2022-2023学年浙教版七年级下第3章 整式的乘除 单元检测卷（2）（含解析）

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2022-2023学年浙教版七年级下第3章 整式的乘除 单元检测卷（2）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的有：①（﹣1）0＝1；②；③（﹣x3）m＝（﹣xm）3；④；⑤（a﹣3b）（﹣3b﹣a）＝a2﹣9b2．（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．利用完全平方公式计算（﹣s2+t）2应等于（　　）
A．﹣s2﹣2st+t2 B．﹣s4﹣2s2t+t2 C．s4﹣2s2t+t2 D．s4﹣2st﹣t2
3．若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（　　）
A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55
4．已知（x+y）2＝49，（x﹣y）2＝25，则xy＝（　　）
A．﹣6 B．6 C．12 D．24
5．已知关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5，则ab的值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
6．如图，4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（　　）
A．a＝3b B．a＝2b C．2a＝5b D．2a＝3b
7．2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计算结果是（　　）
A．332+1 B．332﹣1 C．331 D．332
8．若4x2+1加上一个单项式后能成为一个多项式的完全平方式，则这个单项式可能就是下列单项式：①﹣1；②﹣4x2；③4x4；④4x；⑤﹣4x中的（　　）
A．①②③④⑤ B．③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤
9．已知（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝18，则（x﹣2021）2的值是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．如图，方形网格能验证下列哪个选项中的等式成立（　　）
A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2 B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2abc
C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+bc+ac D．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．现有以下几个算式：
（1）（0.5﹣）0＝1；（2）﹣x （﹣x）6＝x7；（3）（﹣a2）3＝a6；（4）（b﹣a）2＝b2﹣ab+a2；（5）（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2；（6）（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）＝a8﹣b8.其中正确的是 　 　（只需填写相应的序号）．
12．已知（2x+m）（3x﹣2）＝6x2﹣nx﹣4，则m+n的值为 　 　．
13．设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝　 　．
14．已知（x2﹣x﹣1）x+2＝1，则x＝　 　．
15．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则矩形的周长为 　 　.
16．我们知道下面的结论：若am＝an（a＞0，且a≠1），则m＝n．利用这个结论解决下列问题：设2m＝3，2n＝6，2p＝12．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p＝2n，②m+n＝2p﹣3，③n+p＝4m．其中正确的是 　 　．（填编号）
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（10分）计算题：
（1）（﹣3a2b）2（2ab2）÷（﹣9a4b2）．
（2）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2．
（3）（m﹣2n+3）（m+2n﹣3）．
（4）20182﹣2017×2019（用乘法公式计算）．
（5）化简求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x，其中x＝﹣2，y＝1．
18．（8分）用简便方法计算．
（1）186.72﹣2×186.7×86.7+86.72；
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）．
19．（12分）先化简，再求值
（1）已知2x+y＝1，求代数式（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
（3）若x、y满足，，求下列各式的值．
①（x+y）2；
②x4+y4．
20．（6分）定义一种新运算：观察下列各式：
1⊙3＝1×4+3＝7；3⊙（﹣1）＝3×4﹣1＝11；5⊙4＝5×4+4＝24；4⊙（﹣3）＝4×4﹣3＝13．
（1）请你想一想：a⊙b＝　 　；
（2）若a≠b，那么a⊙b　 　b⊙a（填“＝”或“≠”）；
（3）先化简，再求值：（a﹣b）⊙（2a+b），其中a＝1，b＝2．
21．（10分）如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是：　 　（请选择正确的选项）；
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b） D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9a2﹣b2＝36，3a+b＝9，则3a﹣b＝　 　；
②计算：．
