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专题2-4 二元一次方程组的应用
模块一：知识清单
1）列方程组解应用题步骤
（1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：
①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。
（2）解应用题的一般步骤为：
①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；
②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；
③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；
④解答。
2）分析数量关系的常用方法
（1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
（2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。该方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022年浙江省宁波市江北区九年级中考数学模拟试题（二模））我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺， 罗九尺，共价适等； 只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干 ” 意思是： 现在有一匹7尺长的绫布和一匹9 尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，问两种布每尺各多少钱 设绫布每尺文，罗布每尺文，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“7尺长的绫布和一匹9 尺长的罗布恰好一样贵”和“每尺罗布比绫布便宜36文”列出方程组即可．
【详解】解：根据题意得，
，故选C
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，灵活找出等量关系是解答本题的关键．
2．（重庆市沙坪坝区南开中学2022-2023学年八年级上学期入学定时练习数学试题）上学年初一某班的学生都是两人一桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，设上学年该班有男生x人，女生y人，则列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据初一某班的学生都是两人一桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，列二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意，得
，故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并根据题意建立方程组是解题的关键．
3．（2022年山东省临沂市沂水县中考数学二模试题）如图为某快餐店促销活动的内容，某同学到该快餐店购 买相差4元的2种快餐各1份，结账时，店员说：你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样，这位同学想了想说：我还是只多买 1 瓶指定饮料吧，要求你以最便宜的方式给我结账，这位同学要付的金额是（ ）
A．56 B．57 C．58 D．60
【答案】A
【分析】设价格较低的饭团单价为x元，价格较高的饭团单价为y元，根据题意列二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：设价格较低的饭团单价为x元，价格较高的饭团单价为y元，由题意得
，解得，
较贵的饭团和一瓶饮料一起算组合优惠价，共29元，
需要付元，故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．（2022年江苏省扬州市高邮市网络阅卷第二次适应性练习九年级数学试题）小军在文具店购买了数支单价为1元/支的碳素水笔芯和若干块单价为1.5元/块的橡皮，共花费了9元，则小军购买的笔芯和橡皮的数量可能相差（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】设小军购买的笔芯支，橡为块，根据题意列出二元一次方程，根据整数解求解即可．
【详解】设小军购买的笔芯支，橡为块，根据题意，得,即,
为正整数,,,故选:C,
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
5．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中）用四个一样的长方形和一个小的正方形（如图）拼成了一个大的正方形．大正方形的面积是100平方米，小正方形的面积是16平方米，则长方形的短边长为（ ）米．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】设长方形短边长为x米，长边长为y米，根据大正方形的面积是100平方米，小正方形的面积是16平方米可列出方程组 ，求解x即可得到答案．
【详解】设长方形短边长为x米，长边长为y米，则由图可知大正方形边长为米，小正方形边长为米；
大正方形的面积为100平方米，小正方形的面积为16平方米，
，解得：； 长方形的短边长为3米．故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的几何应用，根据题意选取合适的量设未知数并列出方程组，是本题的解题关键．
6．（2022·浙江杭州·七年级校考期中）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身个，或制作盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是：（1）盒身的个数×2＝盒底的个数；（2）制作盒身的铁皮张数＋制作盒底的铁皮张数＝35，再列出方程组即可．
【详解】解：设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，
根据题意可列方程组：．故选：C．
【点睛】本题考查从实际问题中抽出二元一次方程组，注意运用本题中隐含的一个相等关系：—个盒身与两个盒底配成一套盒．根据题目给出的条件，找出合适的等量关系是解题的关键．
