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3.4 乘法公式
第1课时 平方差公式
1．下列计算正确的是 ( )
A．(1－x)(1＋x)＝x2－1
B．(x＋3y)(x－3y)＝x2－9y2
C．(2x－y)(－2x－y)＝4x2－y2
D．(2b＋3a)(2b－3a)＝4b2－3a2
2．以下各式能用平方差公式计算的是 ( )
A．(a－2b)(a－2b)
B．(－a－2b)(a＋2b)
C．(－a－2b)(a－2b)
D．(a＋2b)(a＋2b)
3．与(5a－b)的积等于b2－25a2的因式为 ( )
A．5a－b
B．5a＋b
C．－5a－b
D．b－5a
4．用平方差公式计算2 013×2 011正确的是 ( )
A．(2 012＋1)×(2 012－1)
B．(2 012＋1)×(2 013－2)
C．(2 011＋2)×(2 012－1)
D．(2 010＋3)×(2 010＋1)
5．运用平方差公式计算(5x＋3y)(5x－3y)的结果是 ( )
A．25x－9y
B．25x2－9y2
C．25x2－3y2
D．25x－3y
6．计算：
(1)(3a＋2b)(2b－3a)＝(2b＋3a)(2b－3a)
＝(__ __)2－(__ __)2
＝__ __.
(2)(x－2y)(－x－2y)＝(－2y＋x)(－2y－x)
＝(__ __)2－(__ __)2
＝__ __.
7．将图3－4－1甲中阴影部分的小长方形 ( http: / / www.21cnjy.com )变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是__ __.21cnjy.com
图3－4－1
8．填空：
(1)(b＋2)(b－2)＝__ __；
(2)(b－2)(－b－2)＝__ __；
(3)(y－2m)(y＋2m)＝__ __；
(4)(ab－c)(－ab－c)＝__ __.
9．计算：
(1)98×102＝(100－__ __)×(100＋__ __)＝(__ __)2－(__ __)2＝__ __.21·cn·jy·com
(2)10×9＝(10＋__ __)×(10－__ __)＝(__ __)2－(__ __)2＝__ __.
10．运用平方差公式计算：
(1)(2a－5)(－2a－5)；
(2)；
(3)－x(x＋8)；
(4).
11．运用平方差公式计算：
(1)31×29；
(2)498×502.
12．定义为二阶行列式，规定它是运算法则为＝ad－bc，那么当x＝1时，二阶行列式的值为__ __．21教育网
13．计算：
(1)(x2＋y)(－y＋x2)－(－x)2·(－x2)；
(2)(5x－3)(5x＋3)－3x(3x－7)．
14．计算：(1)(a＋2b)(a－2b)－b(a－8b)；
(2)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)．
15．化简：(1)[2013·台州](x＋1)(x－1)－x2；
(2) 3(x2＋2)－3(x＋1)(x－1)．
16．先化简，再求值：(a＋2)2＋(1＋a)(1－a)，其中a＝－.
17．街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，问：改造后的长方形草坪的面积是多少？21世纪教育网版权所有
18．小明将一个底为正方形、高为m的无盖盒子展开，如图3－4－2①所示，测得其边长为a.
图3－4－2
(1)请你计算无盖盒子的表面展开图的面积S1(即图中阴影部分的面积)；
(2)将阴影部分拼成一个长方形，如图3－4－2②所示，这个长方形的长和宽分别是多少？面积S2是多少？2·1·c·n·j·y
(3)比较(1)、(2)的结果，你得出什么结论？
参考答案
1、【答案】B
【解析】 A不正确，应为1－x2；B正确；C不正确，应为y2－4x2；D不正确，应为4b2－9a2.www.21-cn-jy.com
2、【答案】C
3、【答案】C
【解析】 (5a－b)(－5a－b)＝(－b)2－(5a)2＝b2－25a2.选C.
4、【答案】A
5、【答案】B
6、【答案】（1）2b；3a；4b2－9a2 （2）－2y；x；4y2－x2
7、【答案】(a＋b)(a－b)＝a2－b2
8、【答案】（1）b2－4（2）4－b2（3）y2－4m2（4）c2－a2b2
9、【答案】（1）2；2；100；2；9 996（2）；；10；；99
( http: / / www.21cnjy.com )14、【答案】解：(1)原式＝a2－4b2－ab＋4b2＝a2－ab.
(2)原式＝(a2－b2)(a2＋b2)(a4＋b4)
＝(a4－b4)(a4＋b4)
＝a8－b8.
15、【答案】解：(1)原式＝x2－1－x2＝－1.
