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第3讲 平行线辅助线
一、知识回顾：
在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．
一、加截线(连接两点或延长线段)
1．如图，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE.∠BFE与∠FEC有何关系？并说明理由．
(第1题)
【解析】：∠BFE＝∠FEC.
理由一：连接BC，如图①.
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠ABF＝∠DCE，
∴∠ABC－∠ABF＝∠BCD－∠DCE，
即∠FBC＝∠ECB.
∴BF∥CE(内错角相等，两直线平行)．
∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．
(第1题)
理由二：延长AB，CE相交于点G，如图②.
∵AB∥CD，∴AG∥CD.
∴∠DCE＝∠G(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠ABF＝∠DCE，
∴∠ABF＝∠G.
∴BF∥CG(同位角相等，两直线平行)．
∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．
二、过“拐点”作平行线
a．“”形图
2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，求∠BPC的度数．
(第2题)
【解析】：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.∵AB∥CD，∴PN∥CD.
∴∠4＝∠2＝25°.
∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝32°.
∴∠BPC＝∠3＋∠4＝57°.
(第2题)
方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.
∵AB∥CD，∴PM∥CD.
∴∠4＝180°－∠2＝180°－25°＝155°.
∵AB∥PM，
∴∠3＝180°－∠1＝180°－32°＝148°.∴∠BPC＝360°－∠3－∠4＝360°－148°－155°＝57°.
方法三：连接BC，略。
方法四：延长BP交CD于M（或延长CP交AB于N），略。
b．“”形图
3．如图，已知AB∥CD，请你猜想一下∠B＋∠BED＋∠D的度数，并说明理由．
(第3题)
【解析】：∠B＋∠BED＋∠D＝360°.理由如下：
理由一：如图①，过E作EF∥AB.
(第3题)
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，
∴∠D＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵EF∥AB，∴∠B＋∠1＝180°.
∴∠B＋∠1＋∠2＋∠D＝180°＋180°＝360°，
即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
理由二：如图②，过E作EF∥AB.
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，
∴∠D＝∠DEF(两直线平行，内错角相等)．
∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF.
又∠BED＋∠BEF＋∠DEF＝360°，
∴∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
c．“”形图
4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
(第4题)
【解析】：∠BCD＝∠B－∠D.
理由：如图，过点C作CF∥AB.
(第4题)
∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF(两直线平行，内错角相等)．
∵AB∥DE，CF∥AB，
∴CF∥DE(平行于同一条直线的两条直线平行)．
∴∠DCF＝∠D(两直线平行，内错角相等)．∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF(等式的性质)．
∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，
∴∠BCD＝∠B－∠D.
d．“”形图
5．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝72°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．
(第5题)
【解析】：如图，过点C作CF∥AB.
(第5题)
∵AB∥CF，
∴∠BCF＝∠B＝72°.
∵AB∥CF，AB∥DE，
∴CF∥DE.
∴∠CDE＋∠DCF＝180°.
∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－140°＝40°.
∴∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝72°－40°＝32°.
二、经典例题：
【例1】如图，直线AB∥CD，C＝44°，∠AEC为直角，则∠1等于（ ）
A．132° B．134° C．136° D．138°
【答案】B
【解析】过E作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴AC∥CD∥EF，
∵∠FEC=∠ECD=44°，
∴∠AEF=90°-∠FEC=46°，
∴∠BAE=∠AEF=46°，
∴∠1=180°-∠BAE=180°-46°=134°，
故答案为：B.
【例2】如图，m//n，那么、、的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】作∠1和∠2公共边的延长线，与直线n交于一点，
∵m//n，
∴∠1+∠4=180°，
∵∠4=∠2-∠3，
∴∠1+∠2-∠3=180°．
故答案为：C．
【例3】如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么，∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
【答案】C
【解析】过点P作PH∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥PH，
∴∠1+∠MPH=180°，∠3+∠NPH=180°，
∵∠2=∠MPH+∠NPH，
∴∠1+∠3+∠2=360°.
故答案为：C.
【例4】如图，，平分，且，垂足为，则与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】过F点作FG∥AB，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，即．
故答案为：A.
