第4章 《因式分解》全章教案 （表格式）

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上课日期：年 月 日第 课时
课题 4.1 因式分解
课时安排 1 课型 新授
教学目标 （1）理解因式分解的概念和意义 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
重难点 重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
教具准备 课件，多媒体
师生活动过程 设计意图
一、情境导入 看谁算得快：（抢答） (1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________； (2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________； (3)若x=-3,则20x2+60x=____________。 二、探究新知 1、请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。（多媒体出示答案）(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400； (2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000； (3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。 2、观察：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2-2ab+b2 = (a-b)2 ， 20x2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？) 3、类比小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念。（学生概括，老师补充。） 4、因式分解与整式乘法的关系： 因式分解 结合：a2-b2=========（a+b）（a-b） 整式乘法 说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。 结论：因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形。（多媒体展示学生得出的成果） 四、巩固新知 1、 下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ； (2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)； (3)2m(m-n)=2m2-2mn； (4)4x2-4x+1=(2x-1)2； (5)3a2+6a=3a（a+2）； (6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x； 【针对学生易犯的错误，制造认知冲突，让学生充分暴露错误，然后通过分析、讨论，达到理解的效果。】 2、你能写出整式相乘（其中至少一个是多项式）的两个例子，并由此得到相应的两个多项式的因式分解吗？把结果与你的同伴交流。 【学生出题热情、积极性高，因初一学生好表现，因而能激发学生学习兴趣，激活学生的思维。】 五、思维拓展 1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 2．机动题：（填空）x2-8x+m=(x-4)( ),且m= 【进一步拓展学生在数学领域内的视野，增强学生对数学的兴趣，使学生从小热衷于数学的学习和探索。通过机动题，了解学生对概念的熟练程度和思维的灵敏性、深刻性、广阔性及探研创造能力，及时评价，及时矫正。】 六、布置作业 1、作业本
教学反思
上课日期： 年 月 日第 课时
课题 4.2提取公因式法
课时安排 1 课型 新授
教学目标 ⑴在具体情境中认识公因式 ⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式
重难点 1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。 ⒉．教学难点∶正确地找出公因式
教具准备 课件
师生活动过程 设计意图
一、创设情境，提出问题 ma＋mb =m(a＋b)利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb 可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形,那就更好,或其他的方法，教师都应该及时肯定学生思维中的闪光点. 二、观察分析，探究新知 让学生观察多项式：ma+mb （让学生说出其特点：都有m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。） 各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。 【把主动权交给学生，尽量让他们自己说，也可尝试让他们取名，使他们体验到成功的喜悦。】 注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。 三、独立练习，巩固新知 指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式） ⑴ax+ay-a（a）⑵5x2y3-10x2y （5x2y） ⑶24abc-9a2b2 （3ab）⑷m2n+mn2 （mn）⑸x(x-y)2-y(x-y) (x-y) 显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法：（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳） ⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时） ⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂 　　　定义：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。 四、例题教学，运用新知 例1 把3pq3+15p3q分解因式 通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。