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3.7 整式的除法（讲练互动）
姓名 班级
【讲练互动】
【例1】计算：(1) 5a2b÷(-ab)·（2ab2）；(2)［x(3－4x)＋2x(x－1)］÷(-2x).
【黑色陷阱】对于单项式乘除的混合运算应注意运算顺序；多项式除以单项式所得商的项数等于被除式的项数；多项式除以单项式所得商的各项符号，当除式的系数为正数时，与被除式各项对应的符号相同，当除式的系数为贡数时，与被除式各项对应的符号相反.
【变式训练】
1. 计算：(1) –(-a3b)2÷(-a2b2)；（2）(8x2y－4xy2)÷(-4xy).
【例2】我们所处的银河系是一个庞大的星系，太阳在整个银河系中只不过是沧海一粟.据科学家探测银河系的直径约为97800光年.如果火箭的速度是9300米/秒，那么火箭从银河系直径的一端飞向另一端，大约需要多少年 (结果保留两个有效数字)
【变式训练】
2.某商场销售一种电视机，4月份每台毛利润是售出价的20%(毛利润=售出价-买入价).5月份该商场在买入价不变的情况下将每台售出价调低5%，结果售出台数比4月份增加20%.问5月份的毛利润总额与4月份相比是增加还是减少 增加或减少百分之几
参考答案
【例2】我们所处的银河系是一个庞大的星系，太阳在整个银河系中只不过是沧海一粟.据科学家探测银河系的直径约为97800光年.如果火箭的速度是9300米/秒，那么火箭从银河系直径的一端飞向另一端，大约需要多少年 (结果保留两个有效数字)
分析: 光年是一种距离单位, 即光在1年时间内所飞行的路程.
解: 97800×(3×108) ÷9300=3.2×109(年)
【变式训练】
2.某商场销售一种电视机，4月份每台毛利润是售出价的20%(毛利润=售出价-买入价).5月份该商场在买入价不变的情况下将每台售出价调低5%，结果售出台数比4月份增加20%.问5月份的毛利润总额与4月份相比是增加还是减少 增加或减少百分之几
解: 设4月份每台电视机的售出价为a, 售出的台数是b台, 则
[(1-5%)a-(a-20%a)](1+20%)b-20%ab=-0.02ab<0, ∴减少了.
0.02ab÷(20ab)=10%, ∴减少了10%.
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3.7 整式的除法（巩固练习）
姓名 班级
【要点预习】
1.单项式除以单项式的法则：
单项式相除，把 ， 分别相除，作为商的 ，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 作为商的一个 .
2.多项式除以多项式的法则：
多项式除以单项式，先把这这多项式的每一项 这个单项式，再把所得的商 .
即：
基础自测
1.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 计算(18m4－48m3+6m)÷(－6m)的结果是（ ）
A．3m3－8m2 B．－3m3+8m2 C．－3m3+8m2－1 D．3m3－8m2－1
3. 若（5x2y－3xy2）÷A=－5x+3y，则单项式A为（ ）
A．xy B．－xy C．x D．－y
4.计算：6m3÷(-3m2)=________________.
5. 计算： ．
6. 一个多项式除以2x2y，其商为(4x3y2－6x3y＋2x4y2），则这个多项式为 .
7.计算：
(1)25xy3÷(－5y); (2)(2x－y)6÷(y－2x)4; (3) .
8.先化简，再求值: 其中x=-1，y=.
能力提升
9. 一个x的四次三项式被一个x的二次单项式整除，其商式为（ ）
Ａ.二次三项式 Ｂ.三次三项式 Ｃ.二次二项式 Ｄ.三次二项式
10.我国宇航员杨利伟乘“神舟五号”飞船绕地球飞行，飞行轨道近似看做圆，其半径约为6.71×103km，总航程约为5.90×105km，则他绕地球飞行了( )
A.13圈 B.14圈 C.15圈 D.16圈
11. 已知，则 的值为 .
12.定义，其中都不为零，则 .
13.现有四个单项式： ，规定只能用乘法或除法运算，使由4个单项式组成的算式的计算结果是一个常数，你能写出该算式吗
14.每克铀含有2.56×1021个原子核，一个原子核裂变时能放出3.2×10-14千焦的能量，1千克干木柴完全燃烧能放出1.26×104千焦的热量，那么1千克铀原子全部裂变时释放的热量为多少千焦 相当于多少吨干柴完全燃烧的热量 (结果保留3个有效数字).
