(共22张PPT)
新浙教版数学七年级（下）
4.3 用乘法公式分解因式（1）
下列等式中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
一个多项式
几个整式的积
有一个必定是多项式
最后一步运算是乘法
如图是2008年奥运金牌的一面，你能用最简便的方法算出奖牌金属边缘的面积吗？（结果保留 ）
＝
－
＝
－
(cm2)
＝
－
平方差公式:
注意：一般的，如果一个多项式可以转化为a -b
的形式，就可以用平方差公式分解因式
下列各式能用平方差公式分解因式吗 若能,可看成哪两个数的平方差 把各式分解因式
(1) a2-4 (2) 9 - m2n2 (3) x2-4y2
a
mn
x
2y
2
3
－
2
2
1
16a - 1
2
-4x +m n
3
— x - — y4
9
25
1
16
4
(x+z) - (y+z)
例1
①明确公式中的“a”、“b”
②因式分解最后结果需化简
③公式中的a、b可以是数,也可以表示单项式或多项式
把下列各式分解因式
a2-b2=(a + b)(a - b)
例：
16a2-1
=(4a)2-12
=(4a+1)(4a-1)
下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由。
（1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2
(3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2
(5) a2-4 (6) a2+3
能用平方差公式分解因式的多项式的特征：
1、由两部分组成；
2、两部分符号相反；
3、每部分都能写成某个式子的平方。
能
能
能
不能
不能
不能
运用a2-b2=(a+ b)(a- b)
例1:把下列各式分解因式：
解:（1）原式=（2p)2-(mn)2
= (2p+mn)(2p-mn)
说明:公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。
（3）原式 =[(x+z)+(y+z)][(x+z)- (y+z)]
=(x+y+2z)(x-y)
=(x+z+y+z)(x+z- y-z)
(1)-m2n2+4p2 (2) x2 - y2 (3)(x+z)2-(y+z)2
（2）原式 =( x)2 –( y)2
=( x+ y)( x- y)
1.判断下列利用平方差公式分解因式是否正确,不对,请改正
(3) -9+4x2=(2x-3)(2x+3)
(2) -a4+b2=(a2+b)(a2-b)
(5) a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b+c)
(6) s2-t2=(-s+t)(-s-t)
×
×
(b+a2)(b-a2)
(a+b+c)(a-b-c)
√
√
(s-t)(s+t)
a2-b2=(a+b)(a-b)
=
=[-(s-t)][-(s+t)]
(4) -1-x2=(1-x)(1+x)
(1) x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
×
×
(x+2y)(x-2y)
不能分解因式
判断
=(4x+y) (4x －y)
=(2x + y) (2x － y)
3
1
3
1
=(2k+5mn) (2k －5mn)
2.把下列各式分解因式：
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
看谁快又对
= (a+8) (a －8)
（1）a2－64
1
（2）16x2 －y2
2
(3) － y2 + 4x2
9
1
3
(4) 4k2 －25m2n2
4
8s
5
下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？若可以请分解因式
(1)4x2-y2
(2) 4x2+y2
(3) -4x2+y2
(4)-4x2-y2
×
√
×
√
=(2x+y)(2x-y)
=(y-2x)(y+2x)
=( )2-( )2
=
完成因式分解的过程
简便计算：
=480
=160×3
解：
判断下列因式分解是否正确,不对,请改正
(1) -a4+b2=(a2+b)(a2-b)
(2) a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b + c)
×
×
(b+a2)(b-a2)
-
因式分解：9(a-b)2-(a+b)2
＝(3a-3b+a+b)(3a-3b-a-b)
[3(a-b)]2-(a+b)2
=[3(a-b)+(a+b)][3(a-b)-(a+b)]
=(4a-2b)(2a-4b)
=4(2a-b)(a-2b)
原式＝
解：
平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b)
把下列各式分解因式
① x4 - 81y4 ② 2a - 8a
1.解:原式= (x + 9y ) (x - 9y )
= (x + 9y ) (x+ 3y) (x- 3y)
2.解:原式=2a(a2- 4)
=2a(a+2)(a-2)
(1)能提取公因式。
993-99 =99(992-1)
（2）还能继续分解
993-99=99(99+1)(99-1)
=99x100x98
解： 4x3y-9xy3
=xy(4x2-9y2)
1、请问993-99能被100整除？温馨提示：（1）能否提取公因式？（2）提取公因式后，还能 继续分解因式吗？
2、怎样把多项式4x3y-9xy3分解因式？
=xy[(2x)2-(3y)2]
=xy(2x+3y)(2x-3y)
结论：
993-99能被100整除。
记得要提取公因式！
3、若n为整数，则（2n＋1)2－(2n－1)2能被
8整除吗 请说明理由.