然后在黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式 注意：提公因式后的项数应与原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。 把-3ab+6abx-9aby分解因式 【让学生自己观察找出此例与前面两例的不同点】 学生可能会指出字母的个数不同…（只要学生说得合理，教师应及时给予肯定与鼓励） 他们很快就会发现第一项的系数是“-”的，那么如何转化呢？ 【由学生各述己见，教师不加评定，然后集体总结学生思维中的闪光点。】 应先把它转化成前面的情形，便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“-”号时，教师可适当地引出添括号法则，可谓解决“燃尾之急”。 添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要变号。 课堂练习：P102T 2【巩固添括号法则】 解：-3ab+6abx-9aby=-（3ab-6abx+9aby）=-3ab（1-2x+3y） 说明：通过此例可看出应用提取公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则要提出负因数，此时一定要把各项变号。由此总结出提取公因式法的一般步骤。见P102 探索： 2（a-b）2-a+b能分解因式吗？ 还是把问题先交给学生进行小组讨论（四人一小组），鼓励学生进行交流探索。可能有学生会提出好象没有公因式？此时教师可以适当地点拨一下。比如可降低难度改为：2（a-b）2-（a-b），然后启发学生如何转化？从而解决问题。 然后可追加一问：2（a-b）2-（b-a）3呢？ 让学生积极思考，讨论回答。 注：n 为偶数（a-b）n=（b-a）nn为奇数（a-b）n= -（b-a）n 【向学生渗透换元思想】 五、布置作业 1、作业本
教学反思
上课日期： 年 月 日 第 课时
课题 4.3用乘法公式分解因式（1）
课时安排 1 课型 新授
教学目标 1、经历平方差公式的产生过程，会用公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式 2、认识a2－b2=（a＋b）（a－b）与（a＋b）（a－b）=a2－b2之间区别联系 3、体验换元思想，培养学生观察、分析和解决问题能力。 4、体会用符号表示公式的意义，形成初步的符号感。
重难点 重点：掌握平方差公式的特点及运用此公式分解因式。 难点：把多项式转换到能用平方差公式分解因式的模式，综合运用多种方法因式分解。
教具准备 课件
师生活动过程 设计意图
一、创设情景，引出课题 问题（一） 把如图卡纸剪开，拼成一张长方形 卡纸，作为一幅精美剪纸衬底，怎么剪？你能给出数学解释吗？ 这个图形的剪拼在整式的乘法中学生已经接触过了，比较容易，估计学生能剪拼成功，可能得到以下两条公式 a2－b2=（a＋b）（a－b）与（a＋b）（a－b）=a2－b2 想一想： （1）这两条公式的名称 （2）公式（a＋b）（a－b）=a2－b2 有什么作用？ 公式是多项式乘法的特殊形式，能简化计算。（学生能说出最好，若有困难，教师点拨） （3）公式a2－b2=（a＋b）（a－b）左到右的形式发生了什么变化？ （4）请用语言描述公式a2－b2=（a＋b）（a－b） 教师板书：两数的平方差等于两数的和与两数差的积。 二、整理新知，形成结构] 做一做： 1、下列各式能用平方差公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式吗？a、b分别表示什么？把下列各式分解因式 （1）x2－1 （2）m2－9 （3）x2－4y2 例1把下列各式分解因式 （1）16a2－1 （2）－m2n2+4P2 （3）x2－y4 （4）（x+z）2－（y+z）2 师生一起对话交流，对每一题都提问a、b分别表示什么？让学生经历这过程后，能充分体验到a、b可以是单项式，也可以是多项式。 三、整理新知，形成结构] 做一做： 1、下列各式能用平方差公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式吗？a、b分别表示什么？把下列各式分解因式 （1）x2－1 （2）m2－9 （3）x2－4y2 例1把下列各式分解因式 （1）16a2－1 （2）－m2n2+4P2 （3）x2－y4 （4）（x+z）2－（y+z）2 师生一起对话交流，对每一题都提问a、b分别表示什么？让学生经历这过程后，能充分体验到a、b可以是单项式，也可以是多项式。 四、内化知识，尝试成功 辩一辩 下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？说说你的理由（1）4x2+y2　　　　　　　　　　　（2）4x2－（－y）2（3）－4x2－y2　　　　　　　　（4）－4x2+y2 （5）a2－4　　　　　　（6）a2+3 五、小结提示 六、布置作业 1、作业本
教学反思
上课日期： 年 月 日第 课时
课题 4.3用乘法公式分解因式（2）
课时安排 1 课型 新授
教学目标 知识目标：会判断多项式是完全平方式，并掌握用此公式分解因式的方法。 （1）培养学生换元的思想，养成严密的思维习惯，进一步培养学生观察能力。分析能力和概括能力 （2）培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神。
重难点 重点：用完全平方公式分解因式 难点：灵活运用完全平方公式分解因式
教具准备 课件
师生活动过程 设计意图
复习引入，提出课题 考一考 a、除了平方差公式外，还有那些公式？ b、如何表示？（a+b）2=a2+2ab+b2 （a－b）2=a2－2ab+b2 c、怎样用语言表述？ d、把公式应该怎么写？ 教师板书a2+2ab+b2=（a+b）2 a2－2ab+b2=（a－b）2 e、用语言怎么表达？ 二、整理新知，形成结构 1、填写下表（若某一栏不适用，请填入不是，并说明理由） 多项式是否是完全平方式a、b各表示什么表示（a+b）2或（a－b）2x2－6x+9是a表示x， b表示3（x－3）24y2+4y+1 1+4a2 x2++ 1+m+m24y2－12xy+9x2（2x+y）2－6（2x+y）+9