(2)原式＝3x2＋6－3(x2－1)
＝3x2＋6－3x2＋3＝9.
16、【答案】解：原式＝a2＋4a＋4＋1－a2＝4a＋5.
当a＝－时，原式＝4×＋5＝2.
17、【答案】解：依题意得(a＋2)(a－2)＝a2－4.
答：改造后的长方形草坪的面积为(a2－4)m2.
18、【答案】解：(1)S1＝a2－4m2.
(2)长方形的长和宽分别为(a＋2m)，(a－2m)，
长方形的面积S2＝(a＋2m)(a－2m)＝S1＝a2－4m2.
(3)(a＋2m)(a－2m)＝a2－4m2，验证了平方差公式．
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第2课时 完全平方公式
概 念 导 图
知 识 管 理
完全平方公式
公 式：(1)(a＋b)2＝______________；
(2)(a－b)2＝_______________.
文字表达：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方____，加上(或减去)这两数积的____倍．
特 点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中两项是左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，其符号取决于左边二项式中间的符号．
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
和
2
注 意：(1)前者叫做两数和的完全平方，后者叫做两数差的完全平方；
(2)公式中的a，b可以是数，也可以是单项式或多项式．
归 类 探 究
类型之一 直接运用完全平方公式进行计算
计算：(1)(－x＋1)2；(2)(－2x－3)2.
解： (1)x2－2x＋1 (2)4x2＋12x＋9
【点悟】 在运用完全平方公式时，如果底数中两项都含有负号，应首先处理符号．
类型之二 利用完全平方公式进行简便计算
【点悟】 利用完全平方公式可以使一些计算更简便．对于一些形式上不符合完全平方公式的可进行适当的变形，使之符合完全平方公式．
类型之三 利用乘法公式求值
先化简，再求值：(2x－1)2＋(x＋2)(x－2)－4x(x－1)，其中x＝3.
解： 6
【点悟】 运用乘法公式时要注意公式的特点，否则容易出错．
类型之四 乘法公式的综合运用
运用乘法公式计算：
(1)(a＋b＋c)(a＋b－c)；(2)(x－3y－1)(x＋3y－1)；
解： (1)a2＋2ab＋b2－c2
(2)x2－2x＋1－9y2
(4)4ab
【点悟】 此类问题综合运用平方差公式，完全平方公式．
类型之五 利用乘法公式解决生活实际问题
从一块直径为(a＋b)的圆形钢板中，挖去直径分别为a与b的两个圆，请你求出剩下钢板的面积．
【点悟】 根据实际问题列式，再运用乘法公式化简是解决此类问题的关键．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第2课时 完全平方公式
1．下列计算正确的是 ( )
A．(x＋y)2＝x2＋y2
B．(x－y)2＝x2－2xy－y2
C．(x＋2y)(x－2y)＝x2－2y2
D．(－x＋y)2＝x2－2xy＋y2
2．计算(x＋2)2的结果为x2＋□x＋4，则“□”中的数为 ( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
3．有若干张面积分别为a2，b2，ab的正方形和长方形纸片(边长分别为a，b)，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片 ( )21·cn·jy·com
A．2张
B．4张
C．6张
D．8张
4．计算(3m＋5)(－3m－5)的结果为 ( )
A．9m2－25
B．－9m2－25
C．－9m2－30m－25
D．－9m2＋30m－25
5．图3－4－3(1)是 ( http: / / www.21cnjy.com )一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图3－4－3(2)那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 ( )
图3－4－3
A．2ab
B．(a＋b)2
C．(a－b)2
D．a2－b2
6．计算：(1)(3x＋4y)2＝__ __；
(2)(－3＋2a)2＝__ __；
(3)(2a－b)2＝__ __；
(4)(－3a－2b)2＝__ __.
7．化简：(a＋1)2－(a－1)2＝__ __.
8．化简：(a＋3)2＋a(4－a)．
9．先化简，再求值：－b2，其中a＝－2，b＝3.
10．已知A＝2x＋y，B＝2x－y，计算A2－B2.
11．如图3－4－4，从边长为(a＋4 ( http: / / www.21cnjy.com ))cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1)cm的小正方形(a>0)，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则长方形的面积为 ( )21教育网
图3－4－4
A．(2a2＋5a) cm2
B．(3a＋15)cm2
C．(6a＋9)cm2
D．(6a＋15)cm2
12．观察等式：①9－1＝2×4，②2 ( http: / / www.21cnjy.com )5－1＝4×6，③49－1＝6×8，…，按照这种规律写出第n个等式：__ __．2·1·c·n·j·y
13．若代数式x2－6x＋b可化为(x－a)2－1，则b－a的值是__ __.