22．（10分）两个边长分别为m和n的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若在图1中大正方形的右上角再摆放一个边长为n的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含m，n的代数式分别表示S1，S2；
（2）若m﹣n＝10，mn＝20，求S1+S2的值；
（3）若S1+S2＝30，求图3中阴影部分的面积S3．
23．（10分）已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；
…
（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝　 　；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝　 　；
②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝　 　．
（3）判断2100+299+298+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．
答案与解析
一．选择题
1．下列计算正确的有：①（﹣1）0＝1；②；③（﹣x3）m＝（﹣xm）3；④；⑤（a﹣3b）（﹣3b﹣a）＝a2﹣9b2．（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解析】解：①（﹣1）0＝1，正确；
②3×3﹣2＝，正确；
③当m为奇数时有（﹣x3）m＝（﹣xm）3＝﹣x3m，错误；
④（x﹣）2＝x2﹣x+，错误；
⑤（a﹣3b）（﹣3b﹣a）＝﹣a2+9b2，错误，
故选：C．
【点睛】此题考查了平方差公式，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，零指数幂、负整数指数幂的规定，熟练掌握平方差公式及幂的运算法则是解本题的关键．
2．利用完全平方公式计算（﹣s2+t）2应等于（　　）
A．﹣s2﹣2st+t2 B．﹣s4﹣2s2t+t2 C．s4﹣2s2t+t2 D．s4﹣2st﹣t2
【点拨】根据完全平方公式计算即可．
【解析】解：（﹣s2+t）2＝s4﹣2s2t+t2．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
3．若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（　　）
A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55
【点拨】先利用多项式乘多项式法则计算等式的左边，根据等式得到a、b的值，代入计算出代数式ab﹣a+b的值．
【解析】解：∵（x+a）（x﹣5）＝x2+（a﹣5）x﹣5a，
又∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，
∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10．
∴a﹣5＝b，﹣5a＝﹣10．
∴a＝2，b＝﹣3．
∴ab﹣a+b＝2×（﹣3）﹣2﹣3＝﹣11．
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
4．已知（x+y）2＝49，（x﹣y）2＝25，则xy＝（　　）
A．﹣6 B．6 C．12 D．24
【点拨】先把所求式子变形为完全平方式，再把题中已知条件代入即可解答．
【解析】解：因为（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy＝49﹣25＝24，
所以xy＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
5．已知关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5，则ab的值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
【点拨】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可．
【解析】解：（ax﹣b）（3x2+x+2）
＝3ax3+ax2+2ax﹣3bx2﹣bx﹣2b
＝3ax3+（a﹣3b）x2+（2a﹣b）x﹣2b，
∵展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5，
∴a﹣3b＝0，2a﹣b＝﹣5，
解得：a＝﹣3，b＝﹣1，
∴ab＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．如图，4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（　　）
A．a＝3b B．a＝2b C．2a＝5b D．2a＝3b
【点拨】先用a、b的代数式分别表示S1＝a2+2b2，S2＝2ab﹣b2，再根据S1＝2S2，得a2+2b2＝2（2ab﹣b2），整理，得（a﹣2b）2＝0，所以a＝2b．
【解析】解：S1＝b（a+b）×2+ab×2+（a﹣b）2＝a2+2b2，
S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，
∵S1＝2S2，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
整理，得（a﹣2b）2＝0，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
7．2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计算结果是（　　）
A．332+1 B．332﹣1 C．331 D．332
【点拨】把因数2写成3﹣1后，利用平方差公式依次计算即可得出结果．
【解析】解：2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1
＝（316﹣1）（316+1）+1
＝332﹣1+1
＝332，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，把因数2写成3﹣1是利用平方差公式的关键．
8．若4x2+1加上一个单项式后能成为一个多项式的完全平方式，则这个单项式可能就是下列单项式：①﹣1；②﹣4x2；③4x4；④4x；⑤﹣4x中的（　　）
A．①②③④⑤ B．③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤
【点拨】根据完全平方公式的结构特征逐个进行判断即可．
