(共26张PPT)
新浙教版数学七年级（下）
4.2 提取公因式法
你能用几种不同的方法计算1002－992，哪种方法最简单？请与你的同伴交流。
1002－992
=（100+99）（100－99）
=199×1
=199
正确理解因式分解的意义，掌握提公因式法分解因式 ．
学习目标
明确目标 创设情境
整式乘法
乘法公式
整式除法
因式分解
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。
相同因式m
这个多项式有什么特点？
把多项式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形式，其中m是各项的公因式，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc 除以m的商，像这种分解因式的方法，叫做提公因式法。
怎样分解因式:
ma + mb + mc = m ( a + b + c )
ma÷m
mb÷m
mc÷m
提取公因式
应提取的公因式为:________
议一议：
多项式 有公因式吗？是什么？
例： 把 8 a3b2－12ab3c 分解因式
例题讲解
最低次幂
公因式：
4
a
b
三、看指数
步骤：
一、看系数
二、看字母
相同字母
最大公约数，
2
1
=4ab2
(2a2-3bc)
解:原式=
4ab2
(8a3b2÷ 4ab2-12ab3c ÷ 4ab2)
1. 3x2-3y _______
2. 2a+3ab _______
3. 12st-18t ________
4. 2xy+4yxz –10yz __________
5. 3ax3y +6x4yz ___________
6. 7a2b3-21ab2c ___________
公因式
2y
6t
3x3y
7ab2
3
a
找一找：
多项式中的公因式可以是单项式，也可以是多项式。
7、7(a–3)–b(a–3) ；
（a-3）
下面的分解因式对吗 如果不对,应怎样改正
x(2x+3x2+1)
3a2c(1-2a)
-2s(s2-2s+3)
-2a(2ab-3b2+4)
（5）把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
解：原式=
=
(24x3 ÷ 4x+12x2 ÷ 4x-28x ÷4x)
(6x2+3x-7)
提取公因式法的一般步骤:
1.确定应提取的公因式;
2.用公因式去除这个多项式,所得的商作为另一个因式;
3.把多项式写成两个因式积的形式.
一般地,提取公因式后,应使多项式余下的各项不再含有公因式.
添括号法则:
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。
如： x-y=+( )
-a+b=-( )
a-b
x-y
(1) a+b=____(a+b) (2) x-y=____(x-y)
(3) -m-n=____(m+n) (4) -s2+t2=___(s2-t2)
(5) p+q=____(q+p) (6) 2-a=____(a-2)
观察以上各等式，看看在等号右边的括号前添上“ +”或“ -”，括号里各项的符号有什么变化
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要变号.
+
+
+
-
-
-
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立
１-２x
x2+2x-1
4b2-4b+1
a+b
添括号（填空）
1、1-2x=+( )
2、-x-2= -( )
3、-x2-2x+1= -( )
1-2x
x+2
x2+2x-1
下面的分解因式对吗？如果不对，应怎样改正？
-2s(s2-2s+3)
1、21x2y +7xy
把下列各式分解因式:
练一练：
4、4a2b+10ab-2ab2
2、 2ax2+ay
7、-3x2y+12xy2-27xy
a(2x2+y)
2ab(2a+5-b)
-3xy(x-4y+9)
7xy(3x+1)
-2x(2x-4a-1)
3、 8a2bc-4ab
4ab(2ac-1)
5、 –x2+3x
-x(x-3)
6、-4x2+8ax+2x
练一练：分解因式
(3)若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一 个因式是（ ）
（A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y
（C）-1-3x-4y （D）1-3x-4y
D
(4)若多项式(a+b)xy+(a+b)x要分解因式,则要提的公因式是 .
(a+b)x
创新探究
1、计算2 - 2
2、试说明25 + 5 能被30整除。
2008
2007
7
13
解：2 - 2 =2 ×2 - 2 ×1
=2 ×(2-1) =2
2008
2007
2007
2007
2007
2007
解：25 + 5 =（5 ） + 5 =5 + 5
= 5 ×（5+1）=6×5 =30×5
∴25 + 5 能被30整除。
7
13
7
13
14
13
13
13
12
7
13
走近中考
1、（浙江） 当 a = 3 , a – b = 1 时，代数式a - ab 的值是 ________.
2、（广东）分解因式：x -4x= ________.
3、（攀枝花）分解因式：
a(x-y) - b(y-x) + c(x-y) = ______________.
4、（北京）把代数式 xy - 9x 分解因式，结果正确的是（ ）.
