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专题2-3 解二元一次方程组
模块一：知识清单
1）消元法的目的：消去一个未知数，转化为方便求解的一元一次方程。
2）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法。
3）代入消元法的步骤：
①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程。
③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解。
4）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法。
5）加减消元法步骤：
①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；
②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；
③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春·浙江·七年级期中）解二元一次方程组，把②代入①，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用代入消元法计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：解二元一次方程组
，把②代入①，则结果正确的是，故选：C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2022春·浙江金华·七年级校联考阶段练习）已知二元一次方程组，如果用加减法消去n，则下列方法可行的是（ ）
A．①×4+②×5 B．①×5+②×4 C．①×5﹣②×4 D．①×4﹣②×5
【答案】B
【分析】利用加减消元法消去n即可．
【详解】解：已知二元一次方程组，如果用加减法消去n，则下列方法可行的是①×5+②×4，故选：B．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）已知，且．则（ ）
A． B．1 C．3 D．4
【答案】A
【分析】将已知两个二元一次方程联立方程组，解出未知数x，y的值，代入计算即可．
【详解】解：由题意可联立方程组，由①得③，
把③代入②得，解得，，
即，．故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
4．（2022春·浙江温州·七年级校联考阶段练习）若方程组的解也是方程的解，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】加减消元法解二元一次方程组，然后把方程组的解代入方程，即可求解．
【详解】解：，得，解得，
将代入①得，解得，
将代入，得，解得，故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
5．（2022年河北省唐山市路北区中考一模数学试题）在解二元一次方程组时，若①-②可直接消去未知数y，则和（ ）
A．互为倒数 B．大小相等 C．都等于0 D．互为相反数
【答案】B
【分析】根据加减消元法判断即可．
【详解】解：在解二元一次方程组时，若①-②可直接消去未知数y，则和大小相等，故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
6．（2022北京七年级下学期期中考试数学试题）满足方程组的，的值的和等于，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，由加减消元法把①②，得③；然后由与的和等于，得到④，再根据③④，得，最后把代入④得，因此可解得．故选C.
7．（海南省海口市第十四中学2021-2022学年七年级下学期第一次练习数学试题）如图，天秤中的物体a、b、c使天秤处于平衡状态，则物体a与物体c的重量关系是（ ）
A．2a=3c B．4a=9c C．a=2c D．a=c
【答案】B
【分析】根据题意即得出，，即可用a和c表示出b，即得出a和c的关系．
【详解】根据题意可知，，
∴，，∴，∴．故选B．
【点睛】本题考查解二元一次方程中的代入消元．正确的用a和c表示出b是解题关键．
8．（2022·山东济宁·七年级期末）已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据方程组，求出，再代入和中，得到关于a、b的方程组，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
由①+②得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
把，代入和中得：
，解得：．故选：A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，遇到有关二元一次方程组的解的问题时，将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程组中的字母系数．
9．（2022·湖南怀化·七年级期末）在解方程组时，一同学把c看错而得到，正确的解应是，那么的值是（ ）
A．不能确定 B．－3 C．－1 D．1
【答案】D
【分析】将错解代入得到a与b的关系式，再由正确解求出c，联立方程即可求得a、b进而得出答案．
【详解】解：将x=-2，y=2代入ax-by=2，可得：-2a-2b=2，
∵正确的解为x=3，y=2，
∴，解得c=-2，联立，解得，
∴a+b-c=0-1+2=1，故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题关键在于分析题意，联立方程组，解出答案．
10．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组，以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程的解；②存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y=6则k=1．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②
【答案】A
【分析】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
【详解】解：①当k＝0时，原方程组可整理得：，解得： ，
把代入x﹣2y＝﹣4得：x﹣2y＝﹣2﹣2＝﹣4，即①正确，
②解方程组，得：
若x+y＝0，则（3k﹣2）+（1﹣k）＝0，解得：k＝，
即存在实数k，使得x+y＝0，即②正确，
③解方程组，，得： ，∴x+3y＝3k﹣2+3（1﹣k）＝1，
∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，故③正确；
④解方程组，，得：，若3x+2y＝6∴k＝，故④错误，故选：A．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解的定义．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（河南省商丘市睢县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）解方程组适合用_______消元法，解方程组适合用_______消元法．
【答案】 加减 代入
【分析】根据加减消元法适用于未知数前面系数不为1的方程组，代入消元法适用于未知数前系数是1的方程组，即可进行解答．
