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第4讲 二元一次方程（组）的概念与解法
一、知识回顾：
一、二元一次方程组的相关概念
1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 21世纪教育网版权所有
2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
特别说明：
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式.www.21-cn-jy.com
3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.2·1·c·n·j·y
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
世纪·教育·网】
二、二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的思想
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；www-2-1-cnjy-com
②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；【来源：21cnj*y.co*m】
③解这个一元一次方程，求出（或）的值；
④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；21教育名师原创作品
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.
二、经典例题：
知识点一、二元一次方程（组）的概念
【例1】若是关于、的二元一次方程，则的值为( )
A．0 B．2 C．0或2 D．1或2
【例2】下列各组数中，是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】若是关于x，y的二元一次方程3x+ay=5的一个解，则a的值为
【例4】如果是关于x，y的方程的解，那么m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【例5】下列方程中：① ；② ；③ ；④ ，二元一次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例6】下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点二、二元一次方程组的解法
【例7】用代入消元法解方程组 正确的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【例8】用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（ ）
A．由（1），得x= B．由（1），得y=
C．由（2），得x= D．由（2），得y=2x﹣5
【例9】解方程组。
（1） （2）
【例10】用加减消元法解方程组 时，下列②-①结果正确的是（ ）
A．要消去x，可以将①×3-②×5. B．要消去y，可以将①×5+②×2.
C．要消去x，可以将①×5-②×2. D．要消去y，可以将①×3+②×2.
【例11】用加减消元法解方程组 ，下列变形正确的是( )
A． B． C． D．
【例12】用加减消元法解二元一次方程组： 时，下列方法中无法消元的是( )
A．①×2-② B．②×(-3)-① C．①×(-2)+②. D．①-②×3
【例13】解方程组：
（1） （2）
【例14】若4xa+b－3ya-b+2= 2是关于x，y的二元一次方程，则a+ b的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．2
练习提升：
1．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值是（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．－3
2．已知 是关于x，y的二元一次方程2mx＋y＝3的一个解，那么m的值为（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
3．若是关于x、y的二元一次方程，那么k的取值满足（ ）
A． B． C． D．
4．如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（ ）
A． B． C． D．
5．若是关于x、y的方程的一个解，则a的值为（ ）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
6．若方程■x－2y＝x＋5是二元一次方程，■是被弄污的x的系数，请你推断■的值的情况是( )
A．不可能是－1 B．不可能是－2 C．不可能是1 D．不可能是2
7．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．x2＋x＝1 B．2x﹣3y＝5 C．xy＝3 D．3x﹣y＝2z
8．已知方程组的解是，则的值是（ ）
A．3 B．－3 C．5 D．－5
9．已知方程组和有相同的解，则的值为()
A．9 B．10 C．11 D．12
10．用加减消元法解二元一次方程组时，下列能消元的是（ ）
A．①×2+② B．①×3+②
C．①×2-② D．①×（-3）-②
11．若方程组的解 x 和 y 的值相等，则k的值等于（ ）
A．4 B．10 C．11 D．12
12．若关于x，y的方程组的解x，y的值都小于1，则k的取值范围是（ ）
A．－313．若关于x、y的方程组的解为，则方程组的解是 ．
14．在关于、y的二元一次方程组中，若，则a的值为 ．
15．已知 是关于m，n的方程组 的解，则a+b= ．
16．已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是 ．
17．小亮解方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数 和★，请你帮他找回 这个数， = .
18．已知关于x，y的方程组的解满足，，则m的取值范围为 ．
19．已知方程组的解也是关于x，y的方程的一个解，则a的值是 ．
20．用适当的方法解下列方程组：
（1） （2）
21．解方程组：
（1）用代入法解方程组 （2）用加减法解方程组
22．解二元一次方程组
（1）； （2）.
23．解方程组
（1） （2）
24．阅读以下内容：已知，满足，且求的值．
（1）三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于，的方程组再求的值．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值．
丙同学：先解方程组，再求的值．
（2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．请先选择思路，再解答题目．我选择 ▲ 同学的思路（填“甲”或“乙”或“丙”）．
25．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，求的值．
26．已知与都是方程的解，求a、b的值．
27．已知方程组和有相同的解，求的平方根．
28．已知关于的二元一次方程组的解也是关于的二元一次方程的一组解，求的值.
