2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷3.5整式的化简
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·东港期末）已知，则b的值为（ ）
A．4 B． C．12 D．
2．（2022七上·长沙开学考）已知，且，则等于（ ）
A．105 B．100 C．75 D．50
3．（2022七下·相城期末）若，那么代数式的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
4．（2022七下·单县期末）对于等式中，△代表的是（ ）
A．3y B．9y C． D．
5．（2022七下·于洪期末）将变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022七下·宁远期末）已知54－1能被20~30之间的两个整数整除，则这两个整数是（ ）
A．25，27 B．26，28 C．24，26 D．22，24
7．（2022七下·潍城期末）已知，则代数式的值为（ ）．
A．34 B．14 C．26 D．7
8．（2022七下·东阳月考）如果m2+m＝3，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（ ）
A．14 B．10 C．7 D．6
9．当x=-时，代数式（x-2）2-2（2-2x）-（1+x）（1-x）的值等于（ ）
A．- B． C．1 D．
10．（2022七下·北仑期中）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022七下·柯桥期末）已知x2﹣x＝2022，则代数式（x+1）（x﹣1）+x（x﹣2）＝ ．
12．（2022七下·北仑期中）已知（2022-a）2+（a-2023）2 = 7，则（2022-a）（a-2023）的值为
13．（2022七下·仪征期末）计算： ．
14．（2022七下·湘东期中）计算的结果是 ．
15．（2022七下·江阴期中）在计算 （m、n均为常数）的值，在把x、y的值代入计算时，粗心的小明把y的值看错了，其结果等于9，细心的小红把正确的x、y的值代入计算，结果恰好也是9，为了探个究竟，小红又把y的值随机地换成了2018，结果竟然还是9，根据以上情况，探究其中的奥妙，计算mn= .
16．（2022七下·杭州期中）如图，把五个长为b，宽为a（b>a)的小长方形，按图一和图二两种方式放在一个长比宽大 的大长方形上，设图一中两块阴影部分的周长和为 ，图2中阴影部分的周长和为 ，则 的值为 .
三、计算题
17．（2022七下·兰州期中）先化简，再求值：
（1）2（x2）3﹣x（2x5﹣x），其中x＝3.
（2）[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2.
18．（2022七上·浦东新期中）已知，求下列各式的值．
（1） ；
（2） ．
19．运用平方差公式计算.
（1）3001×2999；
（2）99×100
（3）20102-2011×2009；
（4）103×97×10009.
四、综合题
20．（2022七上·浦东新期中）已知，，且与的3倍的差的值与的取值无关，求代数式的值．
21．（2022七下·合肥期末）如图是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图的图形．
（1）观察图形，请你写出、、之间的等量关系式；
（2）若，利用（1）中的结论，求的值；
（3）若，求的值．
22．（2022七下·章丘期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
（1）问题一：，
则 ， ；
（2）计算：；
（3）问题二：已知，
则 ， ；
（4）已知长和宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．
23．（2022七下·宝安期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．
（1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ．
（2）小明在计算（2+1）（22+1）（24+1）时利用了（1）中的公式：
（2+1）（22﹣1）（24+1）
＝1 （2+1）（22+1）（24+1）
＝ ．
（请你将以上过程补充完整．）
（3）利用以上的结论和方法、计算：+（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴ ，解得或
∴b＝±12，
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式可得，再利用待定系数法可得，最后求出a、b的值即可。
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得a-c=-5，待求式可变形为[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]，然后代入计算即可.
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
故答案为：B．
【分析】根据原始条件得出，再根据平方差公式将原式的括号展开，再合并同类项后代值计算，即可得出结果.
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
整理得，，
移项得，，
，．
，．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式和待定系数法可得，，再求解即可。
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
即．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】先对54-1利用平方差公式进行分解，然后结合整除的意义进行解答.
7．【答案】C
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：
；
∵
∴原式；
故答案为：C
【分析】先去括号，再合并同类项，再将其代入化简后的式子进行计算即可得解。
8．【答案】B
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解： m（m﹣2）+（m+2）2
=m2-2m+m2+4m+4
=2m2+2m+4
=2(m2+m)+4
=2×3+4
=10.
故答案为：B.