A.x(y -9) B.x(y+3) C.x(y+3)(y-3) D.x(y+9)(y-9)
3
x(x-4)
(x-y)(a+b+c)
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4.2 提取公因式法（巩固练习）
姓名 班级
【课前热身】
1.多项式2ab+4abc的公因式是 .
2.添括号：1－2a=+( )；-a2+2ab-b2=-( ).
3. 分解因式：a2-a= .
基础自测
1.多项式各项的公因式是……………………………………………（ ）
A. B. C. D.
2.分解因式－4x2y＋2xy2－xy的结果是……………………………………………………( )
A.－4(x2y＋2xy2－xy) B.－xy(4x－2y) C.－xy(－4x＋2y－1) D.－xy(4x－2y＋1)
3.下列用提公因式法因式分解正确的是……………………………………………………( )
A. B.
C. D.
4. 若，则A为…………………………………………（ ）
A. B. C. D.
5.分解因式： ．
6.添括号：；.
7.多项式15m3n－20m2n2＋5m2n的公因式是_______，提取公因式后另一个因式是_______.
8. 边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为___ _.
9.分解因式：
(1) (2) (3)
10.先因式分解，再求值：，其中，.
能力提升
11.下列因式分解中，正确的有………………………………………………………………（ ）
①4a－a3b2=4a(1－a2b2)；②x2y－2xy+xy=xy(x－2)；③－a+ab－ac=－a(a－b－c)；④9abc－6a2b=3abc(3－2a)；⑤x2y+xy2=xy(x+y).
A.0个 B.1个 C.2个 D.5个
12.把多项式a2(x－a)+a(a－x)分解因式，结果是……………………………………………（ ）
A.(x－a)(a2+a) B.a(x－a)(a+1) C.a(x－a)(a－1) D.a(x+a)(a－1)
13.能被下列数整除的是…………………………………………………（ ）
A.3 B.5 C.7 D.9
14.已知x+y=6，xy=-3，则x2y+xy2=__________.
15.把下列各式因式分解：
(1) (2)
16.小华认为在多项式2x2+3x+1中一定有因式(x+1)，他是这样想的：2x2+3x+1=2x2+2x+x+1=2x(x+1)+(x+1)=(x+1)(2x+1)，你认为他这样做有道理吗？如果你认为有道理，试着看看x2+3x+2中有没有因式(x+1)；如果你认为无道理，试说出其中的错误所在.
创新应用
17. 某公园计划砌一个形状如图(1)所示的喷水池，后来有人建议改为图(2)的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变， 只是担心原来备好的材料不够.请你比较两种方案，哪一种需要的材料多 说明理由.
参考答案
【课前热身】
答案：C
4. 若，则A为…………………………………………（ ）
A. B. C. D.
答案：D
5.分解因式： ．
答案：a(a+b)
6.添括号：；.
答案：x+y a-b
7.多项式15m3n－20m2n2＋5m2n的公因式是_______，提取公因式后另一个因式是_______.
答案：5m2n 3m-4n+1
8. 边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为___ _.
答案：70
9.分解因式：
(1) (2) (3)
答案：(1)2a(1-3a) (2)-xy(y-2x+1) (3) (x+2y)(x+2y+1)
10.先因式分解，再求值：，其中，.
答案：原式＝-2mn(m+n)=1
能力提升
11.下列因式分解中，正确的有………………………………………………………………（ ）
①4a－a3b2=4a(1－a2b2)；②x2y－2xy+xy=xy(x－2)；③－a+ab－ac=－a(a－b－c)；④9abc－6a2b=3abc(3－2a)；⑤x2y+xy2=xy(x+y).
A.0个 B.1个 C.2个 D.5个
解析：对于①不能提取系数4；对于②提取xy后括号内漏了第3项“1”；对于③提取负号后括号内的第3项应为“+”；对于④由于只有第1项中含有字母c，故不能作为公因式提取；对于⑤因式分解正确.
答案：B
12.把多项式a2(x－a)+a(a－x)分解因式，结果是……………………………………………（ ）
A.(x－a)(a2+a) B.a(x－a)(a+1) C.a(x－a)(a－1) D.a(x+a)(a－1)
解析：原式=a2(x-a)-a(x-a)= a(x-a)(a-1).
答案：C
13.能被下列数整除的是…………………………………………………（ ）
A.3 B.5 C.7 D.9
解析：原式=82010-82009=82009(8-1)=82009×7，故能被7整除.