【例5】如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 ．
【答案】36°或37°
【解析】如图，过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴GE∥CD，
∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF，
∴∠AEF=∠BAE+∠DFE，
设∠CEF=x，则∠AEC=2x，
∴x+2x=∠BAE+60°，
∴∠BAE=3x﹣60°，
又∵6°＜∠BAE＜15°，
∴6°＜3x﹣60°＜15°，
解得22°＜x＜25°，
又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数，
∴∠C=60°﹣23°=37°或∠C=60°﹣24°=36°，
故答案为：36°或37°．
【例6】如图，，点E在AB上方，点F在AB，CD之间，AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，EC交线段AB于点G．若，则∠EAF的度数为 ．
【答案】96°
【解析】过点F作FH∥AB，如图所示：
∵，
∴FH∥AB∥CD，
∴，
∵AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
∴；
故答案为：96°．
【例7】如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ．
【答案】230°
【解析】过点O作，
∵直线a向下平移得到直线b，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：230°．
【例8】如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=50°，则∠2= ．
【答案】130°
【解析】如图，
∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=50°，
∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣50°=130°．
故答案为：130°．
【例9】如图，在折线中，已知，延长、交于点，猜想与的关系，并说明理由．
【答案】解：．理由如下：
延长交于点，
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以．
．
【例10】如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为AB、CD之间的一点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，点G在射线FC上，PG平分，，探究与之间的数量关系．并说明理由；
（3）如图3，，．直线HQ分别交FN，EM于H、Q两点，若，求的度数．
【答案】（1）证明：如图1，过P作．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
（2）解：．
证明：如图2，过P作．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵PG平分，
∴，
∴．
∵∠PFD=∠PEG，∠AEP+∠EPK=180°，
∴2∠PGF+∠PFD+∠EPK=180°．
∴∠EPK=180° ∠PFD 2∠PGF．
∵∠EPF=∠EPK+∠KPF=∠EPK+∠PFD．
∴∠EPF=180° ∠PFD 2∠PGF+∠PFD=180° 2∠PGF，
∴∠EPF+2∠PGF=180°．
（3）解：如图3，过P作PK∥AB，过H作HJ∥AB，过Q作QI∥AB．
∵AB∥CD，
∴HJ∥PK∥QI∥AB∥CD．
∵∠BEM=2∠PEM，∠CFN=2∠PFN，
∴设∠PEM=α，则∠BEM=2α，∠PFN=β，∠CFN=2β．
∵PK∥AB∥CD，
∴∠EPK=∠BEP=α+2α=3α，∠FPK=∠PFD=180° 3β．
∴∠EPF=∠EPK+∠FPK=3α+180° 3β=180°+3(α β)．
∵∠EPF=150°，
∴150°=180°+3(α β)．
∴β α=10°．
∵HJ∥CD，
∴∠FHJ=∠CFN=2β．
∵QI∥AB，
∴∠EQI=∠BEM=2α．
又∵HJ∥QI，
∴∠QHJ=∠HQI．
∴∠FHJ ∠EQI=2β 2α=2(β α)=20°．
∴∠FHQ ∠HQE=(∠FHJ ∠QHJ) (∠EQI ∠HQI)
=∠FHJ ∠QHJ ∠EQI+∠HQI=∠FHJ ∠EQI=20°．
∴∠FHQ ∠HQE=20°．
三、练习提升：
1．如图所示，，，若，则的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】C
【解析】如图，过E作，
∵
∴
∴
∵，
∵，
∴
故答案为：C
2．如图，已知，平分，且，则与的关系是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，延长DE交AB的延长线于点H，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠H，
∵BF∥DE，
∴∠ABF=∠H，
∴∠D＝∠ABF，
又∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABF，
∴∠ABE＝2∠D．
故答案为：B.
3．如图，已知，为平行线之间一点连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点.若，分别平分，，则与的数量关系为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】过点作，过点作，
，
，
，，
，分别平分，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：B.
4．如图，两直线AB、CD平行，则（ ）
A．630° B．720° C．900° D．1080°
【答案】C
【解析】分别过E点，F点，G点，H点作EI∥AB，FJ∥AB，GK∥AB，HL∥AB，如图所示，
∵EI∥AB，FJ∥AB，GK∥AB，HL∥AB，
∴ EI∥FJ∥GK∥HL∥AB，
∴ ∠1＋∠MEI＝180°，
∠IEF＋∠EFJ＝180°，
∠JFG＋∠FGK＝180°，
∠KGH＋∠GHL＝180°，
∵AB∥CD，
∴HL∥CD，
∴∠LHN＋∠6＝180°，
∴
＝∠1＋∠MEI＋∠IEF＋∠EFJ＋∠JFG＋∠FGK＋∠KGH＋∠GHL＋∠LHN＋∠6
＝180°＋180°＋180°＋180°＋180°
＝900°.
