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浙教版2022-2023学年七下数学第三章 整式的乘除 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．已知a=833，b=1625，c=3219，则有（ ）
A．a
3．“幻方”最早记载于春秋时期的 《 大戴礼记 》 中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将-5，-3，-2，2，3，5，7，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则 的值为（ ）
A．-50 B．-100000 C．50 D．100000
（第3题） （第4题） （第5题）
4．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
5．如图，正方形ABCD和长方形DEFG的面积相等，且四边形AEFH也为正方形．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：AH2＝AB×BH．设AB＝a，BH＝b．若ab＝80，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．40 B．45 C．50 D．60
6．如图，在长方形 中放入一个边长为8的大正方形 和两个边长为6的小正方形（正方形 和正方形 ）.3个阴影部分的面积满足 ，则长方形 的面积为（ ）
A．90 B．96 C．98 D．100
7．已知 加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方,给出下面四个单项式① , ② , ③ 1 , ④ ,其中满足条件的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．已知 ， ，…， 都是正数，如果 M＝（ + +…+ ）（ + +…+ ），N＝（ + +…+ ）（ + +…+ ），那么 M，N 的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
9．若 ， ，则 的值是（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．±3
10．设，则（ ）
A．24 B．25 C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知x2﹣3x＝2，那么多项式x3﹣x2﹣8x+9的值是 ．
12．一个多项式与(x-1)(x+1)的积为x3-mx2+nx+2，则m+2n= .
13．若素数p，使得 是一个完全平方数，则p= .（若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数.）
14．若 的积不含 项，则 ．
15．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝5，ab＝3，则S1+S2＝ ；若S1+S2＝30时，则图3中阴影部分的面积S3＝ ．
16． ．
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．图①是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1： ；
方法2： ；
（2）直接写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系： ；
（3）若a+b＝7，ab＝6，求a﹣b的值．
18．两个边长分别为a、b（a>b）的正方形如图（1）放置，现在取BD的中点P，连接PA、PE，如图（2），把图形分割成三部分，分别标记①、②、③，对应的图形面积分别记为S①、S②、S③.
（1）用字母a、b分别表示S①、S②.
（2）若a-b=2，ab=15，求S①+S②.
（3）若S①+S②=3，ab=1，求S③.
19．已知关于 ， 的方程组 ，其中 是实数.
（1）若方程组的解也是方程 的一个解，求 的值；
（2）求 为何值时，代数式 的值与 的取值无关，始终是一个定值，求出这
个定值.
20．若 满足 ， 求 的值.
解：设 ， 则 ，
∴
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足(x-10) (x-20）=15，求(x -10)2+ (x-20)2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积.
21．我们知道，任意一个正整数c都可以进行这样的分解：c=a×b（a．b是正整数，且a≤b），在c的所有这些分解中，如果a，b两因数之差的绝对值最小，我们就称a×b是c的最优分解并规定：M（c）= ，例如9可以分解成1×9，3×3，因为9-1＞3-3，所以3×3是9的最优分解，所以M（9）= =1
（1）求M（8）；M（24）；M[（c+1）2]的值；
（2）如果一个两位正整数d（d=10x+y，x，y都是自然数，且1≤x≤y≤9），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和为66，那么我们称这个数为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中M（d）的最大值．
22．我们知道几个非负数的和等于0，只有这几个数同时等于0才成立，如，因为，都是非负数，则，，即可求，，应用知识解决下列各题：
（1）若，则x= ，y= ；
（2）若，则 ；
（3）若，求的值．
23．[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.
例如，把二次三项式进行配方.
解：.
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”.理由：因为.再如，（，是整数），所以也是“雅美数”.
（1）[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是 .
（2）若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ；
（3）[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值.
（4）[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”.
24．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你说明这个等式的正确性；
（2）若，，，你能很快求出的值；
（3）已知实数x，y，z，a满足，，，且．求代数式的值．
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浙教版2022-2023学年七下数学第三章 整式的乘除 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设S= ，
∴（2-1）S=（2-1）
∴S=
=
=
= ，
=
故答案为：C．
2．已知a=833，b=1625，c=3219，则有（ ）
A．a【答案】C
【解析】∵a=833=299，b=1625=2100，c=3219=295，
295<299<2100，
c故答案为：C.
3．“幻方”最早记载于春秋时期的 《 大戴礼记 》 中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将-5，-3，-2，2，3，5，7，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则 的值为（ ）
A．-50 B．-100000 C．50 D．100000
【答案】B
【解析】由题知， ，
， ， ，
由图知， ， ， ， 的值由-3，-2，2，3，7，8中取得，
，
假设取 ，则 ， ，
这时 的值从 ， ， 中取得，
当 和 ，计算验证，都不符合题意，
，这时 ，符合题意，
即 ， ， ， ，
则
故答案为：B.
