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专题2-2 二元一次方程组
模块一：知识清单
1）将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组。
注：二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个。
2）判断二元一次方程组的方法：
①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成.
3）二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解。
4）检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解。
注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的定义作答．二元一次方程组满足三个条件：方程组中的两个方程都是整式方程．方程组中共含有两个未知数．每个方程都是一次方程．
【详解】解：A、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项正确；
B、该方程组中含有个未知数，不是二元一次方程组，故本选项错误；
C、该方程组中的第一个方程不是整式方程，故本选项错误；
D、该方程组中的第二个方程不是于二元一次方程，故本选项错误；故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
2．（2022春·浙江温州·七年级统考期中）以为解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别把 代入二元一次方程组，能够使方程组中各个方程左右两边都相等，这满足答案.
【详解】解：把代入A中，第二个方程不成立，错误；
把代入B中，二个方程都成立，正确；
把代入C中，第二个方程不成立，错误；
把代入D中，第二个方程不成立，错误；故选择B.
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，判断的标准是代入方程组中各个方程，能够使各个方程都成立，则是方程组的解.
3．（2022·浙江杭州·模拟预测）与方程构成的方程组，其解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将解代入选项中验证即可求解．
【详解】解：A．不是方程的解，该项不符合题意；
B．不是方程的解，该项不符合题意；
C．不是方程的解，该项不符合题意；
D．是方程的解，该项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
4．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）若是方程组的解，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把方程组的解代入方程组得到：，两式相减即可得出答案．
【详解】解：把方程组的解代入方程组得：，
得：，．故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，利用两式相减直接得到的值是解题的关键．
5．（2022·安徽·合肥市八年级阶段练习）下列方程组中，有无数组解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求解每一个选项的方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：A、解得：，方程组有唯一一组解，故此选项不符合题意；
B、解得方程组无解，故此选项不符合题意；C、，
①×2②，得0x-0y=0，则x、y可取任何值，所以方程组有无数组解，故此选项符合题意；
D、解得：，方程组有唯一一组解，故此选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，注意二元一次方程组的解的三种情况：①方程组有唯一一组解，②方程组有无数组解，③方程组无解．
6．（河南省商丘市夏邑县2021-2022学年七年级下学期数学学情分析二（四分之三考试）试题）已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A．8 B．5 C．3 D．10
【答案】A
【分析】首先将x，y的值代入方程组得到关于m、n的方程组，解方程组即可求出答案．
【详解】解：由题意，得，解得，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义、二元一次方程组的解法．熟练掌握一元二次方程组的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
7．（2022北京七年级下学期期中考试数学试题）满足方程组的，的值的和等于，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，由加减消元法把①②，得③；然后由与的和等于，得到④，再根据③④，得，最后把代入④得，因此可解得．故选C.
8．（云南省文山壮族苗族自治州砚山县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】将代入中求出的值，进而可计算的值．
【详解】解：将代入中得
解得∴故选B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，代数式求值．解题的关键在于求解的值．
9．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）已知是二元一次方程组的解，则a＋b的值是（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将解代入方程组求解即可．
【详解】解：由题意得，-3+4=a，-b-2=1．∴a=1，b=-3．∴a+b=1-3=-2．故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解决本题的关键．
10．（2022·浙江杭州·模拟预测）课本上有一例题：求方程组的自然数解，是这样解的：因为x，y为自然数，列表尝试如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1 0
900 1050 1200 1350 1500 1650 1800
可见只有，符合这个方程组，所以方程组的解为
从上述过程可以看出，这个求方程组解的思路是（ ）
A．先消元，然后转化为一元一次方程，解这个一元一次方程，即可得方程组的解
B．先列出第一个方程的解，再列出第二个方程的解，然后找出两个方程的公共解，即为所求的解
C．先列出第一个方程的解，再将这些解顺次代入第二个方程进行检验，若等式成立，则可得方程组的解
D．先任意给出的一对自然数，假定是解，然后代入两个方程分别检验，两个都成立，则可得方程组的解
【答案】C
【分析】利用二元一次方程组的解的定义判断即可．
【详解】解：从上述过程可以看出，这个求方程组解的思路是，先列出第一个方程的解，再将这些解顺次代入第二个方程进行检验，若等式成立，则可得方程组的解．故选：C．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江·七年级期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是_______．
①；②；③；④
【答案】③④
【分析】根据二元一次方程组的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：由二元一次方程组的概念可得：①；②是二元一次方程组，③；④不是二元一次方程组，因为不满足方程是整式及未知数的最高次项是2次，故答案为③④．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程组的概念是解题的关键．
12．（重庆市第七中学校2021-2022学年七年级下学期第一次月考数学试题）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则____________．