答案：C
14.已知x+y=6，xy=-3，则x2y+xy2=__________.
解析：x2y+xy2=xy(x+y)=-3×6=-18.
答案：-18
15.把下列各式因式分解：
(1) (2)
解：(1)原式=.
(2)原式=p2(a-1)-p(a-1)=p(a-1)(p-1)
16.小华认为在多项式2x2+3x+1中一定有因式(x+1)，他是这样想的：2x2+3x+1=2x2+2x+x+1=2x(x+1)+(x+1)=(x+1)(2x+1)，你认为他这样做有道理吗？如果你认为有道理，试着看看x2+3x+2中有没有因式(x+1)；如果你认为无道理，试说出其中的错误所在.
答案：有道理. x2+3x+2=x2+x+2x+2=x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2).
创新应用
17. 某公园计划砌一个形状如图(1)所示的喷水池，后来有人建议改为图(2)的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变， 只是担心原来备好的材料不够.请你比较两种方案，哪一种需要的材料多 说明理由.
分析：需要的材料的多少即为图中圆的周长，而周长的计算可通过设半径或直径来进行计算.
解：一样多. 设大圆的直径为d，各小圆的直径分别为a，b，c，且a+b+c=d，则图(1)的总材料长为；图(2)的总材料长为. 因此两种方案的材料一样多.
图(1)
图(2)
图(1)
图(2)
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4.2 提取公因式法（讲练互动）21cnjy
姓名 班级 21cnjy
【要点预习】
1.公因式的概念：
一个 中每一项都含有的 的因式，叫做这个多项式各项的公因式.
2.提取公因式法的概念：
如果一个 的各项含有 ，那么可把该 提取出来进行因式分解.这种因式分解的方法，叫做提取公因式法.
3.公因式的确定：
应提取的多项式各项的公因式应是各项系数的 (当系数是整数时)与各项都含有的 字母的 的积.
4.添括号法则：
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都 ；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都 .
【讲练互动】
【例1】多项式分解因式时应提取的公因式为………………（ ）
A. 3mn B. -3m2n C. 3mn2 D. -3m2n2
【绿色通道】提取多项式的公因式的基本方法是：一是取各项系数（为整数时）的最大公因数；二是对各项都含有的相同字母取最低次幂的积；三是当首项为负时，应提取负号或通过交换律使其不放在首项.
【变式训练】
1. 多项式3m(x+y)2-6(y+x)的公因式是 .
【例2】将下列各式分解因式.
(1)；(2).
【绿色通道】提取公因式法的一般步骤是：先确定应提取的公因式；再用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；最后把多项式写成这两个因式的积的形式.
【变式训练】
2.分解因式：(1)-25a3b2+15a2b-5a3b3；(2)(a-b)(x+y)-a+b.
【例3】利用因式分解计算或说理：
（1）2.9×1234 .5+117×123.45－460×12.435；
（2）523－521能被120整除吗？
【变式训练】
3.不解方程组，求.
参考答案
【讲练互动】
解：(1)原式＝.
(2)方法一：原式＝2a(x-y)2+4b(x-y)=2(x-y)[a(x-y)+2b]=2(x-y)(ax-ay+2b).
方法二：原式＝2a(y-x)2+4b(y -x)=2(y-x)[a(y-x)+2b]=2(y-x)(ay-ax-2b).
【绿色通道】提取公因式法的一般步骤是：先确定应提取的公因式；再用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；最后把多项式写成这两个因式的积的形式.
【变式训练】
2.分解因式：(1)-25a3b2+15a2b-5a3b3；(2)(a-b)(x+y)-a+b.
答案：(1)-5a2b(5ab-3+ab2)；(2) (a-b)(x+y-1).
【例3】利用因式分解计算或说理：
（1）2.9×1234 .5+117×123.45－460×12.435；
（2）523－521能被120整除吗？
分析：这两道题目都是因式分解在计算中的应用，(1)将2.9×1234 .5+117×123.45－460×12.435整理成2.9×1234 .5+11.7×1234.5－4.6×1243.5，然后提取公因式1234 .5，从而达到化减的目的；(2)中可以先提取520，则523－521＝520(53－5)=520×120.
解：(1)原式＝2.9×1234.5+11.7×1234.5-4.6×1243.5＝1234.5(2.9+11.7-4.6)＝1234.5×10＝12345.
(2)原式＝520(53－5)＝520×120，∴523－521能被120整除.
【变式训练】
3.不解方程组，求.
答案：1100
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