7．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，现有图1所示的长方形纸板360张和正方形纸板140张，制作图2所示的A，B两种长方体形状的无盖纸盒，刚好全部用完．问能制作A型盒子、B型盒子各多少个？如果设做A型盒子用了正方形纸板x张，做B型盒子用了正方形纸板y张，则以下列出的方程组中正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设做A型盒子用了正方形纸板x张，做B型盒子用了正方形纸板y张，根据等量关系式：A型盒子用的正方形纸板+B型盒子用的正方形纸板=140张，A型盒子用的长方形纸板+B型盒子用的长方形纸板=360张，列出方程组即可．
【详解】解：设做A型盒子用了正方形纸板x张，做B型盒子用了正方形纸板y张，则可以制作A型盒子x个，B型盒子个，根据题意得：
，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程组的应用，根据题意找出题目中的等量关系，是解题的关键．
8．（2022年湖北省武汉市中考数学真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可．
【详解】解：设如图表所示：
根据题意可得：x+6+20=22+z+y，整理得：x-y=-4+z，
x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，整理得：x=-2+z，y=2z-22，
∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，解得：z=12，∴x+y=3z-24=12故选：D．
【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解题关键．
9．（2022年广东省深圳市南山区三月份中考数学模拟试题）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（ ）倍．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】A
【分析】设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米，利用路程=速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出y=2x，进而可得出城际快车的平均速度是普通火车平均速度的2倍．
【详解】解：设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米，
依题意得，解得：，∴．故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
10．（2022年重庆市璧山区中考模拟数学试题）我国很早就开始对数学的研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中，《九章算术》的“方程”一章中，有许多关于一次方程组的内 容，这一章的第一个问题译成现代汉语是这样的：“上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗．问上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗？”如图1的算筹代表了古代解决这个问题的方法，设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食斗、斗、斗，则可列方程组为：类似地，图2所示的算筹我们可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得，在算筹中，第一列代表的系数，第二列代表的系数，最后一列为式子的和，据此求解即可．
【详解】解：根据题意可得，在算筹中，第一列代表的系数，第二列代表的系数，最后一列为式子的和，则图2所示的算筹我们可以表示为故选：A
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解算筹中各个符号代表的含义．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022年浙江省绍兴市上虞区初中毕业生学业评价文化考试适应性练习（模拟）数学试题）我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设鸡只，兔只，则由头数可列出方程，那么由足数可列出的方程为______．
【答案】
【分析】根据题意得x只鸡的足数+y只兔的足数=94，再根据等量关系列出方程即可．
【详解】根据题意，得
2x+4y=94．
故答案为：2x+4y=94．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，确定等量关系是列方程的关键．
12．（2022年山东省日照市港中学5月中考模拟数学试题）中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则列出的方程组是_______．
【答案】或
【分析】根据如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设x人参与组团，物价为y元，
由“如果每人出9元，则多了4元”，可得9x=y+4或y=9x-4，
由“如果每人出6元，则少了5元”，可得6x=y-5或y=6x+5
故可得方程组或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是找出等量关系，列出相应的方程组．
13．（2022年山东省高唐县九年级第二次模拟考试数学试题）五一期间，时代商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利20元，而按原售价的六折出售，将亏损60元，则该商品的原售价为_____．
【答案】400元
【分析】设原售价为y元，成本价为x元，根据题意，列方程组，求y即可．
【详解】设原售价为y元，成本价为x元，
根据题意，列方程组，解得，故答案为：400元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确列方程组是解题的关键．
14．（2022年山东省青岛市高新区九年级一模数学试题）某校准备购买签字笔和笔袋奖励优秀学生，第一次购买签字笔40支，笔袋30个，购买总价为960元.第二次购买签字笔60支，笔袋50个，购买总价为1500元.每次购买签字笔和笔袋的单价都相同，求签字笔和笔袋的单价分别是多少元 若设签字笔元/支，笔袋元/个，则根据题意可列方程组为_______________.
