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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第5章分式
5.1 分式
【知识重点】
1.分式：像、这些代数式都表示两个整式相除，且除式中含有字母，像这样的代数式就叫做分式.
2.注意：(1)分式是两个整式的商，它的形式是(其中A、B都是整式，B是必含有字母的整式)；
(2)A称为分式的分子，B称为分式的分母
3.规定：分式中字母的取值不能使分母为零。当分母的值为零时，分式就没有意义.
4. 有理式：整式和分式 统称有理式.
【经典例题】
【例1】下列各式： ，其中是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】当x=-2时，下列各式哪个无意义（ ）
A． B． C． D．
【例3】若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．
【例4】若 ，则 的值为（ ）
A．0 B．-3 C．0或-3 D．1
【例5】若，则的值是 ．
【基础训练】
1．下列各式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式： ， ， ， ，其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若分式值为正数，则x的值可能为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．要使分式 有意义，x的取值应满足（ ）
A． B．
C． 或 D． 且
6．当 时，分式 的值为0.
7．若分式 没有意义，则x的值是 .
8．已知分式 ，当x＝－3时，该分式没有意义；当x＝－4时，该分式的值为0.试求(m＋n)2019的值.
9．当x取何值时，分式；（1）无意义？（2）有意义？（3）值为0？
10．x满足什么条件时下列分式有意义：
﹣．
11．若分式 的值为负数，求x的取值范围．
12．求下列各分式的值.
（1） ，其中 ；
（2） ，其中 ；
（3） ，其中 ；
（4） ，其中 .
【培优训练】
13．当 时，分式 无意义；当 时，此分式的值为零，则 .
14．如果不论 为何实数，分式 总有意义，则 的取值范围是 .
15．下列式子，，x﹣，x3﹣，，﹣，，﹣，其中分式的个数是m，求使分式无意义的p的值．
16．已知x，y，z都不为零，且满足4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0．求 的值.
17．已知y=，x取哪些值时：（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．
18．（1）已知分式，x取什么值时，分式的值为零？
（2）x为何值时，分式的值为正数？
19．
（1）【探索】
①如果
，则
.
②如果
，则
.
（2）【总结】如果
(其中a，b，c为常数)，则m= .
（3）【应用】利用上述结论解决：若代数式 的值为整数，求满足条件的整数 的值.
20．阅读下列材料：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： =1+ 。在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如 ， ，…这样的分式是假分式；如 与 …这样的分式是真分式。类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和(差)的形式。
例如：将分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。
方法1： = = =x-1-
方法2：由分母为x+3，可设x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b(a，b为待确定的系数)
∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x +(a+3)x+(3a+b)
∴x +2x-5=x +(a+3)x+(3a+b)
对于任意x，上述等式均成立，
∴ ，解得
∴x +2x-5=(x+3)(x-1)-2
∴ = = =x-1-
这样，分式 就被化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。
【材料2】对于式子2+ ，由x2≥0知1+x 的最小值为1，所以 的最大值为3，
所以2+ 的最大值为5。
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）分式 是 分式(填“真”或“假”)。
（2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式：
① = + 。
② = + 。
（3）把分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数。
（4）当x的值变化时，求分式 的最大值。
【直击中考】
21．代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
22．要使分式 有意义，x的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
23．分式 的值是零，则x的值为（ ）
A．5 B．2 C．－2 D．－5
24．若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>2 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠-2
25．若分式 的值为0，则 的值是（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-5
26．当x=1时，分式 的值是 ．
27．分式有意义，则x应满足的条件是 ．
28．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第5章分式（解析版）
5.1 分式
【知识重点】
1.分式：像、这些代数式都表示两个整式相除，且除式中含有字母，像这样的代数式就叫做分式.
2.注意：(1)分式是两个整式的商，它的形式是(其中A、B都是整式，B是必含有字母的整式)；
(2)A称为分式的分子，B称为分式的分母
3.规定：分式中字母的取值不能使分母为零。当分母的值为零时，分式就没有意义.
4. 有理式：整式和分式 统称有理式.
【经典例题】
【例1】下列各式： ，其中是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】是分式的有 ，一共2个.
故答案为：B.
