种蔬菜成本价+1千克C种蔬菜成本价＝26÷（1+30%） 2.4×3＝12.8元，
∵乙种搭配每袋装有1千克A，2千克B，2千克C，乙种搭配的利润率为20%，
∴乙种蔬菜每袋售价为（2.4+2×12.8）×（1+20%）＝33.6元，
∴甲种蔬菜每袋成本价为26÷（1+30%）＝20元，乙种蔬菜每袋成本价为2.4+2×12.8＝28元，
设该甲种蔬菜销售了x袋，乙种蔬菜销售了y袋，
由题意，得20×30%x+28×20%y＝25%（20x+28y），
6x+5.6y＝5x+7y，
x＝1.4y
∴x：y＝7：5，
∴销售甲、乙两种袋装蔬菜的数量之整数比7：5.
故答案为：7：5.
14．《孙子算经》中有鸡兔同笼问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，如果设鸡有 只，兔有 只，以题意可得二元一次方程组 ．
【答案】
【解析】根据题意得：
故答案为：
15．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满．设大房间有x个，小房间有y个，则列出方程组为 ．
【答案】
【解析】设大房间有x个，小房间有y个，由题意得：
，
故答案为： ．
16．某活动小组42人去公园划船，共租用10艘船．大船每艘可坐5人，小船每艘可坐3人，每艘船都坐满．问大船、小船各租了多少艘？设坐大船的有 人，坐小船的有 人，由题意可得方程组为 ．
【答案】
【解析】设坐大船的有 人，坐小船的有 人，由题意得，
故答案为： ．
17．五一期间，时代商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利20元，而按原售价的六折出售，将亏损60元，则该商品的原售价为 ．
【答案】400元
【解析】设原售价为y元，成本价为x元，
根据题意，列方程组，
解得，
故答案为：400元．
18．李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟，他骑自行车的平均速度是250米／分钟，步行的平均速度是80米／分钟，他家离学校的距离是2900米，如果设他骑自行车和步行的时间分别为x、y分钟，则列出的方程组是
【答案】
【解析】设他骑自行车和步行的时间分别为x、y分钟
∵，到学校共用时15分钟
∴x+y=15
∵骑自行车的平均速度是250米／分钟，步行的平均速度是80米／分钟，他家离学校的距离是2900米
∴250x+80y=2900
所以根据题意列出的方程组为
故答案为：
19．一个两位数的十位数字与个位数字的和是 ，把这个两位数减去 ，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数为 .
【答案】85
【解析】设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得：
，
解得： ，
则这个两位数为8×10+5=85.
故答案为：85..
20．重庆某大学对重庆某村实施“技术助农”.该村种植有A、B、C三种经济作物，助农前，A，B，C三种作物亩数比例为2：5：3；助农后，三种经济作物的亩数都得以增加，其中B作物增加的亩数占总增加亩数的 .助农前，C作物的亩产量是B作物亩产量的2.5倍，A，B两种作物的亩产量之和恰好是C作物的亩产量；助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了 和 ，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量.若助农后，B作物的产量比助农前A，B产量之和多 ，而C作物的产量比助农前A，B，C三种作物产量的总和还多5%，则助农前后A作物的产量之比为 .
【答案】10：19
【解析】设助农前，A，B，C三种作物亩数分别为：2a，5a，3a，B作物亩产量为b，
则C作物的亩产量是2.5b，A作物的亩产量为2.5b﹣b＝1.5b.
∵助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了 和 ，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量，
∴助农后，A作物的亩产量为：1.5b（1+ ）＝2b，
B作物的亩产量为：b（1+ ）＝ b，
C作物的亩产量为：1.5b（1+ ）+b（1+ ）＝ b.
设助农后增加的总亩数为x，C作物增加的亩数为y，
则B作物增加的亩数为 x，A作物增加的亩数为（x﹣ x﹣y），
∴ ，
解得： .
∴助农前A作物的产量为：2a× b＝ ，
助农后A作物的产量为：（2a+x﹣ x﹣y）×2b＝5.7ab.
∴助农前后A作物的产量之比为：10：19.
故答案为：10：19.
21．若关于x、y的方程组 的解同时也是方程 的一个解，试求 的值.
【答案】解： ，
①+②得： ，代入①得： ，
∴方程组的解为： ，
代入 ，得： ，
解得： ，
∴ ；
22．已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把C看错了，得，试求出a，b，c的值.
【答案】解：根据题意得：，
解得：，
把代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c＝1，
解得：c＝3.
故a＝3，b＝﹣1，c＝3.
23．“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一，大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何 "这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿，问笼中鸡和兔分别有多少只
【答案】解：设笼中有 只鸡， 只兔.相据题意，得 解得
答：笼中有23只鸡，12只兔.
