因式分解(整章教案)[下学期]

第六章 因式分解
第六章 因式分解
目录
TOC \o "1-3" \h \z 6.1　　因式分解 2
6.2　　提取公因式法 4
6.3　　乘法公式分解因式（1） 5
6.3　　乘法公式分解因式（2） 6
6.4　　因式分解的简单应用 8
6.1　　因式分解
〖教学目标〗
◆1、了解因式分解的概念和意义．
◆2、了解因式分解与整式乘法的关系——互逆变形．
◆3、体验矛盾的对立统一规律．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：本节教学的重点是因式分解的概念．
◆教学难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题，是本节教学的难点．
〖教学准备〗多媒体，分好学习小组．
〖教学过程〗
一、创设情境，导入新课
师：谁能以最快速度求：当a=101，b=99时，a2－b2的值
析：教师不要马上作答．可能会有学生利用计算器计算，教师引导，若不使用计算器你能解决吗 等学了本节内容后再来解决它．
师：在小学里，我们学过2×3×5=30，这是什么运算
生1：整数乘法．
师：那30=2×3×557．是什么运算
生2：因数分解．
师：因数分解有什么作用 你在平时学习中遇到过吗 请举例说明(合作学习)．
生3：分数的约分与通分．
师：，(x－y)＝x2－xy是什么运算 等式左右两边有何特点
生4：整式的乘法．左边是整式的积，右边是多项式．
析：学生可能会答成分配律，左右两边都是代数式．教师要作引导．
师：那x2－xy＝x(x－y)是否成立 这个等式的两边有何特点 又是什么运算
生5：成立．左边是多项式，右边是整式的积．
师：这就是我们今天要探讨的因式分解．
二、合作交流，探求新知
1．形成概念．
师：像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，有时，也把这一过程叫分解因式．请你仔细默读概念，并留意概念中的注意点．下面请看练习(多媒体出示)：
　　
教师在点评上述10题的过程中，请学生留意因式分解概念中的注意点，与本人原来的想法是否一致．
生6：①左边是多项式，右边是整式；②右边是整式的乘积的形式．
2．理解因式分解与整式乘法的关系．
师：注意第(9)，(10)两题是两种正确的变形，但不是因式分解．观察下列等式，并回答
问题(多媒体出示)
师：1．填空(整式乘法，因式分解)
2．这两种运算是什么关系 (互逆)
图示表示：
师：你能利用因式分解与整式乘法的关系，做下面的例题蚂(多媒体出示)
析：①让学生体验怎样利用已学知识解决新知识；
　　　②让学生体验因式分解与整式乘法的互逆性．
练一练：课本课内练习第1题(请三个学生在黑板演练，老师巡视)．
3．尝试简单的因式分解．
析：①强调格式；
②再次体验因式分解与整式乘法的互逆性．
4．解决问题．
师：现在你能利用所学的知识解决上课初的那道题吗(合作完成)
生7：1012－992=-(101＋99)(101－99)
=200×2
=400．
师：那872＋87×13又该怎么算呢
析：①这两题在例2的基础上完成可能更容易些；
②让学生体验因式分解对解决某些问题带来的便利．
三、小结回顾，反思提高
师：本堂课你有什么收获
合作交流得：(1)因式分解的概念；(2)因式分解的注意点；(3)因式分解的作用．
四、布置作业
课本作业题．
6.2　　提取公因式法
〖教学目标〗
◆1、会用提取公因式法分解因式．
◆2、理解添括号法则．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：用提取公因式法分解因式．
◆教学难点：例2分解因式，需要添括号，还要运用换之的思想，是本节教学的难点．
〖教学过程〗
一、新课引入
计算（1）25×17+25×83 （2）15.67×91+15.67×9
由学生小结：（1）应用分配律，使计算简便
（2）分配律的一般式a（b+c）= ab+ac
在此应用的是 ab+ac= a（b+c） （*）
从因式分解的角度观察式（*） （1）可以看作是因式分解
（2）做法是把每一项中都含有的相同的因式，提取出来（3）举例把2ab+4abc分解因式
二、揭示课题，新课教学
1. 公因式的概念和用提取公因式法分解因式
