登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第2课时 完全平方公式
1．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是 ( )
A．x2＋x＋1
B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
2．下列二次三项式是完全平方式的是 ( )
A．x2－8x－16
B．x2＋8x＋16
C．x2－4x－16
D．x2＋4x＋16
3．下面各多项式中，能因式分解的是 ( )
A．m2＋n
B．m2－m＋1
C．m2－n
D．m2－2m＋1
4．把a3－2a2＋a分解因式的结果是 ( )
A．a2(a－2)＋a
B．a(a2－2a)
C．a(a＋1)(a－1)
D．a(a－1)2
5．把x2y－2y2x＋y3分解因式正确的是 ( )
A．y(x2－2xy＋y2)
B．x2y－y2(2x－y)
C．y(x－y)2
D．y(x＋y)2
6．下列因式分解不正确的是 ( D )
A．2a2－8a＋8＝2(a－2)2
B．ax2＋2axy＋ay2＝a(x＋y)2
C．a2b－2ab＋b＝b(a－1)2
D．2x3－8x2y＋8xy2＝2x(x－4y)2
7．如图4－3－2，在边长为a的正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形中，剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为 ( )
图4－3－2
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D．a2＋ab＝a(a＋b)
8．因式分解：(1) x2＋2x＋1＝__ __；
(2)x2＋6x＋9＝__ __；
(3) x2－4(x－1)＝__ __．
9．分解因式：
(1) 3a2＋6a＋3＝__ __．
(2) 3x2－18x＋27＝__ __．
(3) 2a2－4a＋2＝__ __．
(4) 4x2－8x＋4＝__ __．
(5) 2a3－8a2＋8a＝__ __．
(6) ab2－4ab＋4a＝__ __．
(7) 3a2－12ab＋12b2＝__ __．
(8)－3x2＋2x－＝__ __．
10．(1)当m＋n＝3时，式子m2＋2mn＋n2的值为__ __．
(2)若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是__ __．
11．因式分解：(1)x(x＋4)＋4；
(2)4a(b－a)－b2；
(3)64x2－80xy＋25y2.
12．已知a2＋2ab＋b2＝0，求代数式a(a＋4b)－(a＋2b)(a－2b)的值．
13．已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于 ( )
A．64 B．48
C．32 D．16
14．分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是 ( )
A．(x－1)(x－2)
B．x2
C．(x＋1)2
D．(x－2)2
15．二次三项式x2－kx＋9是一个完全平方式，则k的值是__ __．
16．因式分解：
(1) x2－xy＋xz－yz＝__ __；
(2) ab－ac＋bc－b2＝__ _；
(3)a2－b2＋ac＋bc＝__ __．
17．先因式分解，再求值：(9x2＋12xy＋4y2)－(2x－3y)2，其中x＝，y＝－.
18．利用因式分解计算：
39．82－2×39.8×49.8＋49.82.
19．你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？
(1)(x＋2y)2－2(x＋2y)＋1；
(2)(a＋b)2－4(a＋b－1)．
20．已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求x，y的值．
21．请看下面的问题：把x4＋4分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式 ( http: / / www.21cnjy.com )只有两项，而且属于平方和的形式，要使用完全平方公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)．21世纪教育网版权所有
人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解：21教育网
(1)x4＋4y4；(2)x2－2ax－b2－2ab.
参考答案
1、【答案】D
2、【答案】B
【解析】 x2＋8x＋16＝(x＋4)2，故选B.