【分析】先进行整式的混合运算将原式化简，再变形，最后整体代值计算，即可解答.
9．【答案】A
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：原式=x2-4x+4-4+4x-1+x2=2x2-1将x=-代入得，原式=-
故答案为：A.
【分析】利用完全平方公式，平方差公式以及整式乘法，得到2x2-1，再代入求值，得出结果。
10．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】原式乘以因式(2-1)，然后利用平方差公式进行计算.
11．【答案】4043
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：（x+1）（x﹣1）+x（x﹣2）=x2-1+x2-2x=2（x2-x）-1=2×2022-1=4043.
故答案为：4043.
【分析】利用平方差公式和单项式乘以多项式的法则，将代数式转化为2（x2-x）-1，然后代入计算求出结果.
12．【答案】-3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设2022-a=x，a-2023=y，
∴x2+y2=7，x+y=2022-a+a-2023=1，
∴2xy=（x+y）2-（x2+y2）=1-7=-6，
∴xy=-3，
∴（2022-a）（a-2023）=-3.
故答案为：-3.
【分析】设2022-a=x，a-2023=y，得出x2+y2=7，x+y=1，利用完全平方公式得出2xy=（x+y）2-（x2+y2）=-6，得出xy=-3，即可得出答案.
13．【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：4.
【分析】由于2024与2020都接近2022，故原式可变形为20222-(2022+2)×(2022-2)，然后结合平方差公式进行计算.
14．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式＝
故答案为：
【分析】先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可.
15．【答案】-2
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】∵ =x2-（mn+2）xy+（m-3）y2，
∵取值与y无关，∴mn+2=0，
解得mn=-2.
故答案为：-2.
【分析】由题意，先将多项式根据去括号法则“括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号和减号，括号内加号变减号，减号变加号”和合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可将代数式化简为x2-（mn+2）xy+（m-3）y2，结合题意可知代数式的值与y无关，则可得关于mn的方程mn+2=0，解这个方程可求解.
16．【答案】12
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵大长方形的长=b+2a，大长方形的长比宽大（6-a），
∴大长方形的宽=b+2a-（6-a）=b+3a-6，
∴C1=2（b+b-6）+2[2a+(3a-6)]=4b-12+10a-12=4b+10a-24，
C2=2[（b+2a）+(3a-6)]+2b=4b+10a-12，
∴C2-C1=4b+10a-12-（4b+10a-24）=12.
故答案为：12.
【分析】根据题意及图形可知：大长方形的长=b+2a，由大长方形的长比宽大（6-a）可求出大长方形的宽=b+2a-（6-a）=b+3a-6，从而表示出C1=4b+10a-24，C2=4b+10a-12，再作差即可求解.
17．【答案】（1）解：原式=
，
当时，原式；
（2）解：原式
，
当时，原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先根据幂的乘方、单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可化简，然后将x值代入计算即可；
（2）先根据因式分解整理括号内，再利用多项式除以单项式即可化简，然后将x、y值代入计算即可.