4. 运用本节所学的知识，把9991分解成两个
整数的积.
5、计算 (1－ 1/22 ) ·(1 －1/32 ) ·(1 －1/42) …
(1 －1/20052 ) ·(1 －1/20062 )的值,
从中你可以发现什么规律 登陆21世纪教育 助您教考全无忧
4.3 用乘法公式分解因式（1）（讲练互动）21cnjy
姓名 班级 21cnjy
【要点预习】
1.平方差公式：
即两个数的 ，等于这两个数的 与这两个数的 的 .
【讲练互动】
【例1】下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是……………………………………（ ）
A. B. C.49 D.
【绿色通道】判断一个多项式能否用平方差公式分解因式的基本方法：一是多项式只有两项；二是两项的符号必须相反；三是这两项能否看作是两数的平方的形式.
【变式训练】
1.在多项式中，能用平方差公式分解的有……………（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【例2】把下列各式因式分解：
(1) (2) (3)
【黑色陷阱】应用平方差公式分解因式时应注意以下几点：①当运用平方差公式不明显时，要作适当变形；②分解因式后若多项式能化简，则一定要化简；③要把多项式分解到不能分解为止；④应先观察有否公因式可提取，再考虑能否用平方差公式进行因式分解.
【变式训练】
2. 把下列各式因式分解：
(1) (2) (3)
【例3】利用因式分解计算： (1) (2)
【变式训练】
3. 大小两圆的圆心相同，这两个圆叫同心圆．它们围成的图形叫做环形．若两个同心圆的半径分别是17.25 cm，7.25 cm，求它们围成环形的面积(π取3.14).
参考答案
【讲练互动】
【黑色陷阱】应用平方差公式分解因式时应注意以下几点：①当运用平方差公式不明显时，要作适当变形；②分解因式后若多项式能化简，则一定要化简；③要把多项式分解到不能分解为止；④应先观察有否公因式可提取，再考虑能否用平方差公式进行因式分解.
【变式训练】
2. 把下列各式因式分解：
(1) (2) (3)
答案：(1)x(x+2)(x-2) (2)(10+3x+2y)(10-3x-2y)
(3)原式=a2b+a2-ab2-b2=(a2b-ab2)+(a2-b2)=ab(a-b)+(a+b)(a-b)=(a-b)(ab+a+b).
【例3】利用因式分解计算： (1) (2)
解：(1)原式=3.482-2.482=(3.48+2.48)(3.48-2.48)=5.96.
(2)原式=.
【变式训练】
3. 大小两圆的圆心相同，这两个圆叫同心圆．它们围成的图形叫做环形．若两个同心圆的半径分别是17.25 cm，7.25 cm，求它们围成环形的面积(π取3.14).
解：cm2
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4.3 用乘法公式分解因式（1）（巩固练习）
姓名 班级
【课前热身】
1.分解因式：x2-9= .
2.分解因式：x2-4y2= .
3.(分解因式：xy2-4x=_____ __.
基础自测
1.分解因式：=………………………………………………………（ ）
A. B. C. D.
2.因式分解的结果是…………………………………………（ ）
A. B. C. D.
3.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是…………………………（ ）
A.x2＋4y2 B.x2－2y＋1 C.－x2＋4y2 D.－x2－4y2
4. 一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是…………………（ ）
A.b6-4 B.4- b6 C. b6+4 D.- b6-4
5.因式分解.
6.如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式x2－y2的值是 .
7.分解因式＝ .
8.把下列各式分解因式.
