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2022-2023学年浙教版数学七年级下册4.1 因式分解 同步练习
一、单选题
1．（2022七下·馆陶期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A．等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不合题意； ．
B．从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．y2- 2xy+ y=y(y- 2x+ 1)，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式变成乘积的形式逐项判断即可。
2．（2022七下·新晃期末）下列多项式能分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误；
B、x2y-xy+x=x（xy-y+1），故此选项正确；
C、x2+2xy-y2，无法分解因式，故此选项错误；
D、x2-8，无法在有理数范围内分解因式，故此选项错误.
故答案为：B．
【分析】A、不符合平方差公式特征“a2-b2=(a+b)(a-b)”，所以不能分解因式；
B、观察多项式，各项有公因式x，提公因式可分解因式；
C、不符合完全平方公式“a2+2ab+b2=（a+b）2”，所以不能分解因式；
D、在有理数范围内，不符合平方差公式特征“a2-b2=(a+b)(a-b)”，所以不能分解因式.
3．已知多项式 因式分解的结果为 . ，则abc为（ ）
A．12 B．9 C．-9 D．-12
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：由题意得，ax2+bx+c=（x-1）（x+4），
∴ax2+bx+c=x2+3x-4，
∴a=1，b=3，c=-4，
∴abc=1×3×（-4）=-12.
故答案为：D.
【分析】由题意可列等式为ax2+bx+c=（x-1）（x+4），整理得ax2+bx+c=x2+3x-4，再根据等式性质，求得a=1，b=3，c=-4，即可求出abc的值.
4．（2021七下·温州期末）在下列从左到右的变形中，不是因式分解的是（ ）
A．x2-x=x（x-1） B．x2+3x-1=x（x+3）-1
C．x2-y2=（x+y）（x-y） D．x2+2x+1=（x+1）2
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 x2-x=x（x-1）为提公因式法因式分解，故A不符合题意；
B、 x2+3x-1=x（x+3）-1不是因式分解，故B符合题意；
C、 x2-y2=（x+y）（x-y）为公式法因式分解，故C不符合题意；
D、 x2+2x+1=（x+1）2为公式法因式分解，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】运用因式分解的定义逐一判断即可.
5．（2021七下·桥西期末）对于① ，② ．从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：① ，属于因式分解；② ，属于整式乘法；
故答案为：C．
【分析】根据乘法运算和因式分解的定义，逐项判断即可。
6．（2021七下·慈溪期中）下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ）
①（p﹣2）（p+2）＝p2﹣4，②a2+2ab+b2﹣1＝a（a+2b）+（b+1）（b﹣1），③4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，④（a+b）（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（a+b﹣1）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：①（p﹣2）（p+2）＝p2﹣4，从左到右的变形是整式乘法，不合题意；
②4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，从左到右的变形是因式分解，符合题意；
③a2+2ab+b2﹣1＝a（a+2b）+（b+1）（b﹣1），从左到右的变形不符合因式分解的定义，不合题意
④（a+b）（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（a+b﹣1），从左到右的变形是因式分解，符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解定义"把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式"并结合各选项即可判断求解.
7．如果二次三项式x2+px﹣6可以分解为（x+q）（x﹣2），那么（p﹣q）2的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵（x+q）（x﹣2）=x2+（q﹣2）x﹣2q，
∴p=q﹣2，﹣2q=﹣6，
解得p=1，q=3，
∴（p﹣q）2=（1﹣3）2=4．
故答案为：C．
【分析】根据多项式的乘法运算，把（x+q）（x-2）展开，再根据对应项的系数相等进行求解即可.
8．若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵代数式x2+ax可以分解因式，
∴常数a不可以取0．
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义，就是将一个多项式分解为几个整式的积的形式，从而可知x2+ax能分解因式的话，必须是多项式，故a≠0，从而得出答案。
二、填空题
9．（2020七下·徐州期中）给出下列多项式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中能够因式分解的是： （填上序号）.
【答案】②④⑤⑥
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】① ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
② ，故可以因式分解；
③ ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
④ ，故可以因式分解；
⑤ ，故可以因式分解；
⑥ ，故可以因式分解；
综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案为：②④⑤⑥.
【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.
10．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=
【答案】15
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，
∴a=6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15．
故答案为：15．
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出a、b的值.