故答案为：C.
5．如图，，直线a平移后得到直线b，则（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】D
【解析】如图，过点B作，则有，，
∵直线a平移后得到直线b，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：D．
6．如图，已知直线，则∠α、∠β、∠γ之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，过∠β顶点作AB的平行线，把∠β分成∠1和∠2，
则∠1=∠α，∠2+∠γ=180°，∠1+∠2=∠β，
∴∠β+∠γ ∠α=180°，
故答案为：D．
【分析】过∠β顶点作AB的平行线，把∠β分成∠1和∠2，利用平行线的性质可得到∠1=∠α，∠2+∠γ=180°，∠1+∠2=∠β，由此可得到∠α、∠β、∠γ之间的关系.
7．如图AB∥CD，∠ABE＝120°，∠ECD＝25°，则∠E＝( )
A．75° B．80° C．95° D．85°
【答案】D
【解析】作EF∥AB，
∵AB∥EF∥CD，
∴∠BEF=180°-∠ABE=60°，∠FEC=∠ECD=25°，
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+25°=85°.
故答案为：D.
8．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现，他把它抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE=82°，∠DCE=120°．则∠E的度数是( )
A．38° B．44° C．46° D．56°
【答案】A
【解析】如图，延长DC交AE于点F，
∵AB∥CD，∠BAE=82°，
∴∠CFE=82°．
又∵∠DCE=120°．∴∠ECF= 60°，
∴∠E=180°- 60°- 82°= 38°．
故答案为：A.
9．如图所示，AB∥CD，E为AB上方一点，FB， HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G=150° ，则∠EFG的度数为( )
A．90° B．95° C．100° D．150°
【答案】C
【解析】如图，过点G作GM∥AB．
∴∠2=∠5．
∵AB∥CD，
∴MG∥CD，
∴∠6=∠4，
∴∠FGH=∠5+∠6=∠2+∠4．
∵FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，
∴∠1=∠2= ∠EFG，∠3=∠4= ∠EHD．
∵∠E+2∠FGH= 150°，
∠E+∠1+∠2+∠EHD= 150°．
∵AB∥CD，
∴∠ENB=∠EHD，
∴∠E+∠1+∠2+∠ENB= 150°．
∵∠E+∠ENB+∠EFA=180°，
∠EFA+∠1=180°，
∴∠1=∠E+∠ENB，
∴∠1+∠1+∠2= 150°，
∴3∠1= 150°，
∴∠1=50°，
∴∠EFG=2×50°= 100°．
故答案为：C.
10．如图，直线k∥l， .其中 ， ，则 的最大整数值是（ ）
A．108° B．110° C．114° D．115°
【答案】C
【解析】过点D，E作DF∥k，GE∥k，如图，
∵k∥l，
∴DF∥GE∥k∥l，
∴
∴
∵
∴
∵
∴ ，
，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 的最大整数值为114°.
故答案为：C.
11．观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得 ，则按照以上规律， 度 .
【答案】180（n+1）
【解析】如图，作P1E∥a，取∠3和∠4，
∵P1E∥a，
∴∠1+∠3=180°，
∵a∥b，
∴P1E∥b，
∴∠2+∠4=180°，
∴∠1+∠2+∠P1=∠1+∠2+∠3+∠4=180°+180°=360°=（1+1）×180°，
如图，作P1A∥a，P2B∥a，
∵a∥b，
∴P1A∥a∥P2B∥a，
∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，
∴∠1+∠P1+∠P2+∠2=180°+180°+180°=（2+1）×180°，
同理可得：∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=180°+180°+180°+180°=（3+1）×180°，
……
∴∠1+∠P1+∠P2+……+∠2=180°+180°+……+180°=（n+1）×180°，
故答案为： 180（n+1） .
12．已知如图，AB∥CD，∠A＝130°，∠D＝25°，那么∠AED＝ °.
【答案】75
【解析】如图：过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，
∵∠A＝130°，
∴∠1＝180°﹣130°＝50°，
∵∠D＝25°，
∴∠2＝∠D＝25°，
∴∠AED＝50°+25°＝75°，
故答案为：75.
