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专题2-5 三元一次方程组及其解法
模块一：知识清单
1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组。
2）解三元一次方程组的方法和步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程组中，不是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三元一次方程组的定义，含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组，找不不符合定义的选项即可．
【详解】三元一次方程组要同时满足三个条件：①含有三个未知数；②所含未知数的项的次数都是1；③是整式方程.由定义可得：
A、B、C选项都符合定义，而D选项中的xy，yz项的次数是2，不符合三元一次方程组的定义.
故选：D.
【点睛】考查三元一次方程组的定义，解题关键利用三元一次方程组的定义，即要同时满足三个条件：①含有三个未知数；②所含未知数的项的次数都是1；③是整式方程.
2．三元一次方程有无数个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把x、y和z的值代入方程检验即可．
【详解】因为方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，
所以把A、B、C、D选项中x，y与z的值代入方程检验可得：只有D选项能使方程左右两边相等.故选：D.
【点睛】考查了三元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．（吉林省长春北师大附属学校2021-2022学年下学期七年级4月线上教学质量检测数学试题）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（ ）
A．① +③ ，① ×2﹣② B．① +③ ，③ ×2+② C．②﹣① ，②﹣③ D．①﹣② ，① ×2﹣③
【答案】C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去
【详解】得： 得：
方程组变形为，刚好消去z故选：C
【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键．
4．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）已知是方程组的解，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】把代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案
【详解】解：根据题意，把代入方程组，得，
由①+②+③，得，∴；故选：A
【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算
5．（湖南师大附中教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）小李在某电商平台上选择了甲，乙，丙三种商品，当购物车内选件甲，件乙，件丙时显示价格为元；当选件甲，件乙，件丙时显示价格为元，那么购买甲，乙，丙各一件时显示价格为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【分析】设件甲商品元，件乙商品元，件丙商品元，由题意得： ，
由①+②得： ，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：设件甲商品元，件乙商品元，件丙商品元，
由题意得： ，
由①+②得： ， ，故选：C．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，正确列出方程组并求出是解决问题的关键．
6．（2022·湖北黄冈·七年级期末）已知x，y，z满足 ，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】按照解三元一次方程组的步骤先求出、，后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，由①+②得： ，∴ ③，
将③代入①，得 ，解得： ，
∴ = =3，故选：B．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握解三元一次方程组的方法——代入消元法和加减消元法是解题的关键．
7．（广东省梅州市丰顺县潭山中学2022-2023学年八年级上学期12月月考数学试卷）若 ，， 是从 ，， 这三个数中取值的一列数，且 ，，则在 ，， 中，取值为 的个数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设其中有a个0，b个1，c个2，则；由，可得；由，可得；联立得到方程组，求解即可．
【详解】解：由，，…，是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，设其中有a个0，b个1，c个2，则；
由，可得；
由，可得；
联立得到，解得，
∴在 ，， 中，取值为的个数为．故选：C．
【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解决问题的关键．
8．（河南省南阳市南召县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）我们探究得方程的正整数解只有1组，方程的正整数解只有2组，方程的正整数解只有3组，……，那么方程的正整数解的组数是（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】B
【分析】先把x+y看作整体t，得到t+x=9的正整数解有7组；再分析x十y分别等于2、3、4、……、9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．
【详解】解：令x+y=t（t≥2），则t+z=9的正整数解有7组（t=2，1=3，t=4，……，t=8）
其中t=x+y=2的正整数解有1组，t=x+y=3的正整数解有2组，
