2022-2023学年浙教版数学七年级下册4.2 提取公因式 同步练习
一、单选题
1．（2022八上·莱州期中）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：多项式的公因式是．
故答案为：A．
【分析】利用公因式的定义求解即可。
2．（2022八下·甘孜期末）把多项式分解因式，结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】观察发现含有公因式a，直接提取公因式即可对原式进行分解.
3．（2022八下·山亭期末）下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A．ax﹣bx和by﹣ay B．3x﹣9xy和6y2﹣2y
C．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b2
【答案】D
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：A、ax﹣bx＝x（a﹣b）和by﹣ay＝﹣y（a﹣b），故两多项式的公因式为：a﹣b，故此选项不合题意；
B、3x﹣9xy＝3x（1﹣3y）和6y2﹣2y＝﹣2y（1﹣3y），故两多项式的公因式为：1﹣3y，故此选项不合题意；
C、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）和x﹣y，故两多项式的公因式为：x﹣y，故此选项不合题意；
D、a+b和a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据公因式的定义求解即可。
4．（2022七下·淮北期末）把提取公因式后，则另一个因式是（ ）
A． B． C．m D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】，
∴另一个因式为（1-m），
故答案为：A．
【分析】 提取公因式剩下的因式想减，注意符号的变化.
5．（2022七下·浙江期中）多项式x3 - 5x2 - 3x - k中，有一个因式为（x - 5），则常数k的值为（ ）
A．- 15 B．15 C．- 3 D．3
【答案】A
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵多项式x3-5x2-3x-k有一个因式为（x - 5），
∴x3-5x2-3x-k=（x3-5x2）-（3x+k）=x2（x-5）-3（x-5）=（x-5）（x2-3），
∴k=-15.
故答案为：A.
【分析】根据多项式中有一个因式为x-5，把多项式变形为（x-5）（x2-3），即可求出k的值.
6．已知 ，则 的值为（ ）
A． B．-2 C． D．2
【答案】D
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
故答案为：D.
【分析】先将x2y-xy2提取公因式得xy（x-y），再将x-y=1合xy=2代入求值即可.
7．多项式 ，其中a为整数.下列说法正确的是（ ）
A．若公因式为3x，则
B．若公因式为5x，则
C．若公因式为3x，则 ( k为整数)
D．若公因式为5x，则 ( k 为整数)
【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】A、当a=4时，则原式=9x2+3x，公因式为3x，错误；
B、 多项式 ，∵3x没有因数5，∴a取任何数，原式不可能有5x，错误；
C、 若公因式为3x，则 ( k 为整数) ，2a+1=6k+2+1=6k+3，∴原式有公因式3x，正确；
D、 若公因式为5x，则 ，2a+1=10k+2+1=10k+3，∴原式没有公因式3x，错误.
故答案为：C.
【分析】 一个因式能同时整除几个多项式，这个因式叫做这几个多项式的公因式，根据题意分别分析，即可判断.
8．若 可分解因式为 ，则 等于（ ）
A．2xy B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=4x3y2-6x2y3+2x2y2
= ，
∴M=2x2y2 .
故答案为：B.
【分析】先进行单项式乘多项式的运算，再根据恒等的关系求M的代数式即可.
9．（2021八上·泰安期中）计算-22021+(-2)2020所得的结果是（ ）
A．-22020 B．-2 2021 C．22020 D．-2
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；因式分解﹣提公因式法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：-22021+（-2）2020=-2×22020+22020=22020×（-2+1）=-22020.
故答案为：A.
【分析】根据乘方的运算法则把原式变形为-2×22020+22020，再提公因式得出原式=22020×（-2+1），即可得出答案.
10．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
二、填空题
11．（2022七上·嘉定期中）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】提取公因式3x即可得到答案。
12．（2022七下·惠山期中）多项式分解因式时所提取的公因式是 .
【答案】
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：由题意可知：多项式分解因式时所提取的公因式是.
故答案为：.
【分析】取各单项式系数的最小公约数与字母因式的最低次幂的积，这样的式子为公因式.
13．设 ，则 与 的关系是 .
【答案】P=Q
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ∵
=
= ，
.
∴P=Q.
故答案为：P=Q.
【分析】利用提取公因式将Q分解因式，对P在括号前添加负号，再比较结果，即可作答.
14．若 ，则 ， .
【答案】ab；a2
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
∴，M=ab，
∴N= a3b÷ ab=a2.
故答案为：ab，a2.
【分析】先进行整式的乘法运算将右式展开，然后根据恒等的关系分别列等式求解，即可求出结果.
15．多项式
提出公因式
后，另外一个因式为 .