13．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
若∠En=1度，那∠BEC等于 度
【答案】2n
【解析】如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2= ∠ABE1+ ∠DCE1= ∠CE1B= ∠BEC；
如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3= ∠ABE2+ ∠DCE2= ∠CE2B= ∠BEC；
…
以此类推，∠En= ∠BEC．
∴当∠En=1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为2n ．
14．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝ 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝ 度．
【答案】；
【解析】如图，过点P1、作直线MN∥AB，
∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．
∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°；
过点P2作直线GH∥AB，
∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，
∴ ， ，
同理： ，
以此类推： ，， ，．
故答案为：．
15．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在P、Q的位置，EQ的延长线交BC边于H．下列说法正确的有 （只填序号）
① = ；② 与 互补；③若 ，则 ；④ ．
【答案】①③④
【解析】∵BC∥AD.
∴∠1=∠FED.
∵∠FED=∠FEH.
∴∠1=∠FEH(①正确).
∵
∴∠FED=∠FEH=
∴∠EHF= -∠FEH-∠HFE=
∴ =∠EHC=180°.
∴ =120°(③正确).
∵∠CFE=∠EFP,1∠+∠CFE=180°.
∴2∠1+∠PFM=180°.
∵2(∠PMF∠PFM)=180°.
∴2∠1+∠PFM=2(∠PMF∠PFM).
∴∠1=∠PMF+ ∠PFM.
∴∠1>∠PMF(④正确).
②∠1与∠2互补（错误，当∠1=60°时，才成立）.
故答案为：①③④.
16．如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是 ．
【答案】z+y=x
【解析】如图所示，延长AB交DE于H，
∵AB∥EG，
∴∠AHE=∠HEG
∵BC∥DE，
∴∠AHE=∠ABC=x
∴∠HEG=∠ABC=x
∵CD∥EF，
∴∠DEF=∠D=z
∵∠DEF+∠FEG=∠HEG
∴z+y=x
故答案为：z+y=x．
17．如图，//，EP、FP分别平分、，若，则 °．（用含m，n的代数式表示）
【答案】
【解析】分别作EM、FN、PQ平行于AC，如图，
则AC∥EM∥PQ∥FN∥BD
∵，，
∴，
∵EP分别平分，
∴，
∴，
同理，∵，， FP分别平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
∵，，，
∴，
∴
故答案为：．
18．如图，已知，于点，点在直线上，且位于直线的右侧．
（1）若，则的度数是 ；
（2）若，，则的度数是 ．
【答案】（1）30°
（2）140°
【解析】（1）过点作，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：30°；
（2）过点作，过点作，
，
，
，
，，
，
，
，
，
根据（1）知，，，
，
.
故答案为：140°．
19．如图已知AB//CD，试探究∠A，∠APC，∠C的数量关系．
【答案】解：(1)作 ，如图所示，
， ，
∴ ，
∴ ． ;(2)延长CP交AB于点N，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
20．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠A，∠C的关系，请你从所得的关系中任意选取一个加以说明．
（1）图（1）结论： ；图（2）结论： ；图（3）结论： ；图（4）结论： ．
（2）你准备证明的是图 ，请在下面写出证明过程．
【答案】（1）∠APC+∠A+∠C=360°；∠APC=∠A+∠C；∠APC=∠A-∠C；∠APC=∠C-∠A
（2）（1）： ． 过点P作 ， ， ， ， ， ， ； 图（2）： ． 过点P作 ， ， ， ， ， ； 图（3）： ． 过点P作 ， ， ， ， ， ， ； 图（4）： ． 过点P作 ， ， ， ， ， ， ．
21．如图 ，AB∥CD，且∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，判断∠P 与∠Q的数量关系，并说明理由．
【答案】解：作QR∥AB，PL∥AB，∴RQ∥CD∥AB，PL∥AB∥CD
∴∠RQM=∠BMQ，∠RQN=∠QND，∠MPL=∠BMP，∠NPL=∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND ，
∴∠PMB=3∠QMB ，∠PND=3∠QND ，
∵∠MQN=∠∠RQM+∠RQN=∠BMQ+∠QND，
∠MPN=∠MPL+∠NPL=∠BMP+∠PND，
∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q.
22．如图，已知 ，分别探究下面两个图形中 和 、 的关系，请从你所得两个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.