t=x+y=4的正整数解有3组……，t=x+y=8的正整数解有7组，
总的正整数解组数为：1+2+3+…+7=28．故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和三元一次方程的解，可将三元方程里的两个未知数看作一个整休，再分别计算．
9．（2021春·浙江金华·七年级统考期末）已知买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需（ ）元
A．16 B．60 C．30 D．66
【答案】B
【分析】设铅笔单价为x元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，由题意：买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，列出方程组，求出x+y+z=6，即可求解．
【详解】解：设铅笔单价为x元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，
由题意得：，
由①×2-②得：x+y+z=6，∴10x+10y+10z=10×6=60，
即购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需60元，故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用以及“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
10．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）根据舟山市政府疫情防控要求，所有进入舟山车辆要在金塘服务区下高速，接受防疫检查．已知金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口，假定各收费出口每小时通过的车流量是不变的，同时开放其中两个收费出口，统计这两个出口1小时一共通过的汽车的数量记录如下
收费出口编号 ①，② ②，③ ③，④ ④，⑤ ⑤，①
通过汽车数量（辆） 80 100 70 130 120
则下列说法错误的是：（ ）
A．①出口1小时通过汽车的数量最少；
B．⑤出口1小时通过汽车的数量最多；
C．②出口1小时通过汽车的数量是④出口的两倍：
D．①和④出口1小时通过汽车的数量之和等于③出口1小时通过的汽车数量．
【答案】D
【分析】设金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口每小时通过车的数量分别为a辆、b辆、c辆、d辆、e辆．根据表格中的数据列出方程组并解答．
【详解】解：设金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口每小时通过车的数量分别为a辆、b辆、c辆、d辆、e辆，
根据题意，得．解得．
所以a＜d＜c＜b＜e，b=2d，a+d＞c．
所以①出口1小时通过汽车的数量最少，⑤出口1小时通过汽车的数量最多，②出口1小时通过汽车的数量是④出口的两倍，①和④出口1小时通过汽车的数量之和大于③出口1小时通过的汽车数量．
观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查多元一次方程组，解题的关键的读懂题意，找到等量关系，列出方程组．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．三元一次方程：含有___未知数，并且含有未知数的项的___都是____，这样的方程叫做三元一次方程．
【答案】 三个 次数 1
【分析】由题意直接利用三元一次方程的定义进行填空即可.
【详解】解：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
故答案为：三个，次数，1.
【点睛】本题考查三元一次方程的定义，注意掌握含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
12．（上海市嘉定区民办桃李园实验学校2021-2022学年六年级下学期期中数学试题）三元一次方程组的解是________.
【答案】
【分析】将第一个式子减去第二个式子，再加上第二个式子，可以算出x的值，就可以把y、z的值都求出来．
【详解】由题意可知： 将-得x-z=2∴2x=-2∴x=-1
∴-1-z=2∴z=-3∴y=3
故原方程组的解为 故答案为：．
【点睛】本题考查三元一次方程组的解法．熟练掌握消元法解方程组是解决本题的关键．
13．若是一个三元一次方程，那么_______， ________．
【答案】 -1 0
【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案．
【详解】由题意得：，解得：．故答案为：-1，0．
【点睛】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义．
14．（江西省南昌市第二中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）若，则代数式的值为________．
【答案】45
【分析】将所给式子相加即可得．
【详解】解：，①＋②＋③得：，
整理得：，故答案为：45．
【点睛】本题考查了代数式求值，三元一次方程组的解法，解题的关键的掌握代数式求值．
15．（安徽省合肥市包河区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根、乙种1根、丙种3根，共长23米；甲种1根、乙种4根、丙种5根，共长36米；问甲种1根、乙种2根、丙种3根，共长______米．
【答案】22
【分析】设甲、乙、丙三种规格的钢条每根长分别为x米，y米，z米，根据题意列出方程组，即可得到x＋2y＋3z的值．
【详解】解：设甲、乙、丙三种规格的钢条每根长分别为米，米，米，由题意得
，①×2+②×3，得，
即，故米．故答案为：22．
【点睛】本题考查了三元一次方程组，根据题意列出方程组，得到x＋2y＋3z的值是解题的关键．
16．（2022·浙江金华·统考一模）现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了______张．
【答案】7
