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浙教版2022-2023学年七下数学第二章 二元一次方程组 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若是关于x、y的二元一次方程，那么k的取值满足（ ）
A． B． C． D．
2．把方程 写成用含 的代数式表示 的形式，得（ ）
A． B． C． D．
3．解方程组 ，下列最佳方法是( )
A．代入法消去x，由(2)得：x=1+y
B．代入法消去y，由(1)得：y=1-x=0
C．加减法消去x，由(1)-(2)x3得：4y=5
D．加减法消去y，由(1)+(2)得：4x=9
4．若方程组的解 x 和 y 的值相等，则k的值等于（ ）
A．4 B．10 C．11 D．12
5．若 ，则x,y的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°、y°，下列方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1、图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）
A． B． C． D．
8．运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车.则每节火车车厢，每辆汽车平均各装化肥分别是（ ）
A．8吨，50吨 B．54吨，8吨 C．50吨，4吨 D．4吨，50吨
9．二元一次方程x+2y=9的所有正整数的解有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．若a、b、c、d是正整数，且a+b＝20，a+c＝24，a+d＝22，设a+b+c+d的最大值为M，最小值为N，则M﹣N＝（ ）
A．28 B．12 C．48 D．36
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．是二元一次方程2x+ay＝5的一个解，则a的值为 ．
12．解方程组 ，用 消元法较简便，它的解是 .
13．已知x＝2﹣t，y＝3t﹣1，用含x的代数式表示y，可得y= ．
14．若关于 的二元一次方程组 的解都为正整数，则整数
15．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形”请你写出这些长方形的长和宽 ．
16．对于问题“若方程组 的解是 ，求方程组 的解．”有同学提出了把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，然后用“换元法”来解决，请用“换元法”求出该方程组的解为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程组：
（1） （2）
18．根据题意列出方程组：
（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
19．已知是二元一次方程的一个解．
（1）则
（2）试直接写出二元一次方程的所有正整数解．
20．为有效防控新冠肺炎疫情，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，若购买2包口罩和3包酒精湿巾共需19元，购买5包口罩和1包酒精湿巾共需28元．
（1）求每包口罩和每包酒精湿巾的单价；
（2）妈妈给了小明50元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），请问小明有哪几种购买方案？
21．解方程组 时，小强正确解得 ，而小刚只看错了c，解得
（1）小刚把c错看成了什么数？并求出原方程组中的c值．
（2）求a，b的值．
22．亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
23．阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题：
解方程组时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举
解：①-②，得，即．③
②-③×24，得．
把代入③，解得．故原方程组的解是．
（1）请利用上述方法解方程组．
（2）猜想并写出关于x，y的方程组的解，并加以检验．
24．某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表：
甲型 乙型 丙型
价格(元/台) 1000 800 500
销售获利(元/台) 260 190 120
（1）购买丙型设备 台(用含x，y的代数式表示)；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品(每种型号至少有一台)，恰好用了56000元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第(2)题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
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浙教版2022-2023学年七下数学第二章 二元一次方程组 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若是关于x、y的二元一次方程，那么k的取值满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵是关于x、y的二元一次方程，
∴|k|=1，k-1≠0，
解得：k=-1．
故答案为：A．
2．把方程 写成用含 的代数式表示 的形式，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 移项得 ，化系数为1得 ，故答案为：C．
3．解方程组 ，下列最佳方法是( )
A．代入法消去x，由(2)得：x=1+y
B．代入法消去y，由(1)得：y=1-x=0
C．加减法消去x，由(1)-(2)x3得：4y=5
D．加减法消去y，由(1)+(2)得：4x=9
【答案】D
【解析】由未知数y的系数互为相反数，用（1）+（2）直接消去y，得4x=9.
故答案为：D.
4．若方程组的解 x 和 y 的值相等，则k的值等于（ ）
A．4 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】把y=x代入4x+3y=1得：7x=1，
解得x=，
∴y=x=.
把y=x=得：k+ (k 1)=3，
解得：k=11.
故答案为：C.
5．若 ，则x,y的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，
∴
①+②得，2x-2=0，
解得，x=1
②-①得，4y-4=0，
解得，y=1，
所以方程组的解为 ．
故答案为：C．
6．已知∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°、y°，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∠A比∠B大30°，
则有x=y+30，
∠A，∠B互余，
则有x+y=90．
则方程组为 .
故答案为：D．
7．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1、图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，图2所示的算筹图我们可以表述为：
，
故答案为：B．
8．运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车.则每节火车车厢，每辆汽车平均各装化肥分别是（ ）
A．8吨，50吨 B．54吨，8吨 C．50吨，4吨 D．4吨，50吨
【答案】C
【解析】根据题意： ，
解得： ，
故答案为：C.
9．二元一次方程x+2y=9的所有正整数的解有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】 二元一次方程x+2y=9的所有正整数的解有.
故答案为：D.
10．若a、b、c、d是正整数，且a+b＝20，a+c＝24，a+d＝22，设a+b+c+d的最大值为M，最小值为N，则M﹣N＝（ ）
A．28 B．12 C．48 D．36
【答案】D
【解析】∵a+b＝20①，a+c＝24②，a+d＝22③，
由②-①得：c-b=4，
由③-①得：d-b=2，
∴c=b+4，d=b+2，
∴a+b+c+d=2b+26，
又∵a，b为正整数，（a+b+c+d）的最大值为M，最小值为N，
∴b的最大值为19，b的最小值为1，
∴M=2×19+26=64，
N=2×1+26=28，
∴M-N=64-28=36.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．是二元一次方程2x+ay＝5的一个解，则a的值为 ．
【答案】1
【解析】将代入二元一次方程2x+ay＝5，得2+3a＝5，
解得a＝1.