结论：（1）_▲_；（2）__▲__。
选择结论：_▲_，说明理由.
【答案】解：（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°.理由如下：过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠PAB+∠1=180°，∠2+∠PCD=180°，∵∠APC=∠1+∠2，∴∠APC+∠PAB+∠PCD=∠PAB+∠1+∠2+∠PCD=360°；（ 2 ）∠APC=∠PAB+∠PCD.理由如下：过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，∵∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，∴∠APC=∠PAB+∠PCD.
23．如图，AB∥CD，BE和DE相交于E．证明：∠ABE=∠D+∠E
【答案】证明：延长AB交DE于F，
∵AB∥CD，
∴∠BFE=∠D，
又∵∠ABE是△BEF的一个外角，
∴∠ABE=∠BFE+∠E，
即∠ABE=∠D+∠E.
24．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明
（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
【答案】（1）证明：过P作PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．
（2）解：
∠3=∠2﹣∠1；
证明：过P作直线PQ∥l1∥l2，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3=∠2﹣∠1．
（3）解：
∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
证明：过P作PQ∥l1∥l2；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
（4）解：
过P作PQ∥l1∥l2；
①当P在C点上方时，
同（2）可证：∠3=∠DFP﹣∠CEP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠DFP﹣∠CEP+∠2﹣∠1=0，
即∠3=∠1﹣∠2．
②当P在D点下方时，
∠3=∠2﹣∠1，解法同上．
综上可知：当P在C点上方时，∠3=∠1﹣∠2，当P在D点下方时，∠3=∠2﹣∠1．
25．问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．
（1）端点A、C同向：
如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 度；
如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝ 度；
（2）端点A、C反向：
如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ ▲ 度．
【答案】（1）0；360
（2）解：，证明：过点P作，
，，，，，，；
【解析】（1）如图：过点P作，
，，，，，，度，
故答案为：0；
如图：过点P作，
，，，，，，度，
故答案为：360；
（2）如图：过点P作，
，，，，，，，
故答案为：180．
26．已知，
（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，若平分，平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若平分，平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：延长交于点．
，
．
，
．
，
．
（2）解：．
理由：延长交于点，交于点．
平分，平分，
，．
，
，．
，
又
，
．
即．
（3）解：
理由：过点作，过点作．
平分，平分
，．
，，，
，
，，
，
，
．
27．阅读理解：如图，已知点是外一点，连接，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点作， ， ．
．
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）方法运用：如图2，已知，求的度数．
（3）深化拓展：如图3，已知，点在点的右侧，，平分，点是直线上的一个动点（不与点重合），，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．若，请你直接写出的度数．（用含的代数式表示）.
【答案】（1）∠EAB；∠DAC
（2）解：如图2，过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥AB∥DE，
∴∠D+∠FCD=180°，∠B+∠BCF=180°，
∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°.
（3）解：①如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
又∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，
∴∠BEF=n°，∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=n°+30°；
②如图4，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°-∠ABE，∠CDE＝∠DEF
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，
∴∠BEF＝180°-n°，∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=180°-n°+30°=-n°+210°.
【解析】（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC.
故答案为：∠EAB，∠DAC.