【解析】解：4x2+1﹣1＝4x2是单项式，因此①不合适；
4x2+1﹣4x2＝1是单项式，因此②不合适；
4x2+1+4x4＝（2x2+1）2，因此③合适；
4x2+1+4x＝（2x+1）2，因此④合适；
4x2+1﹣4x＝（2x﹣1）2，因此⑤合适；
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确判断的关键．
9．已知（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝18，则（x﹣2021）2的值是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【点拨】先变形为[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝18，然后利用完全平方公式展开即可得到（x﹣2021）2的值．
【解析】解：∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝18，
∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝18，
∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝18，
∴（x﹣2021）2＝8．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
10．如图，方形网格能验证下列哪个选项中的等式成立（　　）
A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2 B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2abc
C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+bc+ac D．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
【点拨】根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：∵图形的面积＝（a+b+c）2，图形的面积＝a2+2ab+2ac+b2+c2+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+2ab+2ac+b2+c2+2bc，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形和矩形的面积公式是解题的关键．
二．填空题
11．现有以下几个算式：
（1）（0.5﹣）0＝1；（2）﹣x （﹣x）6＝x7；（3）（﹣a2）3＝a6；（4）（b﹣a）2＝b2﹣ab+a2；（5）（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2；（6）（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）＝a8﹣b8.其中正确的是 　（4）（5）（6）　（只需填写相应的序号）．
【点拨】根据零指数幂判断（1）；根据同底数幂的乘法判断（2）；根据幂的乘方和积的乘方判断（3）；根据完全平方公式判断（4）；根据平方差公式判断（5）；根据平方差公式的连用判断（6）．
【解析】解：∵0.5﹣＝0，
∴（0.5﹣）0没有意义，故（1）不符合题意；
﹣x （﹣x）6＝（﹣x）7＝﹣x7，故（2）不符合题意；
（﹣a2）3＝﹣a6，故（3）不符合题意；
（b﹣a）2＝b2﹣ab+a2，故（4）符合题意；
（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝4b2﹣a2＝﹣a2+4b2，故（5）符合题意；
（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）
＝（a2﹣b2）（a2+b2）（a4﹣b4）
＝（a4﹣b4）（a4﹣b4）
＝a8﹣b8，故（6）符合题意；
故答案为：（4）（5）（6）．
【点睛】本题考查了零指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，平方差公式，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
12．已知（2x+m）（3x﹣2）＝6x2﹣nx﹣4，则m+n的值为 　0　．
【点拨】利用多项式乘多项式的法则将等式左边进行计算，对比等式右边得出关于m，n的等式，求出m，n的值，代入计算即可得出答案．
【解析】解：∵（2x+m）（3x﹣2）＝6x2﹣nx﹣4，
∴6x2﹣4x+3mx﹣2m＝6x2﹣nx﹣4，
∴6x2+（3m﹣4）x﹣2m＝6x2﹣nx﹣4，
∴3m﹣4＝﹣n，﹣2m＝﹣4，
∴m＝2，n＝﹣2，
∴m+n＝2﹣2＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．
13．设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝　﹣　．
【点拨】根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求解．
【解析】解：法一：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，
两式相减得4xy＝﹣3，
解得xy＝﹣，
则P＝﹣．
法二：由题可得，
解之得：，
∴P＝xy＝﹣，
故答案为：﹣．
【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
14．已知（x2﹣x﹣1）x+2＝1，则x＝　﹣2或﹣1或0或2　．
【点拨】要使结果为1，可分为三种情况：①当指数是0时，②当底数为1时，③当底数为（﹣1）时，分别求出x即可得出答案．
【解析】解：①当x+2＝0，即x＝﹣2时，x2﹣x﹣1≠0，
∴x＝﹣2，成立；
②当x2﹣x﹣1＝1时，
解得：x＝2或﹣1，
∴x＝2或﹣1，成立；
③当x2﹣x﹣1＝﹣1时，
解得：x＝0或1，
当x＝0时，（﹣1）2＝1，成立，
当x＝1时，（﹣1）3＝﹣1，不成立，
故答案为：﹣2或﹣1或0或2．
【点睛】本题考查了零指数幂和有理数的乘方，掌握零指数幂的意义，有理数乘方的意义是解决问题的关键．
15．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则矩形的周长为 　（4a+16）cm　.