【答案】a-b-c
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a（a-b-c）+b（c-a+b）+c（b+c-a），
=a（a-b-c）-b（a-b-c）-c（a-b-c），
=（a-b-c）2.
故答案为：a-b-c.
【分析】利用提公因式法进行因式分解，即可得出答案.
16．（2015九上·句容竞赛）若x+y= —1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 。
【答案】1
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
【分析】对式子进行分解因式，出现（x+y),用-1代换，化简结果为1.
三、综合题
17．用提公因式法分解因式:
（1）6m2n-15n2m+30m2n2;
（2）-4x3+16x2-26x;
（3）x(x+y)+y(x+y).
【答案】（1）原式=3mn(2m-5n+10mn);
（2）原式=-2x(2x2-8x+13);
（3）原式=(x+y)(x+y)=(x+y)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）观察此多项式，每一项都含有公因式3mn，因此提取公因式即可。
（2）观察此多项式，每一项都含有公因式-2x，因此提取公因式即可。
（3）观察此多项式，每一项都含有公因式（x+y），因此提取公因式即可。
18．综合题。
（1）﹣12x12y3和8x10y6的公因式是
（2）﹣xy2（x+y）3和x（x+y）2的公因式是
（3）﹣6xyz+3xy2﹣9x2y的公因式是
（4）多项式18xn+1﹣24xn的公因式是 ．
【答案】（1）4x10y3
（2）x（x+y）2
（3）3xy
（4）6xn
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：（1））﹣12x12y3和8x10y6的公因式是4x10y3；（2）﹣xy2（x+y）3和x（x+y）2的公因式是x（x+y）2；（3）﹣6xyz+3xy2﹣9x2y的公因式是3xy；（4）多项式18xn+1﹣24xn的公因式是6xn；故答案为：4x10y3；x（x+y）2；3xy；6xn；
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式．
19．（2015七下·茶陵期中）先化简，再求值：
（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．
（2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1．
【答案】（1）解：原式=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，
当a+b=2，ab=2时，原式=2×22=8
（2）解：原式=4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2）
=5x2﹣5y2，
当x=2，y=1时，原式=5×22﹣5×12=15
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案；（2）根据平方差公式，可化简整式，根据代数式求值，可得答案．
1 / 12022-2023学年浙教版数学七年级下册4.2 提取公因式 同步练习
一、单选题
1．（2022八上·莱州期中）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八下·甘孜期末）把多项式分解因式，结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022八下·山亭期末）下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A．ax﹣bx和by﹣ay B．3x﹣9xy和6y2﹣2y
C．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b2
4．（2022七下·淮北期末）把提取公因式后，则另一个因式是（ ）
A． B． C．m D．
5．（2022七下·浙江期中）多项式x3 - 5x2 - 3x - k中，有一个因式为（x - 5），则常数k的值为（ ）
A．- 15 B．15 C．- 3 D．3
6．已知 ，则 的值为（ ）
A． B．-2 C． D．2
7．多项式 ，其中a为整数.下列说法正确的是（ ）
A．若公因式为3x，则
B．若公因式为5x，则
C．若公因式为3x，则 ( k为整数)
D．若公因式为5x，则 ( k 为整数)
8．若 可分解因式为 ，则 等于（ ）
A．2xy B． C． D．
9．（2021八上·泰安期中）计算-22021+(-2)2020所得的结果是（ ）
A．-22020 B．-2 2021 C．22020 D．-2
10．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
二、填空题
11．（2022七上·嘉定期中）分解因式： ．
12．（2022七下·惠山期中）多项式分解因式时所提取的公因式是 .
13．设 ，则 与 的关系是 .
14．若 ，则 ， .
15．多项式
提出公因式
后，另外一个因式为 .
16．（2015九上·句容竞赛）若x+y= —1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 。
三、综合题
17．用提公因式法分解因式:
（1）6m2n-15n2m+30m2n2;
（2）-4x3+16x2-26x;
（3）x(x+y)+y(x+y).
18．综合题。
（1）﹣12x12y3和8x10y6的公因式是
（2）﹣xy2（x+y）3和x（x+y）2的公因式是
（3）﹣6xyz+3xy2﹣9x2y的公因式是
（4）多项式18xn+1﹣24xn的公因式是 ．
19．（2015七下·茶陵期中）先化简，再求值：
（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．
（2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：多项式的公因式是．
故答案为：A．
【分析】利用公因式的定义求解即可。
2．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】观察发现含有公因式a，直接提取公因式即可对原式进行分解.