28．如图，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形象，称为“形BAMCD”．
（1）如图1，形BAMCD中，若，，则 °；
（2）如图2，连接形BAMCD中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系．
【答案】（1）60
（2）解： 理由如下：
如图，过作 于交于点K，
∴ 而
∴
由（1）得： 而，
（3）或
【解析】(1)如图，过作
∴
故答案为：
(3)如图，当D，C位于AM的两侧时，
∴
当D，C位于AM的同侧时，如图，
综上：或
29．如图1，AB∥CD，，，求的度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
（1）按小明的思路，求的度数；
（2）（问题迁移）
如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题应用）
在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系（并画出相应的图形）．
【答案】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）解：∠APC＝α+β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α＝∠APE，β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；
（3）解：如图所示，当P在BD延长线上时，
过点P作PE∥CD交ON于E，则PE∥AB，
∴∠APE=α，∠CPE=β，
∴∠CPA=∠APE-∠CPE=α-β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
过点P作PE∥CD交ON于E，则PE∥AB，
∴∠CPE=β，∠APE=α，
∴∠CPA=∠CPE-∠APE=β-α．
30．
（1）（问题）如图1，若ABCD，∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数；
（2）（问题迁移）如图2，ABCD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题拓展）如图3所示，在⑵的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
【答案】（1）解：过P点作PH//CD
可得：∠1+∠PFD=180°
∵∠PFD=130°
∴∠1=50°
又∵AB//CD
∴PH//AB
可得：∠2=∠AEP=40°
故：∠EPF=∠1+∠2=90°
（2）解：∠PFC=∠PEA+∠EPF
理由：如图2，过点P作PH//AB
可得：∠1=∠PEA
∵AB//CD
∴PH//CD
可知：∠PFC=∠HPF
由于∠HPF=∠1+∠EPF
∴∠PFC=∠1+∠EPF
即：∠PFC=∠PEA+∠EPF
（3）解：令AB与PF的交点为O，连接EF，如图3
在△GFE中，∠G=180°-（∠GFE+∠GEF）
∵∠GEF=∠PEA+∠OEF
∠GFE=∠PFC+∠OFE
∴∠GEF+∠GFE=∠PEA+∠PFC+∠OEF+∠OFE
由（2）可知∠PFC=∠PEA+∠EPF
∴∠PEA=∠PFC-α
又∵AB//CD
可得：∠EOF=∠PFC
∴在△OEF中有：
∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC
则∠GEF+∠GFE=（∠PFC-α）+∠PFC+180°-∠PFC
=180°-α
∴∠G=180°-（∠GEF+∠GFE）
=180°-（180°-α）
=α
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第3讲 平行线辅助线
一、知识回顾：
在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．
一、加截线(连接两点或延长线段)
1．如图，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE.∠BFE与∠FEC有何关系？并说明理由．
(第1题)
【解析】：∠BFE＝∠FEC.
理由一：连接BC，如图①.
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠ABF＝∠DCE，
∴∠ABC－∠ABF＝∠BCD－∠DCE，
即∠FBC＝∠ECB.
∴BF∥CE(内错角相等，两直线平行)．
∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．
(第1题)
理由二：延长AB，CE相交于点G，如图②.
∵AB∥CD，∴AG∥CD.
∴∠DCE＝∠G(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠ABF＝∠DCE，
∴∠ABF＝∠G.
∴BF∥CG(同位角相等，两直线平行)．
∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．
二、过“拐点”作平行线
a．“”形图
2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，求∠BPC的度数．
(第2题)
【解析】：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.∵AB∥CD，∴PN∥CD.
∴∠4＝∠2＝25°.
∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝32°.
∴∠BPC＝∠3＋∠4＝57°.
(第2题)
方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.
∵AB∥CD，∴PM∥CD.
∴∠4＝180°－∠2＝180°－25°＝155°.
∵AB∥PM，
∴∠3＝180°－∠1＝180°－32°＝148°.∴∠BPC＝360°－∠3－∠4＝360°－148°－155°＝57°.
方法三：连接BC，略。
方法四：延长BP交CD于M（或延长CP交AB于N），略。
b．“”形图
3．如图，已知AB∥CD，请你猜想一下∠B＋∠BED＋∠D的度数，并说明理由．
(第3题)
【解析】：∠B＋∠BED＋∠D＝360°.理由如下：
理由一：如图①，过E作EF∥AB.
(第3题)
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，
∴∠D＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵EF∥AB，∴∠B＋∠1＝180°.
∴∠B＋∠1＋∠2＋∠D＝180°＋180°＝360°，
即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
理由二：如图②，过E作EF∥AB.
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，
∴∠D＝∠DEF(两直线平行，内错角相等)．
∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF.
又∠BED＋∠BEF＋∠DEF＝360°，
∴∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
c．“”形图
4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
(第4题)
【解析】：∠BCD＝∠B－∠D.
理由：如图，过点C作CF∥AB.
(第4题)
∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF(两直线平行，内错角相等)．
∵AB∥DE，CF∥AB，
∴CF∥DE(平行于同一条直线的两条直线平行)．
∴∠DCF＝∠D(两直线平行，内错角相等)．∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF(等式的性质)．
∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，
∴∠BCD＝∠B－∠D.
d．“”形图
5．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝72°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．
(第5题)
【解析】：如图，过点C作CF∥AB.
(第5题)
∵AB∥CF，
∴∠BCF＝∠B＝72°.
∵AB∥CF，AB∥DE，
∴CF∥DE.
∴∠CDE＋∠DCF＝180°.
∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－140°＝40°.
∴∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝72°－40°＝32°.
二、经典例题：
【例1】如图，直线AB∥CD，C＝44°，∠AEC为直角，则∠1等于（ ）
A．132° B．134° C．136° D．138°
【例2】如图，m//n，那么、、的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么，∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
【例4】如图，，平分，且，垂足为，则与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【例5】如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 ．
【例6】如图，，点E在AB上方，点F在AB，CD之间，AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，EC交线段AB于点G．若，则∠EAF的度数为 ．
【例7】如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ．
【例8】如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=50°，则∠2= ．
【例9】如图，在折线中，已知，延长、交于点，猜想与的关系，并说明理由．
【例10】如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为AB、CD之间的一点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，点G在射线FC上，PG平分，，探究与之间的数量关系．并说明理由；
（3）如图3，，．直线HQ分别交FN，EM于H、Q两点，若，求的度数．
练习提升：
1．如图所示，，，若，则的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
2．如图，已知，平分，且，则与的关系是( )
A． B．
C． D．
3．如图，已知，为平行线之间一点连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点.若，分别平分，，则与的数量关系为（ ）.
A． B．
C． D．
4．如图，两直线AB、CD平行，则（ ）
A．630° B．720° C．900° D．1080°
5．如图，，直线a平移后得到直线b，则（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．如图，已知直线，则∠α、∠β、∠γ之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图AB∥CD，∠ABE＝120°，∠ECD＝25°，则∠E＝( )
A．75° B．80° C．95° D．85°
8．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现，他把它抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE=82°，∠DCE=120°．则∠E的度数是( )
A．38° B．44° C．46° D．56°
9．如图所示，AB∥CD，E为AB上方一点，FB， HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G=150° ，则∠EFG的度数为( )
A．90° B．95° C．100° D．150°
10．如图，直线k∥l， .其中 ， ，则 的最大整数值是（ ）
A．108° B．110° C．114° D．115°
11．观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得 ，则按照以上规律， 度 .
12．已知如图，AB∥CD，∠A＝130°，∠D＝25°，那么∠AED＝ °.
13．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
若∠En=1度，那∠BEC等于 度
14．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝ 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝ 度．
15．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在P、Q的位置，EQ的延长线交BC边于H．下列说法正确的有 （只填序号）
① = ；② 与 互补；③若 ，则 ；④ ．
16．如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是 ．
17．如图，//，EP、FP分别平分、，若，则 °．（用含m，n的代数式表示）
18．如图，已知，于点，点在直线上，且位于直线的右侧．
（1）若，则的度数是 ；
（2）若，，则的度数是 ．
19．如图已知AB//CD，试探究∠A，∠APC，∠C的数量关系．
20．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠A，∠C的关系，请你从所得的关系中任意选取一个加以说明．
（1）图（1）结论： ；图（2）结论： ；图（3）结论： ；图（4）结论： ．
（2）你准备证明的是图 ，请在下面写出证明过程．
21．如图 ，AB∥CD，且∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，判断∠P 与∠Q的数量关系，并说明理由．
22．如图，已知 ，分别探究下面两个图形中 和 、 的关系，请从你所得两个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.
结论：（1）_▲_；（2）__▲__。
选择结论：_▲_，说明理由.
23．如图，AB∥CD，BE和DE相交于E．证明：∠ABE=∠D+∠E
24．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明
（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
25．问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．
（1）端点A、C同向：
如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 度；
如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝ 度；
（2）端点A、C反向：
如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ ▲ 度．
26．已知，
（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，若平分，平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若平分，平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由．
27．阅读理解：如图，已知点是外一点，连接，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点作， ， ．
．
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）方法运用：如图2，已知，求的度数．
（3）深化拓展：如图3，已知，点在点的右侧，，平分，点是直线上的一个动点（不与点重合），，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．若，请你直接写出的度数．（用含的代数式表示）.
28．如图，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形象，称为“形BAMCD”．
（1）如图1，形BAMCD中，若，，则 °；
（2）如图2，连接形BAMCD中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系．
29．如图1，AB∥CD，，，求的度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
（1）按小明的思路，求的度数；
（2）（问题迁移）
如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题应用）
在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系（并画出相应的图形）．
30．
（1）（问题）如图1，若ABCD，∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数；
（2）（问题迁移）如图2，ABCD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题拓展）如图3所示，在⑵的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
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