【点拨】根据图形可得所拼矩形的长为[（a+4）+（a+1）]cm，宽为[（a+4）﹣（a+1）]cm，从而可计算出此题结果．
【解析】解：由题意得，所拼矩形的周长为：
2[（a+4）+（a+1）+（a+4）﹣（a+1）]
＝2（2a+5+3）
＝2（2a+8）
＝（4a+16）cm，
故答案为：（4a+16）cm．
【点睛】此题考查了整式运算几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形准确列式并计算．
16．我们知道下面的结论：若am＝an（a＞0，且a≠1），则m＝n．利用这个结论解决下列问题：设2m＝3，2n＝6，2p＝12．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p＝2n，②m+n＝2p﹣3，③n+p＝4m．其中正确的是 　①②　．（填编号）
【点拨】由2n＝6＝2×3＝2×2m＝2m+1，得出n＝m+1，由2p＝12＝22×3＝22×2m＝2m+2，得出p＝m+2，进而得出p＝n+1，进一步对m+p，m+n，n+p代入计算，即可得出答案．
【解析】解：∵2n＝6＝2×3＝2×2m＝2m+1，
∴n＝m+1，
∵2p＝12＝22×3＝22×2m＝2m+2，
∴p＝m+2，
∴p＝n+1，
∴m+p＝m+n+1＝n+n＝2n，
∴①符合题意；
∵m+n＝p﹣2+p﹣1＝2p﹣3，
∴②符合题意；
∵n+p＝m+1+m+2＝2m+3≠4m，
∴③不符合题意，
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
三．解答题
17．计算题：
（1）（﹣3a2b）2（2ab2）÷（﹣9a4b2）．
（2）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2．
（3）（m﹣2n+3）（m+2n﹣3）．
（4）20182﹣2017×2019（用乘法公式计算）．
（5）化简求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x，其中x＝﹣2，y＝1．
【点拨】（1）先算乘方，再算乘法，即可解答；
（2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算即可解答；
（3）利用平方差公式，完全平方公式进行计算即可解答；
（4）利用平方差公式，进行计算即可解答；
（5）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，最后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解析】解：（1）（﹣3a2b）2（2ab2）÷（﹣9a4b2）
＝9a4b2 2ab2÷（﹣9a4b2）
＝18a5b4÷（﹣9a4b2）
＝﹣2ab2；
（2）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2
＝b2﹣4a2﹣a2+6ab﹣9b2
＝﹣8b2﹣5a2+6ab；
（3）（m﹣2n+3）（m+2n﹣3）
＝[m﹣（2n﹣3）][m+（2n﹣3）]
＝m2﹣（2n﹣3）2
＝m2﹣4n2+12n﹣9；
（4）20182﹣2017×2019
＝20182﹣（2018﹣1）（2018+1）
＝20182﹣20182+1
＝1；
（5）[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x
＝（x2+4xy+4y2﹣3x2﹣2xy+y2﹣5y2）÷2x
＝（﹣2x2+2xy）÷2x
＝﹣x+y，
当x＝﹣2，y＝1时，原式＝﹣（﹣2）+1＝3．
【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．用简便方法计算．
（1）186.72﹣2×186.7×86.7+86.72；
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）．
【点拨】（1）根据完全平方公式将原式化为（186.7﹣86.7）2即可；
（2）配上因式（3﹣1），连续使用平方差公式进行计算即可．
【解析】解：（1）原式＝（186.7﹣86.7）2＝1002＝10000；
（2）原式＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）
＝（34﹣1）（34+1）（38+1）
＝（38﹣1）（38+1）
＝（316﹣1）
＝．
【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
19．先化简，再求值
（1）已知2x+y＝1，求代数式（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
（3）若x、y满足，，求下列各式的值．
①（x+y）2；
②x4+y4．
【点拨】（1）根据完全平方公式化简后，再把2x+y＝1代入计算即可；
（2）根据幂的乘方的运算法则化简后，把x2n＝4代入计算即可；
（3）根据完全平方公式求解即可．
【解析】解：（1）∵2x+y＝1，
∴（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）
＝y2+2y+1﹣y2+4x﹣4
＝4x+2y﹣3
＝2（2x+y）﹣3
＝2﹣3
＝﹣1；
（2）∵x2n＝4，
∴（x3n）2﹣2（x2）2n＝（x2n）3﹣2（22n）2＝43﹣2×42＝64﹣2×16＝32；
（3）①∵，，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝＝＝；
②∵，，
∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝＝＝．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，幂的乘方以及完全平方公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
20．定义一种新运算：观察下列各式：
1⊙3＝1×4+3＝7；3⊙（﹣1）＝3×4﹣1＝11；5⊙4＝5×4+4＝24；4⊙（﹣3）＝4×4﹣3＝13．
（1）请你想一想：a⊙b＝　4a+b　；
（2）若a≠b，那么a⊙b　≠　b⊙a（填“＝”或“≠”）；
（3）先化简，再求值：（a﹣b）⊙（2a+b），其中a＝1，b＝2．
【点拨】（1）根据题目中的新运算，可以求出结果；
（2）根据（1）的结果和b⊙a结果比较；
（3）根据新运算将式子化简，然后代入a，b的值即可求出所得之值．
【解析】解：（1）a⊙b＝4a+b．