【分析】设需要的A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，x、y、z均为正整数，从面积入手，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，再结合总面积为55，来讨论求解．
【详解】由图可知，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，
则有方程，x、y、z均为正整数，
则未知数的取值范围为：x取0至11的正整数，y取0至9的正整数，z取0至6的正整数；
当x=0时，此时表明只选择了B、C两张纸片，则有：，即，
55无法被3整除，显然此时y、z无法取正整数，不合题意，则必选了A纸片；
当z=0时，此时表明只选择了A、B两种纸片，则有：，即，
55无法被2整除，显然此时x、y无法取正整数，不合题意，则必选了C纸片；
从题目所求可知，不必讨论当y=0时的情况，
综上可以发现除B纸张外，A、C至少都取了一张，
则有，即，即B型纸张最多用了7张，故答案为：7．
【点睛】本题考了三元一次方程的正整数解的知识，通过题中条件找到未知数的范围，即可求解．题目包含有不定方程的知识，本题作为填空题难度较大．
17．（2022·山东青岛市·七年级期末）如图所示的三阶幻方，其对角线、横行、纵向的和都相等，则根据所给数据，可以确定这个和为 。
【答案】12
【分析】根据对角线、横行、纵向的和都相等，设出未知数求解即可．
【详解】解：如图，设对角线上的三个数字为x、y、z，三阶幻方的和=中心数字×3，
由题意得 ，解得，∴三阶幻方的和10+2+0=12．
【点睛】本题考查了奇阶幻方的特征的灵活应用，解题的关键是掌握三阶幻方的和=中心数字×3．
18．（2022秋·浙江·八年级专题练习）中午放学后，有a个同学在学校一食堂门口等候进食堂就餐，由于二食堂面积较大，所以配餐前二食堂等待就餐的学生人数是一食堂的2倍，开始配餐后，仍有学生继续前来排队等候就餐，设一食堂排队的学生人数按固定的速度增加，且二食堂学生人数增加的速度是一食堂的2倍，两个食堂每个窗口阿姨配餐的速度是一样的，一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放20个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；若需要在15分钟时刚好配餐完毕，则两个食堂需要同时一共开放_________个配餐窗口．
【答案】29
【分析】设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，根据“一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放20个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕”，即可得出关于x，y，a的三元一次方程组，解之即可用含y的代数式表示出a，x，设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，根据需要在15分钟时配餐完毕，即可得出关于m的方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，
依题意得：，∴，
设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，
依题意得：15my=a+2a+15×（x+2x），解得：m=29，故答案为：29．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·浙江杭州·七年级统考期中）
【答案】
【分析】先用②+③求得x，然后代入②得：y＝x＋3z－4 ④，再将④代入①可求得z，然后将x、z代入④可求得y．
【详解】解：②＋③得：5x＝2，∴x＝，由②得：y＝x＋3z－4 ④，
将④代入①得：2x－3（x＋3z－4 ）＋4z＝12，
解得：z＝－，将x＝，z＝－代入④得：y＝－，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
20．（2022年广西南宁市直属学校四大学区中考二模数学试题）【阅读感悟】
有些关于方程组的问题，所求的不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组，则=______，=______；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买10支铅笔、4块橡皮、2本日记本共需28元，买19支铅笔、7块橡皮、3本日记本共需48元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
【答案】(1)2，6
(2)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需8元
(3)-12
【分析】（1）将两方程相减可求x﹣y的值，将两方程相加可求x+y的值，；
（2）设每只铅笔m元，每块橡皮n元，每本日记p元，由题意列出方程组，即可求解；
（3）由题意列出方程组，即可求解．
【详解】（1）解：，
由①﹣②可得：x﹣y＝2，
由（①+②）可得：x+y＝6．
故答案为：2，6；
（2）解：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
依题意得：，
由可得，
答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需8元．
（3）解：依题意得：，
由可得：，
即．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键．
21．（北师大版八年级下第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第三节一元一次不等式及其应用）某仓库有50件同一规格的某种集装箱，准备委托运输公司送到码头，运输公司有每次可装运1件、2件、3件这种集装箱的三种型号的货车，这三种型号的货车每次收费分别为120元、160元、180元现要求安排20辆货车刚好一次装运完这些集装箱，问这三种型号的货车各需多少辆？有多少种安排方式？哪些安排方式所需的运费最少？最少运费是多少？
【答案】有， ，，，，，这六种安排方式，第6种方式运费最低，最低费用为3300元．