创新应用
15.阅读下列材料：因为(x-1)(x+4)=x2+3x-4，所以(x2+3x-4)÷(x-1)=x+4，这说明x2+3x-4能被x-1整除，同时也说明多项式x2+3x-4有一个因式为x-1；另外，当x=1时，多项式x2+3x-4的值为0.
(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0；多项式有因式；多项式能被整除.这之间存在着一种什么样的联系
(2)探求规律：更一般地，如果一个关于字母的多项式M，当时，M的值为0，那么M与代数式之间有何种关系
(3)应用：利用上面的结果求解：已知x-3能整除x2+kx-15，求k的值.
5. 计算： ．
答案: 3a-2b
6. 一个多项式除以2x2y，其商为(4x3y2－6x3y＋2x4y2），则这个多项式为 .
答案: 9x5y3-12x5y2+4x6y3
7.计算：
(1)25xy3÷(－5y); (2)(2x－y)6÷(y－2x)4; (3) .
解: (1)原式=-5xy2; (2)原式=(2x-y)2=4x2-4xy+y2; (3)原式=3x6y6÷(xy)=9x5y5.
8.先化简，再求值: 其中x=-1，y=.
解: 原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷x=(2x2-2xy) ÷x=2x-2y.
当x=-1, y=时, 原式=2×(-1)-2×=-3.
能力提升
9. 一个x的四次三项式被一个x的二次单项式整除，其商式为（ ）
Ａ.二次三项式 Ｂ.三次三项式 Ｃ.二次二项式 Ｄ.三次二项式
答案: A
10.我国宇航员杨利伟乘“神舟五号”飞船绕地球飞行，飞行轨道近似看做圆，其半径约为6.71×103km，总航程约为5.90×105km，则他绕地球飞行了( )
A.13圈 B.14圈 C.15圈 D.16圈
解析:5.9×105÷(2×6.71×103)≈14圈.
答案:B
11. 已知，则 的值为 .
解析: 原式=(x2+y2-x2+2xy-y2+2xy-2y2) ÷(2y)=(4xy-2y2) ÷(2y)=2x-y=10.
答案:10
12.定义，其中都不为零，则 .
解析: .
故=2+8+1=11.
答案: 11
13.现有四个单项式： ，规定只能用乘法或除法运算，使由4个单项式组成的算式的计算结果是一个常数，你能写出该算式吗
解: 如=-x3y2z3÷(-x3y2z3)=1.
14.每克铀含有2.56×1021个原子核，一个原子核裂变时能放出3.2×10-14千焦的能量，1千克干木柴完全燃烧能放出1.26×104千焦的热量，那么1千克铀原子全部裂变时释放的热量为多少千焦 相当于多少吨干柴完全燃烧的热量 (结果保留3个有效数字).
解: 1000×(2.56×1021) ×(3.2×10-14)≈8.19×1010千焦.
8.19×1010 ÷(1.26×104)÷1000=6.50×103吨.
创新应用
15.阅读下列材料：因为(x-1)(x+4)=x2+3x-4，所以(x2+3x-4)÷(x-1)=x+4，这说明x2+3x-4能被x-1整除，同时也说明多项式x2+3x-4有一个因式为x-1；另外，当x=1时，多项式x2+3x-4的值为0.
(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0；多项式有因式；多项式能被整除.这之间存在着一种什么样的联系
(2)探求规律：更一般地，如果一个关于字母的多项式M，当时，M的值为0，那么M与代数式之间有何种关系
(3)应用：利用上面的结果求解：已知x-3能整除x2+kx-15，求k的值.
解: (1)由x-1=0得x=1, 此时多项式的值为0, 则多项式必能被(x-1)整除.
(2) 多项式M能被(x-k)整除.
(3) 由x-3=0得x=3, 且x-3能整除x2+kx-15,
∴ 当x=3时, 多项式x2+kx-15的值为0,
即32+3k-15=0, ∴k=-2.
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新浙教版数学七年级（下）
3.7 整式的除法
回顾 & 思考
（a ≠ 0）
1、用字母表示幂的运算性质：
n
m
a
.
(3)
= ;
(5)
= ;
(4)
=
.
;
(6)
=
.
.
(1)
= ;
(2)
= ;
1
2、计算：
(1) a20÷a10； (2) a2n÷an
(3) ( c)4 ÷( c)2；
(4) (a2)3 ·(-a3 )÷(a3)5 ； (5) (x4)6 ÷(x6)2 ·(-x4 )2 。
= a10
= an
= c2
= a9 ÷a15
= a 6
=
=x24÷x12 ·x8
=x 24 —12+8
=x20
木星的质量约是1.90×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球的质量的多少倍么
谈谈你的计算方法.