【例2】当x=-2时，下列各式哪个无意义（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、当时，，则此项分式有意义，不符题意；
B、当时，，则此项分式无意义，符合题意；
C、当时，，则此项分式有意义，不符题意；
D、当时，，则此项分式有意义，不符题意.
故答案为：B.
【例3】若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得x-3≠0，则x≠3.
故答案为：D.
【例4】若 ，则 的值为（ ）
A．0 B．-3 C．0或-3 D．1
【答案】B
【解析】∵x2-9=0，
∴x=±3，
∵有意义，
∴x≠3，
∴x=-3，
∴=-3.
故答案为：B.
【例5】若，则的值是 ．
【答案】
【解析】∵2x=y，
∴x=y，
∴.
故答案为： .
【基础训练】
1．下列各式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、此代数式是分式，故A符合题意；
B、此代数式是多项式，不是分式，故B不符合题意；
C、此代数式是单项式，不是分式，故C不符合题意；、
D、此代数式不是分式，故D不符合题意；
故答案为：A.
2．下列各式属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、B、C分母中都不含未知字母，是整式，不符合题意；
D分母中含有未知字母，是分式，符合题意.
故答案为：D.
3．下列各式： ， ， ， ，其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】分母中含有未知数的有： ，只有1个
故答案为：A
4．若分式值为正数，则x的值可能为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由题意得：x-2≠0，
∴x≠2.
故答案为：D.
5．要使分式 有意义，x的取值应满足（ ）
A． B．
C． 或 D． 且
【答案】D
【解析】∵有意义，
∴（x-2）（x-3）≠0，
∴x-2≠0且x-3≠0，
∴x≠2且x≠3.
故答案为：D.
6．当 时，分式 的值为0.
【答案】3
【解析】由题意知 ，
解得 ，
当 时， ，
时，分式 的值为0，
故答案为：3.
7．若分式 没有意义，则x的值是 .
【答案】1
【解析】若分式 没有意义，
则x-1=0，
解得x=1.
故答案为：1.
8．已知分式 ，当x＝－3时，该分式没有意义；当x＝－4时，该分式的值为0.试求(m＋n)2019的值.
【答案】解：∵x+m=0时，分式无意义，
∴x≠-m，
∴m=3，
又因为x-n=0，分式的值为0，
∴x=n，即n=-4，则(m＋n)2019＝[3＋(－4)]2019＝（-1）2019＝－1.
9．当x取何值时，分式；（1）无意义？（2）有意义？（3）值为0？
【答案】解：x（x﹣1）=0，
解得x=0或x=1，
（1）当x=0或x=1时，分式无意义；
（2）x≠0或x≠1时，分式有意义；
（3）由题意得，2x+4=0，
解得，x=﹣2，
则当x=﹣2时，分式的值为0．
10．x满足什么条件时下列分式有意义：
﹣．
【答案】解：根据题意得：
2x+1≠0且x﹣2≠0，
解得：x≠﹣且x≠2．
11．若分式 的值为负数，求x的取值范围．
【答案】解：∵分式 的值为负数，x2+2x+1=（x+1）2≥0，
∴x﹣2＜0，且x≠﹣1．
解得，x＜2且x≠﹣1
12．求下列各分式的值.
（1） ，其中 ；
（2） ，其中 ；
（3） ，其中 ；
（4） ，其中 .
【答案】（1）解：把 代入 ，得
（2）解：当 时，
（3）解：当 时，
（4）解：当 时，
【培优训练】
13．当 时，分式 无意义；当 时，此分式的值为零，则 .
【答案】3
【解析】∵x=4时，分式 无意义，
∴n=4，
∵x=2时，分式的值为0，
∴2+2m=0，
解得：m=-1，
∴m+n=-1+4=3.
故答案为：3.
14．如果不论 为何实数，分式 总有意义，则 的取值范围是 .
【答案】m＞1
【解析】要使分式 总有意义，
则x2+2x+m＞0，
∴(x+1)2+m-1>0，
∵(x+1)2≥0，
∴m-1>0，
∴m>1.
故答案为： m＞1 .
15．下列式子，，x﹣，x3﹣，，﹣，，﹣，其中分式的个数是m，求使分式无意义的p的值．
【答案】解：，x﹣，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，x3﹣，，﹣，﹣的分母中含有字母，因此是分式．故m=5．则由得：，只需分母p+5=0，即p=﹣5时，分式无意义．综上所述，使分式无意义的p的值是﹣5．
16．已知x，y，z都不为零，且满足4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0．求 的值.
