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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第5章分式（解析版）
5.2 分式的基本性质
【知识重点】
1．分式的基本性质：
(1)分式的分子和分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变；
(2)用式子表示为：， (M≠0)，其中A，B，M均为整式.
2．约分：
(1)把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分.
(2)约分的基本步骤：
①若分子﹑分母都是单项式，则约简系数，并约去相同字母的最低次幂；
②若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
③约分后，使分式变为最简分式或整式. 分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式.
④约分过程中，有时还需运用分式的符号法则使最后结果形式简捷；约分的依据是分式的基本性质.
【经典例题】
【例1】约分的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
故答案为：B．
【例2】下列分式中，最简分式是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、该分式的分子、分母中含有公因式 ，不是最简分式，故此选项不符合题意；
B、该分式的分子、分母中含有公因数 ，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C、该分式是最简分式，故此选项符合题意；
D、该分式的分子、分母中含有公因式 ，不是最简分式，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【例3】如果把分式中的a和b都扩大两倍，则分式的值（ ）
A．变为原来的4倍 B．变为原来的
C．不变 D．变为原来的2倍
【答案】B
【解析】解∶ 把分式中的a和b都扩大两倍，
得，
故分式的值变为原来的．
故答案为：B．
【例4】不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】=.
故答案为：C.
【例5】已知 ，则 的值为 .
【答案】
【解析】设a=2k，b=3k，c=5k，
∴.
故答案为： .
【例6】把下列各分式约分化简
① ② ③
④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧ ⑨
⑩ ．
【答案】解：① = ；
② =﹣ ；
③ =﹣ ；
④ = ；
⑤ = ；
⑥ =﹣ ；
⑦
=
= ；
⑧
=
= ；
⑨ =﹣ ；
⑩
=
=3x﹣3；
=
= ；
=
=
= ．
【例7】约分：
【答案】解： = =
【基础训练】
1．下列各式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A. 还有公因式4，不是最简分式；
B. 还有公因式，不是最简分式；
C. 没有公因式，是最简分式；
D. 还有公因式 ，不是最简分式．
故答案为：C．
2．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A：，不符合题意；
B：，不符合题意；
C：是最简分式，符合题意；
D：，不符合题意；
故答案为：C.
3．下列分式的变形正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】C
【解析】 ＝ .
故答案为：C.
4．如果将分式（x，y均为正数）中字母的x，y的值分别扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不改变 B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍
【答案】A
【解析】根据题意得：，
则分式的值不改变，
故答案为：A．
5．约分： ．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
6．约分： ．
【答案】
【解析】．
故答案为．
7．若 成立，则 的取值范围是 .
【答案】x≠-1
【解析】∵，
∴x≠-1.
故答案为：-1.
8．约分：= ．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
9．已知：==，求 的值．
【答案】解：设 ===k
∴a=2k，b=3k，c=4k，
∴
10．先化简： ．再选一个舍适的数作为n的值，代入求值
【答案】解： = = ，
∵2-2a≠0，∴a≠1,
∴当取a=0时，原式= .
11．约分：
【答案】解：==
12．已知x＞0，y＞0，如果x、y都扩大原来的三倍，那么分式的值如何变化？
【答案】解：x＞0，y＞0，如果x、y都扩大原来的三倍，那么分式的值扩大为原来的3倍，
答：式的值扩大为原来的3倍．
13．把多项式除法化成分式再化简.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式 ：：：
14．将下列分式化为最简分式.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） .
【答案】（1）解： ：： .
（2）解： ： .
（3）解：：：.
（4）解：：：.
（5）解： ：：.
（6）解： ：：.
【培优训练】
15．如果把分式中的x，y同时变为原来的4倍，那么该分式的值( )
A．不变 B．变为原来的4倍
C．变为原来的 D．变为原来的
【答案】D
【解析】 把分式中的x，y同时变为原来的4倍，该分式为，
∴该分式的值变为原来的 .
故答案为：D
16．下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、选项中分子分母都加1，等式不一定成立，故本选项不符合题意．
B、选项中分子分母无公因式，不能约分，故本选项不符合题意．
C、，故本选项符合题意．
D、等式左边与右边不一定相等．
故答案为：C．
17．下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、，故A不符合题意．
B、，故B不符合题意．
C、，故C符合题意．
D、，故D不符合题意．
故答案为：C．
18．，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】，
②①得，，
解得，，
把代入①得，，
则，
故答案为：C.
19．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、，故A不是“和谐分式”；
B、，故B不是“和谐分式”；
C、，故C是“和谐分式”；
D、，原式的分子与分母都不能因式分解，故D不是“和谐分式”；
故答案为：C．
20．已知，则的值等于
A．6 B． C． D．
【答案】A
【解析】把代数式的分子、分母同时除以可得，再整体代入求解.
当时，
故选A.
21．已知，且，则的值为 .
【答案】-1
【解析】设，，，且，
∴.
故答案为：-1.
22．若表示一个整数，则整数x可取的个数有 个．
【答案】4
【解析】∵为整数，
∴2x+3为1，3，
当2x+3=1，即x=-1时，原式=-2；
当2x+3=-1，即x=-2时，原式=4；
当2x+3=3，即x=0时，原式=0；
当2x+3=-3，即x=-3时，原式=2．
∴x的值可取0，-1，-2，-3．
故答案为：4．
23．约分：的结果是 （填“整式”或“分式”）
【答案】整式
【解析】∵原式，
∴化简的结果是整式．
故答案为：整式．
24．化简的结果是
【答案】
【解析】，
故答案为： .
