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4.1 因式分解（讲练互动）
姓名 班级 21cnjy
【要点预习】
1. 因式分解的概念
把一个 化成几个 的积的形式，叫做因式分解.
【讲练互动】
【例1】下列等式从左到右的变形是因式分解的是………………………………………( )
A．6a2b2＝3ab·2ab B．a－ay＝a(1－y)
C．2x2＋8x－1＝2x(x＋4)－1 D．(x＋1)(x－1)＝x2－1
【黑色陷阱】注意因式分解必须是对多项式的变形，且必须变形为几个整式的积的形式.
【变式训练】
1. 下列多项式从左到右的变形为分解因式的是 (填序号)
(1)(1－2x)(1＋2x)＝1－4x2；(2)9－6x＋x2＝(x－3)2；(3)2x2－6xy＋2＝2x(x－3y)＋2；
(4)ax－ay＋bx＋by＝a(x－y)＋b(x＋y)；(5)-x2y-xy-xy2=-xy(x+1+y).
【例2】检验下列因式分解是否正确：
(1)a3-a2+a=a(a2-a)；(2)-3x2+6x=-3 x(x+2)； (3) m2-2m-8=(m-4)(m+2).
【绿色通道】检验因式分解是否正确的方法是，看等式右边的几个整式的积与左边的多项式是否相等即可.
【变式训练】
2. 检验下列因式分解是否正确：
(1) (2)
【例3】计算下列各题，并说明你的算法：(1) ；(2)
【变式训练】
3.利用简便方法计算：(1)；(2)
参考答案
【例2】检验下列因式分解是否正确：
(1)a3-a2+a=a(a2-a)；(2)-3x2+6x=-3 x(x+2)； (3) m2-2m-8=(m-4)(m+2).
解：(1)∵a(a2-a)＝a3-a2≠a3-a2+a，∴因式分解a3-a2+a=a(a2-a)不正确.
(2)∵-3 x(x+2)= -3x2-6x≠-3x2+6x，∴因式分解-3x2+6x=-3 x(x+2)不正确.
(3)∵(m-4)(m+2)= m2-2m-8，∴因式分解m2-2m-8=(m-4)(m+2)正确.
【绿色通道】检验因式分解是否正确的方法是，看等式右边的几个整式的积与左边的多项式是否相等即可.
【变式训练】
2. 检验下列因式分解是否正确：
(1) (2)
答案：(1)不正确；(2)不正确.
【例3】计算下列各题，并说明你的算法：(1) ；(2)
解：(1)49+492＝49(49+1)＝2450. 利用了因式分解的变形方法.
(2) . 利用了因式分解的变形方法.
【变式训练】
3.利用简便方法计算：(1)；(2)
答案：(1)9.24 (2)692000
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新浙教版数学七年级（下）
4.1 因式分解
找回记忆 温故知新
做一做
计算下列各式:
3x(x-1)= _____
m(a+b+c)=____________
(m+4)(m-4)= ____
(y-3)2= _______
a(a+1)(a-1)=____
3x2-3x
m2-16
y2-6y+9
a3-a
ma+mb+mc
1.整式乘法有几种形式
2.乘法公式有哪些
(1)单项式乘以单项式
(2)单项式乘以多项式
(3)多项式乘以多项式
(1)平方差公式 (2)完全平方公式
想一想
回顾 & 思考
993–99能被100整除吗？
小明是这样做的：
∴993–99能被100整除.
逆用乘法分配律
逆用平方差公式
993–99还能被98、100 等数整数整除。
993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1)
=99× 9800
= 99×98×100
所以, 993-99能被100整除.