【答案】
【分析】根据题意找到等量关系，列出方程组即可．
【详解】解:由第一次购买签字笔40支，笔袋30个，购买总价为960元可得:40x+30y=960，
由第二次购买签字笔60支，笔袋50个，购买总价为1500可得: 60x+50y=1500，
∴可列方程组为，故答案为: ．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组,根据题意找到等量关系是解题的关键．
15．（河南省新乡市辉县市2021-2022学年七年级下学期第三次月考数学试题）对于有理数x、y，规定新运算，其中a，b是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算，已知，，则______，______．
【答案】 2 ﹣
【分析】利用题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．
【详解】解：由题中的新定义得：，解得：，故答案为：2；
【点睛】此题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）某人用24000元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15%，乙股票下跌10%时卖出，共获利1350元，则此人买甲股票的钱比买乙股票的钱多_____元．
【答案】6000
【分析】本题包含两个等量关系是：甲股票的价钱+乙股票的价钱=24000；甲股票赚的钱-乙股票赔的钱=1350．
【详解】解：设买了甲股票x元，乙股票y元．
则 ，整理，得 ，①×2+②得5x=75000，
解得．15000-9000=6000，故答案为：6000．
【点睛】此题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键要明确本题中的第二个等量关系是最简单的等量关系．甲股票赚的钱-乙股票赔的钱=1350．在此类题中应找到最简单的等量关系，以防出错．
17．（2022年北京市房山区九年级一模考试）某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B两种树种．经过试种后发现，种植A种树苗a棵，种下后成活了棵，种植B种树苗b棵，种下后成活了（b-2）棵．第一阶段两种树苗共种植40棵，且两种树苗的成活棵树相同，则种植A种树苗_________棵．第二阶段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若m=2n，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A种树苗成活棵数_________种植B种树苗成活棵数（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】 22 >
【详解】解：第一阶段，依题意得：，解得：，
则种植A种树苗22棵；
第二阶段，∵种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若m=2n，
∴A种树苗成活了 n+5(棵)，B种树苗成活了n-2(棵)，
∴这两个阶段A种树苗共成活了×22+5+ n+5= n+21(棵)，
B种树苗共成活了18-2+ n-2= n+14(棵)，
∵n+21> n+14，∴这两个阶段A种树苗共成活棵数>B种树苗共成活棵数，故答案为：>．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，整式的加减运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．（重庆市沙坪坝区第八中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）三月初某书店销售A、B两种书籍，销售36本A书籍和25本B书籍收入3495元，销售24本A书籍和30本B书籍收入3330元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际购买了原价或打折的两种书籍，共花费3150元，其中购买的A种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买A种打折书籍________本．
【答案】15
【分析】设A种书籍的售价为x元，B种书籍的售价为y元，根据题意列二元一次方程求出x，y的值，设原价购买A种书籍本，打折购买A种书籍本，原价购买B中书籍本，打折购买B种书籍本，根据题意得，整理得到，表示出，由均为正整数得到方程的解，由此得到答案．
【详解】解：设A种书籍的售价为x元，B种书籍的售价为y元，则
，解得，
设原价购买A种书籍本，打折购买A种书籍本，原价购买B中书籍本，打折购买B种书籍本，则，整理得：，
∴，∴，得，
∵均为正整数，∴（舍去）或（舍去）或，故答案为：15．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的解，正确理解题意，列得方程组或二元一次方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（河北省邯郸市临漳县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）2020年新型冠状病毒肺炎在全球蔓延，口罩成了人们生活中的必备物资，某口罩厂现安排A、B两组工人共150人加工口罩，A组工人每小时可加工口罩50个，B组工人每小时可加工口罩70个，A、B两组工人每小时一共可加工口罩9100个，试问：A、B两组工人各多少人？
【答案】A组工人有70人， B组工人80人．
【分析】设A组工人有x人，B组工人有y人，根据A、B两组工人共150人，每小时可加工口罩9100个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设A组工人有x人，B组工人有y人，
依题意得：，
解得：．
答：A组工人有70人，B组工人有80人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
20．（2022年安徽省安庆市五校联考中考一模数学试题）某工厂去年的总产值比总支出多90万元，今年比去年的总产值增加10%，总支出节约20%．如果今年的总产值比总支出多120万，那么去年的总产值和总支出分别是多少万元？
【答案】去年的总产值和总支出分别是160万和70万元
【分析】根据去年的产值—支出关系，今年的产值—支出关系，列方程求解；
【详解】解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意，得，
由y=x－90得：1.1x－0.8×（x－90）=120，
0.3x＋72=120，
0.3x=48，
x=160，
y=x－90=70，
∴方程组的解为：；
答：去年的总产值和总支出分别是160万和70万元．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出题中的等量关系列方程组是解题的关键．
21．（2022年江苏省泰州市医药高新区（高港区）中考二模数学试卷）为有效防控新冠肺炎疫情，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，若购买2包口罩和3包酒精湿巾共需19元，购买5包口罩和1包酒精湿巾共需28元．