29．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．其方法为：由2x+3y＝12可得yx（x、y为正整数），要使y＝4x为正整数，则x为整数，所以x必须为3的倍数，从而得到x＝3，代入得y＝4x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 ；
（2）若为自然数，求出满足条件的正整数x的值；
（3）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值．
30．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②-①得：，即.③
得：.④
①-④得：，代入③得.
所以这个方程组的解是.
（1）请你运用小明的方法解方程组.
（2）规律探究：猜想关于、的方程组的解是 .
31．已知关于x，y的方程组
（1）若方程组的解满足 ，求 的值；
（2）无论
取何实数，方程
总有一个公共解，求出这个方程的公共解.
32．已知关于x，y的方程组 的解是
（1）若把x换成m，y换成n，得到的关于m，n的方程组为 ，则这个方程组的解是 .
（2）若把x换成2x，y换成3y，得到方程组 ，则 ，所以这个方程组的解是 .
（3）根据以上的方法解方程组
33．阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：解方程组小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为，解的，把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得解得所以，原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）；
（2）．
34．阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 时，采用了一 种“整体代换” 解法：
解：将方程②变形： ，即 ③，把方程①代入③得： ，即
把 代入方程①，得 ，所以方程组的解为
请你解决以下问题
（1）模仿小同学约“整体代换”法解方程组
（2）已知 满足方程组
求 的值：
求出这个方程组的所有整数解．
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第4讲 二元一次方程（组）的概念与解法
一、知识回顾：
一、二元一次方程组的相关概念
1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 21世纪教育网版权所有
2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
特别说明：
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式.www.21-cn-jy.com
3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.2·1·c·n·j·y
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
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二、二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的思想
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；www-2-1-cnjy-com
②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；【来源：21cnj*y.co*m】
③解这个一元一次方程，求出（或）的值；
④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；21教育名师原创作品
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.
二、经典例题：
知识点一、二元一次方程（组）的概念
【例1】若是关于、的二元一次方程，则的值为( )
A．0 B．2 C．0或2 D．1或2
【答案】A
【解析】∵x是关于x、y的二元一次方程，
∴a-2≠0且|a-1|=1，
∴a=0.
故答案为：A.
【例2】下列各组数中，是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、把代入方程得：左边，右边，
左边右边，
不是方程的解；
B、把代入方程得：左边，右边，
左边右边，
不是方程的解；
C、把代入方程得：左边，右边，
左边右边，
不是方程的解；
D、把代入方程得：左边，右边，
左边右边，
是方程的解.
故答案为：D.
【例3】若是关于x，y的二元一次方程3x+ay=5的一个解，则a的值为
【答案】4
【解析】∵是关于、的二元一次方程的一个解，
∴，
∴．
故答案为：4．
【例4】如果是关于x，y的方程的解，那么m的值为（）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】∵是关于x，y的方程的解，
∴
解得：
故答案为：D
【例5】下列方程中：① ；② ；③ ；④ ，二元一次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】① ，含有未知数的项的次数是2，不符合二元一次方程的定义，故不符合题意；
② ，不是整式方程不符合题意；
③ ，是二元一次方程，符合题意；
④ ，是二元一次方程，符合题意；
综上③④符合题意，共2个．
故答案为：B．
【例6】下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据二元一次方程组的定义， D符合题意.
知识点二、二元一次方程组的解法
【例7】用代入消元法解方程组 正确的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，将①代入②得 3x-2(x-1)=5,去括号得3x-2x+2=5.
故答案为：B.
【例8】用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（ ）
A．由（1），得x= B．由（1），得y=
C．由（2），得x= D．由（2），得y=2x﹣5
【答案】D
【解析】A、B、C、D四个答案都是正确的，但“化简比较容易的”只有D．
故选D
【例9】解方程组。
（1） （2）
【答案】（1）
将（2）代入（1）得-4y+6+3y=7，则y=-1.
把y=-1代入（2）得x=5.
方程组的解为.
（2）化简（2）得y=3-6x(3)，
将（3）代入（1）得x-6+12x=7，解得x=1,
把x=1代入（3），解得y=-3,
所以方程组的解为
【例10】用加减消元法解方程组 时，下列②-①结果正确的是（ ）
A．要消去x，可以将①×3-②×5. B．要消去y，可以将①×5+②×2.