议一议：
你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。
探究新知 比较发现
a(a2-1)
a(a+1)(a-1)
Ⅰ、计算下列各式：
Ⅱ、根据左边算式填空：
积的形式
转化
和的形式
和的形式
转化
积的形式
整式乘法
叫什么运算？
把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
分解因式与整式乘法是互逆过程
理解 · 定义
分解因式
整式乘法
例1、下列由左边到右边的变形，哪些是分解因
式
范例讲解
1、下列由左边到右边的变形，哪些是分解因式？
为什么？
知识巩固
合作交流
2、20122–2012能被2011整除吗？为什么？
∴20122–2012能被2011整除。
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2) 2x(x-3y)=2x2-6xy
(3) (5a-1)2=25a2-10a+1
(4) x2+4x+4=(x+2)2
(5) (a-3)(a+3)=a2-9
(6) 5x2y-10xy2= 5xy(x-2y)
(7) 4m2-4m+1=4m(m-1)+1
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
整式乘法
不是因式分解
因式分解
x2-y2
9-25x2
x2+2x+1
xy-y2
(x+1)2
y(x-y)
(3-5x)(3+5x)
(x+y)(x-y)
（1）
（2）
（4）
（3）
（7）
（5）
（6）
是
不是
不是
不是
不是
不是
不是
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
多项式 几个整式的积
看谁算得快
(1)若a=1001，b=999，则a2-b2=_______；
(2)若a=99，b= -1，则a2-2ab+b2=_______；
(3)若x= -3，则20x2+60x=_______。
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(1001+999)(1001-999)=4000
(2)a2-2ab+b2=(a-b)2=(99+1)2 =10000
(3)20x2+60x= 20x(x+3)= 20×(-3)(-3+3)=0。
4000
10000
0
分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分接的结果一定是几个整式
的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
阅读 体验
再想一想？
如果2x +mx-2可分解因式为(2x+1)(x-2), 求m的值
解:由题意得: 2x +mx-2=(2x+1)(x-2)
∵ 2x +mx-2=2x -3x-2
∴对应项的系数相等，则 m= -3
若能x +ax+b分解成(x+3)(x-4)，求a，b的值。
若能x +nx-6分解成(x+3)(x+m)，求m，n的值。
a= -1，b= -12
m= -2，n=1
1. 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
2. 某工厂需加工一批零件,由甲、乙、丙三位工人共同完成，已知甲工人每天加工23个零件，乙工人每天加工19个零件，丙工人每天加工18个零件，三人需共同做12天才能做完，要加工的零件共有多少？
小结 因式分解
学习
目
标
1.理解因式分解的概念
2.会判定一个从左到右的恒等变形是不是因式分解
3.学会运用因式分解的方法来解题
重点：理解因式分解的概念
难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，
并运用它们之间的相互关系寻找因式分解的方法
关键点：会判定一个从左到右的恒等变形是不是因式
分 解的关键：左边必须是多项式，右边是几
个整式的积登陆21世纪教育 助您教考全无忧
4.1 因式分解（巩固练习）
姓名 班级
【要点预习】
1. 因式分解的概念
把一个 化成几个 的积的形式，叫做因式分解.
基础自测
1.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是…………………………………………( )
A.(x+1)(x-1)=x2-1 B. x2-2x+1=x(x-2)+1
C.a2-b2=(a+b)(a-b) D. mx+my+nx+ny=m(x+y)+n(x+y)
2.要使式子-3xy-6axy+12xyz=-3xy( )的左边与右边相等, 则括号内应填的式子为…( )
A. B. C. D.
3. ∵(a-2)2=a2-4a+4，∴a2-4a+4可以分解为 .
4.给出下列等式：①x(a-b)=ax-bx；② ax-bx = x(a-b) ；③x2-2x+1=(x-1)2；④m2+2mn+n2=m(m+2n) +n2.其中从左到右的变形属于因式分解的是 (填序号).
5. ∵(2a+b)( )=4a2-b2，∴4a2-b2＝( )( ).
6.检验下列因式分解是否正确：(1) x2+xy=x(x+y)；(2) a2-5a-24=(a+8)(a-3).
7.把左右两边相等的代数式用线连起来：
8.计算下列各题，并说明你的算法：(1)472+47×3；(2)869×27%+869×73%.