(1)求每包口罩和每包酒精湿巾的单价；
(2)妈妈给了小明50元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），请问小明有哪几种购买方案？
【答案】(1)5元、3元
(2)三种方案：7包口罩和5包酒精湿巾、4包口罩和10包酒精湿巾、1包口罩和15包酒精湿巾
【分析】（1）设每包口罩x元，每包酒精湿巾y元，根据题意列二元一次方程组，解得方程组即可．
（2）设购买口罩a包，酒精湿巾b包，由题意得，，又a，b均为正整数，由此求得所有的方案．
(1)
解：设每包口罩x元，每包酒精湿巾y元，
由题意得，，
②×3得，，
③-①得，，解得，
将代入①得，，
故原方程组的解为，，
答：每包口罩5元，每包酒精湿巾3元．
(2)
解：设购买口罩a包，酒精湿巾b包，
由题意得，，
∵a，b均为正整数，
∴或或，
答：一共有三种方案，分别为：7包口罩和5包酒精湿巾、4包口罩和10包酒精湿巾、1包口罩和15包酒精湿巾．
【点睛】本题考查了与销售问题相关的二元一次方程及二元一次方程组的解法，充分理解题意列出正确的方程或方程组是解题的关键．
22．（重庆市第一中学校2021-2022学年七年级下学期阶段消化作业（四）数学试题）正值春夏换季的时节，某商场用12000元分别以每件120元和60元的价格购进了某品牌衬衫和短袖共140件．
(1)商场本次购进了衬衫和短袖各多少件？
(2)若该商场以每件180元的价格销售了衬衫总进货量的25%，将短袖在成本的基础上提价20%销售．在销售过程中，有5件衬衫因损坏无法销售，为了减少库存积压，该商场准备将剩下的衬衫在原售价的基础上降价销售，每件衬衫降价多少元，该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到益利25.5%的预期目标．
【答案】(1)衬衫60件，短袖80件
(2)降价15元
【分析】（1）设商场本次购进了衬衫x件，短袖y件， 利用总价=单价×数量，结合商场共购进了某品牌衬衫和短袖共140件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）每件衬衫降价元，根据预期利润=衬衫利润-衬衫降价亏损-衬衫损坏+短袖利润，即可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
(1)
解：设商场本次购进了衬衫x件，短袖y件，
依题意的：，
解得：．
答：商场本次购进了衬衫60件，短袖80件
(2)
以180元的价格销售的衬衫：（件），
降价销售的衬衫：（件），
销售短袖的利润：（元），
设：每件衬衫降价元，
依题意得：
解得：
答：每件衬衫降价15元，该商场销售完这批村衫和短袖正好达到益利25.5%的预期目标．
【点睛】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23．（2022年广西钦州市钦北区九年级学科素养监测数学试题（一））“一方有难，八方支援”是我国的优良传统美德．我市在3月份发生新冠疫情时，某地就有甲、乙两家单位组织员工开展捐款支援我市抗疫的活动，已知甲、乙两单位共捐款24000元，甲单位有员工150人，乙单位有员工180人，乙单位的人均捐款数是甲单位的．
(1)问甲、乙单位员工人均捐款数分别为多少元？
(2)现两家单位共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱1500元，种防疫物资每箱1200元，若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完．请你帮这两家单位设计购买方案，共有哪几种购买方案（两种防疫物资均按整箱配送）？
【答案】(1)甲单位人均捐款为100元，乙单位人均捐款为50元
(2)有两种方案：①种物资8箱，种物资10箱；②种物资4箱，种物资15箱
【分析】（1）设甲单位人均捐款为x元，乙单位人均捐款为y元，由题意：甲、乙两单位共捐款24000元，甲单位有员工150人，乙单位有员工180人，乙单位的人均捐款数是甲单位的，列出方程组，解方程组即可；
（2）设A种物资a箱，B种物资b箱，由题意：两家单位共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱1500元，B种防疫物资每箱1200元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
(1)
解：（1）设甲单位人均捐款为元，乙单位人均捐款为元，
由题意得：，
解得：，
答：甲单位人均捐款为100元，乙单位人均捐款为50元；
(2)
（2）设种物资箱，种物资箱，
由题意可得，
∴，
∴，
又∵购买种物资不少于10箱，且、为正整数，
∴，或，．
∴有两种方案：①种物资8箱，种物资10箱；②种物资4箱，种物资15箱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：弄清题意，找准等量关系，列出方程（组）．
24．（福建省莆田市南门学校2021-2022学年七年级下学期第一次月考数学试题）某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．
(1)如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
①根据题意，甲、乙同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：乙：
根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y，，表示的意义，然后在等式右边补全甲乙两名同学所列方程组
甲：x表示 ，y表示 ；乙：表示 ，表示 ；
②甲同学根据他所列方程组解得x＝300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．
(2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要再购买c吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，同时满足原料总重量的2倍，求需要再购买多少吨的原料？
【答案】(1)①产品的重量，原料的重量，产品销售额，原料费，5000，97200，5000，97200，；②1887800
(2)8吨
【分析】（1）①仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出，的值并补全方程组即可；
②将的值代入方程组即可得到结论．
（2）依据题意列出方程可求出的值，进而可得出结论．
（1）
解：甲：表示产品的重量，表示原料的重量，
乙：表示产品销售额，表示原料费，
甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙同甲；
则甲：
乙：，
故答案为：产品的重量；原料的重量；产品销售额；原料费．
②将代入原方程组解得，
产品销售额为元，
原料费为元，
运费为元，
（元），
答：这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元．
（2）
解：设工厂原计划从地购买的原料为吨，则送往地的产品为吨，
