2022-2023学年浙教版数学七年级下册4.3 用乘法公式分解因式 同步练习
一、单选题
1．（2022七下·娄星期末）如果是一个完全平方式，则为（ ）
A．1 B． C．-1 D．4
2．（2022七下·海曙期末）若代数式 通过变形可以写成 的形式，则m的值是（ ）
A．5 B．10 C．±5 D．±10
3．（2022七下·安庆期末）将进行因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022七下·苏州期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022七下·杭州期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022七下·杭州月考）若x2＋2(2p－3)x＋4是完全平方式，则p的值等于（ ）
A． B．2 C．2或1 D． 或
7．（2022七下·忻城期中）添加一项，能使多项式 构成完全平方式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022七下·北仑期中）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
①②③④⑤⑥⑦
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
9．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解且分解彻底的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021七下·余姚竞赛）已知 加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式① ， ② ， ③ 1 ， ④ ，其中满足条件的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．（2022七下·上虞期末）已知是一个完全平方式，那么 ．
12．（2022七下·门头沟期末）学完因式分解后，小亮同学总结出了因式分解的流程图，如图，
下面是小亮同学的因式分解过程：
①
②
____ ③
回答下面的问题：
（1）①完成了上面流程图的第 步；
（2）②完成了上面流程图的第 步；
（3）将③的结果写在横线上 ．
13．（2022七下·绍兴期中）分解因式
14．（2020七下·江阴期中）多项式 加上一个单项式后，可化为一个整式的平方，则这个单项式是 .（写一个即可）
三、综合题
15．（2022七下·姜堰期中）因式分解：
（1）4x2-64
（2）2x3y+4x2y2+2xy3
16．（2022七下·馆陶期末）下面是嘉淇同学把多项式分解因式的具体步骤：
利用加法交换律变形：
第一步
提取公因式：
第二步
逆用积的乘方公式
…． 第三步
运用平方差公式因式分____
……第四步
（1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 ；
（2）请给出这个问题的正确解法．
17．阅读理解：
对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式 ，就不能直接用公式法了.
我们可以求用这样的方法：在二次三项式 中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去 这项，使整个式了的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.
（1）问题解决：请用上述方法将二次三项式x2＋2ax—3a2分解因式；
（2）拓展应用：二次三项式x2-4x＋5有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴，
解得．
故答案为：B.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可得k=±2×1×，计算即可.
2．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： ∵ ，
∴，
∴m=2n，n2=25，
∴m=2n=±10，
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式得出，然后比较每项的系数，分别列出等式，先求出n值，则可解答.
3．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
故答案为：C．
【分析】利用提公因式法和平方差公式因式分解即可。
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A. ，不能用完全平方公式进行因式分解；
B. ，不能用完全平方公式进行因式分解；
C. ，能用完全平方公式进行因式分解；
D. ，不能用完全平方公式进行因式分解；
故答案为：C.
【分析】完全平方公式可表示为(a±b)2=a2±2ab+b2，据此判断.
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：、，两项的符号相同，无法分解因式，不合题意；
B、，两项的符号相同，无法分解因式，不合题意；
C、，两项的符号相同，无法分解因式，不合题意；
D、，符合题意.
故答案为：D.
【分析】能用平方差公式分解因式的二项式满足：①两项的符号相反，②每一项都能写成一个整式的完全平方，据此一一判断得出答案.
6．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵ x2＋2(2p－3)x＋4是完全平方式，
∴ x2＋2(2p－3)x＋4=（x±2）2= x2±4x＋4，
∴2(2p－3)=±4
解之：p= 或 .
故答案为：D.
【分析】利用已知x2＋2(2p－3)x＋4是完全平方式，可得到 x2＋2(2p－3)x＋4= x2±4x＋4，根据对应项的系数相等，可得到关于p的方程，解方程求出p的值.
7．【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：A、 是完全平方式，故A符合题意；
B、 不是完全平方式，故B不符合题意；
C、 不是完全平方式，故C不符合题意；
D、 不是完全平方式，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】完全平方公式可表示为(a±b)2=a2±2ab+b2，据此判断.
8．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）可用平方差公式分解为 ；
（2）不能用平方差公式分解；
（3）可用平方差公式分解为 ；
（4）可用平方差公式分解为-4am；
（5）可用平方差公式分解为 ；
（6）可用完全平方公式分解为 ；
（7）不能用完全平方公式分解；
能运用公式法分解因式的有5个.
故答案为：B.
【分析】平方差公式可表示为a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式可表示为a2±2ab+b2=(a±b)2，据此判断.
9．【答案】A
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、a3+2a2+a=a（a2+2a+1）=a（a+1）2，是因式分解且彻底分解，A符合题意；
B、a（a-b）=a2-ab，是单项式乘以多项式，不是因式分解，B不符合题意；
C、x4-1=（x2+1）（x2-1）=（x2+1）（x-1）（x+1），未分解彻底，C不符合题意；
D、ax2-abx+a=a(x2-bx)+a，不是因式分解，D不符合题意.
故答案未：A.