14．(1)已知x ＋ y＝－5，xy＝6，则x2 ＋y2＝__ __．
(2)若x＋y＝3，xy＝1，则x2＋y2＝__ __，x2－xy＋y2＝__ __.
(3)已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2＝__ __．
(4)已知ab＝－1，a＋b＝2，则代数式＋的值为__ _.
(5)已知x＋＝3，则代数式x2＋的值为__ __.
(6)已知a－b＝1，ab＝6，则a2＋b2＝__ __.
15．计算：
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；
(2)(a－b＋c)2.
16．有两个正方形的边长的和为20 cm，面积的差为40 cm2.求这两个正方形的面积分别是多少？
故这两个正方形的面积分别为121 cm2，81 cm2.
17．先化简(2x＋1)2－(2x＋1)(2x－1)＋(x＋1)·(x－2)，并请选取你所喜欢的x的值代入求值．【来源：21·世纪·教育·网】
18．图3－4－5是我国古代数学家 ( http: / / www.21cnjy.com )杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了(a＋b)n(n为非负整数)的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；再如(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出(a＋b)4的展开式：(a＋b)4＝__ __．21·世纪*教育网
图3－4－5
参考答案
1、【答案】D
【解析】 A不正确，结果应为x2＋2xy＋y2；B不正确，结果应为x2－2xy＋y2；C不正确，结果应为x2－4y2；D正确．www.21-cn-jy.com
2、【答案】D
3、【答案】B
【解析】 a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2，
故需要抽取面积为b2的正方形纸片4张．选B.
4、【答案】C
【解析】 (3m＋5)(－3m－5)＝－(3m＋5)2＝－9m2－30m－25.故选C.
5、【答案】C
【解析】 中间部分的四边形是正方形，其边长是a－b，则其面积是(a－b)2.
( http: / / www.21cnjy.com )7、【答案】4a
【解析】 (a＋1)2－(a－1)2＝(a2＋2a＋1)－(a2－2a＋1)＝4a.
8、【答案】解：(a＋3)2＋a(4－a)
＝a2＋6a＋9＋4a－a2
＝10a＋9.
9、【答案】解：原式＝4a2－4ab＋b2－b2＝4a2－4ab.
将a＝－2，b＝3代入上式，得
原式＝4×(－2)2－4×(－2)×3＝16＋24＝40.
10、【答案】解：A2－B2＝(2x＋y)2－(2x－y)2
＝(4x2＋4xy＋y2)－(4x2－4xy＋y2)
＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋4xy－y2
＝8xy.
11、【答案】D
【解析】 长方形的面积为(a＋4)2－( ( http: / / www.21cnjy.com )a＋1)2＝(a2＋8a＋16)－(a2＋2a＋1)＝a2＋8a＋16－a2－2a－1＝6a＋15.21cnjy.com
12、【答案】(2n＋1)2－1＝2n(2n＋2)
13、【答案】5
【解析】 x2－6x＋b＝x2－2ax＋a2－1，所以－2a＝－6，a2－1＝b，所以a＝3，b＝8，所以b－a＝5.21世纪教育网版权所有
14、【答案】（1）13（2）7；6（3）5（4）-6（5）7（6）13
( http: / / www.21cnjy.com )16、【答案】解：设这两个正方形的边长分别为x cm，y cm(x>y)，
则
由②得(x＋y)(x－y)＝40，
∴x－y＝2. ③
由①③得方程组
解得
故这两个正方形的面积分别为121 cm2，81 cm2.
17、【答案】解：原式＝4x2＋4x＋1－4x2＋1＋x2－x－2＝x2＋3x.
将x＝1代入x2＋3x，得x2＋3x＝1＋3＝4.
18、【答案】a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
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3.4 乘法公式
第1课时 平方差公式
概 念 导 图
知 识 管 理
平方差公式
公式：(a＋b)(a－b)＝__________.
文字表述：两数和与这两数差的积等于这两数的________ ____．
适用条件：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是相同项与系数符号相反项的平方差．
a2－b2
平方
差
归 类 探 究
类型之一 直接运用平方差公式计算
计算：(1)(－3a＋2b)(－3a－2b)；
(2)(2a－3b)(－2a－3b)．
解： (1)9a2－4b2 (2)9b2－4a2
【点悟】 运用平方差公式时要注意化为两数和与这两数差的积的形式．
类型之二 利用平方差公式进行简便运算
计算：(1)1 007×993；(2)118×122.
解： (1)999 951 (2)14 396
类型之三 多次运用平方差公式
利用平方差公式计算：(a＋3)(a－3)(a2＋9)．
解： a4－81
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