原料总重量是产品总重量的2倍，
．
解得：．
则原料的总重量为：吨，产品的总重量为：吨．
产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，
．
解得：．
．
答：需要再购买8吨的原料．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确建立方程组进行求解．
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专题2-4 二元一次方程组的应用
模块一：知识清单
1）列方程组解应用题步骤
（1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：
①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。
（2）解应用题的一般步骤为：
①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；
②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；
③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；
④解答。
2）分析数量关系的常用方法
（1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
（2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。该方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022年浙江省宁波市江北区九年级中考数学模拟试题（二模））我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺， 罗九尺，共价适等； 只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干 ” 意思是： 现在有一匹7尺长的绫布和一匹9 尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，问两种布每尺各多少钱 设绫布每尺文，罗布每尺文，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
2．（重庆市沙坪坝区南开中学2022-2023学年八年级上学期入学定时练习数学试题）上学年初一某班的学生都是两人一桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，设上学年该班有男生x人，女生y人，则列方程组为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022年山东省临沂市沂水县中考数学二模试题）如图为某快餐店促销活动的内容，某同学到该快餐店购 买相差4元的2种快餐各1份，结账时，店员说：你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样，这位同学想了想说：我还是只多买 1 瓶指定饮料吧，要求你以最便宜的方式给我结账，这位同学要付的金额是（ ）
A．56 B．57 C．58 D．60
4．（2022年江苏省扬州市高邮市网络阅卷第二次适应性练习九年级数学试题）小军在文具店购买了数支单价为1元/支的碳素水笔芯和若干块单价为1.5元/块的橡皮，共花费了9元，则小军购买的笔芯和橡皮的数量可能相差（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中）用四个一样的长方形和一个小的正方形（如图）拼成了一个大的正方形．大正方形的面积是100平方米，小正方形的面积是16平方米，则长方形的短边长为（ ）米．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·浙江杭州·七年级校考期中）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身个，或制作盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，现有图1所示的长方形纸板360张和正方形纸板140张，制作图2所示的A，B两种长方体形状的无盖纸盒，刚好全部用完．问能制作A型盒子、B型盒子各多少个？如果设做A型盒子用了正方形纸板x张，做B型盒子用了正方形纸板y张，则以下列出的方程组中正确的为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022年湖北省武汉市中考数学真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
9．（2022年广东省深圳市南山区三月份中考数学模拟试题）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（ ）倍．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
10．（2022年重庆市璧山区中考模拟数学试题）我国很早就开始对数学的研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中，《九章算术》的“方程”一章中，有许多关于一次方程组的内 容，这一章的第一个问题译成现代汉语是这样的：“上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗．问上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗？”如图1的算筹代表了古代解决这个问题的方法，设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食斗、斗、斗，则可列方程组为：类似地，图2所示的算筹我们可以表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022年浙江省绍兴市上虞区初中毕业生学业评价文化考试适应性练习（模拟）数学试题）我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设鸡只，兔只，则由头数可列出方程，那么由足数可列出的方程为______．
12．（2022年山东省日照市港中学5月中考模拟数学试题）中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则列出的方程组是_______．
13．（2022年山东省高唐县九年级第二次模拟考试数学试题）五一期间，时代商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利20元，而按原售价的六折出售，将亏损60元，则该商品的原售价为_____．
14．（2022年山东省青岛市高新区九年级一模数学试题）某校准备购买签字笔和笔袋奖励优秀学生，第一次购买签字笔40支，笔袋30个，购买总价为960元.第二次购买签字笔60支，笔袋50个，购买总价为1500元.每次购买签字笔和笔袋的单价都相同，求签字笔和笔袋的单价分别是多少元 若设签字笔元/支，笔袋元/个，则根据题意可列方程组为_______________.
