浙教版八年级数学下册 第2章 一元二次方程 单元测试卷(含答案)

第2章　一元二次方程测试卷
时间：100分钟　满分：120分　班级：________　姓名：________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．把方程x(2x－1)＝1化成ax2＋bx＋c＝0的形式，a，b，c的一组值是( )
A．2，－1，－1 B．2，－1，1 C．2，1，－1 D．2，1，1
2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2－1＝0 B．x2＝0 C．x2＋4＝0 D．－x2＋3＝0
3．用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是( )
A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2 C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝3
4．一元二次方程(x＋3)2＝36可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋3＝6，则另一个一元一次方程是( )
A．x－3＝－6 B．x－3＝6 C．x＋3＝6 D．x＋3＝－6
5．若1－是方程x2－2x＋c＝0的一个根，则c的值为( )
A．－2 B．4－2 C．3－ D．1＋
6．如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是( )
A．(32－2x)(20－x)＝570 B．32x＋2×20x＝32×20－570
C．(32－x)(20－x)＝32×20－570 D．32x＋2×20x－2x2＝570
7．我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(x＋3)2＋2(x＋3)－3＝0，它的解是( )
A．x1＝2，x2＝－6 B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－2，x2＝－6
8．若关于x的一元二次方程kx2－2kx＋4＝0有两个相等的实数根，则k的值为( )
A．0或4 B．4或8 C．0 D．4
9．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是长比宽多( )
A．12步 B．24步 C．36步 D．48步
10．设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是( )
A．a＜－ B．－＜a＜0 C．a＞ D．＜a＜
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．方程x2＝6x的解是__ _．
12．已知方程x2－3x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的范围是__ __．
13．已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x－6＝0的一个根为2，则方程的另一个根为__ _．
14．一个等腰三角形的底边长为10，腰长是一元二次方程x2－11x＋30＝0的一个根，则这个三角形的周长是____．
15．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如：若函数y＝x4，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是__ __．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm.现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1 cm/s的速度沿AB向终点B移动，点Q以2 cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．连接PQ，若经过x s后P，Q两点之间的距离为4 cm，那么x的值为____．
三、解答题(共66分)
17．(16分)解下列方程：
(1)(2x－1)2－9＝0; (2)x2－5x＋2＝0；
(3)2(x－2)＝3x(x－2); (4)x2－2x＝6.
18．(6分)先化简，再求值：－，其中x满足x2－x－2＝0.
19．(8分)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
20．(8分)在长方形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时点Q从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，设运动时间为t.
(1)问几秒后△PBQ的面积等于8 cm2
(2)是否存在t，使△PDQ的面积等于26 cm2
21．(8分)随着阿里巴巴、京东、苏宁电商等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
22．(10分)已知关于x的一元二次方程mx2－3(m＋1)x＋2m＋3＝0.
(1)如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)在(1)的条件下，当该方程的根都是整数，且|x|＜4时，求m的整数值．
23．(10分)阅读下面的材料：
解方程x4－7x2＋12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，则x4＝y2.∴原方程可化为y2－7y＋12＝0.
∵a＝1，b＝－7，c＝12，∴Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×12＝1.
∴y＝＝.解得y1＝3，y2＝4，
当y＝3时，x2＝3，x＝±；当y＝4时，x2＝4，x＝±2.
∴原方程有四个根为x1＝，x2＝－，x3＝2，x4＝－2.
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
(1)解方程：(x2＋x)2－5(x2＋x)＋4＝0；
(2)已知实数a，b满足(a2＋b2)2－3(a2＋b2)－10＝0，试求a2＋b2的值．
参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1． A
2． C
3． B
4． D
5． A
6． A
7． D
8． D
9． A
10． B
【解析】∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(a＋2)2－4a×9a＞0，解得：－＜a＜，∵x1＋x2＝－，x1x2＝9，x1＜1＜x2，∴(x1－1)(x2－1)＜0，解得：－＜a＜0.
二、填空题(每小题4分，共24分)
11． x1＝0，x2＝6
12． k＜
13． x＝－3_
14． 22
15． x＝±2
16． 2或
【解析】由题意得：AP＝x，PB＝6－x，BQ＝2x，在Rt△BPQ中，BP2＋BQ2＝PQ2，5x2－12x＋4＝0，∴x1＝2，x2＝.
三、解答题(共66分)
17．(16分)解下列方程：
(1) 解：x1＝2，x2＝－1;
(2)解：x1＝，x2＝；
(3) 解：x1＝2，x2＝；
(4)x2－2x＝6.
解：x1＝－，x2＝3.
18．解：原式＝＝＝.
解方程x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2.
当x＝2时，原分式无意义，舍去；当x＝－1时，原式＝＝－1.
19． 解：(1)已知1为原方程的一个根，则1＋a＋a－2＝0，∴a＝.将a＝代回原方程，得x2＋x－＝0，即(x－1)(x＋)＝0，∴x1＝1，x2＝－.故方程的另一个根是－.
(2)证明：∵a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
20．解：(1)设x秒后△PBQ的面积等于8 cm2，∵AP＝x，QB＝2x，∴PB＝6－x，∴×(6－x)×2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，
答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8 cm2；
(2)假设存在t使得△PDQ面积为26 cm2，则72－6t－t(6－t)－3(12－2t)＝26，整理得：t2－6t＋10＝0，∵Δ＝36－4×1×10＝－4＜0，∴原方程无解，所以不存在t，能够使△PDQ的面积等于26 cm2.
21． 解：(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意得：10×(1＋x)2＝12.1，解得x1＝10%，x2＝－210%.答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%；
(2)4月：12.1×(1＋10%)＝13.31(万件)，21×0.6＝12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务．
∵22＜＜23，∴至少还需增加2名业务员．
22．解：(1)由题意m≠0，∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，
即[－3(m＋1)]2－4m(2m＋3)＝(m＋3)2＞0，解得m≠－3，
则m的取值范围为m≠0且m≠－3；
(2)∵Δ＝(m＋3)2，∴x＝，∴x1＝，x2＝1，
当x1＝是整数时，可得m＝1或m＝－1或m＝3，
∵|x|＜4，m＝1不合题意，舍去，∴m的值为－1或3.
23． 解：(1)设y＝x2＋x，则原方程可化为y2－5y＋4＝0.
∵a＝1，b＝－5，c＝4，∴Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×1×4＝9.
∴y＝＝.解得y1＝1，y2＝4.
当x2＋x＝1，即x2＋x－1＝0时，解得x＝；
当x2＋x＝4，即x2＋x－4＝0时，解得x＝.
综上所述，原方程的解为x1＝，x2＝，x3＝，x4＝.
(2)设x＝a2＋b2，则原方程可化为x2－3x－10＝0，
∵a＝1，b＝－3，c＝－10，∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－10)＝49.
∴x＝＝＝.解得x1＝5，x2＝－2(舍去).
故a2＋b2＝5.