18．【答案】（1）解： ，等式两边同除 ，得 ，则 ，
，
；
（2）解：∵ ，
，
.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）将代数式变形为，再利用完全平方公式可得；
（2）利用完全平方公式可得，再求出即可。
19．【答案】（1）解：原式=（3000+1）×（3000-1）=30002-12=8999999
（2）解：原式=（100-）×（100+）=1002-（）2
=10000-=9999
（3）解：原式=20102-（2010+1）×（2010-1）
=20102-（20102-1）
=20102-20102+1
=1
（4）解：原式=（100+3）×（100-3）×（10000+9）
=（1002-9）×（1002+9）
=1004-92
=99999919.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先找出3001与2999的平均数3000，再把原式转为为 （3000+1）×（3000-1） ，再利用平方差公式，得出结果。
（2）先找出 99与100 的平均数100，再把原式转为为 （100-）×（100+） ，再利用平方差公式，得出结果。
（3）先找出2011与2009 的平均数2010，再把原式转为为 20102-（2010+1）×（2010-1） ，再利用平方差公式，得出结果。
（4）先找出103与97的平均数100，再把原式转为为 （100+3）×（100-3）×（10000+9） ，再利用平方差公式，得出结果。
20．【答案】解：∵
，
∵ 与 的取值无关，
∴ ，
解得 ；
；
当 时，
．
【知识点】合并同类项法则及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先求出，再结合“与的取值无关”可得，求出a、b的值，再利用整式的加减法可得，最后将a、b的值代入计算即可。
21．【答案】（1）解：．理由如下：
观察图形知，图中大正方形的面积为：，阴影面积为：，
则图中个小长方形面积的和为：；
图中个小长方形面积的和为：；
由此得出：．
（2）解：由（1）中的结论可知，，
，
等号两边平方得，，
，
．
（3）解：∵，
设，，而
则
则 ．
即
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个面积可得；
（2）利用（1）的计算方法可得，再求解即可；
（3）设，，而，则 再利用（1）的计算方法可得答案。
22．【答案】（1）；
（2）解：
；
（3）；
（4）解：由题意得：
整理得：
则
将，代入得：原式
故的值为39．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】问题一：（1）
可变形为：
则，
故答案为：，；
（3）
则
则
故答案为：，；
【分析】（1）利用整体换元法可得答案；
（2）方法同（1），利用整体换元法可得答案；
（3）利用完全平方公式计算即可；
（4）先求出，再利用完全平方公式计算即可。
23．【答案】（1）（a＋b）（a b）＝a2 b2
（2）28 1
（3）解：原式＝＋（3 1）（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）＝＋（32 1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）＝＋（34 1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）＝＋（38 1）（38＋1）（316＋1）＝＋（316 1）（316＋1）＝＋（332 1）＝＋ ＝．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2 b2，图②是长为（a＋b），宽为（a b）的长方形，因此面积为（a＋b）（a b），由图①、图②面积相等可得：（a＋b）（a b）＝a2 b2，故答案为：（a＋b）（a b）＝a2 b2；
（2）解：原式＝（2 1） （2＋1）（22＋1）（24＋1）＝（22 1）（22＋1）（24＋1）＝（24 1）（24＋1）＝28 1，故答案为：28 1；
【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可；
（2）利用（1）的结论，配上（2-1）这个因式后，连续利用平方差公式即可；
（3）利用（1）的结论，配上（3-1）这个因式后，连续利用平方差公式即可。
1 / 12023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷3.5整式的化简
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·东港期末）已知，则b的值为（ ）
A．4 B． C．12 D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴ ，解得或
∴b＝±12，
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式可得，再利用待定系数法可得，最后求出a、b的值即可。
2．（2022七上·长沙开学考）已知，且，则等于（ ）
A．105 B．100 C．75 D．50
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得a-c=-5，待求式可变形为[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]，然后代入计算即可.
3．（2022七下·相城期末）若，那么代数式的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
故答案为：B．
【分析】根据原始条件得出，再根据平方差公式将原式的括号展开，再合并同类项后代值计算，即可得出结果.
4．（2022七下·单县期末）对于等式中，△代表的是（ ）
A．3y B．9y C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
整理得，，
移项得，，
，．
，．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式和待定系数法可得，，再求解即可。
5．（2022七下·于洪期末）将变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
即．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式计算求解即可。
6．（2022七下·宁远期末）已知54－1能被20~30之间的两个整数整除，则这两个整数是（ ）
A．25，27 B．26，28 C．24，26 D．22，24
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】先对54-1利用平方差公式进行分解，然后结合整除的意义进行解答.
7．（2022七下·潍城期末）已知，则代数式的值为（ ）．
A．34 B．14 C．26 D．7
【答案】C
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：
；
∵
∴原式；
故答案为：C
【分析】先去括号，再合并同类项，再将其代入化简后的式子进行计算即可得解。
8．（2022七下·东阳月考）如果m2+m＝3，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（ ）
A．14 B．10 C．7 D．6
【答案】B
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解： m（m﹣2）+（m+2）2
=m2-2m+m2+4m+4
=2m2+2m+4
=2(m2+m)+4
=2×3+4
=10.
故答案为：B.
【分析】先进行整式的混合运算将原式化简，再变形，最后整体代值计算，即可解答.
9．当x=-时，代数式（x-2）2-2（2-2x）-（1+x）（1-x）的值等于（ ）
A．- B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：原式=x2-4x+4-4+4x-1+x2=2x2-1将x=-代入得，原式=-
故答案为：A.