4．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解析】设正方形B的边长为x，由图甲可知正方形A的边长为（x+1）
∴图乙中大正方形的边长为x+1+x=2x+1，
∵图乙中阴影部分的面积12，
∴（2x+1）2-（x+1）2-x2=12
∴2x2+4x+1-x2-2x-1-x2=12，
∴2x2+2x+1=13
∵正方形A，B的面积之和为（x+1）2+x2=2x2+2x+1=13.
故答案为：C.
5．如图，正方形ABCD和长方形DEFG的面积相等，且四边形AEFH也为正方形．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：AH2＝AB×BH．设AB＝a，BH＝b．若ab＝80，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．40 B．45 C．50 D．60
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=a，
∵ AH2＝AB×BH ，
则（a-b）2=ab=80，
∴（a+b）2
=a2+2ab+b2
=（a-b）2+4ab
=80+320
=400，
∴a+b=20或-20（舍去），
∴阴影部分的周长=2（BH+BC）
=2（a+b）
=40.
故答案为：A.
6．如图，在长方形 中放入一个边长为8的大正方形 和两个边长为6的小正方形（正方形 和正方形 ）.3个阴影部分的面积满足 ，则长方形 的面积为（ ）
A．90 B．96 C．98 D．100
【答案】A
【解析】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得：
S1的长为：8-6=2，宽为：b-8，故S1=2（b-8），
S2的长为：8+6-a=14-a，宽为：6+6-b=12-b，故S2=（14-a）（12-b），
S3的长为：a-8，宽为：b-6，故S3=（a-8）（b-6），
∵2S3+S1-S2=2，
∴2（a-8）（b-6）+2（b-8）-（14-a）（12-b）=2，
∴2（ab-6a-8b+48）+2b-16-（168-14b-12a+ab）=2，
∴ab-88=2，
∴ab=90.
故答案为：A.
7．已知 加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方,给出下面四个单项式① , ② , ③ 1 , ④ ,其中满足条件的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】 ∵ + =， 故① 正确；
∵ ，不能构成完全平方，故 ② 不正确；
∵ -1== ，故 ③ 正确；
∵ + =，故 ④ 正确；
∴满足条件得共有3个；
故答案为：B.
8．已知 ， ，…， 都是正数，如果 M＝（ + +…+ ）（ + +…+ ），N＝（ + +…+ ）（ + +…+ ），那么 M，N 的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
【答案】A
【解析】设
∵ ， ，…， 都是正数
∴
∴
故答案为：A.
9．若 ， ，则 的值是（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．±3
【答案】C
【解析】由题意得（a2+b2）2=5+a2b2，
因为ab=2，所以a2+b2= =3．
故答案为：C．
10．设，则（ ）
A．24 B．25 C． D．
【答案】A
【解析】由，
可得：，
∴，
∴，
∴
.
.
.
.
.
.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知x2﹣3x＝2，那么多项式x3﹣x2﹣8x+9的值是 ．
【答案】13
【解析】∵x2﹣3x＝2，
∴ x3-x2-8x+9，
=x3-3x2+2x2-8x+9
=x（x2-3x）+2x2-8x+9
=2x+2x2-8x+9
=2x2-6x+9
=2（x2-3x）+9
=2×2+9
=13.
故答案为：13.
12．一个多项式与(x-1)(x+1)的积为x3-mx2+nx+2，则m+2n= .
【答案】0
【解析】∵积中x的三次项的系数为1
∴另一个多项式的一次项系数也是1
∵积中有常数项为2
∴另一个多项式为（x-2）
∴(x-1)(x+1) (x-2）=x3-2x2-x+2=x3-mx2+nx2+2
∴m=2，n=-1
∴m+2n=0
故答案为：0.
13．若素数p，使得 是一个完全平方数，则p= .（若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数.）
【答案】11
【解析】设 ， 为正整数.
则 ，即 .
∴ .
由 为整数， 为正整数，且 ，得
，或 ，或 ，或 .
解得 ，或 ，或 ，或 .
又 为素数，所以 .
所以当素数 时， 是一个完全平方数.
故答案为：11.
14．若 的积不含 项，则 ．
【答案】
【解析】
=
=
∵ 的积不含 项，
∴ ，
解得： .
故答案为： ．
15．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝5，ab＝3，则S1+S2＝ ；若S1+S2＝30时，则图3中阴影部分的面积S3＝ ．
【答案】16；15
【解析】由图1得： S1 =a2-b2，
由图2得：S2 =(2b-a)b，
∴S1+S2＝a2+(2b-a)b=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=25-9=16；
S3=b2+a2-(a+b)b=(a2+b2-ab)=( S1+S2 )=×30=15.
故答案为：16，15.
16． ．
【答案】
【解析】由完全平方公式知：
，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．图①是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1： ；
方法2： ；
（2）直接写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系： ；
（3）若a+b＝7，ab＝6，求a﹣b的值．
【答案】（1）（m-n）2；（m+n）2-4mn
（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn.
（3）解：∵（a-b）2=（a+b）2-4ab=72-4×6=25，
∴a-b=±5.
【解析】（1）方：1：阴影部分的面积=小正方形的面积=（m-n）2.