故答案为：1.
12．解方程组 ，用 消元法较简便，它的解是 .
【答案】加减；
【解析】观察可知y的系数互为相反数，所以用加减消元法比较简单，
①+②得 ，解得 ，
将 代入①得 ，解得 ，
故该方程组的解为： ，
故答案为：加减； .
13．已知x＝2﹣t，y＝3t﹣1，用含x的代数式表示y，可得y= ．
【答案】5-3x
【解析】∵x=2-t，
∴t=2-x，
代入y=3t-1得，y=3（2-x）-1=5-3x，
即y=5-3x．
故答案为：5-3x．
14．若关于 的二元一次方程组 的解都为正整数，则整数
【答案】0或1或 3
【解析】 ，
由②得：y=4 x，
再代入①得：
3x+m（4 x）=6，
解得： ，
再代入②得： ，
∵x、y都为正整数，
∴ ，
即：0<3 m 6，0<3 m 6 4m，
解得： 3 m 1，
m取整数为： 3， 2， 1，0，1，
经验算 1， 2不合题意舍去．
故答案为0或1或 3.
15．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形”请你写出这些长方形的长和宽 ．
【答案】10mm和6mm
【解析】设这些长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
这些长方形的长和宽为10mm和6mm.
故答案为：10mm和6mm.
16．对于问题“若方程组 的解是 ，求方程组 的解．”有同学提出了把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，然后用“换元法”来解决，请用“换元法”求出该方程组的解为 ．
【答案】
【解析】∵方程组 的解是 ，
∴将第二个方程组的两个方程的两边都除以5，得：
，
∴ ，
解得： ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，把①代入②得：，解得，把代入①得：，解得：，∴原方程组的解为：．
（2）解：，由①得：，②-③得：，解得：，把代入②得：，解得：，∴原方程组的解为：．
18．根据题意列出方程组：
（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
【答案】（1）解：设0.8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意得 ．
（2）解：设有x只鸡，y个笼，根据题意得 ．
19．已知是二元一次方程的一个解．
（1）则
（2）试直接写出二元一次方程的所有正整数解．
【答案】（1）5
（2）解：所有正整数解为：，．
【解析】（1）将代入二元一次方程2x+y=a中可得：，a=5；故答案为：5
（2）把a=5代入方程2x+y=a中可得：2x+y=5，所以可列出所有正整数解为：，．
20．为有效防控新冠肺炎疫情，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，若购买2包口罩和3包酒精湿巾共需19元，购买5包口罩和1包酒精湿巾共需28元．
（1）求每包口罩和每包酒精湿巾的单价；
（2）妈妈给了小明50元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），请问小明有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设每包口罩x元，每包酒精湿巾y元，
由题意得，，
②×3得，，
③-①得，，解得，
将代入①得，，
故原方程组的解为，，
答：每包口罩5元，每包酒精湿巾3元．
（2）解：设购买口罩a包，酒精湿巾b包，
由题意得，，
∵a，b均为正整数，
∴或或，
答：一共有三种方案，分别为：7包口罩和5包酒精湿巾、4包口罩和10包酒精湿巾、1包口罩和15包酒精湿巾．
21．解方程组 时，小强正确解得 ，而小刚只看错了c，解得
（1）小刚把c错看成了什么数？并求出原方程组中的c值．
（2）求a，b的值．
【答案】（1）解：把 代入cx﹣4y＝﹣2，得
﹣2c﹣16＝﹣2，
解得c＝﹣7，
所以小刚把c错看成了﹣7，
把 代入cx﹣4y＝﹣2，得
2c﹣8＝﹣2，
解得c＝3，
所以原方程组中的c值是3；
（2）解：由题意得，
，
解得 ，
所以a、b的值分别为1，2．
22．亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
【答案】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，
由题意得 解得：
答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．
（2）解：设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，由题意得
，∴，
答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．
23．阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题：
解方程组时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举
解：①-②，得，即．③
②-③×24，得．
把代入③，解得．故原方程组的解是．
（1）请利用上述方法解方程组．
（2）猜想并写出关于x，y的方程组的解，并加以检验．
【答案】（1）解：
解①-②，得，即③
解②-③×11，得．
把代入③，
解得．
故这个方程组的解是．
（2）解：猜想方程组解是．
检验：把代入方程①的左边，左边，右边，
∴左边=右边，
∴方程①的解．
把代入方程②的左边，左边，右边，
∴左边=右边，
∴是方程②的解．
∴，是方程组的解．
24．某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表：
甲型 乙型 丙型
价格(元/台) 1000 800 500
销售获利(元/台) 260 190 120
（1）购买丙型设备 台(用含x，y的代数式表示)；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品(每种型号至少有一台)，恰好用了56000元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第(2)题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
【答案】（1）(60-x-y)
（2）解：由题意得，1000x+800y+500(60-x-y)=56000，
化简整理得：5x+3y=260，
∴x=52- y
当y=5时，x=49，60-x-y=6；
当y=10时，x=46，60-x-y=4；
当y=15时，x=43，60-x-y=2。
∴购进方案有三种，分别为：
方案一：甲型49台，乙型5台，丙型6台；
方案二：甲型46台，乙型10台，丙型4台；
方案三：甲型43台，乙型15台，丙型2台。
（3）解：方案一：260×49+190×5+120×6=14410(元)，故可获利14410元，
方案二一：260×46+190×10+120×4=14340(元)，故可获利14340元，
方案三：260×43+190×15+120×2=14270(元)，故可获利14270元，
因为14410>14340>14270，
所以购进甲型49台，乙型5台，丙型6台，获利最多，为14410元
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