24．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ；
（2）求兽、鸟各有多少．
【答案】（1）
（2）解：原方程组可化简为，
由②可得y=23-2x③，
将③代入①得3x+2（23-2x）=38，
解得x=8，
∴y=23-2x=23-2×8=7．
答：兽有8只，鸟有7只．
【解析】（1）∵兽与鸟共有76个头，
∴6x+4y=76；
∵兽与鸟共有46只脚，
∴4x+2y=46．
∴可列方程组为．
故答案为：；
25．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．
（1）打折前，买一件A商品和一件B商品各需多少元？
（2）打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花了多少钱？
【答案】（1）解：设打折前，买一件A商品x元，一件B商品y元
解得：
答：打折前，买一件A商品需16元，一件B商品需4元．
（2）解：（元）
答：打折后，买500件A商品和500件B商品，比不打折少花了400元．
26．某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具．据了解，8只“冰墩墩”玩具和10只“雪容融”玩具的进价共计2000元；10只“冰墩墩”玩具和20只“雪容融”玩具的进价共计3100元．
（1）“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只进价分别是多少元？
（2）该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具（两种均买），专卖店共有哪几种采购方案？
（3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只售价分别是200元、100元．在（2）的条件下，请帮助专卖店选出利润最大的采购方案．
【答案】（1）解：设冰墩墩”毎只进价为x元，“雪容融”毎只进价为y元，
由题意得： ，
解得： ，
答：冰墩墩”毎只进价为150元，“雪容融”毎只进价为80元；
（2）解：设购进“冰墩墩”m只，购进“雪容融”n只，
由题意得：150m+80n=3500，
整理得：15m+8n=350，
∵m、n为正整数，
∴ 或 或 ，
∴专卖店共有3种采购方案：
方案1：购进“冰墩墩”2只，购进“雪容融”40只；
方案2：购进“冰墩墩”10只，购进“雪容融”25只；
方案3：购进“冰墩墩”18只，购进“雪容融”10只；
（3）解：当m=2，n=40时，利润为：2×（200-150）+40×（100-80）=900（元）；
当m=10，n=25时，利润为：10×（200-150）+25×（100-80）=1000（元）；
当m=18，n=10时，利润为：18×（200-150）+10×（100-80）=1100（元）；
∵900<1000<1100，
∴利润最大采购方案是购进“冰墩墩”玩具18只，购进“雪容融”玩具10只．
27．某农业科学研究院对A、B两种玉米进行实验种植，已知去年两种玉米分别种植10亩，B种玉米的平均亩产量比A种玉米的平均亩产量高，且在两种玉米的市场销售价格均为2.4元/的情况下，全部售出这两种玉米后总收入为21600元．
（1）求A，B两种玉米去年的平均亩产量；
（2）在保持种植面积不变的情况下，预计今年A，B两种玉米的平均亩产量将比去年平均亩产量分别增加和，且总产量将比去年总产量增加280千克，求a的值．
【答案】（1）解：设A，B两种玉米去年的平均亩产量分别为和，
根据题意，得： ，
解方程组得： ，
答：A，B两种玉米去年的平均亩产量分别为400kg和500kg；
（2）解：根据题意，得：
= ，
解得：．
28．阅读下列材料：
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”
译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
结合你学过的知识，解决下列问题：
（1）若设母鸡有x只，公鸡有y只，
① 小鸡有 只，买小鸡一共花费 文钱；（用含x，y的式子表示）
②根据题意，列出一个含有x，y的方程： ；
（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只
（3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解．
【答案】（1）；；
（2）设母鸡有x只，公鸡有y只，根据题意，得：
，解得 ， （只），
答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只．
（3）以下三组答案，写出其中任意两组即可：
①公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只；
②公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；
③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．
29．一个n位数（ ，n为正整数），我们把最高位上的数移到它的右侧，得到一个新数，再将新数的最高位上的数移到它的右侧，又得到一个新数，…，依次类推，我们把这样操作得到的新数都叫做原数的“谦虚数”.比如56有一个“谦虚数”是65；156有两个“谦虚数”分别是561、615；2834有三个“谦虚数”分别是8342、3428、4283.
（1）请写出四位数5832的三个“谦虚数”.
（2）一个两位数，个位上的数与十位上的数和为9，如果这个两位数比它的“谦虚数”少9，求这个两位数.
（3）一个三位数，百位上的数为a，十位上的数为1，个位上的数为b，如果这个三位数与它的两个“谦虚数”的和能被5整除，求 的值.
【答案】（1）解：根据“谦虚数”的定义描述，首先将5832最高位上的数移到它的右侧得到一个“谦虚数”8325，
再将8325最高位上的数移到它的右侧得到一个“谦虚数”3258，
再将3258最高位上的数移到它的右侧得到一个“谦虚数”2583；
（2）解：设该数个位数为a，十位数为b，
由已知条件可得： ，
解得： ， ，
∴这个两位数是45；
（3）解：由已知条件可知，这个三位数可以表示为 ，
则它的两个“谦虚数”分别为： 、 ，
∴这个三位数与它的两个“谦虚数”的和为，
，
，
，
，
∵这个三位数与它的两个“谦虚数”的和能被5整除，
∴ 能被5整除，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 可能取值为：5或10或15，
∴ 的值为4或9或14.
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