3、【答案】D
4、【答案】D
5、【答案】C
6、【答案】D
【解析】 D不正确，2x3－8x2y＋8xy2＝2x(x2－4xy＋4y2)＝2x(x－2y)2.故选D.21·cn·jy·com
7、【答案】C
【解析】 利用两个图形面积相等的关系建立等量关系．
8、【答案】（1）(x＋1)2（2）(x＋3)2（3）(x－2)2
9、【答案】（1）3(a＋1)2（2 ( http: / / www.21cnjy.com )）3(x－3)2（3）2(a－1)2（4）4(x－1)2（5）2a(a－2)2（6）a(b－2)2（7）3(a－2b)2（8）－(3x－1)2www.21-cn-jy.com
10、【答案】（1）9（2）1
( http: / / www.21cnjy.com )12、【答案】
解：a(a＋4b)－(a＋2b)(a－2b)
＝a2＋4ab－(a2－4b2)
＝4ab＋4b2
＝4b(a＋b)．
∵a2＋2ab＋b2＝0，
∴(a＋b)2＝0，即a＋b＝0，
∴原式＝0.
13、【答案】A
14、【答案】D
【解析】 首先把x－1看做一个整体，通过观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可．21cnjy.com
(x－1)2－2(x－1)＋1＝(x－1－1)2＝(x－2)2.
15、【答案】±6
【解析】 ∵x2－kx＋9＝x2－kx＋32是完全平方式，
∴－kx＝±2×x×3，
解得k＝±6.
( http: / / www.21cnjy.com )17、【答案】解：(9x2＋12xy＋4y2)－(2x－3y)2
＝(3x＋2y)2－(2x－3y)2
＝[(3x＋2y)＋(2x－3y)][(3x＋2y)－(2x－3y)]
＝(5x－y)(x＋5y)．
当x＝，y＝－时，
原式＝×＝×＝－.
18、【答案】解：原式＝(39.8－49.8)2＝(－10)2＝100.
19、【答案】解：(1)(x＋2y)2－2(x＋2y)＋1
＝(x＋2y)2－2(x＋2y)×1＋12
＝[(x＋2y)－1]2
＝(x＋2y－1)2.
(2)(a＋b)2－4(a＋b－1)
＝(a＋b)2－4(a＋b)＋4
＝(a＋b)2－2×(a＋b)×2＋22
＝[(a＋b)－2]2
＝(a＋b－2)2.
20、【答案】解：∵x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，
∴(x2－4x＋4)＋(y2＋6y＋9)＝0，
∴(x－2)2＋(y＋3)2＝0，
∴x－2＝0，y＋3＝0，
∴x＝2，y＝－3.
( http: / / www.21cnjy.com )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 7 页） 版权所有@21世纪教育网(共10张PPT)
第2课时 完全平方公式
概 念 导 图
知 识 管 理
1．完全平方公式
公 式：(1)a2＋2ab＋b2＝__________；
(2)a2－2ab＋b2＝_________.
文字表达：两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的_____倍，等于这两数和(或差)的________．
特 征：(1)左边是二次三项式，其中首尾两项是两个数的完全平方，且它们的符号相同，中间是这两个数的积的2倍，符号正负均可；
(2)右边是两数的和(或差)的平方．
(a＋b)2
(a－b)2
平方
2
注 意：(1)公式中的a与b可以是数，也可以是单项式或多项式；
(2)注意符号的正负．
2．完全平方式的概念
定 义：多项式a2＋_______＋b2及a2－_______＋b2叫做完全平方式．
特 征：这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍．
2ab
2ab
3．公式法
定 义：利用公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)或a2±2ab＋b2＝(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法．
特 征：公式中的a，b可以是数，也可以是一个整式．
归 类 探 究
类型之一 利用完全平方公式分解因式
分解因式：
(1)16x2＋24x＋9；
(2)－3x2－12＋12x；
(3)(a＋b)2－12(a＋b)＋36.
解： (1)(4x＋3)2
(2)－3(x－2)2
(3)(a＋b－6)2
【点悟】 (1)作为首项的二次项系数为负时，一般应先提取－1或整个系数．(2)如果各项有公因式，应先提取公因式．
类型之二 完全平方式的概念
【点悟】 完全平方式有两个，故k的值也有两个，且互为相反数．
类型之三 选择合适的方法分解因式
分解因式：(1)8a3－2a(a＋1)2； (2)(x2＋y2)2－4x2y2.
