2022-2023学年浙教版七年级下第2章 二元一次方程组 单元检测卷（含答案）

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2022-2023学年浙教版七年级下第2章二元一次方程组单元检测卷（2）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知，那么x﹣y的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3
2．关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（　　）
A．3x﹣x﹣5＝8 B．3x+x﹣5＝8 C．3x+x+5＝8 D．3x﹣x+5＝8
3．解方程组，下列解法步骤中不正确的是（　　）
A．用加减法消去a，①﹣②×2得2b＝3 B．用代入法消去b，由①得b＝7﹣2a
C．用代入法消去a，由②得a＝b+2 D．用加减法消去b，①+②得3a＝9
4．足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个足球队踢了14场比赛．负了5场，共得19分，那么这个队胜了的场数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　）
A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③
6．已知方程组的解满足5x﹣y＝4，则k的值是（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣4
7．方程组的解为，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
8．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，则可列方程组（　　）
A． B． C． D．
9．已知关于x，y的方程组，下列结论：
①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a﹣1的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y＝8，则a＝3，其中不正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，则所列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知，则y＝　 　（用含有x的式子表示）．
12．若方程（m﹣4）x|m|﹣3＝3yn+1+4是二元一次方程，则m＝　 　，n＝　 　．
13．若（x+y﹣4）2+（x﹣y+7）2＝0，则x2﹣y2＝　 　．
14．已知，则x+y+z＝　 　．
15．对于有理数x，y，定义一种新运算：x y＝ax+by，其中a，b为常数．已知1 2＝10，（﹣3） 2＝2，则a b＝　 　．
16．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则2辆车是空的；2人坐一辆车，则9人需要步行．一共有 　 　人．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）解方程组．
（1）；（代入法） （2）．（加减法）
18．（8分）解方程组：
（1）； （2）； （3）．
19．（8分）关于x，y的方程组与的解相同，求（a﹣b）2022的值．
20．（10分）在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a看成了﹣8，得解为乙看错了方程组中的b，得解为．
（1）求正确的a，b，c的值；
（2）求原方程组的解；
（3）若关于s，t的二元一次方程组为，求s，t的值．
21．（10分）入秋后，某地发生了洪灾，红星集团及时为灾区购进A，B两种抗洪物资80吨，共用去200万元，A种物资每吨2.2万元，B种物资每吨3.4万元．
（1）求A，B两种物资各购进了多少吨？
（2）该集团租用了大、小两种货车若干辆将这些物资一次性运往灾区，每辆大货车可运8吨A种物资和2吨B种物资，每辆小货车可运5吨A种物资和2.5吨B种物资，问租用的大、小货车各多少辆？
22．（12分）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1．
（1）当时，求c的值．
（2）当a＝时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解．
（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解．
23．（12分）某景点的门票价格如下表：
购票人数（人） 1～50 51～99 100以上（含100）
门票单价（元） 48 45 42
（1）某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付4737元，两个班各有多少名学生？
（2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人，但不超过80人．若两个年级分别购票，总计支付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元，问八年级、九年级各报名多少人？
答案与解析
一．选择题
1．已知，那么x﹣y的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3
【点拨】根据题意将两方程相减，进而即可整体得出x﹣y的值．
【解析】解：，
②﹣①得：x﹣y＝5．
故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握运算法则是关键．
2．关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（　　）
A．3x﹣x﹣5＝8 B．3x+x﹣5＝8 C．3x+x+5＝8 D．3x﹣x+5＝8