2. 提取公因式法分解因式的步骤
（1） 确定提取的公因式
例：3axy+6x3yz
归纳：公因式是各项系数的最大公因数（当系数是整数的）与各项都含有的相同字母
的最低次幂的积
（2） 用提取公因式法分解因式：3axy+6x3yz=3xy（a+2xz）
归纳：a、提取公因式后，多项式余下的各项不再含有公因式
b、提取的实质是将多项式中的每一项分别除以公因式3xy
（3）练习 分解因式：5abc +15abc
3. 例题教学
例1 把下列各式分解因式：
（1）2 x3+6 x （2）3pq3+15p3q （3）－4x+8ax+2x
（4）－3ab+6abx－9aby
小结：提取公因式法的一般步骤和要求
4. 再议公因式（1）公因式还可以包括各项中都含有的多项式如
2(a+b) －(a+b)中a+b 则引导学生进行提取，观察结果是否符合因式分解的要求。
（2）由（1）引入例2 把2(a－b) －a+b分解因式
观察例题，猜想含有公因式a－b或a+b进行探索、分解因式
（3）由（2）把－a+b加上括号变形成－(a－b)而不改变 －a+b的值，这种方法称为添括号。
复习回忆，去括号法则，随之探索添括号法则
练习 ①添括号 －x－2x+1=－（ ）
1－2x=+( )
－x－2=－( )
②因式分解 2（a+b） －(a－b)
三、练习P154 1.2.3.4.
四、小结：（1）提公因式法分解因式的步骤和分解要求
（2）公因式的确定
（3）添括号法则
五、作业布置
6.3　　乘法公式分解因式（1）
〖教学目标〗
◆1、会用平方差公式分解因式。
◆2、了解因式分解的思考步骤。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：用平方差公式分解因式是本节教学的重点。
◆教学难点：例1第（4）题和本节的“合作学习”的因式分解和化简过程较为复杂，是本节教学的难点。
〖教学过程〗
1、 题引入：
节头图：把一张如图甲形状的纸剪拼成图乙形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，你认为应该怎么剪？你能给出数学解释吗？
通过今天的学习，我们将解决这个问题。（板书课题）
2、 新课
1、上一章我们已学过平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2，今天我们将换一个角度来认识这个公式的应用。由此可得：（板书）a2－b2＝(a+b)(a－b)
这就是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
我们运用这个公式可以把平方差形式的多项式进行分解因式。
2、做一做：（学生口答完成）
下列各式能用平方差公式a2－b2＝(a+b)(a－b)分解因式吗？a，b分别表示什么？把它们分解因式。
（1）x2―1; (2)m2―9; (3)x2―4y2
由此可见，运用平方差公式分解因式的关键是把要分解的多项式看成两个数的平方差。
公式中的字母可以是一个数、一个字母、也可以是一个式，所以在运用平方差公式分解因式前，首先能够找出字母所表示的数或式，尤其当项的系数是分数或小数时，给我们在判别上带来一定的困难，为此我们先来完成下面填空练习：
3、填空：
x2＝(　　　)2　　　　　　　　　　　　x2－0.01y2＝(　　　)2－(　　　　)2
4(x-y)2－9(x+y)2＝[ 　　　]2－[　　　]2　　　－252+0.25x2=(　　　)2－(　　　)2
4、例题讲解：
例1　把下列各式分解因式：
（1）16a2－1　　 （2）－m2n2+4l2 (3) x2－y4 (4) (x+z)2－(y+z)2
例题小结：
能用平方差公式分解因式的一般步骤：①表示成哪个数的平方差的形式；②运用平方差公式分解因式。借助这个方法，我们也可以较轻松地解决节头图所提出的问题了：甲图形状的纸面积为（a2－b2），根据a2－b2＝(a+b)(a－b)可知乙图可看作长为(a+b)，宽为(a－b)的长方形，从而得到问题的解决。
当然在分解因式的过程中，有的时候需要对某些多项式能否运用平方差公式分解作出判断。
　　例2　判别下列各多项式能否用平方差公式分解因式，为什么？
―4x2―y2, 4x2+(―y)2, (―4x)2―y2