故答案为：4a+b．
（2）a⊙b＝4a+b，b⊙a＝4b+a，
∵a≠b，
∴a⊙b≠b⊙a．
故答案为：≠
（3）（a﹣b）⊙（2a+b）
＝4（a﹣b）+（2a+b）
＝4a﹣4b+2a+b
＝6a﹣3b．
当a＝1，b＝2时，原式＝6×1﹣3×2＝0．
【点睛】考查整式的化简求值，解决本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
21．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是：　D　（请选择正确的选项）；
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b） D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9a2﹣b2＝36，3a+b＝9，则3a﹣b＝　4　；
②计算：．
【点拨】（1）图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2阴影部分是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，可表示其面积，由两种方法所求的面积相等可得答案；
（2）①根据平方差公式将9a2﹣b2＝36转化为（3a+b）（3a﹣b）＝36，再根据3a+b＝9，进而求出3a﹣b的值；
②利用平方差公式将原式化为（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+），进而得出××××××××…××即可．
【解析】解：（1）图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2阴影部分是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由图1、图2的面积相等得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：D；
（2）①∵9a2﹣b2＝36，
∴（3a+b）（3a﹣b）＝36，
又∵3a+b＝9，
∴3a﹣b＝36÷9＝4，
故答案为：4；
②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）
＝××××××××…××
＝×
＝．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
22．两个边长分别为m和n的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若在图1中大正方形的右上角再摆放一个边长为n的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含m，n的代数式分别表示S1，S2；
（2）若m﹣n＝10，mn＝20，求S1+S2的值；
（3）若S1+S2＝30，求图3中阴影部分的面积S3．
【点拨】（1）S1可以看作两个正方形的面积差，即S1＝m2﹣n2，S2是长为2n﹣m，高为n的长方形的面积，即S2＝（2n﹣m） n＝2n2﹣mn；
（2）将S1+S2＝m2﹣n2+2n2﹣mn，变形为（m﹣n）2+mn，再代入计算即可；
（3）由S1+S2＝30，可得到m2+n2﹣mn＝30，由图3看得出S3＝（m2+n2﹣mn），整体代入计算即可．
【解析】解：（1）S1可以看作两个正方形的面积差，即S1＝m2﹣n2，
S2是长为2n﹣m，高为n的长方形的面积，即S2＝（2n﹣m） n＝2n2﹣mn；
（2）∵m﹣n＝10，mn＝20，
∴S1+S2＝m2﹣n2+2n2﹣mn
＝m2+n2﹣mn
＝（m﹣n）2+mn
＝100+20
＝120；
（3）∵S1+S2＝m2+n2﹣mn＝30，
∴S3＝m2+n2﹣m2﹣n（m+n）
＝m2﹣mn+n2
＝（m2+n2﹣mn）
＝×30
＝15．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
23．已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；
…
（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝　1﹣xn　；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝　﹣127　；
②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝　x2023﹣1　．
（3）判断2100+299+298+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．
【点拨】（1）根据所给的等式，不难得出结果；
（2）①利用（1）中的结论进行求解即可；
②利用（1）中的结论进行求解即可；
（3）先利用（1）的结论进行求解，再判断其个位数即可．
【解析】解：（1）∵（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
…
∴（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝1﹣xn；
故答案为：1﹣xn；
（2）①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）
＝1﹣27
＝1﹣128
＝﹣127；
故答案为：﹣127；
（2）②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）
＝﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x2022）
＝﹣（1﹣x2023）
＝x2023﹣1．
故答案为：x2023﹣1；
（3）1，理由如下：
2100+299+298+…+22+2+1
＝﹣（1﹣2）×（1+2+22+…+2100）
＝﹣（1﹣2101）
＝2101﹣1．
∵21的个位数是2，
22的个位数是4，
23的个位数是8，
24的个位数是6，
25的个位数是2，
…
∴其个位数以2，4，8，6不断循环出现，
∵101÷4＝25……1，
∴2101的个位数字是2，
∴2101﹣1的个位数是1．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，数字的变化规律，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
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