3．【答案】D
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：A、ax﹣bx＝x（a﹣b）和by﹣ay＝﹣y（a﹣b），故两多项式的公因式为：a﹣b，故此选项不合题意；
B、3x﹣9xy＝3x（1﹣3y）和6y2﹣2y＝﹣2y（1﹣3y），故两多项式的公因式为：1﹣3y，故此选项不合题意；
C、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）和x﹣y，故两多项式的公因式为：x﹣y，故此选项不合题意；
D、a+b和a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据公因式的定义求解即可。
4．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】，
∴另一个因式为（1-m），
故答案为：A．
【分析】 提取公因式剩下的因式想减，注意符号的变化.
5．【答案】A
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵多项式x3-5x2-3x-k有一个因式为（x - 5），
∴x3-5x2-3x-k=（x3-5x2）-（3x+k）=x2（x-5）-3（x-5）=（x-5）（x2-3），
∴k=-15.
故答案为：A.
【分析】根据多项式中有一个因式为x-5，把多项式变形为（x-5）（x2-3），即可求出k的值.
6．【答案】D
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
故答案为：D.
【分析】先将x2y-xy2提取公因式得xy（x-y），再将x-y=1合xy=2代入求值即可.
7．【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】A、当a=4时，则原式=9x2+3x，公因式为3x，错误；
B、 多项式 ，∵3x没有因数5，∴a取任何数，原式不可能有5x，错误；
C、 若公因式为3x，则 ( k 为整数) ，2a+1=6k+2+1=6k+3，∴原式有公因式3x，正确；
D、 若公因式为5x，则 ，2a+1=10k+2+1=10k+3，∴原式没有公因式3x，错误.
故答案为：C.
【分析】 一个因式能同时整除几个多项式，这个因式叫做这几个多项式的公因式，根据题意分别分析，即可判断.
8．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=4x3y2-6x2y3+2x2y2
= ，
∴M=2x2y2 .
故答案为：B.
【分析】先进行单项式乘多项式的运算，再根据恒等的关系求M的代数式即可.
9．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；因式分解﹣提公因式法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：-22021+（-2）2020=-2×22020+22020=22020×（-2+1）=-22020.
故答案为：A.
【分析】根据乘方的运算法则把原式变形为-2×22020+22020，再提公因式得出原式=22020×（-2+1），即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】提取公因式3x即可得到答案。
12．【答案】
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：由题意可知：多项式分解因式时所提取的公因式是.
故答案为：.
【分析】取各单项式系数的最小公约数与字母因式的最低次幂的积，这样的式子为公因式.
13．【答案】P=Q
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ∵
=
= ，
.
∴P=Q.
故答案为：P=Q.
【分析】利用提取公因式将Q分解因式，对P在括号前添加负号，再比较结果，即可作答.
14．【答案】ab；a2
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
∴，M=ab，
∴N= a3b÷ ab=a2.
故答案为：ab，a2.
【分析】先进行整式的乘法运算将右式展开，然后根据恒等的关系分别列等式求解，即可求出结果.
15．【答案】a-b-c
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a（a-b-c）+b（c-a+b）+c（b+c-a），
=a（a-b-c）-b（a-b-c）-c（a-b-c），
=（a-b-c）2.
故答案为：a-b-c.
【分析】利用提公因式法进行因式分解，即可得出答案.
16．【答案】1
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
【分析】对式子进行分解因式，出现（x+y),用-1代换，化简结果为1.
17．【答案】（1）原式=3mn(2m-5n+10mn);
（2）原式=-2x(2x2-8x+13);
（3）原式=(x+y)(x+y)=(x+y)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）观察此多项式，每一项都含有公因式3mn，因此提取公因式即可。
（2）观察此多项式，每一项都含有公因式-2x，因此提取公因式即可。
（3）观察此多项式，每一项都含有公因式（x+y），因此提取公因式即可。
18．【答案】（1）4x10y3
（2）x（x+y）2
（3）3xy
（4）6xn
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：（1））﹣12x12y3和8x10y6的公因式是4x10y3；（2）﹣xy2（x+y）3和x（x+y）2的公因式是x（x+y）2；（3）﹣6xyz+3xy2﹣9x2y的公因式是3xy；（4）多项式18xn+1﹣24xn的公因式是6xn；故答案为：4x10y3；x（x+y）2；3xy；6xn；
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式．
19．【答案】（1）解：原式=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，
当a+b=2，ab=2时，原式=2×22=8
（2）解：原式=4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2）
=5x2﹣5y2，
当x=2，y=1时，原式=5×22﹣5×12=15
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案；（2）根据平方差公式，可化简整式，根据代数式求值，可得答案．
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