5.5 分式方程 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
第5章 分式
5.5 分式方程
学习目标
1.了解分式方程的概念.
2.会解可化为一元一次方程的分式方程．
3.了解增根的概念，会对分式方程的根进行检验．
4.会列分式方程解简单应用题.
5.会进行简单的公式变形.
知识点1 分式方程的概念
1.分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程包含两个条件：①只含分式，或分式和整式；②分母中含有未知数.两个条件缺一不可.
例如：方程 ，分母中含有未知数，但不是分式方程.
辨析
分式方程和整式方程的区别与联系
分式方程 整式方程
区别 分母中含有未知数. 分母中不含未知数.
联系 分式方程可以转化为整式方程. 典例1 下列式子：① ;② ;③ ；④ ;⑤ .其中，分式方程有( )
A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个
A
解析：
序号 分析 结论
① 是方程，但该方程的分母中不含未知数. 不是分式方程.
② 满足分式方程的定义. 是分式方程.
③ 不是方程. 不是分式方程.
④ 不满足只含分式或分式和整式. 不是分式方程.
⑤ 是方程，但该方程的分母中不含未知数. 不是分式方程.
知识点2 分式方程的解法重点
1.解分式方程的基本思路：

2.解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤：
步骤 方法
一去分母 方程两边同乘公分母，把分式方程转化为一元一次方程.
二解 解该一元一次方程.
三检验 ①代入原方程，看方程是否成立；
②代入原方程两边所乘的公分母，看分母的值是否为零，使分母为零的根不是原方程的根.
四写 写出原分式方程的根或无解.
教材深挖
分式方程无解问题的情况
分式方程去分母后，若所得的整式方程的根使原分式方程的公分母为零，
则原分式方程无解；
若所得的整式方程是 的形式，
则整式方程无解，即原分式方程无解.
反之，若原分式方程无解，则同样可以得到所得的整式方程
的根使得原分式方程的公分母为零或所得的整式方程无解两
种情况.
典例2 解下列方程：
（1） ；
解：方程两边同乘 ，得 ．
解方程，得 ．
将 代入原方程检验：左边 右边，
所以 是原方程的根．
（2） ．
解：方程两边同乘以 ，得 ．
解方程，得 ．
把 代入原方程检验：左边 右边．
所以 是原方程的根.
知识点3 分式方程的增根 难点
1.增根：分式方程去分母转化为整式方程，若整式方程的根使分母为零，
这种根叫做原方程的增根.
2.增根满足两个条件：①是整式方程的根；②使分母的值为零.
3.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的公分母是含有
未知数的整式，这个整式有可能为零，对于整式方程来说，求
出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个
根是原分式方程的增根.
典例3 关于 的分式方程 有增根，
则 的值为( )
A. B.
C. D.
D
解析： 方程两边同乘 ，得 .
因为方程有增根， ，解得 .
， .
例题点拨
由分式方程的根的情况
求字母的值的方法
知识点4 分式方程的应用 重难点
列分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审：了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设：设未知数；
（3）列：找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解：解这个分式方程；
（5）验：检验所求的根是不是增根，是否符合题意；
（6）答：写出答案.
敲黑板
（1）审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出相等关系.当题目中包含多个相等关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的相等关系列方程.
（2）设未知数时，一般题中问什么就设什么，即设直接未知数；若设直接未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，即设间接未知数；有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数.
典例4 甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树.
解：设甲班每小时种 棵树，则乙班每小时种 棵树．
由题意可得 ，
解这个方程，得 ．
经检验， 是所列方程的根，且符合题意．
.
答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树.
本节知识归纳
考点1 解分式方程
典例5 [2022·嘉兴中考] 解方程： .
解：两边同乘 ，得 ，
解得 .
经检验，当 时， ，
所以 是原分式方程的根.
中考常考考点 难度 常考题型
考点1：解分式方程. ★★ 填空题、解答题
考点2：分式方程的实际应用. ★★★★ 选择题、解答题
考点2 分式方程的实际应用
典例6 [嘉兴中考] 为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为 元，根据题意可列方程为( )
A. B. C. D.
B
解析：∵荧光棒的单价为 元，∴缤纷棒的单价为 元.
根据题意，得 .
典例7 [湖州中考] 某企业承接了27 000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产.
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高 ，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
解：（1）设甲车间有 名工人参与生产，乙车间有 名工人参与生产.
由题意，得
解得
答：甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产．
①求乙车间需临时招聘的工人数.
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1 500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘 名工人.
由题意，得 ,解得 ．
经检验， 是所列方程的根，且符合题意．
∴乙车间需临时招聘5名工人．
②企业完成生产任务所需的时间为 （天）．
∴选择方案一需增加的费用为 （元）．
选择方案二需增加的费用为 （元）．
，∴选择方案一能更节省开支．