【答案】解：由 ，解得 ，
∵x，y，z都不为零，
∴ = .
17．已知y=，x取哪些值时：（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．
【答案】解：（1）当＜x＜1时，y为正数；（2）当x＞1或x＜时，y为负数；（3）当x=1时，y值为零；（4）当x=时，分式无意义．
18．（1）已知分式，x取什么值时，分式的值为零？
（2）x为何值时，分式的值为正数？
【答案】解：（1）由=0，得2x2﹣8=0且x﹣2≠0，解得x=﹣2；当x=﹣2时，分式的值为零；（2）的值为正数，得3x﹣9＞0，解得x＞3，当x＞3时，分式的值为正数．
19．
（1）【探索】
①如果
，则
.
②如果
，则
.
（2）【总结】如果
(其中a，b，c为常数)，则m= .
（3）【应用】利用上述结论解决：若代数式 的值为整数，求满足条件的整数 的值.
【答案】（1）1；-13
（2）b-ac
（3）解： .
因为x为整数且 为整数，
∴
∴ 或0
【解析】（1）①将已知等式整理，得
，
即3x＋4=3x+3+m，解得m=1.故答案为1.
②将已知等式整理，得
，
即5x-3=5x＋10＋m，
解得m=-13.
故答案为-13.
（2）将已知等式整理可得
∴ax+b=ax+ac+m
解之：m=b-ac.
20．阅读下列材料：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： =1+ 。在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如 ， ，…这样的分式是假分式；如 与 …这样的分式是真分式。类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和(差)的形式。
例如：将分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。
方法1： = = =x-1-
方法2：由分母为x+3，可设x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b(a，b为待确定的系数)
∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x +(a+3)x+(3a+b)
∴x +2x-5=x +(a+3)x+(3a+b)
对于任意x，上述等式均成立，
∴ ，解得
∴x +2x-5=(x+3)(x-1)-2
∴ = = =x-1-
这样，分式 就被化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。
【材料2】对于式子2+ ，由x2≥0知1+x 的最小值为1，所以 的最大值为3，
所以2+ 的最大值为5。
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）分式 是 分式(填“真”或“假”)。
（2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式：
① = + 。
② = + 。
（3）把分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数。
（4）当x的值变化时，求分式 的最大值。
【答案】（1）真
（2）2；；x；
（3）解： = = =x+5+
若原分式的值为整数，则x-3=±1或x-3=±2
①若x-3=1，则x=4；
②若x-3=-1，则x=2；
③若x-3=2，则x=5；
④若x-3=-2，则x=1。
∴当x=4或2或5或1时，原分式的值为整数．
（4）解： = =2+ =2+
∵(x-1) ≥0，
∴(x-1) +1有最小值1
∴ 有最大值4，
∴2+ 有最大值6，
∴当x的值变化时，原分式的最大值是6
【解析】（1）原式=
∴是真分式.
故答案为：真.
【直击中考】
21．（2022·怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】分母中含有字母的是，，，
∴分式有3个.
故答案为：B.
22．（2021·宁波）要使分式 有意义，x的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 分式 有意义，
故答案为：B
23．（2020·金华·丽水）分式 的值是零，则x的值为（ ）
A．5 B．2 C．－2 D．－5
【答案】D
【解析】由题意得x+5=0且x-2≠0，
解得x=-5.
故答案为：D.
24．（2019·宁波）若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>2 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠-2
【答案】B
【解析】由题意得：x-2≠0，解得：x≠2.
故答案为：B
25．（2018·温州）若分式 的值为0，则 的值是（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-5
【答案】A
【解析】根据题意得 ：x-2=0，且x+5≠0，解得 x=2.
故答案为：A。
26．（2018·湖州）当x=1时，分式 的值是 ．
【答案】
【解析】当x=1，时，原式=，
故答案为：
27．（2022·南通）分式有意义，则x应满足的条件是 ．
【答案】x≠2
【解析】由题意得
x-2≠0
解之：x≠2.
故答案为：x≠2.
28．（2022·菏泽）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】x>3
【解析】由题意，得
所以x-3>0，
解得：x>3，
故答案为：x>3．
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