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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第5章分式
5.4 分式的加减（2）
【知识重点】
1．通分：把分母不相同的几个分式化为分母相同的分式，叫做通分.经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，然后按同分母分式的加减法则进行计算.
2．字母表示：.
3．通分的一般步骤：通分的依据是分式的基本性质.
(1)当分式的分母都是单项式时：一般取各分母的系数的最小公倍数、各分母所有字母的最高次幂的积作为公分母.
(2)当分式的分母中含多项式时：先对多项式进行因式分解，再由各分母的系数的最小公倍数、各分母所有因式(分解后的因式)的最高次幂的积作为公分母.
【经典例题】
【例1】将分式 和 进行通分时，分母a2﹣9可因式分解为 ，分母9﹣3a可因式分解为 ，因此最简公分母是 ．
【例2】分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知实数a、b满足，且，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【例4】计算
（1） （2）
【例5】先化简再求值：，其中．
【例6】已知a为范围的整数，则的值是 .
【例7】已知，则代数式的值为 ．
【基础训练】
1．分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
2．分式与的最简公分母是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．计算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（ ）
A． 与 的最简公分母是6x
B． 与 的最简公分母是
C． 与 的最简公分母是
D． 与 的是简公分母是
7．已知，则的值为（ ）
A．6 B．－6 C． D．－
8．若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
9．计算： ．
10．已知，则代数式的值为 .
11．以下是圆圆计算的解答过程.
解：.
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.
12．计算：．
13．先化简，再求值：÷（+x﹣2），其中x＝﹣1.
14．先化简： ，再从2，3，4中选择一个符合题意的数作为a的值，并代入求值．
【培优训练】
15．分式与的最简公分母是（ ）
A． B．
C． D．
16．如图、若x为正整数，则表示的值的点落在（ ）
A．① B．② C．③ D．④
17．已知，，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
18．若，为实数且满足，，设，，有以下2个结论：若，则；若，则下列判断正确的是( )
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
19．若p＝ + + + + ，则使p最近 的正整数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
20．已知两个非零实数a，b满足，，则代数式的值为 ．
21．已知 ，则 ＝ ．
22．若 ，则 .
23．若 ，则 的值为
24．若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则 … ＝ .
25．如果 对于自然数 成立，则 ， ．
26．已知 ，则的y2+4y+x值为 ．
27．欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
：
（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．
（1）当时，常数p的值为 ．
（2）利用欧拉公式计算： ．
【直击中考】
28．先化简，再求值： ，其中．
29． 计算的结果是 .
30．已知a>b>0，且a2+b2=3ab，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
31．若（ + ） w=1，则w=（ ）
A．a+2（a≠﹣2） B．﹣a+2（a≠2）
C．a﹣2（a≠2） D．﹣a﹣2（a≠±2）
32．先化简，再求值： ﹣ ，其中a= ﹣1．
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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第5章分式（解析版）
5.4 分式的加减（2）
【知识重点】
1．通分：把分母不相同的几个分式化为分母相同的分式，叫做通分.经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，然后按同分母分式的加减法则进行计算.
2．字母表示：.
3．通分的一般步骤：通分的依据是分式的基本性质.
(1)当分式的分母都是单项式时：一般取各分母的系数的最小公倍数、各分母所有字母的最高次幂的积作为公分母.
(2)当分式的分母中含多项式时：先对多项式进行因式分解，再由各分母的系数的最小公倍数、各分母所有因式(分解后的因式)的最高次幂的积作为公分母.
【经典例题】
【例1】将分式 和 进行通分时，分母a2﹣9可因式分解为 ，分母9﹣3a可因式分解为 ，因此最简公分母是 ．
【答案】（a+3）（a﹣3）；﹣3（a﹣3）；﹣3（a+3）（a﹣3）
【解析】∵a2﹣9=（a+3）（a﹣3），9﹣3a=﹣3（a﹣3），
∴分式 和 的最简公分母为﹣3（a+3）（a﹣3）．
故答案为（a+3）（a﹣3），﹣3（a﹣3），﹣3（a+3）（a﹣3）．
【例2】分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分式与的最简公分母，
故答案为：A
【例3】已知实数a、b满足，且，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【解析】∵，
∴，
故答案为：A.
【例4】计算
（1） （2）
【答案】（1）解：．
（2）解：
．
【例5】先化简再求值：，其中．
【答案】解：原式
当时，原式．
【例6】已知a为范围的整数，则的值是 .
【答案】-1
【解析】
：
：
：
：
：
，
根据题意有：，，，
即，，，
∵，且为整数，
∴，
将代入，有原式，
故答案为：-1.
【例7】已知，则代数式的值为 ．
【答案】
【解析】
＝
＝
＝
＝
＝．
，
移项得，
左边提取公因式得，
两边同除以2得，
∴原式＝．
故答案为：．
【基础训练】
1．分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分式与的最简公分母是，
故答案为：B.