先出现表格的部分内容，然后逐渐出示多项式，由学生抢答。进行小组比赛。 要求学生暴露思维过程：如x2－6x+9，因为由第一项可知道a=x ，由第三项可知b= 3,而且2ab=2 × 3x 刚好等于中间项。所以这多项式是完全平方式。因为中间项符号为负，所以多项式可分解为（x－3）2 引导探究，自主合作 在上面的表格中，1+4a2x2++ 不是完全平方式，如何修改使之成为完全平方式？ 互问互检，展示个性 生互编互答互评 学生相互间的活动结束后，教师不失时机对学生说老师也出题考考咱们的同学。然后教师给出课本107页的课内练习1，这些等式平时学生就很容易出错，让学生暴露问题，然后师生一起纠正。 合作学习，延伸提高 把下列各式分解因式 （1）－x2+4xy－4y2 （2）3ax2+6axy+3ay2 （3）m4+4 以四人为一组，合作讨论，讨论结果分组汇报交流，教师予以评价。 归纳小结， 通过本节课你学会了什么，有什么收获 七、布置作业 1、作业本
教学反思
上课日期： 年 月 日第 课时
课题 第四章 因式分解的复习1
课时安排 1 课型 新授
教学目标 1、在整除的情况下，会应用因式分解，进行多项式相除。 2、会应用因式分解解简单的一元二次方程。 3、体验数学问题中的矛盾转化思想。 4、培养观察和动手能力，自主探索与合作交流能力。
重难点 教学重点：学会应用因式分解进行多项式除法和解简单一元二次方程。 教学难点：应用因式分解解简单的一元二次方程。
教具准备 课件
师生活动过程 设计意图
一、复习提问 1（1）、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A、 B、 C、 D、 （2）把下列各式的公因式写在横线上： ①、；②24a2bc-36a2b+12ab3、 （3）在括号前面填上“＋”或“－”号，使等式成立： 1）、；2）、。 （4）直接写出因式分解的结果： （1）＝_____________；（2）。 （5）、若是一个完全平方式，则的关系是。 2、将下列各式因式分解 （1）（a+b）2－10（a+b）+25 （2）－xy+2x2y+x3y （3）2 a2b－8a2b （4）4x2－9 [四位同学到黑板上演板，本课时用复习“练习引入”也不失为一种好方法，既先复习因式分解的提取分因式和公式法，又为下面解决多项式除法运算作铺垫] （教师订正） 二、因式分解的应用 例题：（2 a2b－8a2b）÷（4a－b）（先让学生思考提出的问题，教师从旁启发） 利用上面的数学解题思路，同学们尝试计算：（4x2－9）÷（3－2x） 学生总结解题步骤：1、因式分解；2、约去公因式） （全体学生动手动脑，然后叫学生回答，及时表扬，讲练结合， [运用多项式的因式分解和换元的思想，可以把两个多项式相除，转化为单项式的除法] 练习计算：（1）（a2－4）÷（a+2）（2）（x2+2xy+y2）÷（x+y） （3）[(a－b)2+2（b－a）] ÷（a－b） 三、合作学习 1、以四人为一组讨论下列问题：若A·B=0，下面两个结论对吗？ （1）A和B同时都为零，即A=0且B=0 （2）A和B至少有一个为零即A=0或B=0 [合作学习，四个小组讨论，教师逐步引导，让学生讲自己的想法，及解题步骤，培养语言表达能力，体会运用因式分解的实际运用作用，增加学习兴趣] 2、你能用上面的结论解方程（1）（2x+3）（2x－3）=0 （2）2x2+x=0 [让学生先独立完成，再组织交流，最后教师针对性地讲解，让学生总结步骤：1、移项，使方程一边变形为零；2、等式左边因式分解；3、转化为解一元一次方程] 3、练习，解下列方程（1）x2－2x=0 4x2=（x－1）2 四、小结 五、布置作业 1、作业本复习题
教学反思
上课日期： 年 月 日第 课时
课题 第四章 因式分解的复习2
课时安排 1 课型 新授
教学目标 1、在整除的情况下，会应用因式分解，进行多项式相除。 2、会应用因式分解解简单的一元二次方程。 3、体验数学问题中的矛盾转化思想。 4、培养观察和动手能力，自主探索与合作交流能力。
重难点 教学重点：学会应用因式分解进行多项式除法和解简单一元二次方程。 教学难点：应用因式分解解简单的一元二次方程。
教具准备 课件
师生活动过程 设计意图
拓展练习 1．因式分解：（1） （2） （3） （4）9x2-（y+2）2=_______________ 2．（1）已知a2-a-1=0，则a2-a+2012=. （2）已知a+b=2，则a2－b2+4b的值是。 (3) 已知a－b=5,ab=3，求代数式a3b－2a2b2+ab3的值. 3．若关于x的多项式x2－px+6含有因式x－3，则实数p的值为______________ 4．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式。 5．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=s×t(s，t是正整数，且s≤t),如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)= ．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F(18)= ．给出下列关于F(n)的说法：(1)F(2)= ；(2)F(24)= ；(3)F(27)=3；(4)若n是一个完全平方数，则F(n)=1．其中正确说法的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6．将再加上一项，使它成为的形式，则可以加 7．已知a,b,c是△ABC的三边，若三边满足，那么△ABC的形状为________三角形。 8．解下列方程： （1）3x2+5x=0； （2）9x2-16=0； 9．（1）方程x3+4x=0的解是________． （2）解方程：x3-9x=x2-9． 10．由整式的乘法（x+a）(x+b)=x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab可知，x2+(a+b)x+ab=（x+a）(x+b)，因此对于二次三项式x2+mx+n，只要能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即ab=n，a+b=m，则能把x2+mx+n分解因式。为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如下例），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而实施分解。由此这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”。下面举例： （1）x2-5x-6 (2) x2-5x+6 1 -6 1 -2 1 1 1 -3 1×1+1×(-6)=-5 1×(-3)+1×(-2)=-5 ∴x2-5x-6=(x-6)(x+1) ∴x2-5x+6=(x-2)(x-3) 你能用上述方法将a2+5a+6分解因式吗？
教学反思
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