【详解】解:根据题意得：方程组中，-5y和5y符号相反，用加减消元法更合适；
方程组中，用代入法直接将x=4y代入x+5y=9中更合适．
故答案为：加减，代入．
【点睛】本题主要考查了选择合适的方法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法适用的情况是解题的关键．
12．（2022年辽宁省沈阳市第七中学中考数学模拟试卷）二元一次方程组的解是______．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的解法，采用加减消元法，由得出，求出，再把代入求出即可．
【详解】解：，，得，解得：，
把代入，得，解得：，
所以原方程组的解是，故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，掌握解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种，根据方程组中方程的结果选择恰当方法是解决问题的关键．
13．（宁夏银川2021-2022学年下学期九年级第二次模拟数学试题）已知，满足方程组，则的值为______．
【答案】-2
【分析】根据等式的性质方程①与方程②相减即可．
【详解】解：，得，，即，故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解等式的性质是解决问题的前提，方程①与方程②相减是解决问题的关键．
14．（2022年广西柳州市城中区九年级第三次教学质量检测数学试题）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是______．
【答案】丙
【分析】观察四位同学的解题过程，找出出错的即可．
【详解】解： ，由①得：x＝ ③，
把③代入②得：，去分母得：24﹣9y﹣10y＝10，
解得：y＝，由③得：x＝．则合作中出现错误的同学为丙．故答案为：丙．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
15．（2022年广东省清远市清城区九年级下学期一模数学试题）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为________．
【答案】6
【分析】先消元用 表示出方程组的解，再代入已知条件，即可求得．
【详解】因为，故可得，代入，
则，则4p=24,解得．故答案为：6．
【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，解一元一次方程的应用，属基础题，关键是能根据题意得出关于p的方程
16．（2022·浙江·七年级专题练习）已知关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为___________．
【答案】2
【分析】本题不需要解方程组，只需要将两个方程相加，得到,于是有，再利用构造以k为未知数的一元一次方程，易求出k的值．
【详解】解：由方程组得：∴∴
又∵∴∴故答案是2
【点睛】在解决同解方程或同解方程组时，常用的方法是求出相应未知数的值，但在实际解题时要充分运用整体代入法简化计算的步骤．
17．（2022·江苏·扬州市江都区七年级阶段练习）若方程组无解，则a的值为________
【答案】-6
【分析】根据加减消元法得出，然后根据方程组无解，得到a+6=0，求出即可．
【详解】解∶，①×3+②，得，
∵方程组无解，∴a+6=0，∴a=-6．故答案为：-6．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程（a＋6＝0），题目比较典型，有一点难度，是一道容易出错的题目．
18．（2022·浙江·七年级期末）已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则______．
【答案】-1
【分析】将方程组中的两个方程变形后联立消掉即可得出结论．
【详解】解：是常数），
=10，即，
．故答案为：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022年江苏省南京市秦淮区中考二模数学试卷）解方程组 ．
【答案】
【分析】利用加减消元法计算，即可求解．
【详解】解∶ ①×2-②得：，解得：，
把代入①，得：，解得：，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键．
20．（吉林省长春市第二实验高新学校2022-2023学年上学期七年级第一次月考数学试题）解方程组：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可；
（2）利用求出y的值，然后代入求出x的值．
【详解】（1）解：，将①代入②得：，
解得：，代入①中，解得：，
∴方程组的解为：；
（2）解：，得③，
得④，
得，解得：，
将代入①可得：，解得：，
∴方程组的解为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，能利用了消元的思想进行解方程组，和知道消元的方法有：代入消元法与加减消元法是解题的关键．
21．（2022·浙江·七年级专题练习）若关于x，y的二元一次方程组和有相同的解，求：（1）这两个方程组的解；（2）代数式的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由两个方程组同解可得，解方程组可得答案；
（2）把代入两个系数未知的方程可得：，解方程组求解的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得：
①+②得：
把代入①得：
所以这两个方程组的解是：
（2）把代入可得：，
③④得：
把代入③得：
所以：
【点睛】本题考查的是同解方程，二元一次方程组的解法，代数式的值，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2022年广东省广州市中考数学考前冲刺试题）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．
【答案】
【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程将①代入方程②，得到1+2y＝9，解得y＝4，再将y＝4代入①得：x＝7，得到原方程组的解为：．
【详解】解：，
将①代入②得：1+2y＝9，即y＝4，将y＝4代入①得：x＝7，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个代数式作为一个整体代入另一个方程．
23．（重庆市璧山区八校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可．
解得：，∴，解这个二元一次方程组即可．
【详解】（1）∵方程组的解是，∴，解得： ；
（2）对于，令，
则原方程组可化为，解得：，∴，解得：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．
24．（山东省东营市河口区2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
（2）如何解方程组呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
（3）由此请你解决下列问题：
若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值．
【答案】（1）；（2）；（3）a＝3，b＝2．
【分析】（1）利用加减消元法，可以求得；