5、提出问题：对于多项式4x3y－9xy3能否直接用平方差公式分解因式？
合作学习：怎样把多项式4x3y－9xy3分解因式？
可按下述步骤思考：
（1） 能否提取公因式？
（2） 提取公因式后，多项式还能继续分解因式吗？
让学生通过分析、尝试、交流等形式归纳形成解决问题的策略、方法和步骤。
三、课内练习：书本157页练习（有针对性地选择学生板演，并由学生完成评价）
四、课堂小结：
1、今天学习了把乘法公式中的平方差公式逆向使用，得到的平方差公式进行的因式分解。数学公式的互逆运用目的都是为了数学问题的解决。
2、运用平方差公式分解因式的关键是把要分解的多项式看成两个数平方差的形式。当要分解的多项式是两个多项式的平方差时，分解成的两个因式一般要进行去括号等化简，如有同类项，要进行合并。
3、在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式。
五、作业：书本157页
　必做题：1、2、3、4
　选做题：5、6
6.3　　乘法公式分解因式（2）
〖教学目标〗
◆1、会用完全平方公式分解因式。
◆2、会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：用完全平方公式分解因式是本节教学的重点．
◆教学难点：例3分解和化简过程比较复杂，是本节教学的难点。
〖教学过程〗
1、 引入：
通过前两节课的学习，我们已掌握了运用“提取公因式法分解因式”和“运用平方差公式分解因式”，尤其是“平方差公式分解因式”是借助于多项式乘法公式中的平方差公式的逆向使用来实现多项式的因式分解。在多项式乘法中我们还学习了两个完全平方公式：　　　　
(a+b)2=a2+2ab+b2 , (a－b)2=a2－2ab+b2,
今天我们将借助于这两个完全平方公式的逆向使用来进行分解因式。(板书课题)
2、 新课：
1、板书：　a2+2ab+b2＝(a+b)2　　　a2－2ab+b2＝(a－b)2
这就是说，两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方。
运用完全平方公式分解因式的关键是把要分解的多项式看成两个数的和（或者差）的完全平方（仿书本“例如”举例说明）
2、完全平方式： a2+2ab+b2，　a2－2ab+b2。
对一个多项式能否直接用完全平方公式，首先应判断其是否完全平方式。
例1 判断下列各式是否完全平方式：
（1）4x3－4x+1　（2）4x2－2x+1　（3）4x2－4x+1　（4）x2－x+
(5) +1－x
具体判别时可按如下的程序操作：
（1）先看能否把其中的某两个数的平方和的形式。
　　（2）如果能把其中的某两项写成两个数的平方和的形式，那么就要乍剩下的一项能否写成加上或减去同样两数乘积的两倍的形式。例如：4x3－4x+1中的任何两项都不能写成两个整式的平方和的形式，因此不能用完全平方公式来分解因式。
4x2－2x+1中的4x2+1虽然可以看成2x与1的平方和，但是剩下的一项－2x并不是－2x与1乘积的两倍。因此也不能用完全平方公式来分解因式。
4x2－4x+1中的4x2+1可以看成2x与1的平方和，并且剩下的一项－4x恰好是－2x与1乘积的两倍，所以可以用完全平方公式来分解因式，分解的结果应是2x与1的差的平方。
+1－x，虽然外观与a2－2ab+b2不一致，但它是完全平方式。
学习练习：书本159页“做一做”
（通过这样正、反两方面的对照，使学生正确判别能否用完全平方公式分解因式，以及分解的结果是什么样的两数和（或差）的平方。）
3、例2　　把下列各式分解因式：
（1）4a2+12ab+9b2; (2) ―x2+4xy―4y2 (3) 3ax2+6axy+3ay2
范例讲解应注意以下几点：
（1）当两个平方项前面的符号为负时，应先提取“－”号，如―x2+4xy―4y2=―(x2―4xy+4y2)
（2）第（3）由学生思考后，强调“多项式中有公因式的先提取公因式”
例3、分解因式：(2x+y)2－(2x+y)+9
本例分析要突出换元的思想，也就是把(2x+y)看作一个整体，教学中应当使学生理解换元的含义，体验换元的作用。
三、练习：书本160页“课内练习1、2”
四、小结：
