(共24张PPT)
新浙教版数学七年级（下）
4.3 用乘法公式分解因式（2）
问题:什么叫多项式的因式分解
判断下列变形过程，哪个是因式分解？
(1) (x-2)(x-2)=x2- 4
(2) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x
(3) 7m-7n-7=7(m-n-1)
(4) 4x2- =(2x+ )(2x- )
9y2
1
3y
1
1
3y
把一个多项式化成几个整式的积的形式,
这种变形叫做把这个多项式因式分解
√
×
×
×
问题：你学了什么方法进行分解因式？
提公因式法
= a( x – y )
=3a(a-2b+1)
=(a+b)(3a-5)
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay
(2) 9a2 - 6ab+3a
(3) 3a(a+b)-5(a+b)
(4) -4x2+8ax+2x
=-2x(2x-4a-1)
（１）公式左边：
（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
▲
▲
▲
请用语言描述下公式的结构特点。
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
a2-b2=(a + b)(a - b)
例：
16a2-1
=(4a)2-12
=(4a+1)(4a-1)
下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由。
（1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2
(3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2
(5) a2-4 (6) a2+3
能用平方差公式分解因式的多项式的特征：
1、由两部分组成；
2、两部分符号相反；
3、每部分都能写成某个式子的平方。
能
能
能
不能
不能
不能
下列各式是不是完全平方式
是
是
否
是
否
辨明是非
请运用完全平方公式把下列各式分解因式：
例题
完全平方式特征：
（1）多项式有3项；
（2）其中两项为平方项（两数的平方和），
而且这两项同号
先确定平方项，再检查剩余项是否符合两数积的2倍（中间项）.
判断方法：
（3）另一项为中间项（这两数积的2倍）.
符号可正可负。
例题
分解因式:
(2x+y)2-6(2x+y)+9
解:原式=(2x+y)2-2.(2x+y).3+32
=[(2x+y)-3]2
=(2x+y-3)2
注意:本例把2x+y看
作是一个整体,或者
说设2x+y=a,这种数
学思想称为换元思想.
1、把 分解因式得( )
A、 B、
2、把 分解因式得
（ ）
A、 B、
B
A
练一练
3、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
4、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
B
B
5、把 分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
6、计算 的结果是（ ）
A、 1 B、-1
C、 2 D、-2
C
A
用简便方法计算:
绝对挑战
（1）用简便方法计算：
2.按照完全平方公式填空：
3.你能用口算求出
20052-4010× 2003+20032 的值吗？
4、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、6 B、±6 C、3 D、±3
B
5、我们知道4x2+1不是完全平方式，有没有合适的项，你能给它补成完全平方式吗？
（1）形如________________形式的多项式可以用完全平方公式分解因式。
（3）因式分解要_________
（2）因式分解通常考虑______________方法。
提取公因式法
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4.3 用乘法公式分解因式（2）（巩固练习）
姓名 班级
【课前热身】
1.分解因式： .
2.按照完全平方公式填空：
3. 因式分解：x2―10x+25= .
4.分解因式：＝_______．
基础自测
1.下列式子中是完全平方式的是…………………………………………（ ）
A. a2+ab+b2 B. a2+2a+2 C. a2-2b+b2 D. a2+2a+1
2.若 ，则的值是…………………………………（ ）
A．8 B．16 C．2 D．4
3.把代数式分解因式，下列结果中正确的是……………（ ）
A． B． C． D．
4.已知是完全平方式，则m的值为………………………（ ）
A.2 B.±2 C.-6 D. ±6
5. ，横线上应填……………………………………………（ ）
A.6ab B.24ab C.12ab D.18ab
6. .
7.把下列各式分解因式：
(1) (2)
(3) (m+n)2-6(m+n)+9. (4)
8.已知，求的值.
9.给出三个多项式：请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.
10.用简便方法计算：2022+202×196+982.
能力提升
11. 多项式分解因式正确的是…………………………………（ ）
A. B. C. D.
12.在a2□4a□4的空格□中，任意填上“＋”或“－”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是…………………………………………………………（ ）
A.1 B. C. D.
13.小军在对a4+分解因式时，步骤如下：
a4+=a4+a2+－a2（添两项a2与－a2，前三项可利用完全平方公式）
＝（a2+）2－a2（写成完全平方式与最后一项又符合平方差公式）
＝（a2+a+）（a2－a+）.
如果请你分解因式4x4+1，你第一步要完成的是………………………………………（ ）
A.4x4+1+4x2 B.4x4+1－4x2 C.4x4+1+4x2－4x2 D.4x4+1+2x2－2x2
14.请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果 ．
15.把下列各式分解因式：(1) (2)
16. 阅读下列材料，并回答相应问题：
对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但是对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a)
(1) 这种方法的关键是添上一项后，配成 .
(2) 用上述方法把二次三项式m2-6m+8分解因式(要写出解题过程).
创新应用
17. 已知是三角形的三边，利用因式分解的知识说明代数式的值的符号情况.
分析：利用公式法对多项式进行因式分解，再利用三角形两边之和大于第三边产生的不等式a+b>c，a+c>b，b+c>a来判断符号.
参考答案
【课前热身】
答案：A
4.已知是完全平方式，则m的值为………………………（ ）
A.2 B.±2 C.-6 D. ±6
答案：D
5. ，横线上应填……………………………………………（ ）
A.6ab B.24ab C.12ab D.18ab
答案：B
6. .
答案：
7.把下列各式分解因式：
(1) (2)
(3) (m+n)2-6(m+n)+9. (4)
解：(1)原式=4a2-4ab+b2+8ab=4a2+4ab+b2=(2a+b)2.
(2)原式=x(x2-6x+9)=x(x-3)2.