活动1
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
你能利用上面的方法计算下列各式吗
你能根据上面的结果述说单项式除以
单项式的运算法则吗
活动2
提炼与引申
计算下列各题, 并说说你的理由:
(1) (x5y) ÷x2 ;
(2) (8m2n2) ÷(2m2n) ;
(3) (a4b2c)÷(3a2b)
解：(1) (x5y)6÷x2 = x30y6÷x2
把除法式子写成分数形式，
=
把幂写成乘积形式，
约分。
=
= x·x·x·y
x
x
x
x
= x3y ；
省略分数及其运算, 上述过程相当于：
(1)(x5y) ÷x2
=(x5÷x2 )·y
=x 5 2 ·y
可以用类似于
分数约分的方法
来计算。
(2) (8m2n2) ÷(2m2n)
=
=(8÷2 )·m 2 2·n2 1
(3)
(8÷2 )·(m2÷m2 )·(n2÷n )
(1)(x5y) ÷x2
=(x5÷x2 )·y
=x 5 2 ·y
=4n
活动2 提炼与引申
(1) (x5y) ÷ x2 = x5 2 ·y
(2) (8m2n2) ÷ (2m2n) = (8÷2 )·m2 2·n2 1 ;
(3) (a4b2c) ÷ (3a2b) = (1÷3 )·a4 2·b2 1·c .
商式
被除式
除式
仔细观察一下，并分析与思考下列几点：
(被除式的指数) —(除式的指数)
(被除式的系数)÷ (除式的系数)
商式的系数＝
单项式除以单项式，其结果(商式)仍是
(同底数幂) 商的指数＝
一个单项式;
写在商里面作
被除式里单独有的幂，
因式。
巩固与练习
底数不变，
指数相减.
保留在商里
作为因式.
理解
商式＝系数 同底数幂 被除式里单独有的幂
(1)(－x2y3)÷(3x2y);
(2)(10a4b3c2)÷(5a3bc);
(3)(2x2y)3· (－7xy2)÷(14x4y3);
(4)(2a+b)4÷(2a+b)2.
活动4 多项式除以单项式的法则
不妨从最简的多项式除以单项式人手，
提示:
理由
( ad+bd )÷d =a+b
用逆运算：ad+bd=d ( )
a+b
提取括号内的公因式、约分
逆用同分母的加法、约分：
（1）(ad+bd)÷d = __________
（2）(a2b+3ab)÷a = _________
（3）(xy3–2xy)÷(xy) = _______
你能计算下列各题？说说你的理由。
( ad+bd )÷d =
逆用同分母的
加法、约分：
重点推荐的解法
( ad+bd )÷d
=(ad)÷d
+ (bd)÷d。
省略中间过程
=
上述过程简写为：
( ad+bd )÷d
=(ad)÷d + (bd)÷d。
计算下列各题：
（2）(a2b+3ab)÷a = _________
（3）(xy3–2xy)÷(xy) = _______
ab+3b
y2 –2
你找到了 多项式除以单项式的规律 吗？
议一议
( ad+bd )÷d
=(ad)÷d + (bd)÷d。
多项式除以单项式，
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，
再把所得的商相加。
例 题 解 析
例题 计算：
（4）原式=
阅读 思考
哪一个等号在用法则？
在计算单项式除以单项式时，要注意什么？
先定商的符号；
注意把除式
( 后的式子)
添括号;
3a+4，
（1）
（2）
（3）
解：
=
例题解析
学一学
1 计算：
(1) ; (2) (10a4b3c2)÷(5a3bc);
( x2y3)
÷(3x2y3)
(1)(2)小题的结构一样, 说说可能用到
的有关幂的运算公式或法则.
观察 & 思考
am÷an =am n
同底幂的除法法则:
(3) (2x2y)3·( 7xy2)÷(14x4y3); (4) (2a+b)4÷(2a+b)2.
[( 7)÷14]·x1 4 y 2 3
题(3)能这样解吗
(2x2y)3 ·( 7xy2) ÷ (14x4y3)
=(2x2y)3·
三块之间是同级运
算, 只能从左到右.