C．要消去x，可以将①×5-②×2. D．要消去y，可以将①×3+②×2.
【答案】C
【解析】对于原方程组，若要消去x，则可以将①×5-②×2；
若要消去y，则可以将①×3+②×5；
故答案为：C．
【例11】用加减消元法解方程组 ，下列变形正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
①×2得，4x+6y=6③，
②×3得，9x-6y=33④，
组成方程组得： ．
故答案为：C．
【例12】用加减消元法解二元一次方程组： 时，下列方法中无法消元的是( )
A．①×2-② B．②×(-3)-①
C．①×(-2)+②. D．①-②×3
【答案】D
【解析】A、①×2-②，可以消去x，故A不符合题意；
B、②×(-3)-①可以消去y，故B不符合题意；
C、①×(-2)+②可以消去x，故C不符合题意；
D、①-②×3，既不能消去x，也不能消去y，故D符合题意；
故答案为：D
【例13】解方程组：
（1） （2）
【答案】（1） ，
①×2+②得：7x＝﹣7，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入②得：y＝﹣ ，
则方程组的解为 ；
（2）方程组整理得： ，
①×2﹣②得：9x＝12，
解得：x＝ ，
把x＝ 代入①得：y＝﹣ ，
则方程组的解为 ．
【例14】若4xa+b－3ya-b+2= 2是关于x，y的二元一次方程，则a+ b的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【解析】根据题意得
解得a=0， b= 1，
所以a+b=0+1= 1．
故答案为：C.
三、练习提升：
1．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值是（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．－3
【答案】A
【解析】∵是关于，的二元一次方程的一个解，
∴3a-4=2
解之：a=2.
故答案为：A.
2．已知 是关于x，y的二元一次方程2mx＋y＝3的一个解，那么m的值为（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【答案】A
【解析】把 代入方程得：2m-3＝3，
解得：m＝3.
故答案为：A.
3．若是关于x、y的二元一次方程，那么k的取值满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵是关于x、y的二元一次方程，
∴|k|=1，k-1≠0，
解得：k=-1．
故答案为：A．
4．如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将依次代入，得：
A、12-4≠16，故该项不符合题意；
B、1+2≠5，故该项不符合题意；
C、2+3≠8，故该项不符合题意；
D、6=6，故该项符合题意；
故答案为：D.
5．若是关于x、y的方程的一个解，则a的值为（ ）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
【答案】D
【解析】把代入方程得：2-a=3，
移项得：-a=3-2，
解得：a=-1．
故答案为：D．
6．若方程■x－2y＝x＋5是二元一次方程，■是被弄污的x的系数，请你推断■的值的情况是( )
A．不可能是－1 B．不可能是－2 C．不可能是1 D．不可能是2
【答案】C
【解析】如果是1，整理方程后变为-2y=5不是二元一次方程．
7．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．x2＋x＝1 B．2x﹣3y＝5 C．xy＝3 D．3x﹣y＝2z
【答案】B
【解析】A.x2＋x＝1中x2的次数为2，不是二元一次方程；
B.2x﹣3y＝5中含有2个未知数，且含未知数项的最高次数为一次的整式方程，是二元一次方程；
C.xy＝3中xy的次数为2，不是二元一次方程；
D.3x﹣y＝2z中含有3个未知数，不是二元一次方程；
故答案为：B.
8．已知方程组的解是，则的值是（ ）
A．3 B．－3 C．5 D．－5
【答案】A
【解析】将代入方程组，得，
解得，
将代入得
-1-2×（-2）=-1+4=3．
故答案为：A．
9．已知方程组和有相同的解，则的值为()
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】将第一个方程组中的和第二个方程组中的联立，组成新的方程组，
解这个方程组，得．
将代入ax＋5y＝4和5x＋by＝1，得，
a﹣10＝4，5﹣2b＝1．
解得，a＝14，b＝2．
∴＝10．
故答案为：B．
10．用加减消元法解二元一次方程组时，下列能消元的是（ ）
A．①×2+② B．①×3+②
C．①×2-② D．①×（-3）-②
【答案】C
【解析】对于二元一次方程组，
①×2+②，得，故A选项不能消元，不合题意；
①×3+②，得，故B选项不能消元，不合题意；
①×2-②，得，故C选项能消元，符合题意；
①×（-3）-②，得，故D选项不能消元，不合题意；
故答案为：C．
11．若方程组的解 x 和 y 的值相等，则k的值等于（ ）
A．4 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】把y=x代入4x+3y=1得：7x=1，
解得x=，
∴y=x=.