【点拨】利用代入消元法进行分析即可．
【解析】解：，
把①代入②得：3x﹣（x+5）＝8，
整理得：3x﹣x﹣5＝8，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌握．
3．解方程组，下列解法步骤中不正确的是（　　）
A．用加减法消去a，①﹣②×2得2b＝3 B．用代入法消去b，由①得b＝7﹣2a
C．用代入法消去a，由②得a＝b+2 D．用加减法消去b，①+②得3a＝9
【点拨】根据二元一次方程组的解法即可求解．
【解析】解：A．用加减法消去a，①﹣②×2得3b＝3，选项A符合题意；
B．用代入法消去b，由①得b＝7﹣2a，选项B不符合题意；
C．用代入法消去a，由②得a＝b+2，选项C不符合题意；
D．用加减法消去b，①+②得3a＝9，选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
4．足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个足球队踢了14场比赛．负了5场，共得19分，那么这个队胜了的场数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【点拨】设这个队胜了的场数是x，可得：3x+1×（14﹣5﹣x）＝19，即可解得这个队胜了的场数是5．
【解析】解：设这个队胜了的场数是x，则平的场数是（14﹣5﹣x），
根据题意得：3x+1×（14﹣5﹣x）＝19，
解得x＝5，
∴这个队胜了的场数是5，
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．
5．解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　）
A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③
【点拨】观察发现：第三个方程不含z，故前两个方程相加消去z，可将三元一次方程组转化为二元一次方程组来求解．
【解析】解：解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为①+②．
故选：A．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
6．已知方程组的解满足5x﹣y＝4，则k的值是（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣4
【点拨】根据②﹣①得5x﹣y＝4k﹣4，再根据5x﹣y＝4，可得4k﹣4＝4，进一步求解即可．
【解析】解：，
②﹣①得5x﹣y＝4k﹣4，
∵5x﹣y＝4，
∴4k﹣4＝4，
解得k＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是关键．
7．方程组的解为，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】由题意可知方程组的解为，则方程组的解为．
【解析】解：∵方程组的解为，
∴以x，y为未知数的二元一次方程组的解为，
∴方程组的解为．
故选：C．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系，利用整体的数学思想是解题的关键．
8．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，则可列方程组（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据制作两种纸盒共用60张正方形纸板和140张长方形纸板，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解析】解：∵共用了60张正方形纸板，
∴x+2y＝60；
∵共用了140张长方形纸板，
∴4x+3y＝140．
∴根据题意可列方程组．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．已知关于x，y的方程组，下列结论：
①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a﹣1的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y＝8，则a＝3，其中不正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程x+y＝2a﹣1即可求解；
②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；
③根据试值法求二元一次方程x+y＝3的自然数解即可得结论；
④根据整体代入的方法即可求解．
【解析】解：①将a＝1代入原方程组，得 解得
将x＝3，y＝0，a＝1代入方程x+y＝2a﹣1的左右两边，
左边＝3，右边＝1，
当a＝1时，方程组的解不是是x+y＝2a﹣1的解；
②解原方程组，得
∴x+y＝3，
无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③∵x+y＝2a+1+2﹣2a＝3
∴x、y为自然数的解有，，，．
④∵2x+y＝8，∴2（2a+1）+2﹣2a＝8，
解得a＝2．
综上所述：②③正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，确定二元一次方程的自然数解，解题关键是用含字母的式子表示方程组的解．
10．从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，则所列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，根据时间＝路程÷速度分别列出x和y的二元一次方程组即可．
【解析】解：设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，