【分析】 根据因式分解定义，将多项式化为几个因式的乘积的形式，即可判断B选项和D选项不符合；x2-1可利用平方差公式继续因式分解，因此C选项未彻底分解，据此判断即可得出正确答案.
10．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： ∵ + =， 故① 正确；
∵ ，不能构成完全平方，故 ② 不正确；
∵ -1== ，故 ③ 正确；
∵ + =，故 ④ 正确；
∴满足条件得共有3个；
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式的特点逐个进行判断，即可得出结果。
11．【答案】±3
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵a2+2kab+9b2是一个完全平方式，
∴2kab=±2·a·3b
，
解得.
故答案为：±3.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可得2k=±2×3，计算即可.
12．【答案】（1）三
（2）四
（3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：(1)按照小亮的流程图进行因式分解，①完成了上面流程图的第三步；
故答案为：三；
(2)按照小亮的流程图进行因式分解，②完成了上面流程图的第四步；
故答案为：四；
(3)
故答案为：．
【分析】（1）根据流程图的步骤求解即可；
（2）根据流程图的步骤求解即可；
（3）利用完全平方公式可得答案。
13．【答案】（a-b）（x-2y）（x+2y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=（a-b）（x2-4y2）=（a-b）（x-2y）（x+2y）.
故答案为：（a-b）（x-2y）（x+2y）.
【分析】先提取公因式a-b，然后利用平方差公式即可.
14．【答案】-4a2或-9或12a或-12a
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：完全平方公式是指： .
；
；
；
.
故答案为：-4a2或-9或12a或-12a.
【分析】一个式子能写成一个整式的完全平方，这个式子可以是多项式，也可以是单项式，从而分两种情况考虑，当这个式子是多项式的时候，应该是一个三项式，该三项式中有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项可以写成两完全平方项底数乘积的2倍，符号可加可减，从而即可解决问题。
15．【答案】（1）解：4x2-64
＝4（x2-16）
＝4（x+4）（x－4）
（2）解：2x3y+4x2y2+2xy3
＝
＝
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可；
（2）先提取公因式2xy，再利用完全平方公式分解即可.
16．【答案】（1）解：公因式没有提取完
（2）解：．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】（1）解：（1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是公因式没有提取完；故答案为：公因式没有提取完；
【分析】利用因式分解的步骤判断求解即可。
17．【答案】（1）解：
（2）解：有最小值.理由如下：
，
∴二次三项式 有最小值，最小值为1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】(1)先将x2 +2ax进行配方，将其配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
(2)先将x2-4x进行配方，将其配成完全平方式，然后根据完全平方式的非负性，求最小值即可.
1 / 12022-2023学年浙教版数学七年级下册4.3 用乘法公式分解因式 同步练习
一、单选题
1．（2022七下·娄星期末）如果是一个完全平方式，则为（ ）
A．1 B． C．-1 D．4
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴，
解得．
故答案为：B.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可得k=±2×1×，计算即可.
2．（2022七下·海曙期末）若代数式 通过变形可以写成 的形式，则m的值是（ ）
A．5 B．10 C．±5 D．±10
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： ∵ ，
∴，
∴m=2n，n2=25，
∴m=2n=±10，
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式得出，然后比较每项的系数，分别列出等式，先求出n值，则可解答.
3．（2022七下·安庆期末）将进行因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
故答案为：C．
【分析】利用提公因式法和平方差公式因式分解即可。
4．（2022七下·苏州期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A. ，不能用完全平方公式进行因式分解；
B. ，不能用完全平方公式进行因式分解；
C. ，能用完全平方公式进行因式分解；
D. ，不能用完全平方公式进行因式分解；
故答案为：C.
【分析】完全平方公式可表示为(a±b)2=a2±2ab+b2，据此判断.
5．（2022七下·杭州期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：、，两项的符号相同，无法分解因式，不合题意；
B、，两项的符号相同，无法分解因式，不合题意；
C、，两项的符号相同，无法分解因式，不合题意；
D、，符合题意.
故答案为：D.
【分析】能用平方差公式分解因式的二项式满足：①两项的符号相反，②每一项都能写成一个整式的完全平方，据此一一判断得出答案.
6．（2022七下·杭州月考）若x2＋2(2p－3)x＋4是完全平方式，则p的值等于（ ）
A． B．2 C．2或1 D． 或
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵ x2＋2(2p－3)x＋4是完全平方式，
∴ x2＋2(2p－3)x＋4=（x±2）2= x2±4x＋4，
∴2(2p－3)=±4
解之：p= 或 .
故答案为：D.
【分析】利用已知x2＋2(2p－3)x＋4是完全平方式，可得到 x2＋2(2p－3)x＋4= x2±4x＋4，根据对应项的系数相等，可得到关于p的方程，解方程求出p的值.
7．（2022七下·忻城期中）添加一项，能使多项式 构成完全平方式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：A、 是完全平方式，故A符合题意；
B、 不是完全平方式，故B不符合题意；
C、 不是完全平方式，故C不符合题意；
D、 不是完全平方式，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】完全平方公式可表示为(a±b)2=a2±2ab+b2，据此判断.