【分析】先设需要装运1件、2件、3件集装箱的货车分别为x辆、y辆、z辆，再根据题意列出关于x、y、z的方程组，用x表示出y、z的值，再根据y≥0即可求出符合条件的未知数的对应值．
【详解】解：设需要装运1件、2件、3件集装箱的货车分别为x辆、y辆、z辆，
依题意得，则．
∵，∴∴，
故x只能取0、1、2、3、4、5共有：
、、、、、，这六种安排方式．
设总运费为元，则．
当5时，总运费最低；最低运费为：（元）．
【点睛】本题考查的是三元一次不定方程的应用，以及不等式的应用，根据题意列出三元一次不定方程是解答此题的关键．
22．（内蒙古自治区乌海市海勃湾区第二中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______．
【答案】；解方程组过程见解析；；；
【分析】根据换元法可以将原方程组化为，①+②+③得出然后分别求出A、B、C的值即可．
【详解】解：令=A，=B，=C，则方程组可变为：，
①+②+③得，
得：，
得：，
得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了换元法解方程组，根据题意得出，是解题的关键．
23．（山东省济南市历下区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
(1)已知，求的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
【答案】(1)
(2)节省了元
【分析】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，求出按照原价本笔记本、支签字笔、支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数．
【详解】（1）解：（1），
①②得：，
则；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得：，
∴，
（元），
则比原价购买节省了元．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．
24．（2022·浙江绍兴·七年级校考期中）某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品．
(1)小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？
(2)小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
(3)如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？
【答案】(1)小明原计划购买文具袋13个
(2)小明购买了30支钢笔，20支签字笔
(3)一共有7种购买方案，见解析
【分析】（1）设小明原计划购买文具袋x个，利用总价单价数量，结合多买一个反而省11元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，利用总价单价数量，结合购买两种笔共50支且共花费288元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，根据单价可列方程为，最后结合题意进行讨论即可．
【详解】（1）设小明原计划购买文具袋x个，
依题意得：，解得：．
答：小明原计划购买文具袋13个．
（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，
依题意得：，解得：．
答：小明购买了30支钢笔，20支签字笔．
（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，
由题意得，
∵三样都要买，且把48元恰好用完，
∴有如下方案：
①当时，把48元恰好用完；
②当时，把48元恰好用完；
③当时，把48元恰好用完；
④当时，把48元恰好用完；
⑤当时，把48元恰好用完；
⑥当时，把48元恰好用完；
⑦当时，把48元恰好用完，
综上所述，一共有7种购买方案．
【点睛】本题考查了一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
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专题2-5 三元一次方程组及其解法
模块一：知识清单
1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组。
2）解三元一次方程组的方法和步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元
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全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程组中，不是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．三元一次方程有无数个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（吉林省长春北师大附属学校2021-2022学年下学期七年级4月线上教学质量检测数学试题）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（ ）
A．① +③ ，① ×2﹣② B．① +③ ，③ ×2+② C．②﹣① ，②﹣③ D．①﹣② ，① ×2﹣③
4．（2022·浙江杭州·七年级校考期中）已知是方程组的解，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．（湖南师大附中教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）小李在某电商平台上选择了甲，乙，丙三种商品，当购物车内选件甲，件乙，件丙时显示价格为元；当选件甲，件乙，件丙时显示价格为元，那么购买甲，乙，丙各一件时显示价格为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