【答案】4
【分析】把代入方程组，得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：把代入得：
，①+②得：3a-2b=4，故答案为：4．
【点睛】此题考查解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于a、b的方程组是解题关键．
13．（江苏省宿迁市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）若是关于x、y的方程组的解，则的值为____________．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的定义，代入方程组，求出，的值，即可求解．
【详解】∵是关于x、y的方程组的解，
∴∴∴，故答案为：4
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，理解二元一次方程组的解定义是解本题的关键．
14．（江苏省扬州市江都区第三中学2021-2022学年七年级下学期5月月考数学试题）若方程组无解，则a的值为________
【答案】-6
【分析】根据加减消元法得出，然后根据方程组无解，得到a+6=0，求出即可．
【详解】解∶，①×3+②，得，
∵方程组无解，∴a+6=0，∴a=-6．故答案为：-6．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程（a＋6＝0），题目比较典型，有一点难度，是一道容易出错的题目．
15．（浙江省舟山市普陀区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）写出一组以为解的二元一次方程组：______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】以1和-1列出两个算式，确定出所求方程组即可．
【详解】解：解是的二元一次方程组为，故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
16．（浙江省宁波市慈溪市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）若关于x，y的方程组 的解是 ，则为_______．
【答案】63
【分析】首先把代入原方程组中得到关于a、b的方程组，然后把所求代数式利用平方差公式分解因式即可求解．
【详解】解：把代入原方程组中得，
∴4a2-9b2=（2a+3b）（2a-3b）=7×9=63．故答案为63．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，也利用了平方差公式分解因式解决问题．
17．（辽宁省葫芦岛市兴城市第二初级中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）某同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知是关于x，y 的方程y=kx+b的一个解，则b的正确值应该是________
【答案】
【分析】将和b=6代入方程组，解出k的值．然后再把代入y=kx+b中解出b的值．
【详解】解：依题意将代入y=kx+6，得：2=-k+6，k=4；
将和k=4代入y=kx+b，得1=3×4+b，∴b=-11．故答案为：-11．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解法．先将已知代入方程得出k的值，再把k代入一次函数中可解出b的值．运用代入法是解二元一次方程常用的方法．
18．（北京十一晋元中学2021-2022学年七年级下学期6月教学质量诊断数学试题）已知关于，的二元一次方程的解如下表：
… 0 1 …
… 4 2 …
关于，的二元一次方程的解如下表：
… 0 1 …
… 4 1 …
则关于，的二元一次方程组的解是______．
【答案】
【分析】分别从两个表格中找到两个方程的公共解，即可求解．
【详解】解：∵从两个表格中可知，是关于，的二元一次方程和关于，的二元一次方程的公共解，
∴关于，的二元一次方程组的解是故答案为：．
【点睛】此题考查了含有字母参数的二元一次方程组的同解问题，关键是能通过两个表格找到两个方程的公共解．
19．（2022·浙江杭州·七年级统考期末）如图所示，下列各组数的题序已经填入图中适当的位置①；②；③；④．则二元一次方程组的解是__________．
【答案】
【分析】根据方程组的解的含义直接得出答案．
【详解】解：∵两个方程的公共解即为方程组的解，
∴二元一次方程组的解是故答案为：
【点睛】本题考查二元一次方程组的解；理解二元一次方程组的解与方程组的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．哪些是二元一次方程组？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）
【答案】（1）（3），见解析
【详解】解：(1)、(3)是二元一次方程组，因为他们是共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程
21．判断是否为方程组的解．
【答案】是
【分析】把代入原方程组的两个方程，从而可得答案．
【详解】解：把代入①，
把代入②，
所以同时满足方程①与②，所以是二元一次方程组的解，
【点睛】本题考查的是判断二元一次方程组的解，掌握代入检验的方法判断二元一次方程组的解是解题的关键．
22．（2022安徽省合肥市七年级12月月考数学试题）已知关于，的方程组的解也是二元一次方程的解，请求出方程组的解及的值．
【答案】；23．
【分析】此题可先将方程组的m消去，然后与x y＝3联立，根据二元一次方程组的解法来求出x，y，将其代入②，可得出m．
【详解】解②-①得x 3y＝ 1③ 联立x y＝3得
消去m得方程组为 解这个方程组，得，
代入②，得：m＝15+8=23．
【点睛】此题考查的是对二元一次方程组的解的计算，通过代入x、y的值即可得出答案．
23．（1）判断是方程组的解吗？
（2）已知，是方程组的解，求的值．
【答案】（1）是；（2）2．
【分析】（1）根据方程解的定义分别代入每个方程的左边与右边验证是否相等，再确定方程组的解；
（2）根据方程组的解将方程组的解代入方程组，求解即可．
【详解】解：（1）当时代入第一个方程左边=，右边=，左边=右边，
∴是的解，
当时代入第二个方程左边=，右边=，左边=右边，
∴是的解，
∴是方程组的解；
（2）∵是方程组的解，
∴，解得，∴．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，与利用方程组的解求参数，掌握方程组的解是方程组的各方程的公共解，会解方程组是关键．
24．（北京市怀柔区第五中学2021—2022学年七年级下学期数学期末试卷）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
(1)填空：将写成矩阵形式为：；
(2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为：，按照定义即可写出矩阵；
（2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解代入方程组，解得系数a、b．
【详解】（1）解：整理方程得，，因此矩阵形式为：；
（2）根据矩阵形式得到方程组为： ，
将代入上述方程得，，解得：．
【点睛】本题是二元一次方程组求解题，解题关键在于正确理解题意并计算．
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专题2-2 二元一次方程组
模块一：知识清单
1）将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组。
注：二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个。
2）判断二元一次方程组的方法：
①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成.