根据题意得，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是根据题意列出对应的二元一次方程组，此题难度不大．
二．填空题
11．已知，则y＝　　（用含有x的式子表示）．
【点拨】把x看做已知数求出y即可．
【解析】解：方程+＝6，
去分母得：2x+3（y﹣1）＝36，
去括号得：2x+3y﹣3＝36，
解得：y＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
12．若方程（m﹣4）x|m|﹣3＝3yn+1+4是二元一次方程，则m＝　﹣4　，n＝　0　．
【点拨】二元一次方程就是只含有两个未知数，并且未知数的项的次数是1的整式方程，依据定义即可求解．
【解析】解：根据题意，得
|m|﹣3＝1且n+1＝1且m﹣4≠0，
解得m＝﹣4，n＝0．
故答案为：﹣4，0．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，正确理解定义是解题关键．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含未知数项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程．
13．若（x+y﹣4）2+（x﹣y+7）2＝0，则x2﹣y2＝　﹣28　．
【点拨】根据偶次方的非负性得出x+y﹣4＝0且x﹣y+7＝0，求出x+y＝4，x﹣y＝﹣7，再根据平方差公式分解因式后代入，即可求出答案．
【解析】解：∵（x+y﹣4）2+（x﹣y+7）2＝0，
∴x+y﹣4＝0且x﹣y+7＝0，
∴x+y＝4，x﹣y＝﹣7，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×（﹣7）＝﹣28，
故答案为：﹣28．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，偶次方的非负性等知识点，能求出x+y和x﹣y的值是解此题的关键．
14．已知，则x+y+z＝　9　．
【点拨】三个方程相加，即可求出答案．
【解析】解：，
①+②+③得：2x+2y+2z＝18，
即x+y+z＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组的应用，解此题的关键是能根据题意得出三元一次方程组，题目比较好，难度适中．
15．对于有理数x，y，定义一种新运算：x y＝ax+by，其中a，b为常数．已知1 2＝10，（﹣3） 2＝2，则a b＝　20　．
【点拨】已知等式利用题中的新定义化简，计算求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【解析】解：根据题中的新定义化简得：，
①﹣②得：4a＝8，
解得：a＝2，
把a＝2代入①得：2+2b＝10，
解得：b＝4，
则原式＝2 4＝4+16＝20．
故答案为：20．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
16．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则2辆车是空的；2人坐一辆车，则9人需要步行．一共有 　39　人．
【点拨】设共有x辆车，y个人，根据“3人坐一辆车，则2辆车是空的；2人坐一辆车，则9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解析】解：设共有x辆车，y个人，
依题意得：，
解得：，
∴一共有39人．
故答案为：39．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三．解答题
17．解方程组．
（1）；（代入法） （2）．（加减法）
【点拨】（1）将方程②变形为x＝13﹣4y，然后代入方程①中求出y，再进一步求出x的值即可；
（2）方程①×3+②，消元消去y，解出x，再进一步求出y即可．
【解析】解：（1），
由②得x＝13﹣4y③，
把③代入①得，2（13﹣4y）+3y＝16，
解得，y＝2，
把y＝2代入③得x＝13﹣4×2＝5，
所以方程组的解为；
（2），
①×3得，6x+3y＝6③，
③+②得，7x＝10，
解得，x＝，
把x＝代入②得，﹣3y＝4，
解得，y＝，
所以方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．
18．解方程组：
（1）； （2）； （3）．
【点拨】（1）①+②得出3x＝3，求出x，再把x＝1代入①求出y即可；
（2）整理后①﹣②得出4y＝28，求出y，再把y＝7代入①求出x即可；
（3）①﹣③得出﹣x+2y＝8④，由②和④组成一个二元一次方程组，求出x、y的值，再把x、y的值代入①求出z即可．
【解析】解：（1），
①+②，得3x＝3，
解得：x＝1，
把x＝1代入①，得1+y＝4，
解得：y＝3，
所以方程组的解是；
（2）整理得：，
①﹣②，得4y＝28，
解得：y＝7，
把y＝7代入①，得3x﹣7＝8，
解得：x＝5，
所以方程组的解是；
（3），
①﹣③，得﹣x+2y＝8④，
由②和④组成一个二元一次方程组，
解得：，
把代入①，得10+9+z＝26，
解得：z＝7，
所以方程组的解是．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组和解二元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组和能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
19．关于x，y的方程组与的解相同，求（a﹣b）2022的值．
【点拨】把x+2y＝﹣4和x﹣2y＝12组成方程组，求解后代入ax+by＝4，即可得到a﹣b的值，从而求出（a﹣b）2022的值．
【解析】解：把x+2y＝﹣4和x﹣2y＝12组成方程组，
得，
解得，
把代入ax+by＝4，
得4a﹣4b＝4，
即a﹣b＝1，
所以（a﹣b）2022＝12022＝1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，理解方程组的解是两个方程的公共解是解题的关键．