把y=x=得：k+ (k 1)=3，
解得：k=11.
故答案为：C.
12．若关于x，y的方程组的解x，y的值都小于1，则k的取值范围是（ ）
A．－3【答案】A
【解析】
①+②得，即，
①-②得，即，
∵方程组的解x，y的值都小于1，
∴，解得－3故答案为：A．
13．若关于x、y的方程组的解为，则方程组的解是 ．
【答案】
【解析】方程组可变形为，
关于、的方程组的解为，
，
解得，
即方程组的解是，
故答案为：．
14．在关于、y的二元一次方程组中，若，则a的值为 ．
【答案】3
【解析】，
① ②，得：2x＋3y＝a 1，
∵，即2x＋3y＝2，
∴a 1＝2，
解得：a＝3，
故答案为：3．
15．已知 是关于m，n的方程组 的解，则a+b= ．
【答案】-13
【解析】因为 是关于m，n的方程组 的解，所以将m=﹣2，n=1代入方程组得： ，
①+②得：2b=﹣10，即b=﹣5，
将b=﹣5代入①得：a=﹣8，
则a+b=﹣13，
16．已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是 ．
【答案】1
【解析】 ，
方程①+②得：3x+3y=k-1,
∴x+y=,
∵原方程组的解互为相反数，∴x+y=0，
∴=0，
解得k=1.
故答案为：1.
17．小亮解方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数 和★，请你帮他找回 这个数， = .
【答案】8
【解析】2x-y=12, x=5则y=2x-12=10-12=-2 ，则y=★==-2
2x+y=2×5-2=10-2=8，则 =8
故本题答案应为：8
18．已知关于x，y的方程组的解满足，，则m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
①+②得：x=-1-m，
将x=-1-m代入①中，得：y=，
∵该方程组的解满足，，
∴，
解得：．
故答案为：．
19．已知方程组的解也是关于x，y的方程的一个解，则a的值是 ．
【答案】-2
【解析】，
①+②×2，可得5x＝5，
解得x＝1，
把x＝1代入①，可得：3+2y＝7，
解得y＝2，
∴原方程组的解是 ，
∵x﹣ay＝5，
∴1﹣2a＝5，
解得：a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
20．用适当的方法解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
将①代入②得：5x+2（x-1）=5，
整理，解得：x=1，
把x=1代入方程①，解得y=0，
∴方程组的解为；
（2）解：，
由①×2+②×3得：13x=78，解得：x=6，
把x=6代入①得：y=2，
∴方程组的解为.
21．解方程组：
（1）用代入法解方程组
（2）用加减法解方程组
【答案】（1）解：，
把①代入②中，得2x+3（x-1）=7，
解得：x=2，
把x=2代入①，得y=1，
∴方程组的解为；
（2）解：
①2+②，得，7x=7解得：，x=1，
把x=1代入①，得3+y=2，解得：y=-1，
∴方程组的解为．
22．解二元一次方程组
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：，
把②代入①得：，
解得：；
把代入②得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
②×2+①得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴原方程组的解为.
23．解方程组
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
把②代入①得：，
解得，
将代入②，得，
原方程组的解为：；
（2）解：，
①×3－②得：，
解得，
将代入①得，
原方程组的解为：.
24．阅读以下内容：已知，满足，且求的值．
（1）三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于，的方程组再求的值．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值．
丙同学：先解方程组，再求的值．
（2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．请先选择思路，再解答题目．我选择 ▲ 同学的思路（填“甲”或“乙”或“丙”）．
【答案】解：乙；
甲同学：解得
把代入，得
解得：=4
乙同学：
①+②得
，即：
∵
∴
解得=4
丙同学：
解得
把代入得
解得=4
综合上述，甲的解法比较繁琐，计算量大，乙同学的做法比较巧，计算量也小，所以我选乙.
