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2022-2023学年浙江七年级数学下学期第一章《平行线》易错题
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．(本题3分)（2023春·浙江·七年级专题练习）下列四个图形中，与互为内错角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据内错角的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．与不是内错角，不符合题意，选项错误；
B．与不是内错角，不符合题意，选项错误；
C．与是内错角，符合题意，选项正确；
D．与不是内错角，不符合题意，选项错误，
故选C．
【点睛】本题考查了内错角，能根据内错角的定义正确判断是解题关键．
2．(本题3分)（2023春·浙江·七年级专题练习）在同一个平面内的直线a，b，c，若，，则b与c的关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”分析判断即可．
【详解】解：根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”可知，
在同一个平面内的直线a，b，c，若，，
则．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行公理推论，熟练掌握平行公理及其推论是解题关键．
3．(本题3分)（2023春·浙江·七年级专题练习）在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案．
【详解】解：观察图形可知图案D通过平移后可以得到．
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的平移，解题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．
4．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）如图，下列推理中，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】B
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：A、由内错角相等，两直线平行可知如果，那么，不能得到，故此选项不符合题意；
B、由内错角相等，两直线平行可知如果，那么，故此选项符合题意；
C、由同旁内角互补，两直线平行可知，如果，那么，故此选项不符合题意；
D、由同旁内角互补，两直线平行可知，如果，那么，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
5．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）如图，已知 ，直角三角板的直角顶点在直线 上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，再根据平行线的性质可知的度数．
【详解】解：∵直角三角板的直角顶点在直线上，
∴
∵
∴
故选：
【点睛】本题考查的是平行线的性质以及垂线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
6．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）如图是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得，．已知梯形的两底，则另外两个角的度数为（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，；
故选C．
【点睛】本题考查平行线性质的应用．熟练掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
7．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：
（1）；（2）；（3）；（4），
其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊性解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故（1）错误，（2）（3）正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故（4）正确；
综上分析可知，正确的结论有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
8．(本题3分)（2023春·浙江·七年级专题练习）一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用三角板的特点结合根据平行线的性质，计算得，，利用邻补角互补可求得，在中可得到
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
在中，，，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查了根据平行线的性质求角的度数、利用邻补角互补求角度及直角三角板的特点，熟练掌握平行线的性质和利用邻补角互补求角度是解决问题的关键
9．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（ ）度时，与平行．
A．16 B．60 C．66 D．114
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：∵，都与地面l平行，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
10．(本题3分)（2023春·浙江·七年级专题练习）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
【答案】A
【分析】先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，
故选A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，直线a，b被直线c所截，则形成的角中与∠1互为内错角的是______．
【答案】∠4
【分析】根据内错角的概念判断即可．
【详解】∵直线a、b被直线c所截，
∴∠1与∠4是内错角．
故答案为：∠4．
【点睛】本题考查了内错角，内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，掌握内错角的概念是解题的关键．
12．(本题3分)（2019春·浙江杭州·七年级统考期末）如图，梯子的各条横档互相平行，若，则__________.
【答案】
【分析】根据平行线的性质进行计算即可得到答案.
【详解】由题意可知，所以根据平行线的性质可知，因为，所以，而，则可得，故.
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质.