15．（河南省新乡市辉县市2021-2022学年七年级下学期第三次月考数学试题）对于有理数x、y，规定新运算，其中a，b是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算，已知，，则______，______．
16．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）某人用24000元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15%，乙股票下跌10%时卖出，共获利1350元，则此人买甲股票的钱比买乙股票的钱多_____元．
17．（2022年北京市房山区九年级一模考试）某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B两种树种．经过试种后发现，种植A种树苗a棵，种下后成活了棵，种植B种树苗b棵，种下后成活了（b-2）棵．第一阶段两种树苗共种植40棵，且两种树苗的成活棵树相同，则种植A种树苗_________棵．第二阶段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若m=2n，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A种树苗成活棵数_________种植B种树苗成活棵数（填“＞”“＜”或“＝”）．
18．（重庆市沙坪坝区第八中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）三月初某书店销售A、B两种书籍，销售36本A书籍和25本B书籍收入3495元，销售24本A书籍和30本B书籍收入3330元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际购买了原价或打折的两种书籍，共花费3150元，其中购买的A种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买A种打折书籍________本．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（河北省邯郸市临漳县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）2020年新型冠状病毒肺炎在全球蔓延，口罩成了人们生活中的必备物资，某口罩厂现安排A、B两组工人共150人加工口罩，A组工人每小时可加工口罩50个，B组工人每小时可加工口罩70个，A、B两组工人每小时一共可加工口罩9100个，试问：A、B两组工人各多少人？
20．（2022年安徽省安庆市五校联考中考一模数学试题）某工厂去年的总产值比总支出多90万元，今年比去年的总产值增加10%，总支出节约20%．如果今年的总产值比总支出多120万，那么去年的总产值和总支出分别是多少万元？
21．（2022年江苏省泰州市医药高新区（高港区）中考二模数学试卷）为有效防控新冠肺炎疫情，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，若购买2包口罩和3包酒精湿巾共需19元，购买5包口罩和1包酒精湿巾共需28元．(1)求每包口罩和每包酒精湿巾的单价；(2)妈妈给了小明50元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），请问小明有哪几种购买方案？
22．（重庆市第一中学校2021-2022学年七年级下学期阶段消化作业（四）数学试题）正值春夏换季的时节，某商场用12000元分别以每件120元和60元的价格购进了某品牌衬衫和短袖共140件．
(1)商场本次购进了衬衫和短袖各多少件？
(2)若该商场以每件180元的价格销售了衬衫总进货量的25%，将短袖在成本的基础上提价20%销售．在销售过程中，有5件衬衫因损坏无法销售，为了减少库存积压，该商场准备将剩下的衬衫在原售价的基础上降价销售，每件衬衫降价多少元，该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到益利25.5%的预期目标．
23．（2022年广西钦州市钦北区九年级学科素养监测数学试题（一））“一方有难，八方支援”是我国的优良传统美德．我市在3月份发生新冠疫情时，某地就有甲、乙两家单位组织员工开展捐款支援我市抗疫的活动，已知甲、乙两单位共捐款24000元，甲单位有员工150人，乙单位有员工180人，乙单位的人均捐款数是甲单位的．
(1)问甲、乙单位员工人均捐款数分别为多少元？
(2)现两家单位共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱1500元，种防疫物资每箱1200元，若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完．请你帮这两家单位设计购买方案，共有哪几种购买方案（两种防疫物资均按整箱配送）？
24．（福建省莆田市南门学校2021-2022学年七年级下学期第一次月考数学试题）某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．
(1)如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
①根据题意，甲、乙同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：乙：
根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y，，表示的意义，然后在等式右边补全甲乙两名同学所列方程组
甲：x表示 ，y表示 ；乙：表示 ，表示 ；
②甲同学根据他所列方程组解得x＝300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．
(2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要再购买c吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，同时满足原料总重量的2倍，求需要再购买多少吨的原料？
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