故答案为：（m-n）2.
方法2：阴影部分的面积=大正方形的面积-4个长方形的面积=(m+n)2-4mn.
故答案为：（m+n）2-4mn.
（2）解：（m-n）2=（m+n）2-4mn，
故答案为：（m-n）2=（m+n）2-4mn.
18．两个边长分别为a、b（a>b）的正方形如图（1）放置，现在取BD的中点P，连接PA、PE，如图（2），把图形分割成三部分，分别标记①、②、③，对应的图形面积分别记为S①、S②、S③.
（1）用字母a、b分别表示S①、S②.
（2）若a-b=2，ab=15，求S①+S②.
（3）若S①+S②=3，ab=1，求S③.
【答案】（1）解：∵点P是BD的中点，∴BP=DP=（a+b）
（2）解：由（1） S①+S②=
∵ a-b=2，ab=15
∴ S①+S②=
=
=16
（3）解：由（2）可知 S①+S② =又∵S①+S②=3
∴a2+b2+2ab=12，
又∵ab=1
∴a2+b2=12-2ab=10
∴S③ =a2+b2- （S①+S②）
=10-3
=7
19．已知关于 ， 的方程组 ，其中 是实数.
（1）若方程组的解也是方程 的一个解，求 的值；
（2）求 为何值时，代数式 的值与 的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值.
【答案】（1）解：方程组 ，
得： ，
解得： ，
把 代入 得： ，
则方程组的解为 ，
把 代入方程 得： ，
解得： ；
（2）解：
，
，
，
， ，
‘’ 代数式‘’ 的值与 的取值无关，
当 时，代数式 的值与 的取值无关，定值为25.
20．若 满足 ， 求 的值.
解：设 ， 则 ，
∴
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足(x-10) (x-20）=15，求(x -10)2+ (x-20)2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：设x﹣10＝a，x﹣20＝b，
∴a·b=15，a﹣b=x﹣10-（x﹣20）＝10，
∴（x﹣10）2+（x﹣20）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝102+2×15＝130；
（2）解：根据题意可得：MF＝x﹣1，DF＝x﹣3，
∴S长EMFD＝（x﹣1）（x﹣3）＝48，S阴＝S正MFRN﹣S正GFDH＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2，
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，
∴a﹣b＝x﹣1-（x﹣3）＝2，a·b=48，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，
∴a+b＝14，
∴S阴＝S正MFRN﹣S正GFDH＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28.
21．我们知道，任意一个正整数c都可以进行这样的分解：c=a×b（a．b是正整数，且a≤b），在c的所有这些分解中，如果a，b两因数之差的绝对值最小，我们就称a×b是c的最优分解并规定：M（c）= ，例如9可以分解成1×9，3×3，因为9-1＞3-3，所以3×3是9的最优分解，所以M（9）= =1
（1）求M（8）；M（24）；M[（c+1）2]的值；
（2）如果一个两位正整数d（d=10x+y，x，y都是自然数，且1≤x≤y≤9），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和为66，那么我们称这个数为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中M（d）的最大值．
【答案】（1）解：由题意得，
M（8）= = ；
M（24）= = ；
M[（c+1）2]= ；
（2）解：设这个两位正整数d交换其个位上的数与十位上的数得到的新数为d'，
则d+d'=（10x+y）+（10y+x）=11x+11y=11（x+y）=66，
∵x，y都是自然数，且1≤x≤y≤9，
∴满足条件的“吉祥数”有15、24、33
∴M（15）= ，M（24）= = ，M（33）= ，
∵ ＞ ＞ ，
∴所有“吉祥数”中M（d）的最大值为 ．
22．我们知道几个非负数的和等于0，只有这几个数同时等于0才成立，如，因为，都是非负数，则，，即可求，，应用知识解决下列各题：
（1）若，则x= ，y= ；
（2）若，则 ；
（3）若，求的值．
【答案】（1）-4；3
（2）1
（3）解：变形为，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【解析】（1）根据题意，，
∵，，
∴，，
∴，，
故答案为：，．
（2）变形为，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
23．[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.
例如，把二次三项式进行配方.
解：.
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”.理由：因为.再如，（，是整数），所以也是“雅美数”.
（1）[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是 .
（2）若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ；
（3）[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值.
（4）[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”.
【答案】（1）4，8
（2）12
（3）解：
又∵，
∴，
∴，
∴
（4）证明：因为，为“雅美数”，则令，（，，，为整数）
∴
又∵，，，为整数
∴，均为整数
∴是“雅美数”.
【解析】（1）4是“雅美数”，理由：因为；
8是“雅美数”，理由：因为.
故答案为：4，8；
（2）∵，
∴，，
∴，
故答案为：12；
24．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你说明这个等式的正确性；
（2）若，，，你能很快求出的值；
（3）已知实数x，y，z，a满足，，，且．求代数式的值．
【答案】（1）解：等式右边左边，得证
（2）解：当，，时，
（3）解：，
，
，，，
，，，
原式．
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