6．（2022·湖北黄冈·七年级期末）已知x，y，z满足 ，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（广东省梅州市丰顺县潭山中学2022-2023学年八年级上学期12月月考数学试卷）若 ，， 是从 ，， 这三个数中取值的一列数，且 ，，则在 ，， 中，取值为 的个数为 （ ）
A． B． C． D．
8．（河南省南阳市南召县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）我们探究得方程的正整数解只有1组，方程的正整数解只有2组，方程的正整数解只有3组，……，那么方程的正整数解的组数是（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
9．（2021春·浙江金华·七年级统考期末）已知买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需（ ）元
A．16 B．60 C．30 D．66
10．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）根据舟山市政府疫情防控要求，所有进入舟山车辆要在金塘服务区下高速，接受防疫检查．已知金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口，假定各收费出口每小时通过的车流量是不变的，同时开放其中两个收费出口，统计这两个出口1小时一共通过的汽车的数量记录如下
收费出口编号 ①，② ②，③ ③，④ ④，⑤ ⑤，①
通过汽车数量（辆） 80 100 70 130 120
则下列说法错误的是：（ ）
A．①出口1小时通过汽车的数量最少；
B．⑤出口1小时通过汽车的数量最多；
C．②出口1小时通过汽车的数量是④出口的两倍：
D．①和④出口1小时通过汽车的数量之和等于③出口1小时通过的汽车数量．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．三元一次方程：含有___未知数，并且含有未知数的项的___都是____，这样的方程叫做三元一次方程．
12．（上海市嘉定区民办桃李园实验学校2021-2022学年六年级下学期期中数学试题）三元一次方程组的解是________.
13．若是一个三元一次方程，那么_______， ________．
14．（江西省南昌市第二中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）若，则代数式的值为________．
15．（安徽省合肥市包河区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根、乙种1根、丙种3根，共长23米；甲种1根、乙种4根、丙种5根，共长36米；问甲种1根、乙种2根、丙种3根，共长______米．
16．（2022·浙江金华·统考一模）现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了______张．
17．（2022·山东青岛市·七年级期末）如图所示的三阶幻方，其对角线、横行、纵向的和都相等，则根据所给数据，可以确定这个和为 。
18．（2022秋·浙江·八年级专题练习）中午放学后，有a个同学在学校一食堂门口等候进食堂就餐，由于二食堂面积较大，所以配餐前二食堂等待就餐的学生人数是一食堂的2倍，开始配餐后，仍有学生继续前来排队等候就餐，设一食堂排队的学生人数按固定的速度增加，且二食堂学生人数增加的速度是一食堂的2倍，两个食堂每个窗口阿姨配餐的速度是一样的，一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放20个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；若需要在15分钟时刚好配餐完毕，则两个食堂需要同时一共开放_________个配餐窗口．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·浙江杭州·七年级统考期中）
20．（2022年广西南宁市直属学校四大学区中考二模数学试题）【阅读感悟】
有些关于方程组的问题，所求的不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组，则=______，=______；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买10支铅笔、4块橡皮、2本日记本共需28元，买19支铅笔、7块橡皮、3本日记本共需48元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
21．（北师大版八年级下第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第三节一元一次不等式及其应用）某仓库有50件同一规格的某种集装箱，准备委托运输公司送到码头，运输公司有每次可装运1件、2件、3件这种集装箱的三种型号的货车，这三种型号的货车每次收费分别为120元、160元、180元现要求安排20辆货车刚好一次装运完这些集装箱，问这三种型号的货车各需多少辆？有多少种安排方式？哪些安排方式所需的运费最少？最少运费是多少？
22．（内蒙古自治区乌海市海勃湾区第二中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______．
23．（山东省济南市历下区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
(1)已知，求的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
24．（2022·浙江绍兴·七年级校考期中）某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品．
(1)小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？
(2)小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
(3)如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？
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