13．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）如图，将沿BC方向平移得到，若的周长为16，则四边形的周长为__________．
【答案】
【分析】根据平移的性质得到线段相等及，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，，，，
∵的周长为16，
∴四边形的周长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查平移的性质：图形平移大小形状不改变，只是位置发生改变，对应点连线等于平移距离．
14．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转___________度．
【答案】42
【分析】先根据邻补角进行计算得到，根据平行线的判定当b与a的夹角为时，，由此得到直线b绕点A逆时针旋转．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴当时，，
∴直线b绕点A逆时针旋转．
故答案为：42．
【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．
15．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）如图，已知，则___________．
【答案】
【分析】如图，过作 过作证明可得再证明从而可得答案．
【详解】解：如图，过作 过作
∵
∴
∴
∴
而
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键．
16．(本题3分)（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少18°，则∠A的度数是__________．
【答案】或
【分析】由∠A和∠B的两边分别平行，利用平行线的性质可得出∠A=∠B或∠A+∠B=180°，结合∠A的度数比∠B度数的2倍少18°，即可求出∠A的度数．
【详解】解：∵∠A和∠B的两边分别平行，
∴∠A=∠B或∠A+∠B=180°．
∵∠A的度数比∠B度数的2倍少18°，
即∠A=2∠B-18°，
∴∠A=18°或∠A=114°．
故答案为：18°或114°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质找出∠A=∠B或∠A+∠B=180°是解题的关键．
17．(本题3分)（2021春·浙江宁波·七年级统考期末）在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t =______秒时，两块三角尺有一组边平行．
【答案】6或9或15或33
【分析】分五种情形分别构建方程即可解决问题．
【详解】解：根据题意，∠MPA=2t，∠NPD=3t，
当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，
则运动时间为t=(秒)；
当PA∥CD时，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠APC+∠CPD+∠NPD=180°，即2t+90+60+3t =180，
解得：t =6(秒)；
当PD∥AB时，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+90+3t =180，
解得：t =9(秒)；
当CD∥AB时，即PB与PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+60+3t =180，
解得：t =15(秒)；
当CP∥AB时，则四边形BECP为长方形，∠CPB=90°，
∴∠D=∠BPD=30°，
∴∠APD=∠APB-∠BPD =45°-30°=15°，
∴∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，即2t+15+3t =180，
解得：t =33(秒)；
当CD∥PA时，则∠D=∠APD=30°，
∴∠MPA +∠NPD-∠APD =180°，即2t+3t-30 =180，
解得：t =42>40，不符合题意；
综上，当运动时间t 为6或9或15或33秒时，两块三角尺有一组边平行．
故答案为：6或9或15或33．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．(本题6分)（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点、、均在小正方形的顶点，把三角形平移得到三角形，使点的对应点为．
(1)请在图中画出三角形．
(2)连接、，直接写出三角形的面积为___________．
【答案】(1)作图见详解
(2)
【分析】（1）连接，确定移动距离，过点，作的平行线，并在平行线上分别取，，连接点，，所成图形即为所求图形；
（2）根据图示（见详解），每个小正方形的边长均为1，由此可知的长，的高，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据平移的性质，作图如下，
所在位置即为所求图形的位置．
（2）解：如图所示，连接、，
∵网格中每个小正方形的边长均为1，
∴的长，过点作延长线于，
则的高，
∴三角形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查网格中三角形的变换，平移的性质，掌握平移的性质，三角形面积的计算方法是解题的关键．
19．(本题8分)（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，已知三角形的顶点，分别在直线和上，且．若，．
(1)当时，求的度数．
(2)设，，求和的数量关系（用含，的等式表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；
（2）过点过点作，可得，根据两直线平行，同旁内角互补得到，，由此得到，在中，，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线与三角形的综合运用，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
20．(本题8分)（2023春·七年级课时练习）如图，已知点、在直线上，，平分，．
(1)求证： ；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由已知条件得出，根据同旁内角互补两直线平行，即可得证；
（2）根据已知条件得出，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
21．(本题8分)（2023春·七年级课时练习）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、．
(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
(3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）过G作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数；
（2）过G作，过点P作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可得到；
（3）过G作，过E作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：如图1，过G作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：如图2，过G作，过点P作，设，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：如图3，过G作，过E作，设，，
∵交于M，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
22．(本题9分)（2023春·七年级课时练习）课题学行线问题中的“转化思想”
[阅读理解]
“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有的与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
例题如图①，已知，若，，则有_____________°．
分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截"基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质．过E点作，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得，这样可将图形转化，进而可以求出．
[方法应用]
已知，
（1）如图②，若，，求的度数；
（2）如图②，直接写出、、之间的数量关系；