（2）利用换元法，设m+5=x，n+3=y，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x，y的值进一步可求出原方程组的解；
（3）把am和bn当成一个整体利用已知条件可求出am和bn，再把bn代入2m-bn=-2中求出m的值，然后把m的值代入3m+n=5可求出n的值，继而可求出a、b的值．
【详解】解：（1）两个方程相加得，
∴，
把代入得，
∴方程组的解为：；
故答案是：；
（2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为，
由（1）可得：，
∴m+5＝1，n+3＝2，
∴m＝-4，n＝-1，
∴，
故答案是：；
(3)由方程组与有相同的解可得方程组，
解得，
把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，
解得m＝1，
再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，
解得n＝2，
把m＝1代入am＝3得：a＝3，
把n＝2代入bn＝4得：b＝2，
所以a＝3，b＝2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，重点是考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想．
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专题2-3 解二元一次方程组
模块一：知识清单
1）消元法的目的：消去一个未知数，转化为方便求解的一元一次方程。
2）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法。
3）代入消元法的步骤：
①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程。
③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解。
4）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法。
5）加减消元法步骤：
①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；
②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；
③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春·浙江·七年级期中）解二元一次方程组，把②代入①，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·浙江金华·七年级校联考阶段练习）已知二元一次方程组，如果用加减法消去n，则下列方法可行的是（ ）
A．①×4+②×5 B．①×5+②×4 C．①×5﹣②×4 D．①×4﹣②×5
3．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）已知，且．则（ ）
A． B．1 C．3 D．4
4．（2022春·浙江温州·七年级校联考阶段练习）若方程组的解也是方程的解，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022年河北省唐山市路北区中考一模数学试题）在解二元一次方程组时，若①-②可直接消去未知数y，则和（ ）
A．互为倒数 B．大小相等 C．都等于0 D．互为相反数
6．（2022北京七年级下学期期中考试数学试题）满足方程组的，的值的和等于，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．（海南省海口市第十四中学2021-2022学年七年级下学期第一次练习数学试题）如图，天秤中的物体a、b、c使天秤处于平衡状态，则物体a与物体c的重量关系是（ ）
A．2a=3c B．4a=9c C．a=2c D．a=c
8．（2022·山东济宁·七年级期末）已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·湖南怀化·七年级期末）在解方程组时，一同学把c看错而得到，正确的解应是，那么的值是（ ）
A．不能确定 B．－3 C．－1 D．1
10．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组，以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程的解；②存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y=6则k=1．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（河南省商丘市睢县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）解方程组适合用_______消元法，解方程组适合用_______消元法．
12．（2022年辽宁省沈阳市第七中学中考数学模拟试卷）二元一次方程组的解是______．
13．（宁夏银川2021-2022学年下学期九年级第二次模拟数学试题）已知，满足方程组，则的值为______．
14．（2022年广西柳州市城中区九年级第三次教学质量检测数学试题）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是______．
15．（2022年广东省清远市清城区九年级下学期一模数学试题）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为________．
16．（2022·浙江·七年级专题练习）已知关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为___________．
17．（2022·江苏·扬州市江都区七年级阶段练习）若方程组无解，则a的值为________
18．（2022·浙江·七年级期末）已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则______．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022年江苏省南京市秦淮区中考二模数学试卷）解方程组 ．
20．（吉林省长春市第二实验高新学校2022-2023学年上学期七年级第一次月考数学试题）解方程组：
(1)；(2)．
21．（2022·浙江·七年级专题练习）若关于x，y的二元一次方程组和有相同的解，求：（1）这两个方程组的解；（2）代数式的值．
22．（2022年广东省广州市中考数学考前冲刺试题）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．
23．（重庆市璧山区八校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
24．（山东省东营市河口区2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
（2）如何解方程组呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
（3）由此请你解决下列问题：
若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值．
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