解： (1)2a(3a＋1)(a－1)
(2)(x＋y)2(x－y)2
【点悟】 因式分解的步骤是“一提”、“二套”，即先看有没有公因式可提，有公因式就先提取公因式，然后再套用公式，用公式法来分解因式．
类型之四 利用完全平方公式求值
已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2x3y2＋x4y2的值．
解： 900
【点悟】 利用完全平方公式把含有两个(或两个以上)的未知数的方程变成几个非负数的和等于0的形式，再利用非负数的性质求解即可．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
4.3 用乘法公式分解因式
第1课时 平方差公式
1．下列多项式中，能用公式法分解因式的是 ( )
A．x2－xy
B．x2＋xy
C．x2＋y2
D．x2－y2
2．下列因式分解不正确的是 ( )
A．4x2－25＝(2x＋5)(2x－5)
B．a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)
C．4x2－y2＝(2x＋1)(2x－1)
D．2a2－8＝2(a＋2)(a－2)
3．下列因式分解不正确的是 ( )
A．m3－4m＝m(m＋2)(m－2)
B．x2y－9y＝y(x＋3)(x－3)
C．ax2－ay2＝a(x＋y)(x－y)
D．m3－4m＝(m2＋2m)(m－2)
4．分解因式(x－1)2－9的结果是 ( )
A．(x＋8)(x＋1)
B．(x＋2)(x－4)
C．(x－2)(x＋4)
D．(x－10)(x＋8)
5．分解因式a3－a的结果是 ( )
A．a(a2－1)
B．a(a－1)2
C．a(a＋1)(a－1)
D．(a2＋a)(a－1)
6．分解因式：
(1)x2－y2＝__ __；
(2) 1－x2＝__ __；
(3) 4－x2＝__ __；
(4) x2－64＝__ __；
(5) x2－9＝__ _；
(6) x2－9y2＝__ __．
7．分解因式：
(1) x2y－y＝__ __；
(2) 5x2－20＝__ __；
(3) a2b－4b3＝__ __；
(4) ab2－4a＝__ __；
(5) xy2－4x＝__ __；
(6) x2y4－x4y2＝__ __；
(7) 2m3－8m＝__ __；
(8) 4x3－36x＝__ _．
8．因式分解：mx2－my2.
9．因式分解：
(1)16(x＋y)2－25(x－y)2；
(2)a2(a－b)＋b2(b－a)．
10．利用因式分解计算：
(1)8×7582－2582×8；
(2).
11．已知a＝，b＝，求(a＋b)2－(a－b)2的值．
12．如图4－3－1所示，在一块边长为a ( http: / / www.21cnjy.com )厘米的正方形纸板四角，各剪去一个边长为b(b＜)厘米的正方形，利用因式分解计算当a＝13.2，b＝3.4时的剩余部分的面积．21世纪教育网版权所有
图4－3－1
13．已知a－b＝1，则a2－b2－2b的值是 ( )
A．4 B．3
C．1 D．0
14．(1)若m2－n2＝6，且m－n＝2，则m＋n＝__ __.
(2)若m－n＝2，m＋n＝5，则m2－n2的值为__ __.
(3)已知y＝2x，则4x2－y2的值是__ __.
15．请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解：4a2，(x＋y)2，1，9b2.21cnjy.com
16．在日常生活中，取款、上网等都需要密码 ( http: / / www.21cnjy.com )．有一种用“因式分解”法产生的密码，记忆方便，其原理是：对于多项式x4－y4，因式分解的结果是(x－y)(x＋y)(x2＋y2)．www.21-cn-jy.com
当取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是x－ ( http: / / www.21cnjy.com )y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162.于是就可以把“018162”看作一个六位数密码，对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是多少？(写出一个即可)．
17．老师在黑板上写出三个 ( http: / / www.21cnjy.com )算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写出了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22，….2·1·c·n·j·y
(1)请你写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
(3)说明理由．
参考答案
1、【答案】D
2、【答案】C
3、【答案】D
4、【答案】B
5、【答案】C
【解析】 (x－1)2－9＝(x－1＋3)(x－1－3)＝(x＋2)(x－4)．选B.