2．分式与的最简公分母是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】两个分式可化为：
，
最简公分母：，
故答案为：D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、，故A选项错误，不合题意；
B、，故B选项正确，符合题意；
C、，故C选项错误，不合题意；
D、，故D选项错误，不合题意.
故答案为：B．
4．计算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原式＝．
故答案为：B.
5．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原式= .
故答案为：A.
6．下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（ ）
A． 与 的最简公分母是6x
B． 与 的最简公分母是
C． 与 的最简公分母是
D． 与 的是简公分母是
【答案】C
【解析】A、 与 的最简公分母是6x ，故A不符合题意；
B、 与 的最简公分母是 ，故B不符合题意；
C、 与 的最简公分母是 ，故C符合题意；
D、 与 的是简公分母是 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
7．已知，则的值为（ ）
A．6 B．－6 C． D．－
【答案】D
【解析】∵
∴
∴==
故答案为：D.
8．若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
∵ ，
∴
故答案为：D.
9．计算： ．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
10．已知，则代数式的值为 .
【答案】2
【解析】
=
=
=x-1
=3-1
=2.
故答案为：2.
11．以下是圆圆计算的解答过程.
解：.
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.
【答案】解：有错误.
解：.
【解析】【分析】原式可变形为 ，然后根据同分母分式减法法则进行计算.
12．计算：．
【答案】解：原式
：
：
．
【解析】【分析】利用分式的混合运算的计算方法求解即可。
13．先化简，再求值：÷（+x﹣2），其中x＝﹣1.
【答案】解： ÷（ +x﹣2）
:
:
:
:
当x＝ ﹣1时，原式＝ ＝1.
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入x的值求值即可.
14．先化简： ，再从2，3，4中选择一个符合题意的数作为a的值，并代入求值．
【答案】解：原式 ::
::
由分式有意义的条件可知：a不能取2，±3，
∴a＝4，
∴原式 ．
【培优训练】
15．分式与的最简公分母是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴与的最简公分母为，故D符合题意．
故答案为：D．
16．如图、若x为正整数，则表示的值的点落在（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】∵，
∵x为正整数，
即，
当时，，
∴ ，
则表示的值的点落在线段②上．
故答案为：B．
17．已知，，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
又
则
则
故答案为：A.
18．若，为实数且满足，，设，，有以下2个结论：若，则；若，则下列判断正确的是( )
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
【答案】D
【解析】，
当时，，即，
故①正确；
，
当时，，
，，
，
，
，
，
，
故②正确.
综上所述，结论①②都正确.
故答案为：D.
19．若p＝ + + + + ，则使p最近 的正整数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】
∴当n＝4时，
当n＝5时，p＝ ；
当n＝6时，
当n＝7时，
显然，
故答案为：A.
20．已知两个非零实数a，b满足，，则代数式的值为 ．
【答案】2或
【解析】由题意，
①+②得：，
整理得：，
①-②得：，
整理得：，
∴或．
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，代数式的值为2或-6．
故答案为：2或-6．
21．已知 ，则 ＝ ．
【答案】-8
【解析】
故答案为：-8.
22．若 ，则 .
【答案】-1
【解析】∵ ，
∴，
∴，
∴A=-1.
故答案为：-1.
23．若 ，则 的值为
【答案】
【解析】∵ ，
∴ .
将 代入 中，
∴原式
故答案为： .
24．若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则 … ＝ .
【答案】
【解析】∵|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，
∴a﹣1＝0且ab﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
则原式＝
＝
＝
＝ ，
故答案为： .
25．如果 对于自然数 成立，则 ， ．
【答案】；
【解析】 ，
由题意可知：
∴ ， ，
故答案为： , ．
26．已知 ，则的y2+4y+x值为 ．
【答案】2
【解析】由于 ，则通过变形可得： ，
即 ，∴y2+4y+x=2
故答案为：2.
欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
：
（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．
（1）当时，常数p的值为 ．
（2）利用欧拉公式计算： ．
【答案】（1）0
（2）6063
【解析】（1）当时，
则
：
：
：
：
，
故答案为0
（2）令，
则
：
：
：
故答案为∶ 6063．
【直击中考】
28．（2022·鞍山）先化简，再求值： ，其中．
【答案】解：原式
：
：
，
当时，
则
29．（2022·武汉） 计算的结果是 .
【答案】
【解析】原式=.
故答案为：.
30．（2022·南充）已知a>b>0，且a2+b2=3ab，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵a2+b2=3ab，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=5ab，（a-b）2=a2+b2-2ab=ab，
∵a>b>0，
∴a+b=，b-a=-，
∴原式=.
故答案为：B.
31．（2014·杭州）若（ + ） w=1，则w=（ ）
A．a+2（a≠﹣2） B．﹣a+2（a≠2）
C．a﹣2（a≠2） D．﹣a﹣2（a≠±2）
【答案】D
【解析】根据题意得：w= = =﹣（a+2）=﹣a﹣2．
故选：D．
32．（2015·台州）先化简，再求值： ﹣ ，其中a= ﹣1．
【答案】解：原式= ﹣
= ，
当a= ﹣1时，原式= =
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