20．在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a看成了﹣8，得解为乙看错了方程组中的b，得解为．
（1）求正确的a，b，c的值；
（2）求原方程组的解；
（3）若关于s，t的二元一次方程组为，求s，t的值．
【点拨】（1）把代入方程组可求出b、c的值，再根据乙看错了方程组中的b，得解为．得到是方程①ax+5y＝c的解，进而求出a的值；
（2）将a、b、c的值代入原方程组后，再解这个二元一次方程组即可；
（3）将a、b、c的值代入，得出关于s、t的二元一次方程组，求解即可．
【解析】解：（1）由题意可知，是方程组的解，
∴c＝﹣8×4+5×3＝﹣17，4×4﹣3b＝1，
解得b＝5，c＝﹣17，
由于乙看错了方程组中的b，得解为．可知是方程①ax+5y＝c的解，
所以﹣3a﹣5＝﹣17，
解得a＝4，
答：a＝4，b＝5，c＝﹣17；
（2）当a＝4，b＝5，c＝﹣17时，原方程组可变为，
①+②得，8x＝﹣16，
解得x＝﹣2，
把x＝﹣2代入①得，﹣8+5y＝﹣17，
解得y＝﹣，
所以原方程组的解为；
（3）把a＝4，b＝5，c＝﹣17代入关于s，t的二元一次方程组，得
，
解得，
答：s＝﹣1.9，t＝﹣0.1．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法，理解二元一次方程的解是正确解答的关键．
21．入秋后，某地发生了洪灾，红星集团及时为灾区购进A，B两种抗洪物资80吨，共用去200万元，A种物资每吨2.2万元，B种物资每吨3.4万元．
（1）求A，B两种物资各购进了多少吨？
（2）该集团租用了大、小两种货车若干辆将这些物资一次性运往灾区，每辆大货车可运8吨A种物资和2吨B种物资，每辆小货车可运5吨A种物资和2.5吨B种物资，问租用的大、小货车各多少辆？
【点拨】（1）设A种物资购进了x吨，B种物资购进了y吨，由题意：集团及时为灾区购进A，B两种抗洪物资80吨，共用去200万元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设租用的大货车为m辆，小货车为n辆，由题意：每辆大货车可运8吨A种物资和2吨B种物资，每辆小货车可运5吨A种物资和2.5吨B种物资，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解析】解：（1）设A种物资购进了x吨，B种物资购进了y吨，
由题意得：，
解得：，
答：A种物资购进了60吨，B种物资购进了20吨；
（2）设租用的大货车为m辆，小货车为n辆，
由题意得：，
解得：，
答：租用的大货车为5辆，小货车为4辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1．
（1）当时，求c的值．
（2）当a＝时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解．
（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解．
【点拨】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝，即可求得c＝；
（2）当a＝时，方程为+y＝，即x+3y＝5，根据方程即可求得；
（3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此时方程的正整数解是．
【解析】解：（1）∵b＝a+1，c＝b+1．
∴c＝a+2，
由题意，得3a+a+1＝a+2，
解得a＝，
∴c＝a+2＝；
（2）当a＝时，+y＝，
化简得，x+3y＝5，
∴符合题意的整数解是：，，；
（3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2，
整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，
∵x、y均为正整数，
∴x+y﹣1是正整数，
∵a是正整数，
∴2﹣y是正整数，
∴y＝1，
把y＝1代入①得，ax＝1，
∴a＝1，
此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，绝对值的性质，熟知一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解答此题的关键．
23．某景点的门票价格如下表：
购票人数（人） 1～50 51～99 100以上（含100）
门票单价（元） 48 45 42
（1）某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付4737元，两个班各有多少名学生？
（2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人，但不超过80人．若两个年级分别购票，总计支付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元，问八年级、九年级各报名多少人？
【点拨】（1）设七年级1班有x名学生，2班有y名学生，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况：①若a+b＜100，②若a+b≥100，由题意分别列出方程组，解方程组即可．
【解析】解：（1）设七年级1班有x名学生，2班有y名学生，
由题意得：，
解得：，
答：七年级1班有49名学生，2班有53名学生；
（2）设八年级报名a人，九年级报名b人，
分两种情况：
①若a+b＜100，
由题意得：，
解得：，（不合题意舍去）；
②若a+b≥100，
由题意得：，
解得：，符合题意；
答：八年级报名48人，九年级报名58人．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．注意（2）要分两种情况作答．
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