【分析】利用完全平方公式，平方差公式以及整式乘法，得到2x2-1，再代入求值，得出结果。
10．（2022七下·北仑期中）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】原式乘以因式(2-1)，然后利用平方差公式进行计算.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022七下·柯桥期末）已知x2﹣x＝2022，则代数式（x+1）（x﹣1）+x（x﹣2）＝ ．
【答案】4043
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：（x+1）（x﹣1）+x（x﹣2）=x2-1+x2-2x=2（x2-x）-1=2×2022-1=4043.
故答案为：4043.
【分析】利用平方差公式和单项式乘以多项式的法则，将代数式转化为2（x2-x）-1，然后代入计算求出结果.
12．（2022七下·北仑期中）已知（2022-a）2+（a-2023）2 = 7，则（2022-a）（a-2023）的值为
【答案】-3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设2022-a=x，a-2023=y，
∴x2+y2=7，x+y=2022-a+a-2023=1，
∴2xy=（x+y）2-（x2+y2）=1-7=-6，
∴xy=-3，
∴（2022-a）（a-2023）=-3.
故答案为：-3.
【分析】设2022-a=x，a-2023=y，得出x2+y2=7，x+y=1，利用完全平方公式得出2xy=（x+y）2-（x2+y2）=-6，得出xy=-3，即可得出答案.
13．（2022七下·仪征期末）计算： ．
【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：4.
【分析】由于2024与2020都接近2022，故原式可变形为20222-(2022+2)×(2022-2)，然后结合平方差公式进行计算.
14．（2022七下·湘东期中）计算的结果是 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式＝
故答案为：
【分析】先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可.
15．（2022七下·江阴期中）在计算 （m、n均为常数）的值，在把x、y的值代入计算时，粗心的小明把y的值看错了，其结果等于9，细心的小红把正确的x、y的值代入计算，结果恰好也是9，为了探个究竟，小红又把y的值随机地换成了2018，结果竟然还是9，根据以上情况，探究其中的奥妙，计算mn= .
【答案】-2
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】∵ =x2-（mn+2）xy+（m-3）y2，
∵取值与y无关，∴mn+2=0，
解得mn=-2.
故答案为：-2.
【分析】由题意，先将多项式根据去括号法则“括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号和减号，括号内加号变减号，减号变加号”和合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可将代数式化简为x2-（mn+2）xy+（m-3）y2，结合题意可知代数式的值与y无关，则可得关于mn的方程mn+2=0，解这个方程可求解.
16．（2022七下·杭州期中）如图，把五个长为b，宽为a（b>a)的小长方形，按图一和图二两种方式放在一个长比宽大 的大长方形上，设图一中两块阴影部分的周长和为 ，图2中阴影部分的周长和为 ，则 的值为 .
【答案】12
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵大长方形的长=b+2a，大长方形的长比宽大（6-a），
∴大长方形的宽=b+2a-（6-a）=b+3a-6，
∴C1=2（b+b-6）+2[2a+(3a-6)]=4b-12+10a-12=4b+10a-24，
C2=2[（b+2a）+(3a-6)]+2b=4b+10a-12，
∴C2-C1=4b+10a-12-（4b+10a-24）=12.
故答案为：12.
【分析】根据题意及图形可知：大长方形的长=b+2a，由大长方形的长比宽大（6-a）可求出大长方形的宽=b+2a-（6-a）=b+3a-6，从而表示出C1=4b+10a-24，C2=4b+10a-12，再作差即可求解.
三、计算题
17．（2022七下·兰州期中）先化简，再求值：
（1）2（x2）3﹣x（2x5﹣x），其中x＝3.
（2）[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2.
【答案】（1）解：原式=
，
当时，原式；
（2）解：原式
，
当时，原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先根据幂的乘方、单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可化简，然后将x值代入计算即可；
（2）先根据因式分解整理括号内，再利用多项式除以单项式即可化简，然后将x、y值代入计算即可.