能力提升
9.下列因式分解正确的是…………………………………………………（ ）
A.4-x2+3x=(2-x)(2+x)+3x B. –x2+3x+4=-(x+4)(x-1)
C.1-4x+x2=(1-2x)2 D. x2y-xy+x3y=x(xy-y+x2y)
10.把分解因式得：，则c的值为…（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
11.利用简便方法计算：（说明：本题并未超前，基于两点原因：一是学生已有前面第3章的“平方差公式”的乘法公式的基础，逆用公式也是其较高层次的要求；二是本节的教材的作业题有类似的题目出现）
12.求代数式ma＋mb＋mc的值，其中m＝－25.6，a＝53.2，b＝66.4，c＝-19.6.
13.若代数式x2+ax+b能分解成(x+4)(x-7)，试求a，b的值.
创新应用
14.分解因式x2+ax+b甲看错a的值，分解的结果是(x+6)(x-1)，乙看错b值，分解的结果是(x-2)(x+1)，求a+b的值.
参考答案
7.把左右两边相等的代数式用线连起来：
答案：
8.计算下列各题，并说明你的算法：(1)472+47×3；(2)869×27%+869×73%.
答案：(1) 2350 (2)869
能力提升
9.下列因式分解正确的是…………………………………………………（ ）
A.4-x2+3x=(2-x)(2+x)+3x B. –x2+3x+4=-(x+4)(x-1)
C.1-4x+x2=(1-2x)2 D. x2y-xy+x3y=x(xy-y+x2y)
解析：选项A等式右边不是多项式积的形式；选项B，∵，∴因式分解–x2+3x+4=-(x+4)(x-1)不正确；选项C，∵，∴因式分解1-4x+x2=(1-2x)2不正确；选项D, =左边，∴因式分解x2y-xy+x3y=x(xy-y+x2y)正确 .
答案：C
10.把分解因式得：，则c的值为…（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
解析：∵(x+1)(x+2)=x2+3x+2，∴x2+3x+c=x2+3x+2，∴c=2.
答案：A
11.利用简便方法计算：（说明：本题并未超前，基于两点原因：一是学生已有前面第6章的“平方差公式”的乘法公式的基础，逆用公式也是其较高层次的要求；二是本节的教材的作业题B组第4题中有类似的题目出现）
分析：先逆用分配律，提出因数2进行因式分解变形；再逆用平方差公式进行因式分解变形.
解：原式＝2(7652-2352)=2(765+235)(765-235)=1 060 000.
12.求代数式ma＋mb＋mc的值，其中m＝－25.6，a＝53.2，b＝66.4，c＝-19.6.
分析：把原式因式分解为m(a＋b＋c)，代入得，－25.6×[53.2+66.4+(－19.6)]= －25.6×100=－2560.
答案：-25 600
13.若代数式x2+ax+b能分解成(x+4)(x-7)，试求a，b的值.
解：∵(x+4)(x-7)=x2-3x-28，∴x2+ax+b=x2-3x-28，∴a=-3，b=-28.
创新应用
14.分解因式x2+ax+b甲看错a的值，分解的结果是(x+6)(x-1)，乙看错b值，分解的结果是(x-2)(x+1)，求a+b的值.
分析：先将(x+6)(x-1)展开，由于甲看错a的值，故可求得b的值；再将(x-2)(x+1)展开，由于乙看错b值，故可求得a的值.
解：甲因式分解得x2+ax+b＝(x+6)(x-1)＝x2+5x-6，由于甲看错a的值，∴b=-6；
乙因式分解得x2+ax+b＝(x-2)(x+1)＝x2-x-2，由于乙看错b的值，∴a=-1. ∴a+b=-7.
a2-a
a2-16a+64
4-a2
-2a2+4a
(2+a)(2-a)
(8-a)2
a(a-1)
-2a(a-2)
a2-a
a2-16a+64
4-a2
-2a2+4a
(2+a)(2-a)
(8-a)2
a(a-1)
-2a(a-2)
a2-a
a2-16a+64
4-a2
-2a2+4a
(2+a)(2-a)
(8-a)2
a(a-1)
-2a(a-2)
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