（3）如图③，平分，平分，，则的度数为______________．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）过点E作，可得，从而得到，即可求解；
（2）过点E作，可得，从而得到，即可求解；
（3）过点F作，可得，从而得到，则两式相加可得，再由平分，平分，可得，进而得到，由（2）知，，即可求得结果．
【详解】解：（1）如图，过点E作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点F作，
∵，
∴，
，
即，
，
平分，平分，
，
，
或，
由（2）知，，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．难点是作辅助线——平行线．
23．(本题10分)（2023春·七年级单元测试）已知，，点M在上，点N在上．
(1)如图1中，、、的数量关系为：______．（不需要证明）
如图2中，、、的数量关系为：______．（不需要证明）
(2)如图3中，平分，平分，且，求的度数．
(3)如图4中，，，，（k是常数），且，则的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，直接写出的度数______．
【答案】(1)；
(2)；
(3)的大小没发生变化，．
【分析】（1）过E作，易得，根据平行线的性质可求解；过F作，易得，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得，可求解，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知，进而可求解．
【详解】（1）解：过E作，如图1，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
如图2，过F作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：．
故答案为：；；
（2）解：由（1）得；．
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴；
（3）解：的大小没发生变化，．
由（1）知：，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．
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2022-2023学年浙江七年级数学下学期第一章《平行线》易错题
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．(本题3分)（2023春·浙江·七年级专题练习）下列四个图形中，与互为内错角的是（ ）
A． B． C． D．
2．(本题3分)（2023春·浙江·七年级专题练习）在同一个平面内的直线a，b，c，若，，则b与c的关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定
3．(本题3分)（2023春·浙江·七年级专题练习）在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ）
A． B． C． D．
4．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）如图，下列推理中，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
5．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）如图，已知 ，直角三角板的直角顶点在直线 上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）如图是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得，．已知梯形的两底，则另外两个角的度数为（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
7．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：
（1）；（2）；（3）；（4），
其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．(本题3分)（2023春·浙江·七年级专题练习）一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
9．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（ ）度时，与平行．
A．16 B．60 C．66 D．114
10．(本题3分)（2023春·浙江·七年级专题练习）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，直线a，b被直线c所截，则形成的角中与∠1互为内错角的是______．
12．(本题3分)（2019春·浙江杭州·七年级统考期末）如图，梯子的各条横档互相平行，若，则__________.
13．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）如图，将沿BC方向平移得到，若的周长为16，则四边形的周长为__________．
14．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转___________度．
15．(本题3分)（2023春·七年级课时练习）如图，已知，则___________．
16．(本题3分)（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少18°，则∠A的度数是__________．
17．(本题3分)（2021春·浙江宁波·七年级统考期末）在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t =______秒时，两块三角尺有一组边平行．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．(本题6分)（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点、、均在小正方形的顶点，把三角形平移得到三角形，使点的对应点为．
(1)请在图中画出三角形．
(2)连接、，直接写出三角形的面积为___________．
19．(本题8分)（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，已知三角形的顶点，分别在直线和上，且．若，．
(1)当时，求的度数．
(2)设，，求和的数量关系（用含，的等式表示）．
20．(本题8分)（2023春·七年级课时练习）如图，已知点、在直线上，，平分，．
(1)求证： ；
(2)若，求的度数．
21．(本题8分)（2023春·七年级课时练习）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、．
(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
(3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．
22．(本题9分)（2023春·七年级课时练习）课题学行线问题中的“转化思想”
[阅读理解]
“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有的与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
例题如图①，已知，若，，则有_____________°．
分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截"基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质．过E点作，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得，这样可将图形转化，进而可以求出．
[方法应用]
已知，
（1）如图②，若，，求的度数；
（2）如图②，直接写出、、之间的数量关系；
（3）如图③，平分，平分，，则的度数为______________．
23．(本题10分)（2023春·七年级单元测试）已知，，点M在上，点N在上．
(1)如图1中，、、的数量关系为：______．（不需要证明）
如图2中，、、的数量关系为：______．（不需要证明）
(2)如图3中，平分，平分，且，求的度数．
(3)如图4中，，，，（k是常数），且，则的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，直接写出的度数______．
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