18．（2022七上·浦东新期中）已知，求下列各式的值．
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解： ，等式两边同除 ，得 ，则 ，
，
；
（2）解：∵ ，
，
.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）将代数式变形为，再利用完全平方公式可得；
（2）利用完全平方公式可得，再求出即可。
19．运用平方差公式计算.
（1）3001×2999；
（2）99×100
（3）20102-2011×2009；
（4）103×97×10009.
【答案】（1）解：原式=（3000+1）×（3000-1）=30002-12=8999999
（2）解：原式=（100-）×（100+）=1002-（）2
=10000-=9999
（3）解：原式=20102-（2010+1）×（2010-1）
=20102-（20102-1）
=20102-20102+1
=1
（4）解：原式=（100+3）×（100-3）×（10000+9）
=（1002-9）×（1002+9）
=1004-92
=99999919.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先找出3001与2999的平均数3000，再把原式转为为 （3000+1）×（3000-1） ，再利用平方差公式，得出结果。
（2）先找出 99与100 的平均数100，再把原式转为为 （100-）×（100+） ，再利用平方差公式，得出结果。
（3）先找出2011与2009 的平均数2010，再把原式转为为 20102-（2010+1）×（2010-1） ，再利用平方差公式，得出结果。
（4）先找出103与97的平均数100，再把原式转为为 （100+3）×（100-3）×（10000+9） ，再利用平方差公式，得出结果。
四、综合题
20．（2022七上·浦东新期中）已知，，且与的3倍的差的值与的取值无关，求代数式的值．
【答案】解：∵
，
∵ 与 的取值无关，
∴ ，
解得 ；
；
当 时，
．
【知识点】合并同类项法则及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先求出，再结合“与的取值无关”可得，求出a、b的值，再利用整式的加减法可得，最后将a、b的值代入计算即可。
21．（2022七下·合肥期末）如图是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图的图形．
（1）观察图形，请你写出、、之间的等量关系式；
（2）若，利用（1）中的结论，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）解：．理由如下：
观察图形知，图中大正方形的面积为：，阴影面积为：，
则图中个小长方形面积的和为：；
图中个小长方形面积的和为：；
由此得出：．
（2）解：由（1）中的结论可知，，
，
等号两边平方得，，
，
．
（3）解：∵，
设，，而
则
则 ．
即
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个面积可得；
（2）利用（1）的计算方法可得，再求解即可；
（3）设，，而，则 再利用（1）的计算方法可得答案。
22．（2022七下·章丘期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
（1）问题一：，
则 ， ；
（2）计算：；
（3）问题二：已知，
则 ， ；
（4）已知长和宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：
；
（3）；
（4）解：由题意得：
整理得：
则
将，代入得：原式
故的值为39．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】问题一：（1）
可变形为：
则，
故答案为：，；
（3）
则
则
故答案为：，；
【分析】（1）利用整体换元法可得答案；
（2）方法同（1），利用整体换元法可得答案；
（3）利用完全平方公式计算即可；
（4）先求出，再利用完全平方公式计算即可。
23．（2022七下·宝安期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．
（1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ．
（2）小明在计算（2+1）（22+1）（24+1）时利用了（1）中的公式：
（2+1）（22﹣1）（24+1）
＝1 （2+1）（22+1）（24+1）
＝ ．
（请你将以上过程补充完整．）
（3）利用以上的结论和方法、计算：+（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
【答案】（1）（a＋b）（a b）＝a2 b2
（2）28 1
（3）解：原式＝＋（3 1）（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）＝＋（32 1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）＝＋（34 1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）＝＋（38 1）（38＋1）（316＋1）＝＋（316 1）（316＋1）＝＋（332 1）＝＋ ＝．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2 b2，图②是长为（a＋b），宽为（a b）的长方形，因此面积为（a＋b）（a b），由图①、图②面积相等可得：（a＋b）（a b）＝a2 b2，故答案为：（a＋b）（a b）＝a2 b2；
（2）解：原式＝（2 1） （2＋1）（22＋1）（24＋1）＝（22 1）（22＋1）（24＋1）＝（24 1）（24＋1）＝28 1，故答案为：28 1；
【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可；
（2）利用（1）的结论，配上（2-1）这个因式后，连续利用平方差公式即可；
（3）利用（1）的结论，配上（3-1）这个因式后，连续利用平方差公式即可。
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