6、【答案】（1）(x＋y)(x－y) ( http: / / www.21cnjy.com )（2）(1＋x)(1－x)（3）(2＋x)(2－x)（4）(x－8)(x－8)（5）(x＋3)(x－3)（6）(x＋3y)(x－3y)21教育网
7、【答案】（1）y(x＋1)(x ( http: / / www.21cnjy.com )－1)（2）5(x＋2)(x－2)（3）b(a＋2b)(a－2b)（4）a(b＋2)(b－2)（5）x(y＋2)(y－2)（6）x2y2(y＋x)(y－x)（7）2m(m＋2)(m－2)（8）4x(x＋3)(x－3)21·cn·jy·com
8、【答案】解：mx2－my2＝m(x2－y2)＝ m(x＋y)(x－y)．
( http: / / www.21cnjy.com )10【答案】解：(1)原式＝8×(7582－2582)
＝8×(758＋258)×(758－258)
＝8×1 016×500
＝4 064 000；
(2)原式＝
＝＝.
11、【答案】解：(a＋b)2－(a－b)2＝(a＋b＋a－b)(a＋b－a＋b)
＝4ab＝4××＝.
12、【答案】解：a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)．
当a＝13.2，b＝3.4时，
原式＝(13.2＋2×3.4)×(13.2－2×3.4)＝20×6.4＝128.
即剩余部分的面积为128平方厘米．
( http: / / www.21cnjy.com )14、【答案】（1）3（2）10（3）0
15、【答案】解：4a2－9b2＝(2a＋3b)(2a－3b)；
(x＋y)2－1＝(x＋y＋1)(x＋y－1)；
(x＋y)2－4a2＝(x＋y＋2a)(x＋y－2a)；
(x＋y)2－9b2＝(x＋y＋3b)(x＋y－3b)；
4a2－(x＋y)2
＝[2a＋(x＋y)][2a－(x＋y)]
＝(2a＋x＋y)(2a－x－y)；
9b2－(x＋y)2
＝[3b＋(x＋y)][3b－(x＋y)]
＝(3b＋x＋y)(3b－x－y)；
1－(x＋y)2
＝[1＋(x＋y)][1－(x＋y)]
＝(1＋x＋y)(1－x－y)等．
16、【答案】解：4x3－xy2＝x(2x＋y)(2x－y)．
当x＝10，y＝10时，
x＝10，2x＋y＝2×10＋10＝30，
2x－y＝2×10－10＝10.
∴密码可以是103010.(答案不唯一)
( http: / / www.21cnjy.com )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 7 页） 版权所有@21世纪教育网(共8张PPT)
4.3 用乘法公式分解因式
第1课时 平方差公式
概 念 导 图
知 识 管 理
平方差公式
公 式：a2－b2＝______________．
文字表达：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
注 意：(1)公式中的字母a，b可以表示任何数、单项式或多项式；
(2)若给出的多项式不具备明显平方差关系，需要转化成a2－b2的形式．
(a＋b)(a－b)
归 类 探 究
类型之一 用平方差公式分解因式
分解因式：
(1)16－9x2；
(3)16(a－b)2－9(a＋b)2；
(4)x4－y4.
【点悟】 如果一个多项式可以转化为a2－b2的形式，那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式．
类型之二 提取公因式法与平方差公式的综合运用
分解因式：4m3n－16mn3＝______________ _________．
【点悟】 (1)分解因式的步骤是首先提取公因式，然后考虑用公式．(2)分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．
4mn(m＋2n)
(m－2n)
类型之三 利用平方差公式进行计算
计算：25×1012－992×25.
解： 10 000
【点悟】 利用因式分解的知识进行计算，可以使运算过程更简洁．
类型之四 利用平方差公式进行说理
请说明两个连续奇数的平方差是8的倍数．
解： 略