(3)原式＝(m+n-3)2.
(4)原式=4m2-12mn+9n2=(2m-3n)2.
8.已知，求的值.
解：∵，∴x2-x-x2+y=-3，即x-y=3. ∴x2+y2-2xy=(x-y)2=9.
9.给出三个多项式：请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.
解：；
；.
10.用简便方法计算：2022+202×196+982.
答案：90000
能力提升
11. 多项式分解因式正确的是…………………………………（ ）
A. B. C. D.
解析：原式=(x2+y2)2-8(x2+y2)+16=(x2+y2-4)2.
答案：A
12.在a2□4a□4的空格□中，任意填上“＋”或“－”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是…………………………………………………………（ ）
A.1 B. C. D.
解析：共有4种可能：a2+4a+4，a2+4a-4，a2-4a+4，a2-4a-4，其中a2+4a+4=(a+2)2，a2-4a+4=(a-2)2是完全平方式，故构成完全平方式的概率是.
答案：B
13.小军在对a4+分解因式时，步骤如下：
a4+=a4+a2+－a2（添两项a2与－a2，前三项可利用完全平方公式）
＝（a2+）2－a2（写成完全平方式与最后一项又符合平方差公式）
＝（a2+a+）（a2－a+）.
如果请你分解因式4x4+1，你第一步要完成的是………………………………………（ ）
A.4x4+1+4x2 B.4x4+1－4x2 C.4x4+1+4x2－4x2 D.4x4+1+2x2－2x2
答案：C
14.请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果 ．
答案：如ax2-2axy+ay2=a(x-y)2.
15.把下列各式分解因式：(1) (2)
答案：(1) 2xy(x+2y)2 (2) (4a2-b2)2=(2a+b)2(2a-b)2
16. 阅读下列材料，并回答相应问题：
对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但是对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a)
(1) 这种方法的关键是添上一项后，配成 .
(2) 用上述方法把二次三项式m2-6m+8分解因式(要写出解题过程).
解：(1) 完全平方式.
(2) m2-6m+8＝m2-6m+9-9+8=(m-3)2-1=(m-2)(m-4)
创新应用
17. 已知是三角形的三边，利用因式分解的知识说明代数式的值的符号情况.
分析：利用公式法对多项式进行因式分解，再利用三角形两边之和大于第三边产生的不等式a+b>c，a+c>b，b+c>a来判断符号.
解：∵(a2+b2-c2)2-4a2b2=(a2+b2-c2+2ab)( a2+b2-c2-2ab)=[(a+b)2-c2][ (a-b)2-c2]
=(a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (a-b-c)
又∵a，b，c是三角形的三边，∴a+b>c，a+c>b，b+c>a.
∴a+b+c>0，a+b-c>0，a-b+c>0，a-b-c<0，∴原式=(a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (a-b-c)<0，即为负数.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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4.3 用乘法公式分解因式（2）（讲练互动）21cnjy
姓名 班级 21cnjy
【要点预习】
1.完全平方公式:
即两数的 ，加上(或者减去)这两数的积的 ，等于这两数和(或者差)的 .
【讲练互动】
【例1】按照完全平方公式填空:
(1) ；(2) ；
(3) .
【绿色通道】利用完全平方公式分解因式的条件是：一是多项式由三项组成；二是其中的两项是两数的平方和；三是另一项是加上（或减去）前面两数的积的2倍.
【变式训练】
1.若x2－6x＋m是完全平方式，则m= ．
【例2】把下列各式分解因式：
(1) (2) (泰安) (3)
【黑色陷阱】运用完全平方公式分解因式应注意以下几点：①完全平方公式的两个平方项的符号必须相同；②完全平方公式的另一项必须是前两个数的积的2倍，注意与其排列顺序无关；③应先提取公因式，再考虑选择公式法进行因式分解；④分解后的各因式最后只能是留一层括号的最简形式.
【变式训练】
2. 把下列各式分解因式：
(1) (2) 2mx2－4mxy＋2my2
(3) (4)
【例3】已知，求x+y的值.
【变式训练】
3. 当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值.
参考答案
【要点预习】
解：(1)原式=-(a2+49b2-14ab)=-(a-7b)2.
(2)原式=(1+4x2-4x)=.
(3)原式=[3(a-b)]2+12(a+b)(a-b)+[2(a+b)]2=[3(a-b)+2(a+b)]2=(5a-b)2.
【黑色陷阱】运用完全平方公式分解因式应注意以下几点：①完全平方公式的两个平方项的符号必须相同；②完全平方公式的另一项必须是前两个数的积的2倍，注意与其排列顺序无关；③应先提取公因式，再考虑选择公式法进行因式分解；④分解后的各因式最后只能是留一层括号的最简形式.
【变式训练】
2. 把下列各式分解因式：
(1) (2) 2mx2－4mxy＋2my2
(3) (4)
答案：(1) (x+2)2 (2) 2m(x-y)2 (3) (m+n-5)2 (4) 原式=(x2+1-2x)2=(x-1)4
【例3】已知，求x+y的值.
分析：将以上多项式配成两个完全平方式，再利用非负数的性质求出x，y的值.
解：由题意，得 (x2-2x+1)+(y2+6y+9)=0，(x-1)2+(y+3)2=0.
∵(x-1)2与(y+3)2的值都是非负数，∴(x-1)2=0且(y+3)2=0，∴x=1，y=-3，即x+y=-2..
【变式训练】
3. 当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值.
解：原式=(a2-4a+4)+(b2+6b+9)+5=(a-2)2+(b+3)2+5，∴a=2，b=-3时，最小值为5.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 17 页 （共 18 页） 版权所有@21世纪教育网