1、通过这两节课的学习，我们熟悉了运用平方差公式分解因式和运用完全平方公式分解因式。一般地，利用公式a2－b2＝(a+b)(a－b)，或a2±2ab+b2＝(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法。公式中的a,b可以是一个数，也可以是一个整式。
2、运用公式法分解因式的关键是判断能用哪个公式，然后针对公式进行分解。
　　3、对综合运用多种方法分解因式时，应先考虑有公因式的先提取公因式，后运用公式法分解因式。
4、分解后的各因式，如果可以去括号、合并同类项等化简，则要化简。
5、本节例3所涉及的换元思想，在以后的数学学习中还会比较广泛的应用，需要进一步的熟练。
五、作业：书本160－161
必做题：1、2、3、4、5、6
选做题：7
6.4　　因式分解的简单应用
【教材分析】
(一)教学内容分析：因式分解是进行代数运算的常用工具之一，灵活、合理地应用因式分解可以帮助我们解决很多数学问题。本节应用只涉及两个方面：多项式相除和解简单的方程。例题和练习的运算量不太大，教学中可适当补充，不要对一元二次方程进行定义。
(二)学情分析：教材前面已经讲过单项式相除和多项式除以单项式，本节在此基础上，通过因式分解，并运用换元的思想，把多项式相除转化为单项式相除。在学习用因式分解解简单的方程前，首先要理解由：A·B=0 能推出什么结果。通过例题的讲解学习后，应帮助学生总结出基本步骤。
【教学目标】
1、会用因式分解进行简单的多项式除法
2、会用因式分解解简单的方程
【教学重点、难点】
因式分解在多项式除法和解方程两方面的应用是本节的重点，应用因式分解解方程涉及较多的推理过程，是本节教学的难点。
【教学过程】
1、 复习因式分解的一般方法
1、可以用幻灯或小黑板出示一些作业中容易出错的因式分解题，问学生可能会错在哪里？
2、请学生互相讨论因式分解有几种方法，再选一个学生归纳
3、说明：因式分解是进行代数运算的常用工具之一，灵活、合理地应用因式分解可以帮助我们解决很多数学问题。
问：那么我们学了因式分解有什么用呢？
推出课题：因式分解的简单应用
2、 例1计算：
（1） （2ab2-8a2b）÷(4a-b) (2) (4 x 2-9) ÷(3-2 x)
解: (1)（2ab2-8a2b）÷(4a-b)
=-2ab(4a-b) ÷(4a-b) （什么方法？）
=-2ab （理由？）
(2) (4 x 2-9) ÷(3-2 x)
=(2 x +3)(2 x -3) ÷[-(2 x -3)] （什么方法？）
=-(2 x +3) （理由？）
=-2 x –3 （理由？）
注意：运用多项式的因式分解和换元的思想，有时我们可以把两个多项式相除，转化为单项式的除法。
问：你知道什么样的两数相乘，积为零吗？
3、 合作学习
1 若A·B=0,下面两个结论对吗？
（1） A和B同时都为零，A=0，且B=0；
（2） A和B中至少有一个为零，即A=0，或B=0。
2 你能用上面的结论解方程(2x+3)(2x-3)=0吗？
四、例2解下列方程：
（1）2x2+x=0 (2) (2x-1)2=(x+2)2
解: (1) 将原方程左边分解因式，
得x(2x+1)=0 则x=0或2x+1=0
∴原方程的根是x1=0,x2=-1/2
注意: 只含有一个未知数的方程的解也叫做根，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，如X1, X2等。
（2） 移项，得(2x-1)2-(x+2)2=0
将左边分解因式，得(3x+1)(x-3)=0
则 3x+1=0 或x-3=0
∴原方程的根是x1=-1/3, x2=3
五、课内练习 （请学生板演）
1、 计算：（1） （a2-4）÷(a+2)
(2) (x2+2xy+y2) ÷(x+y)
(3) [(a-b)2+2(b-a)] ÷(a-b) （请学生指出同学的错误）
2 解下列方程：(1) x2-2x=0 (2)4x2=(x-1)2 （老师补充总结）
六、小结
1、 请学生讨论这节课学到了哪些应用？再请一个人回答。
2、 第一个应用时，用到了什么数学思想？注意哪些东西？
3、 若A B C=0可以推出什么呢？
4、 你能说出用因式分解解简单的方程的步骤吗？
七、作业P163
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