11．若因式分解的结果是，那么m=
【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的定义
【解析】【解答】解：将（x+）2展开得：x2+x+，
则与mx对应的项为：x．
所以m=1．
【分析】将（x+）2展开，找出和mx对应的项即可求出m的值．
12．如果x﹣3是多项式2x2﹣5x+m的一个因式，则m= ．
【答案】-3
【知识点】因式分解的定义；解一元一次方程
【解析】【解答】解：把x=3代入方程2x2﹣5x+m=0中得18﹣15+m=0，
解得：m=﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】x﹣3是多项式2x2﹣5x+m的一个因式，即方程2x2﹣5x+m=0的一个解是3，代入方程求出m的值．
13．当k= 时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）．
【答案】7
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵（x﹣4）（x﹣3）=x2﹣7x+12，
∴﹣k=﹣7，k=7．
故应填7．
【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式相乘展开，再利用对应项系数相等来求解．
三、解答题
14．下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．
（1）a（x+y）=ax+ay
（2）x2+2xy+y﹣1=x（x+2y）+（y+1）（y﹣1）
（3）ax2﹣9a=a（x+3）（x﹣3）
（4）x2+2+=
（5）2a3=2a a a．
【答案】解：（1）是整式的乘法，故（1）不是因式分解；
（2）没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（2）不是因式分解；
（3）一个多项式转化成几个整式积的形式，故（3）是因式分解；
（4）没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（4）不是因式分解；
（5）乘方的意义，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（5）不是因式分解．
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
四、综合题
15．
（1） ，这种从左到右的变形是 ；
（2） ，这种从左到右的变形是 .
（3）依据因式分解的意义，因为 ，所以 因式分解的结果是 .
【答案】（1）因式分解
（2）整式的乘法
（3）(x+2y)(x-2y)
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】(1)∵左式是一个多项式，右式是两个因式的乘积，
∴该变形是：因式分解.
(2)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴该变形是：整式的乘法.
(3)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴根据因式分解的意义， 因式分解的结果是：(x+2y)(x-2y) .
【分析】(1)将一个多项式化为几个整式的积的形式的这种变形叫因式分解，从而得出因式分解的有两个条件：等号右边必须是整式的积的形式，二、必须是整式；则可解答.
(2)整式的乘法与因式分解是相反的过程，依此即可得出结论；
(3)根据因式分解的定义，即可作答.
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2022-2023学年浙教版数学七年级下册4.1 因式分解 同步练习
一、单选题
1．（2022七下·馆陶期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022七下·新晃期末）下列多项式能分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知多项式 因式分解的结果为 . ，则abc为（ ）
A．12 B．9 C．-9 D．-12
4．（2021七下·温州期末）在下列从左到右的变形中，不是因式分解的是（ ）
A．x2-x=x（x-1） B．x2+3x-1=x（x+3）-1
C．x2-y2=（x+y）（x-y） D．x2+2x+1=（x+1）2
5．（2021七下·桥西期末）对于① ，② ．从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
6．（2021七下·慈溪期中）下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ）
①（p﹣2）（p+2）＝p2﹣4，②a2+2ab+b2﹣1＝a（a+2b）+（b+1）（b﹣1），③4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，④（a+b）（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（a+b﹣1）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如果二次三项式x2+px﹣6可以分解为（x+q）（x﹣2），那么（p﹣q）2的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
8．若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
二、填空题
9．（2020七下·徐州期中）给出下列多项式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中能够因式分解的是： （填上序号）.
10．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=
11．若因式分解的结果是，那么m=
12．如果x﹣3是多项式2x2﹣5x+m的一个因式，则m= ．
13．当k= 时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）．
三、解答题
14．下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．
（1）a（x+y）=ax+ay
（2）x2+2xy+y﹣1=x（x+2y）+（y+1）（y﹣1）
（3）ax2﹣9a=a（x+3）（x﹣3）
（4）x2+2+=
（5）2a3=2a a a．
四、综合题
15．
（1） ，这种从左到右的变形是 ；
（2） ，这种从左到右的变形是 .
（3）依据因式分解的意义，因为 ，所以 因式分解的结果是 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A．等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不合题意； ．
B．从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．y2- 2xy+ y=y(y- 2x+ 1)，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式变成乘积的形式逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误；
B、x2y-xy+x=x（xy-y+1），故此选项正确；
C、x2+2xy-y2，无法分解因式，故此选项错误；
D、x2-8，无法在有理数范围内分解因式，故此选项错误.