25．已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝ ．
【答案】2或4或-10或16
【解析】
＝
若要值为整数，只需为整数即可，
当x=2时，，
当x=4时，，
当x=-10，时，
当x=16，时，
综上分析可知，x=2或4或-10或16时，分式的值为整数．
故答案为：2或4或-10或16．
26．已知 ，则式子 的值等于
【答案】1
【解析】∵
∴
∴
故答案为：1
27．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如： ， 像这样的分式是假分式；像 ， 这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： ； ，解决下列问题：
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）
（2）如果分式 的值为整数，求 的整数值
【答案】（1）
（2）解：原式
因为 的值是整数，分式的值也是整数，
所以 或 ，
所以 、 、0、 ．
所以分式的值为整数， 的值可以是： 、 、0、 ．
【解析】（1）
故答案为： ；
28．
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值.
【答案】（1）解：∵ ，即 ，
∴原式=
（2）解： ：
∵
∴
原式
29．
（1）已知 ，求分式 的值；
（2）已知 ，求分式 的值.
【答案】（1）解：)所求分式的分子、分母都除以ab，即
：
∵ ，
∴ ，
∴原式
（2）解： ：：：：=4
30．如图，为建设美丽农村，村委会打算在正方形地块甲和长方形地块乙上进行绿化。在两地块内分别建造一个边长为a的大正方形花坛和四个边长为b的小正方形花坛(阴影部分)，空白区域铺设草坪，记S1表示地块甲中空白处铺设草坪的面积，S2表示地块乙中空白处铺设草坪的面积．
（1）S1= ，S2= (用含a，b的代数式表示并化简)
（2）若a=2b，求 的值
（3）若 ，求 的值
【答案】（1）4ab；6ab+4b2
（2）解：
（3）解：∵∴
∴6ab+4b2=12ab
即4b2=6ab
∴
【解析】（1） 1、S1 =（a+2b）2-4b2-a2
=a2+4ab+4b2-4b2-a2
=4ab;
2、S2=（a+2b）（a+4b）-4b2-a2
=a2+6ab+8b2-4b2-a2
=6ab+4b2 ;
【直击中考】
31．（2015·丽水）分式﹣ 可变形为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】D
【解析】﹣ =﹣ = ，
故选D．
32．（2016·台州）化简 的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】 ；
故选D．
33．（2020·湖州）化简： ＝ .
【答案】
【解析】 .
故答案为： .
【分析】将分母分解因式，再进行约分。
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5.2 分式的基本性质
【知识重点】
1．分式的基本性质：
(1)分式的分子和分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变；
(2)用式子表示为：， (M≠0)，其中A，B，M均为整式.
2．约分：
(1)把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分.
(2)约分的基本步骤：
①若分子﹑分母都是单项式，则约简系数，并约去相同字母的最低次幂；
②若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
③约分后，使分式变为最简分式或整式. 分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式.
④约分过程中，有时还需运用分式的符号法则使最后结果形式简捷；约分的依据是分式的基本性质.
【经典例题】
【例1】约分的结果是（ ）
A． B． C． D．
【例2】下列分式中，最简分式是( )
A． B． C． D．
【例3】如果把分式中的a和b都扩大两倍，则分式的值（ ）
A．变为原来的4倍 B．变为原来的
C．不变 D．变为原来的2倍
【例4】不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知 ，则 的值为 .
【例6】把下列各分式约分化简
① ② ③
④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧ ⑨
⑩ ．
【例7】约分：
【基础训练】
1．下列各式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列分式的变形正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
4．如果将分式（x，y均为正数）中字母的x，y的值分别扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不改变 B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍
5．约分： ．
6．约分： ．
7．若 成立，则 的取值范围是 .
8．约分：= ．
9．已知：==，求 的值．
10．先化简： ．再选一个舍适的数作为n的值，代入求值
11．约分：
12．已知x＞0，y＞0，如果x、y都扩大原来的三倍，那么分式的值如何变化？
13．把多项式除法化成分式再化简.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
14．将下列分式化为最简分式.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） .
【培优训练】
15．如果把分式中的x，y同时变为原来的4倍，那么该分式的值( )
A．不变 B．变为原来的4倍
C．变为原来的 D．变为原来的
16．下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（ ）
A． B． C． D．
20．已知，则的值等于
A．6 B． C． D．
21．已知，且，则的值为 .
22．若表示一个整数，则整数x可取的个数有 个．
23．约分：的结果是 （填“整式”或“分式”）
24．化简的结果是
25．已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝ ．
26．已知 ，则式子 的值等于
27．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如： ， 像这样的分式是假分式；像 ， 这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： ； ，解决下列问题：
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）
（2）如果分式 的值为整数，求 的整数值
28．
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值.
29．
（1）已知 ，求分式 的值；
（2）已知 ，求分式 的值.
30．如图，为建设美丽农村，村委会打算在正方形地块甲和长方形地块乙上进行绿化。在两地块内分别建造一个边长为a的大正方形花坛和四个边长为b的小正方形花坛(阴影部分)，空白区域铺设草坪，记S1表示地块甲中空白处铺设草坪的面积，S2表示地块乙中空白处铺设草坪的面积．
（1）S1= ，S2= (用含a，b的代数式表示并化简)
（2）若a=2b，求 的值
（3）若 ，求 的值
【直击中考】
31．分式﹣ 可变形为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
32．化简 的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
33．化简： ＝ .
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