3）二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解。
4）检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解。
注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·浙江温州·七年级统考期中）以为解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江杭州·模拟预测）与方程构成的方程组，其解为的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）若是方程组的解，则的值是( )
A． B． C． D．
5．（2022·安徽·合肥市八年级阶段练习）下列方程组中，有无数组解的是（ ）
A． B． C． D．
6．（河南省商丘市夏邑县2021-2022学年七年级下学期数学学情分析二（四分之三考试）试题）已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A．8 B．5 C．3 D．10
7．（2022北京七年级下学期期中考试数学试题）满足方程组的，的值的和等于，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
8．（云南省文山壮族苗族自治州砚山县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．
9．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）已知是二元一次方程组的解，则a＋b的值是（ ）
A． B．3 C．2 D．
10．（2022·浙江杭州·模拟预测）课本上有一例题：求方程组的自然数解，是这样解的：因为x，y为自然数，列表尝试如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1 0
900 1050 1200 1350 1500 1650 1800
可见只有，符合这个方程组，所以方程组的解为
从上述过程可以看出，这个求方程组解的思路是（ ）
A．先消元，然后转化为一元一次方程，解这个一元一次方程，即可得方程组的解
B．先列出第一个方程的解，再列出第二个方程的解，然后找出两个方程的公共解，即为所求的解
C．先列出第一个方程的解，再将这些解顺次代入第二个方程进行检验，若等式成立，则可得方程组的解
D．先任意给出的一对自然数，假定是解，然后代入两个方程分别检验，两个都成立，则可得方程组的解
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江·七年级期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是_______．
①；②；③；④
12．（重庆市第七中学校2021-2022学年七年级下学期第一次月考数学试题）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则____________．
13．（江苏省宿迁市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）若是关于x、y的方程组的解，则的值为____________．
14．（江苏省扬州市江都区第三中学2021-2022学年七年级下学期5月月考数学试题）若方程组无解，则a的值为________
15．（浙江省舟山市普陀区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）写出一组以为解的二元一次方程组：______．
16．（浙江省宁波市慈溪市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）若关于x，y的方程组 的解是 ，则为_______．
17．（辽宁省葫芦岛市兴城市第二初级中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）某同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知是关于x，y 的方程y=kx+b的一个解，则b的正确值应该是________
18．（北京十一晋元中学2021-2022学年七年级下学期6月教学质量诊断数学试题）已知关于，的二元一次方程的解如下表：
… 0 1 …
… 4 2 …
关于，的二元一次方程的解如下表：
… 0 1 …
… 4 1 …
则关于，的二元一次方程组的解是______．
19．（2022·浙江杭州·七年级统考期末）如图所示，下列各组数的题序已经填入图中适当的位置①；②；③；④．则二元一次方程组的解是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．哪些是二元一次方程组？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）
21．判断是否为方程组的解．
22．（2022安徽省合肥市七年级12月月考数学试题）已知关于，的方程组的解也是二元一次方程的解，请求出方程组的解及的值．
23．（1）判断是方程组的解吗？
（2）已知，是方程组的解，求的值．
24．（北京市怀柔区第五中学2021—2022学年七年级下学期数学期末试卷）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
(1)填空：将写成矩阵形式为：；
(2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值．
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