8．（2022七下·北仑期中）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
①②③④⑤⑥⑦
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）可用平方差公式分解为 ；
（2）不能用平方差公式分解；
（3）可用平方差公式分解为 ；
（4）可用平方差公式分解为-4am；
（5）可用平方差公式分解为 ；
（6）可用完全平方公式分解为 ；
（7）不能用完全平方公式分解；
能运用公式法分解因式的有5个.
故答案为：B.
【分析】平方差公式可表示为a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式可表示为a2±2ab+b2=(a±b)2，据此判断.
9．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解且分解彻底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、a3+2a2+a=a（a2+2a+1）=a（a+1）2，是因式分解且彻底分解，A符合题意；
B、a（a-b）=a2-ab，是单项式乘以多项式，不是因式分解，B不符合题意；
C、x4-1=（x2+1）（x2-1）=（x2+1）（x-1）（x+1），未分解彻底，C不符合题意；
D、ax2-abx+a=a(x2-bx)+a，不是因式分解，D不符合题意.
故答案未：A.
【分析】 根据因式分解定义，将多项式化为几个因式的乘积的形式，即可判断B选项和D选项不符合；x2-1可利用平方差公式继续因式分解，因此C选项未彻底分解，据此判断即可得出正确答案.
10．（2021七下·余姚竞赛）已知 加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式① ， ② ， ③ 1 ， ④ ，其中满足条件的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： ∵ + =， 故① 正确；
∵ ，不能构成完全平方，故 ② 不正确；
∵ -1== ，故 ③ 正确；
∵ + =，故 ④ 正确；
∴满足条件得共有3个；
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式的特点逐个进行判断，即可得出结果。
二、填空题
11．（2022七下·上虞期末）已知是一个完全平方式，那么 ．
【答案】±3
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵a2+2kab+9b2是一个完全平方式，
∴2kab=±2·a·3b
，
解得.
故答案为：±3.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可得2k=±2×3，计算即可.
12．（2022七下·门头沟期末）学完因式分解后，小亮同学总结出了因式分解的流程图，如图，
下面是小亮同学的因式分解过程：
①
②
____ ③
回答下面的问题：
（1）①完成了上面流程图的第 步；
（2）②完成了上面流程图的第 步；
（3）将③的结果写在横线上 ．
【答案】（1）三
（2）四
（3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：(1)按照小亮的流程图进行因式分解，①完成了上面流程图的第三步；
故答案为：三；
(2)按照小亮的流程图进行因式分解，②完成了上面流程图的第四步；
故答案为：四；
(3)
故答案为：．
【分析】（1）根据流程图的步骤求解即可；
（2）根据流程图的步骤求解即可；
（3）利用完全平方公式可得答案。
13．（2022七下·绍兴期中）分解因式
【答案】（a-b）（x-2y）（x+2y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=（a-b）（x2-4y2）=（a-b）（x-2y）（x+2y）.
故答案为：（a-b）（x-2y）（x+2y）.
【分析】先提取公因式a-b，然后利用平方差公式即可.
14．（2020七下·江阴期中）多项式 加上一个单项式后，可化为一个整式的平方，则这个单项式是 .（写一个即可）
【答案】-4a2或-9或12a或-12a
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：完全平方公式是指： .
；
；
；
.
故答案为：-4a2或-9或12a或-12a.
【分析】一个式子能写成一个整式的完全平方，这个式子可以是多项式，也可以是单项式，从而分两种情况考虑，当这个式子是多项式的时候，应该是一个三项式，该三项式中有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项可以写成两完全平方项底数乘积的2倍，符号可加可减，从而即可解决问题。
三、综合题
15．（2022七下·姜堰期中）因式分解：
（1）4x2-64
（2）2x3y+4x2y2+2xy3
【答案】（1）解：4x2-64
＝4（x2-16）
＝4（x+4）（x－4）
（2）解：2x3y+4x2y2+2xy3
＝
＝
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可；
（2）先提取公因式2xy，再利用完全平方公式分解即可.
16．（2022七下·馆陶期末）下面是嘉淇同学把多项式分解因式的具体步骤：
利用加法交换律变形：
第一步
提取公因式：
第二步
逆用积的乘方公式
…． 第三步
运用平方差公式因式分____
……第四步
（1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 ；
（2）请给出这个问题的正确解法．
【答案】（1）解：公因式没有提取完
（2）解：．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】（1）解：（1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是公因式没有提取完；故答案为：公因式没有提取完；
【分析】利用因式分解的步骤判断求解即可。
17．阅读理解：
对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式 ，就不能直接用公式法了.
我们可以求用这样的方法：在二次三项式 中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去 这项，使整个式了的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.
（1）问题解决：请用上述方法将二次三项式x2＋2ax—3a2分解因式；
（2）拓展应用：二次三项式x2-4x＋5有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由.
【答案】（1）解：
（2）解：有最小值.理由如下：
，
∴二次三项式 有最小值，最小值为1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】(1)先将x2 +2ax进行配方，将其配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
(2)先将x2-4x进行配方，将其配成完全平方式，然后根据完全平方式的非负性，求最小值即可.
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