故答案为：B．
【分析】A、不符合平方差公式特征“a2-b2=(a+b)(a-b)”，所以不能分解因式；
B、观察多项式，各项有公因式x，提公因式可分解因式；
C、不符合完全平方公式“a2+2ab+b2=（a+b）2”，所以不能分解因式；
D、在有理数范围内，不符合平方差公式特征“a2-b2=(a+b)(a-b)”，所以不能分解因式.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：由题意得，ax2+bx+c=（x-1）（x+4），
∴ax2+bx+c=x2+3x-4，
∴a=1，b=3，c=-4，
∴abc=1×3×（-4）=-12.
故答案为：D.
【分析】由题意可列等式为ax2+bx+c=（x-1）（x+4），整理得ax2+bx+c=x2+3x-4，再根据等式性质，求得a=1，b=3，c=-4，即可求出abc的值.
4．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 x2-x=x（x-1）为提公因式法因式分解，故A不符合题意；
B、 x2+3x-1=x（x+3）-1不是因式分解，故B符合题意；
C、 x2-y2=（x+y）（x-y）为公式法因式分解，故C不符合题意；
D、 x2+2x+1=（x+1）2为公式法因式分解，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】运用因式分解的定义逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：① ，属于因式分解；② ，属于整式乘法；
故答案为：C．
【分析】根据乘法运算和因式分解的定义，逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：①（p﹣2）（p+2）＝p2﹣4，从左到右的变形是整式乘法，不合题意；
②4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，从左到右的变形是因式分解，符合题意；
③a2+2ab+b2﹣1＝a（a+2b）+（b+1）（b﹣1），从左到右的变形不符合因式分解的定义，不合题意
④（a+b）（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（a+b﹣1），从左到右的变形是因式分解，符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解定义"把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式"并结合各选项即可判断求解.
7．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵（x+q）（x﹣2）=x2+（q﹣2）x﹣2q，
∴p=q﹣2，﹣2q=﹣6，
解得p=1，q=3，
∴（p﹣q）2=（1﹣3）2=4．
故答案为：C．
【分析】根据多项式的乘法运算，把（x+q）（x-2）展开，再根据对应项的系数相等进行求解即可.
8．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵代数式x2+ax可以分解因式，
∴常数a不可以取0．
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义，就是将一个多项式分解为几个整式的积的形式，从而可知x2+ax能分解因式的话，必须是多项式，故a≠0，从而得出答案。
9．【答案】②④⑤⑥
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】① ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
② ，故可以因式分解；
③ ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
④ ，故可以因式分解；
⑤ ，故可以因式分解；
⑥ ，故可以因式分解；
综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案为：②④⑤⑥.
【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.
10．【答案】15
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，
∴a=6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15．
故答案为：15．
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出a、b的值.
11．【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的定义
【解析】【解答】解：将（x+）2展开得：x2+x+，
则与mx对应的项为：x．
所以m=1．
【分析】将（x+）2展开，找出和mx对应的项即可求出m的值．
12．【答案】-3
【知识点】因式分解的定义；解一元一次方程
【解析】【解答】解：把x=3代入方程2x2﹣5x+m=0中得18﹣15+m=0，
解得：m=﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】x﹣3是多项式2x2﹣5x+m的一个因式，即方程2x2﹣5x+m=0的一个解是3，代入方程求出m的值．
13．【答案】7
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵（x﹣4）（x﹣3）=x2﹣7x+12，
∴﹣k=﹣7，k=7．
故应填7．
【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式相乘展开，再利用对应项系数相等来求解．
14．【答案】解：（1）是整式的乘法，故（1）不是因式分解；
（2）没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（2）不是因式分解；
（3）一个多项式转化成几个整式积的形式，故（3）是因式分解；
（4）没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（4）不是因式分解；
（5）乘方的意义，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（5）不是因式分解．
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
15．【答案】（1）因式分解
（2）整式的乘法
（3）(x+2y)(x-2y)
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】(1)∵左式是一个多项式，右式是两个因式的乘积，
∴该变形是：因式分解.
(2)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴该变形是：整式的乘法.
(3)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴根据因式分解的意义， 因式分解的结果是：(x+2y)(x-2y) .
【分析】(1)将一个多项式化为几个整式的积的形式的这种变形叫因式分解，从而得出因式分解的有两个条件：等号右边必须是整式的积的形式，二、必须是整式；则可解答.
(2)整式的乘法与因式分解是相反的过程，依此即可得出结论；
(3)根据因式分解的定义，即可作答.
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