故答案为：乙
25．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，求的值．
【答案】解：把代入方程组，得：
，
①＋②，得，，
把代入①得，
∴．
26．已知与都是方程的解，求a、b的值．
【答案】解：根据题意得：
解得：
27．已知方程组和有相同的解，求的平方根．
【答案】解：由题意，得：，
解得：，
将代入中，
可得，解得．
所以，，
的平方根是．
28．已知关于的二元一次方程组的解也是关于的二元一次方程的一组解，求的值.
【答案】解： ，
①+②得5x=10，
∴x=2，
将x=2代入①得：4+y=6，
解得y=2，
∴原方程组的解为：，
∴，
解得a=.
29．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．其方法为：由2x+3y＝12可得yx（x、y为正整数），要使y＝4x为正整数，则x为整数，所以x必须为3的倍数，从而得到x＝3，代入得y＝4x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 ；
（2）若为自然数，求出满足条件的正整数x的值；
（3）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值．
【答案】（1）
（2）解：∵为自然数，
∴x-3=1或x-3=2或x-3=3或x-3=6，
∴x=4或5或6或9.
（3）解：，
由①×2-②得：（4-k）y=8，
∵二元一次方程组有解，
∴4-k≠0，
∴y=，
∵y是正整数，
∴4-k=1或4-k=2或4-k=4或4-k=8，
∴k=3或2或k=0或k=-4，
∵k=3时，y=8，
∴x=-7（不符合题意），
∴满足题意的k为2或0或-4.
【解析】（1）∵3x+2y=8，
∴y==4-，
∴当x=2时，y=1，
∴方程的正整数解为.
故答案为：.
30．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②-①得：，即.③
得：.④
①-④得：，代入③得.
所以这个方程组的解是.
（1）请你运用小明的方法解方程组.
（2）规律探究：猜想关于、的方程组的解是 .
【答案】（1）解：，
得：，即，
得：，
得：，即，
将代入得，
所以这个方程组得解是；
（2）.
【解析】（2）
，
得：
，即
，
得：
，
得：
，解得
，
将
代入
得：
，
所以这个方程组得解是
，
故答案为：
.
31．已知关于x，y的方程组
（1）若方程组的解满足 ，求 的值；
（2）无论
取何实数，方程
总有一个公共解，求出这个方程的公共解.
【答案】（1）解：由题意得
解得
代入 得 ，
解得
（2）解：∵ ，即 .总有一个公共解，
∴方程的解与 无关，
∴
解得 ，
则方程的公共解为
32．已知关于x，y的方程组 的解是
（1）若把x换成m，y换成n，得到的关于m，n的方程组为 ，则这个方程组的解是 .
（2）若把x换成2x，y换成3y，得到方程组 ，则 ，所以这个方程组的解是 .
（3）根据以上的方法解方程组
【答案】（1）
（2）；
（3）解：将方程组 ，变形为
∴ ，解得 ，
∴方程组 的解为
【解析】（1）∵关于x，y的方程组 的解是 ，
若把x换成m，y换成n，得到的关于m，n的方程组为 ，则这个方程组的解是
故答案为：4，-6.
（2） 若把x换成2x，y换成3y，得到方程组 ，则 ，
解之：.
33．阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：解方程组小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为，解的，把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得解得所以，原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：令，，
原方程组化为，
解得：，
，
解得：．
原方程组的解为．
（2）解：令，，
原方程组可化为：，
解得：，
，
经检验，是原方程的解．
原方程组的解为．
34．阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 时，采用了一 种“整体代换” 解法：
解：将方程②变形： ，即 ③，把方程①代入③得： ，即
把 代入方程①，得 ，所以方程组的解为
请你解决以下问题
（1）模仿小同学约“整体代换”法解方程组
（2）已知 满足方程组
求 的值：
求出这个方程组的所有整数解．
【答案】（1） ，
将方程②变形： ，即 ③，
把方程①代入③得： ，
解得
把 代入方程①，得 ，
所以方程组的解为 ；
（2）（i）原方程组化为
将方程②-①×3得： ，
∴ ，
（ii）由（i）得 ，
∵x与y是整数
∴ 、 、 、 ，
由（i）可求得
∴ 和 符合题意，
故原方程组的所有整数解是 、
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