括号内是积、
括号外右角有指数时，
先用积的乘方法则。
p40例1(3)解
阅读
p40例1(1)(2)
阅读
(2a+b)4÷(2a+b)2
=(24a4b4)÷(22a2b2)
题(4)能
这样解吗
两个底数是相同的多项式时,
应看成一个整体(如一个字母).
随堂练习
(1) (2a6b3)÷(a3b2) ; (2) ;
(3) (3m2n3)÷(mn)2 ; (4) (2x2y)3÷(6x3y2) .
2、计算：
( x3y2 )
÷( x2y )
答:
3、 月球距离地球大约 3.84×105千米, 一架飞机的速度约为 8×102 千米/时. 如果乘坐此飞机飞行这么远的距离, 大约需要多少时间
3.84×105 ÷( 8×102 )
？这样列式的依据
= 0.48×103
？如何得到的
？单位是什么
=480(小时)
？如何得到的
=20(天) .
？做完了吗
如果乘坐此飞机飞行这么远的距离, 大约需要20天时间.
解题后的反思
你能直接列出一个时间为天的算式吗
3.84×105÷( 8×102 )÷12 .
你会计算吗
阅读 思考
解:
学 以 致 用
学 以 致 用
4、计算：
随堂练习
（1）
（2）
（3）
=3x+1
=a+b+c
（4）
(5)
(6)
ab
x+2y
=[x2+4xy+4y2 –(x2–4y2)]
=[4xy+8y2]
1、计算：
（1）－a7x4y3÷（－ ax4y2）
（2）2a2b·（－3b2c）÷（4ab3）
解：原式=〔－1÷（－ ） 〕·a7-1·x4-4·y3-2
= a6y
解：原式=〔2×（－3）÷4〕·a2-1·b1+2-3·c
= － ac
2、计算填空:
⑴ (60x3y5) ÷( 12xy3) = ;
(2) (8x6y4z) ÷( ) = 4x2y2 ;
(3) ( )÷(2x3y3 ) = ;
(4) 若 (ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8 ,
则 a = , m = ,n = ;
3、能力挑战:
5x2y2
2x4y2z
12
3
2
例2计算：
（14a3－7a2）÷（7a）
（15x7y5－10x4y4－20x3y2）÷（－5x3y2）
解：原式=（14a3）÷（7a）＋（-7a2）÷（7a）
= 2a2－a
解：原式=（15x7y5）÷（－5x3y2）＋
（－10x4y4）÷ （－5x3y2）＋
（－20x3y2）÷ （－5x3y2）
= －3x4y3＋2xy2＋4
m
平方
+m
-1
输出
2、任意给一个非零数，
= m
÷m
按下列程序计算下去，
输入m
写出输出结果 .
3a3b2c
5ac
8(a+b)4
–3ab2c
（1） –12a5b3c÷(–4a2b)=
（2）(–5a2b)2÷5a3b2 =
（3）4(a+b)7 ÷ (a+b)3 =
2
1
（4）(–3ab2c)3÷(–3ab2c)2 =
练一练
4、以下二题的计算是否正确？若不正确，应怎样改正：
（1）（12a3b3c）÷（6ab2）=2ab
（2）（p5q4）÷（2p3q）=2p2q3
辨一辨：
（1）
多项式
它除以 ，其商式应是（ ）项式，
商式为
m
m
(3)
( )
=1
(2)
2
5、综 合 练 习
一共有（ ）项
一、1、已知 x + y =10，xy=24，
则 x2 + y2 = ;
x2 + y2 = ( x + y )2– 2xy= 102– 2 ×24 = 52
52
2、已知 x + y =3， x2 + y2 =7，
则 xy = ;
3、已知 a + 2b =5， ab =2，
则 ( a – 2b )2 = ;
1
9
二、若 ( N + 2006 )2 =12 345 678，
求 ( N + 1996 )( N + 2016 ) 的值。
解：设 ( N + 2006 ) = M，则
( N + 1996 )( N + 2016 )
= ( N + 2006 – 10 )( N + 2006 + 10 )
= ( M – 10 )( M + 10 )
= M2– 102
= ( N + 2006 )2– 102
= 12345678 – 100
= 12345578
三、化陌生为熟悉，寻找会做的部分入手：
（1）如果(x2+ax+8)(x2-3x+b)的积中不含x2项和x3项，求a，b的值
（2）试说明了代数式（2x+3)(3x+2)-6x(x+3)
+5x+16的取值与x的取值无关
（3）已知a+b=-2,ab= - ,求a(a2-b2)-a(a+b)2的值
（4）求满足等式a2=b2+23的正整数a，b的值