(1) (2) (深圳中考) (3)
9.用简便方法计算：
(1) (2) (3)
10. (2007潍坊中考)观察下列等式：
16-1=15；25-4=21；36-9=27；49-16=33；… …
用自然数n（其中n≥1）表示上面一系列等式所反映出来的规律.
能力提升
11.已知，则的值是………………………………（ ）
A. B. C. D.
12.因式分解，正确的结果是……………………………………（ ）
A. B. C. D.
13.分解因式：__________________.
14. 若224－1可被60与70之间的两个数整除，则这两个数是 .
15.分解因式：(1) (2)
16.在一块边长为acm的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为bcm（b＜）的正方形，利用因式分解计算，当a=13.2，b=3.4时剩余部分的面积.
创新应用
17.如图所示，某筑路工程队，需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径d=120厘米，外径D=150厘米，长L＝200厘米.利用分解因式计算，浇筑一节这样的管道需要多少立方米的混凝土.(π取3.14，结果保留两位有效数字)
参考答案
【课前热身】
4. 一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是…………………（ ）
A.b6-4 B.4- b6 C. b6+4 D.- b6-4
答案：B
5.因式分解.
答案：x(x+3)(x-3)
6.如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式x2－y2的值是 .
答案：32
7.分解因式＝ .
答案：4mn(m+n)(m-n)
8.把下列各式分解因式.
(1) (2) (2008深圳中考) (3)
解：(1)原式=(9x2)2-(ab)2= (9x2+ab)(9x2-ab).
(2)原式=a(x2-4)=a(x+2)(x-2).
(3)原式=[2(x-a)]2-(x-b)2=[2(x-a)+(x-b)][2(x-a)-(x-b)]=(3x-2a-b)(x-2b+b).
9.用简便方法计算：
(1) (2) (3)
解：(1)原式=(314+214)(314-214)=52800.
(2)原式==5.
(3)原式=3.14(752-252)=3.14(75+25)(75-25)=1570.
10. (2007潍坊中考)观察下列等式：
16-1=15；25-4=21；36-9=27；49-16=33；… …
用自然数n（其中n≥1）表示上面一系列等式所反映出来的规律.
答案：(n+3)2-n2=3(2n+3)
能力提升
11.已知，则的值是………………………………（ ）
A. B. C. D.
解析：a2-b2+4b=(a+b)(a-b)+4b=2(a-b)+4b=2(a+b)=2×2=4.
答案：C
12.因式分解，正确的结果是……………………………………（ ）
A. B. C. D.
解析：a-ab2=a(1-b2)=a(1+b)(1-b).
答案：B
13.分解因式：__________________.
解析：x3y-4xy=xy(x2-4)= xy(x+2)(x-2).
答案：xy(x+2)(x-2)
14. 若224－1可被60与70之间的两个数整除，则这两个数是 .
解析：224-1=(212+1)(26+1)(26-1)=(212+1)×65×63.
答案：63 65
15.分解因式：(1) (2)
解：(1)原式=(x2+4y2)(x2-4y2)=(x2+4y2)(x+2y)(x-2y).
(2)原式=3x[(x+y)2-9x2]=3x(4x+y)(y-2x).
16.在一块边长为acm的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为bcm（b＜）的正方形，利用因式分解计算，当a=13.2，b=3.4时剩余部分的面积.
解：S＝a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=(13.2+6.8)(13.2-6.8)=128cm2
创新应用
17.如图所示，某筑路工程队，需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径d=120厘米，外径D=150厘米，长L＝200厘米.利用分解因式计算，浇筑一节这样的管道需要多少立方米的混凝土.(π取3.14，结果保留两位有效数字)
分析：混凝土的立方数即为图中阴影部分的体积，亦即大圆柱体的体积与小圆柱体的体积差.
解：所需混凝土为
［π()2－π()2］L=πL(－)(+)=3.14×200(75－60)(75+60)=1.2717 m3≈1.3(m3).
答：浇筑一节这样的管道需要1.3 m3的混凝土.
b
a
b
a
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 17 页 （共 18 页） 版权所有@21世纪教育网
